cm.2 enrich – creus – carnicero nivel 1 · veamos ahora un mapa conceptual sobre el conjunto de...

Cátedra de Matemática Nº 2 “Enrich -Creus-Carnicero” FAU - UNLP 1 de 17

Para resolver en clase. Son temas vistos en el Secu ndario. Si hay algún tema que no recordás, podés leerlo en el apunte. Actividad 1 . Representá en la recta numérica, los números que se indican a continuación. Cuando sea necesario recurri al teorema de Pitágoras:

a) - 5 ; 2 ; 0; 8 y 3.

b) �

� ; - 1,25 ; 0,8 ;

��

�

c) √2 ; 1 + √2 ; √5 ; √3

d) Con respecto a los números de los incisos anteriores, cuál de las siguientes afirmaciones es falsa y cuál verdadera. Si hay alguna falsa, reescribila para que sea verdadera. I.- Todos son números reales II.- Los números del inciso a) son todos naturales III.- Los números del inciso b) son todos racionales IV.- Al menos uno de los números del inciso c) es racional

Actividad 2 . Graficá los siguientes puntos del plano, en un mismo sistema de coordenadas:

A (-4;5) ; R (0;-3) ; D (5/2;2) ;M (4;-1/2) ; S (-1;0) Actividad 3 . Hallá la distancia entre los puntos: a) (- 1;2) y (3;5) b) (-1;3) y (1/3;4) c) (-3;6) y (1;-1) Indicá en cada caso a qué subconjunto de los números reales pertenece el resultado. Actividad 4 . Resolvé las siguientes ecuaciones:

a) 14

23 −=+x

x b) 3 (x + 1) = (1 + √2 ) 2

c) 21

22

37 −=−x

x d) ( )( ) ( ) yyyyy 24521 −−−=+−

Indicá, en cada caso, a qué subconjunto del conjunto de números reales pertenece el resultado. Actividad 5 . Dados los vectores a = (-2 ; 5) , b = ( 3, 4) y c = (2; - 1) , hallá:

a) El vector suma a + c b) El vector suma b + c

b) El vector (-1). a ¿Cómo se llama el vector obtenido?

c) El vector 3. c y el (-3). c

d) El vector 0,5. b

e) Representar gráficamente cada una de las situaciones anteriores, en gráficos independientes.

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Unidad 1 │ Conocimientos previos Problemas

Cátedra de Matemática Nº 2 “Enrich

Actividad 6

a) Indicá la medida de un ángulo decircular y en sistema sexagesimal

b) Expresa la medida de los siguientes ángulos en sistema circular o sexagesimal, según corresponda:

�

π rad;

c) ¿Cuál es la medida de un

d) ¿Cuál es la medida de un giro horario de

e) Si se dibujan consecutivamente tres ángulos de del ángulo resultante y cómo expresas el

Actividad 7 Dada las siguiente

Figura 1. Formada por una semicircunferencia cuyo radio mide 3 cm., por un rectángulo cuya base mide 8 cm y por un triángulo isósceles

a) Calcular el perímetrob) Calcular el área de ambas figuras

Actividad 8 Resolver los siguientes problemas.

a) La pelota mostrada tiene un

diámetro de 20cm. Hallar la distancia entre el punto P del piso y el centro de la pelota.

b) Desde el patio de una escuela, los ángulos de elevación para observar el pie y el extremo superior de un mástil ubicado sobre el edificio son de 45º y 60º respectivamente. Calcular la altura del edificio, si la longitud del mástil es de 3 m.

Nº 2 “Enrich -Creus-Carnicero”

Indicá la medida de un ángulo de un cuarto, medio, tres cuartos y un giro, circular y en sistema sexagesimal. Graficalos.

Expresa la medida de los siguientes ángulos en sistema circular o sexagesimal, según ; 60°; 120°; 0,5 rad.

medida de un giro antihorario de 2/3 de ¶, en grados sexagesimales?

a medida de un giro horario de 450° en sistema circular?

Si se dibujan consecutivamente tres ángulos de - 160° ; + 145° y -100°, cual es la medida del ángulo resultante y cómo expresas el sentido de giro que implica.

siguientes figuras:

Formada por una circunferencia cuyo radio mide 3

cuya base mide 8 isósceles.

Figura 2. Formada por una semicircunferencia cuyo radio mide 10 cm., por un rectángulo cuya 4 3 y por dos triángulos equiláteros.

Figura 3. Sabiendo que:

a = b = c = d = e = 10

α = β = 120

perímetro de cada una de ellas en cm. y en m. de ambas figuras en cm2 y en m2.

Resolver los siguientes problemas.

La pelota mostrada tiene un diámetro de 20cm. Hallar la distancia entre el punto P del piso

pelota.

Desde el patio de una escuela, los ángulos de elevación para observar el pie y el extremo superior de un mástil ubicado sobre el edificio son de 45º y 60º respectivamente. Calcular la altura del edificio, si la longitud del mástil es de 3 m.

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un cuarto, medio, tres cuartos y un giro, en sistema

Expresa la medida de los siguientes ángulos en sistema circular o sexagesimal, según

en grados sexagesimales?

?

100°, cual es la medida sentido de giro que implica.

Formada por una semicircunferencia cuyo radio mide 10 cm., por un rectángulo cuya altura mide

y por dos triángulos equiláteros.

Sabiendo que:

a = b = c = d = e = 10

α β = 120º

Desde el patio de una escuela, los ángulos de elevación para observar el pie y el extremo superior de un mástil ubicado sobre el edificio son de 45º y 60º respectivamente.


c) Al apoyar una escalera de 4 m. de largo sobre una de las paredes de un pasillo, la misma forma un ángulo de 30º con el piso. Apoyando la base de la escalera en el mismo lugar, se apoya ahora la misma en la otra pared, formando un ángulo de 45º con el piso. c.1. ¿Cuánto mide el ancho del pasillo? c.2. ¿A qué altura se apoya el extremo superior de la escalera en cada caso?


1. Introducción En este texto presentamos brevemente una revisión de conceptos desarrollados durante tu formación previa, en matemática y/o en física. En cada uno de los apartados te indicamos en qué tema del programa serán necesarios, respondiendo, luego del título, a la pregunta ¿Para qué? 2. Conjuntos numéricos ¿Para qué? Es un tema muy básico pero olvidado. Todo desarrollo de un programa de matemática requiere que conozcas los conjuntos numéricos y su forma de representación. Comenzaremos con un breve repaso de los conjuntos numéricos que ya conocés. En primer lugar, hablemos de los números naturales (N) , que son los números que nos sirven para contar y ordenar. Los elementos de este conjunto son:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} En algunas ocasiones, verás que se incluye al número “0” en el conjunto N. Esta es una cuestión sobre la que los matemáticos no nos ponemos de acuerdo aún. Para pensar:

Una operación con números se denomina cerrada cuando, al realizar el cálculo indicado entre los elementos de un conjunto, se obtiene como resultado un elemento que pertenece también al conjunto numérico en el que estoy trabajando. Entonces: ¿Cuáles son las operaciones cerradas en el conjunto N? ¿Cuáles no lo son?

Si a los naturales les agregamos sus opuestos y el “0”, surge otro conjunto de números, que son los números enteros (Z) :

Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} Para pensar:

Mencioná tres o cuatro situaciones de nuestra vida cotidiana en los que utilizamos los números enteros.

¿Cuáles son las operaciones cerradas en Z? ¿Cuáles no lo son? Hay situaciones en las que los números enteros no nos alcanzan. Cuando cortamos una pizza por ejemplo, el total nos queda dividido en distintas partes. Si la cortamos en 6 porciones, por ejemplo, decimos que cada una de ellas es un sexto del total. Así aparecen entonces los números fraccionarios. En el caso de la pizza decimos que:

1 = 66

es el total ; 61

es una porción ; 62

= 31

equivale a dos porciones, etc.

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Unidad 1 │ Conocimientos previos Apunte teórico


Cuando unimos los números enteros y los fraccionarios, surge el conjunto de los números racionales (Q) , se definen de la siguiente manera:

Q =

≠∈∈ 0b,Zb,Za,

ba

a es el numerador y b es el denominador, que no puede ser nulo. Una cuestión muy importante es que en una fracción, tanto el numerador como el denominador deben ser enteros. En definitiva, los números racionales son todos aquellos que pueden escribirse como fracción. Para pensar:

¿Hay números que no pueden escribirse como una fracción? ¿Todas las operaciones son cerradas en Q?

Cuando calculamos el perímetro de una circunferencia, cuando trabajamos con logaritmos, cuando calculamos raíces, etc. aparecen números que llamamos irracionales, porque no pueden expresarse como fracciones. Si llamamos I al conjunto de números irracionales, podemos definir por fin al conjunto de los números reales (R) :

R = Q ∪∪∪∪ I Los reales son los racionales unidos a los irracionales. Veamos ahora un mapa conceptual sobre el conjunto d e los números reales


Recta numérica real Es una representación geométrica del conjunto de números reales.

En ella, a cada uno de sus puntos le corresponde un número real y, recíprocamente, a cada número real le corresponde un punto de la Recta Numérica. Por eso se dice que la relación entre los números reales y una recta es BIUNÍVOCA. Para establecer esa relación es necesario, elegir un punto como 0 (cero) y otro como 1 (uno) de ese modo se ha elegido la unidad y queda establecida una relación entre cada punto de la recta y cada número real. Para pensar:

¿Cuántos números reales hay entre 1 y 2? ¿Y entre 1 y 1,1?

Si, en cambio, graficamos los números naturales o los enteros, se obtienen puntos:


Naturales

Enteros

Estos dos conjuntos numéricos son conjuntos discretos, mientras que R, es un conjunto continuo de números. 3. Puntos del plano coordenado ¿Para qué? Es un tema básico pero no siempre presente. Todo desarrollo de un programa de matemática requiere que conozcas los recursos para representar puntos y otros elementos geométricos, en el plano. Sistema de coordenadas cartesianas (de ejes coordenados xy) Trabajaremos con el sistema de ejes coordenados xy. Estos ejes, son rectas graduadas (rectas numéricas reales), perpendiculares entre sí, tales que una recta es horizontal y la otra vertical. El eje x es la recta horizontal y el eje y es la recta vertical. El punto de intersección entre ellas determina el origen del sistema: este es el punto donde x = 0 e y = 0. Recordarás que los valores de x van creciendo a medida que nos movemos hacia la derecha del origen y decrecen hacia la izquierda del mismo (región donde los valores de x son negativos), mientras que los valores de y crecen hacia arriba del origen y decrecen hacia abajo del mismo (donde los valores de y son negativos). Puntos del plano Los puntos se representan, en el plano coordenado, mediante pares ordenados (x;y). Es fundamental tener presente el orden:

− la primera coordenada es el valor de x − la segunda coordenada es el valor de y

A continuación, se muestra la gráfica de los puntos: (-2;1) ; (1;-1) ; (2;3)


Distancia entre puntos del plano Intentemos deducir la expresión que nos permite calcular la distancia entre dos puntos del plano. Tomemos para esto los puntos genéricos P1(x1;y1) y P

La figura muestra los puntos Pdistancia D entre ellos. Se han trazado, además, líneas verticales y horizontales que pasan por ambos puntos. Así, puede aplicarse el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo que ha quedado dibujado.

Los catetos miden (y2 – y1

hipotenusa es justamente la distancia D. Entonces:

122 xx(D −=

4. Ecuaciones ¿Para qué? Para que las recuerdes cuando necesites emplearlas en la resolución de problemas de diferentes temas del programa.Las ecuaciones nos permiten traducir enunciados del lenguaje cotidiano al lenguaje simbólico y esto nos ayuda a resolver problemas

Una ecuación es una igualdad entre expresiones, en las que pueden aparecer valores

Una cuestión fundamental a la hora de resolver ecuaciones, es el hecho de que, cualquieroperación que se realiza en un miembro de lComo ejemplo, despejemos


Distancia entre puntos del plano

Intentemos deducir la expresión que nos permite calcular la distancia entre dos puntos del plano. Tomemos para esto los

) y P2(x2;y2).

La figura muestra los puntos P1, P2 y la distancia D entre ellos. Se han trazado, además, líneas verticales y horizontales que pasan por ambos puntos. Así, puede aplicarse el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo que ha quedado

y1) y (x2 – x1) y la hipotenusa es justamente la distancia D.

212

21 )yy() −+ → 2

12 y()xx(D +−=

Esta es la expresión que buscábamos.

Para que las recuerdes cuando necesites emplearlas en la resolución de problemas de diferentes temas del programa. Las ecuaciones nos permiten traducir enunciados del lenguaje cotidiano al lenguaje

y esto nos ayuda a resolver problemas.

Una ecuación es una igualdad entre expresiones, en las que pueden aparecer valoresdesconocidos denominados incógnitas.

Una cuestión fundamental a la hora de resolver ecuaciones, es el hecho de que, cualquieroperación que se realiza en un miembro de la igualdad, debe realizarse también en el otro.Como ejemplo, despejemos m de la siguiente ecuación:

1154 3 =−m

FAU - UNLP 8 de 17

212 )yy −

Esta es la expresión que buscábamos.

Para que las recuerdes cuando necesites emplearlas en la resolución de

Las ecuaciones nos permiten traducir enunciados del lenguaje cotidiano al lenguaje

Una ecuación es una igualdad entre expresiones, en las que pueden aparecer valores

Una cuestión fundamental a la hora de resolver ecuaciones, es el hecho de que, cualquier a igualdad, debe realizarse también en el otro.


Una ecuación racional es aquella en la que la incógnita sólo tiene exponentes enteros y positivos. Únicamente trabajaremos con este tipo de eSegún cuál sea el mayor exponente (grado) al que esté elevada la incógnita, las ecuaciones racionales presentan las siguientes características:

Ejemplos:

a) Ecuación lineal: b) Ecuación cuadrática:

c) Ecuación cúbica:

La cantidad de soluciones reales es, Cuando una ecuación cuadrática queda expresada de la forma encuentran sus raíces aplicando la fórmula de Baskhara, según la cual:

Aplicándola al ejemplo de la ecuación dada en b) donde

Es decir z1= 3 y z2 = 2. 5. Nociones sobre vectores ¿Para qué? En este apartado, daremos elementos de la teoría de vectores que te resultarán útiles en transformaciones en el plano y en física. Vectores del plano y sus propiedades fundamentales


15115154 3 +=+−m

164 3 =m

4

164

4 3

=m

43 =m

33 3 4=m

3 4=m

es aquella en la que la incógnita sólo tiene exponentes enteros y rabajaremos con este tipo de ecuaciones.

exponente (grado) al que esté elevada la incógnita, las ecuaciones racionales presentan las siguientes características:

1153 −=+x puede expresarse: 2x + 17 = 0Ecuación cuadrática: 642 2 −=− zzz puede expresarse: z

4381 3434 +−=+− yyyyy puede expresarse: 2y

La cantidad de soluciones reales es, a lo sumo, igual al grado de la ecuación.

Cuando una ecuación cuadrática queda expresada de la forma axencuentran sus raíces aplicando la fórmula de Baskhara, según la cual:

aacbb

x2

42 −±−=

Aplicándola al ejemplo de la ecuación dada en b) donde: a = 1, b = - 5

12

61455 2

.

..)()(z

−−±−−=

5. Nociones sobre vectores

En este apartado, daremos elementos de la teoría de vectores que te resultarán útiles en transformaciones en el plano y en física.

sus propiedades fundamentales

FAU - UNLP 9 de 17

es aquella en la que la incógnita sólo tiene exponentes enteros y

exponente (grado) al que esté elevada la incógnita, las ecuaciones

puede expresarse: 2x + 17 = 0 puede expresarse: z2 - 5 z + 6 = 0

puede expresarse: 2y3 +81y -4 = 0

, igual al grado de la ecuación.

x 2 + bx + c = 0, se encuentran sus raíces aplicando la fórmula de Baskhara, según la cual:

y c = 6 resulta:

En este apartado, daremos elementos de la teoría de vectores que te resultarán


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El estudio de los vectores es uno de los tantos conocimientos de la matemática aplicación en la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman magnitudes escalares tamaño. Por el contrario, se consideran magnitudes vectoriales aquellas en las que,además, influyen la direcciónaplican. Como ejemplos de magnitudes escalares se temperatura, el volumen, etc.Como ejemplo de magnitudes vectoriales, la fuerza, la velocidad, la aceleración, etc. Cuando se plantea un movimiento no basta con decir cuánto se ha desplazado el móvil, sino que es preciso decir también en qué dirección y sentido ha tenido lugar el movimiento. No son los mismos los efectos de un movimiento de 100 km a partir de un punto si se hace hacia el norte o si se hace en dirección suroeste, ya que se llegaría a distinto lugar.determina la necesidad de utilizar un vector. Aunque el estudio matemático de los vectores tardó mucho en hacerse formalmente, en la actualidad tiene un gran desarrollo. lugar formal dentro de esta disciplina. Conceptos básicos sobre vectores en el plano Definiendo al vector. Un vector del plano es un segmento cuyos extremos están dados en un cierto orden (se suele decir que es un segmento orientado). Se representa por AB, siendo los extremos A y B. También se lo puede definir como un par ordenado de puntos.

Suele indicarse (A , B) = AB = a Elementos de un vector

− Punto de aplicación, en este caso, A− Dirección: representada por la recta que contiene sus puntos.− Sentido indicado por la punta de flecha en el extremo opuesto al punto de aplicación.− Módulo o intensidad: dado por la distancia entre A y B

Los puntos en los que empieza y termina un vector se llaman respectivamente. Algunas cuestiones sobre: módulo, d

El módulo de un vector AB se representa por


El estudio de los vectores es uno de los tantos conocimientos de la matemática en la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y

magnitudes vectoriales. Se llaman magnitudes escalares aquellas en que sólo influye su tamaño. Por el contrario, se consideran magnitudes vectoriales aquellas en las que,

influyen la dirección, el punto en el que están aplicadas y el sentido en que se

Como ejemplos de magnitudes escalares se pueden citar la masa de un cuerpo, la temperatura, el volumen, etc. Como ejemplo de magnitudes vectoriales, la fuerza, la velocidad, la aceleración, etc.

Cuando se plantea un movimiento no basta con decir cuánto se ha desplazado el móvil, sino iso decir también en qué dirección y sentido ha tenido lugar el movimiento. No

son los mismos los efectos de un movimiento de 100 km a partir de un punto si se hace hacia el norte o si se hace en dirección suroeste, ya que se llegaría a distinto lugar.determina la necesidad de utilizar un vector.

Aunque el estudio matemático de los vectores tardó mucho en hacerse formalmente, en la actualidad tiene un gran desarrollo. Fue a mediados del siglo XIX en que Hilbert le dio su lugar formal dentro de esta disciplina.

sobre vectores en el plano

del plano es un segmento cuyos extremos están dados en un cierto orden (se ue es un segmento orientado). Se representa por AB, siendo los extremos A y

B. También se lo puede definir como un par ordenado de puntos.

B) = AB = a como se ve en la figura anterior.

aplicación, en este caso, A Dirección: representada por la recta que contiene sus puntos. Sentido indicado por la punta de flecha en el extremo opuesto al punto de aplicación.Módulo o intensidad: dado por la distancia entre A y B

pieza y termina un vector se llaman origen y extremo

Algunas cuestiones sobre: módulo, d irección y sentido de un vector

de un vector AB se representa por AB y se lee «módulo de AB ».

FAU - UNLP 10 de

El estudio de los vectores es uno de los tantos conocimientos de la matemática de gran en la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y

aquellas en que sólo influye su tamaño. Por el contrario, se consideran magnitudes vectoriales aquellas en las que,

y el sentido en que se

pueden citar la masa de un cuerpo, la

Como ejemplo de magnitudes vectoriales, la fuerza, la velocidad, la aceleración, etc.

Cuando se plantea un movimiento no basta con decir cuánto se ha desplazado el móvil, sino iso decir también en qué dirección y sentido ha tenido lugar el movimiento. No

son los mismos los efectos de un movimiento de 100 km a partir de un punto si se hace hacia el norte o si se hace en dirección suroeste, ya que se llegaría a distinto lugar. Esto

Aunque el estudio matemático de los vectores tardó mucho en hacerse formalmente, en la mediados del siglo XIX en que Hilbert le dio su

del plano es un segmento cuyos extremos están dados en un cierto orden (se ue es un segmento orientado). Se representa por AB, siendo los extremos A y

Sentido indicado por la punta de flecha en el extremo opuesto al punto de aplicación.

extremo,

irección y sentido de un vector

y se lee «módulo de AB ».


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Si se lo indicara con una letra minúscula: v, su módulo se representa por «módulo de v ».

- Se dice que dos vectores tienen la misma pertenecen a rectas paralelas o a la misma recta.

- Dados dos vectores fijos AB y CD del plano que tengan la misma dirección, dada porrectas paralelas, se dice extremo del otro, los segmentos trazados se cortan (Fig. a) y tienen sentido contrario sise cortan (Fig. b)

AB y CD son de igual sentido y Para en el caso en que los dos vectores se encuentren ensean colineales), debe buscarse unque ambos. Si existe, se dice que los dos vectores tienen el mismo sentido. En otro caso, se dice que los dos vectores tienen sentido contrario.

Vector opuesto: Dado un vector a, su opuesto dirección y sentido contrario al de a.

Vectores iguales: Se dice que dos módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

Si AB y CD son iguales el cuadrilátero como dónde ABDC es un paralelogramo

OPERACIONES CON VECTORES

- SUMA DE VECTORES

Dados dos vectores del plano a y b, se define su

− Se elige un punto arbitrario del plano, O.

− Se traslada paralelamente

− Con origen en el extremo del trasladado de a

− El vector suma “ a + bdel trasladado de b, como se muestra en la figura.


Si se lo indicara con una letra minúscula: v, su módulo se representa por

dos vectores tienen la misma dirección si los segmentos que lospertenecen a rectas paralelas o a la misma recta.

ectores fijos AB y CD del plano que tengan la misma dirección, dada porrectas paralelas, se dice que tienen el mismo sentido si al unir origen de uno con elextremo del otro, los segmentos trazados se cortan (Fig. a) y tienen sentido contrario si

AB y CD son de igual sentido y EF y GH son de distinto sentido.

en el caso en que los dos vectores se encuentren en la misma, debe buscarse un vector en una recta paralela que tenga el mismo

dice que los dos vectores tienen el mismo sentido. En otro caso, se vectores tienen sentido contrario.

Dado un vector a, su opuesto -a tiene el mismo módulo, la misma contrario al de a.

Se dice que dos vectores son iguales o equipolentes módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

el cuadrilátero como se muestra en la fig. c, paralelogramo.

OPERACIONES CON VECTORES

Dados dos vectores del plano a y b, se define su suma como el vector libre construido así:

Se elige un punto arbitrario del plano, O.

traslada paralelamente el vector a, con origen en O.

el extremo del trasladado de a, se traslada paralelamente

b ” se obtiene uniendo el origen del trasladado de a con el extremo , como se muestra en la figura.

FAU - UNLP 11 de

Si se lo indicara con una letra minúscula: v, su módulo se representa por v y se lee

si los segmentos que los definen

ectores fijos AB y CD del plano que tengan la misma dirección, dada por si al unir origen de uno con el

extremo del otro, los segmentos trazados se cortan (Fig. a) y tienen sentido contrario si no

la misma recta (es decir, que recta paralela que tenga el mismo sentido

dice que los dos vectores tienen el mismo sentido. En otro caso, se

a tiene el mismo módulo, la misma

equipolentes si tienen el mismo

como el vector libre construido así:

se traslada paralelamente b.

del trasladado de a con el extremo


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Otra forma de sumarlos es usadesplazarlos de modo que sus orígenes coincidan y luego construir el paralelogramodeterminan para hallar el vector suma como mostramos a continuación.

Si se grafican en un sistema de coordecoincidiendo con el origen vector por medio de las coordenadas de su extremo.En ese caso, el vector suma es un vector cuyas componentes quedan definidas por la suma de las componentes de los vectores intervinientes. Veamos un ejemplo:

Sea a = (2; 4) y b = ( 1; -3)

entonces a + b = (2; 4) + (3;

- MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN NÚMERO REAL El producto entre un vector y un número real es otro vector cuyas componentes multiplicadas por dicho número Así por ejemplo, dado el vector(3;6). Si la situación se plantea gráficamente, en un sistema de coordenadascómo se indica en los siguientes dos ejemplos:

a) Dado u = (3;2) hallar :

b) Dado r = (4 ; 2) hallar


Otra forma de sumarlos es usando el método del paralelogramo. Para ello es necesariodesplazarlos de modo que sus orígenes coincidan y luego construir el paralelogramodeterminan para hallar el vector suma como mostramos a continuación.

Si se grafican en un sistema de coordenadas con su origen del mismo, se puede definir cada

vector por medio de las coordenadas de su extremo. En ese caso, el vector suma es un vector cuyas componentes

suma de las componentes de los

3)

(2; 4) + (3; - 1) = (3; 1)

MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN NÚMERO REAL

El producto entre un vector y un número real es otro vector cuyas componentes multiplicadas por dicho número

Así por ejemplo, dado el vector v = (1;2) , si se quiere hallar 3 . v , esteSi la situación se plantea gráficamente, en un sistema de coordenadas

cómo se indica en los siguientes dos ejemplos:

hallar : 1,5 . u. El resultado es v = (4,5 ; 3) -Fig. d

hallar: - 0,5 . r. El resultado es s = (-2 ; - 1) -Fig. e

FAU - UNLP 12 de

. Para ello es necesario desplazarlos de modo que sus orígenes coincidan y luego construir el paralelogramo que determinan para hallar el vector suma como mostramos a continuación.

El producto entre un vector y un número real es otro vector cuyas componentes quedan

, este es el vector u = Si la situación se plantea gráficamente, en un sistema de coordenadas se realiza

Fig. d -

Fig. e-


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Obsérvese que los vectores son sentido y si es negativo son de sentido opuesto. 6. Nociones básicas Esta rama de la matemática estudia las relaciones entre la longitud de los lados y la medida de los ángulos de un triángulo rectángulo.

Hablemos, en principio, acerca de los ángulos y sobre cómo medirlos.Cualquier par de rectas que se corten entre sí forman un ángulo. Por mayor comodidad, generalmente se los dibuja en el sistema de ejes cartesianos

A partir de esta última convención,

Ángulos orientados

Muchas veces es necesario indicar un ángulo con su medida y su sentido de giro. Estos ángulos se llaman ángulos


Obsérvese que los vectores son siempre colineales. Si el factor es positivo, son de igual sentido y si es negativo son de sentido opuesto.

básicas sobre trigonometría

Esta rama de la matemática estudia las relaciones entre la longitud de los lados y la medida ángulos de un triángulo rectángulo.

Hablemos, en principio, acerca de los ángulos y sobre cómo medirlos. Cualquier par de rectas que se corten entre sí forman un ángulo. Por mayor comodidad, generalmente se los dibuja en el sistema de ejes cartesianos “x

y”.

Un ángulo está en posición normalvértice coincide con el origen de coordenadas, y su lado inicial está apoyado sobre el semieje positivo de las x. Los ángulos comienzan a medirse desde este semieje, en sentido anti-horario, que se considera como el sentido “positivo” de medida.

A partir de esta última convención, definimos el concepto de ángulo orientado

Muchas veces es necesario indicar un ángulo con su medida y su sentido de giro. Estos ángulos orientados Asignaremos al sentido antihorario de giro, signo

FAU - UNLP 13 de

siempre colineales. Si el factor es positivo, son de igual

Esta rama de la matemática estudia las relaciones entre la longitud de los lados y la medida

Cualquier par de rectas que se corten entre sí forman un ángulo. Por mayor comodidad,

posición normal cuando su vértice coincide con el origen de coordenadas, y su lado inicial está apoyado sobre el semieje positivo

Los ángulos comienzan a medirse desde este horario, que se considera

como el sentido “positivo” de medida.

orientado

Muchas veces es necesario indicar un ángulo con su medida y su sentido de giro. Estos Asignaremos al sentido antihorario de giro, signo


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positivo y al sentido horario de giro, signo negativo. Para indicarlo gráficamente arcos orientados. Teniendo en cuenta lo dich

Ángulo positivo Ángulo negativo Sistemas de medición Generalmente estamos acostumbrados a medir ángulos en el decir, en grados. Como recordarás, si damos una vuelta completa, habremos dibujado un ángulo de 360º, media vuelta equivale a 180º, etc., etc.Positivo. Además, un ángulo puede medirse en radianes. Recordemos la definición de radián

Tomemos una circunferencia centrada en el origen del sistema de coordenadas. Un radián es la medida del ángulo circunferencia, un arco AB de longitud

Para determinar cuántos radianespor el radio de la circunferencia:

Como el cociente entre dos longitudes es un número abstracto, ¡resulta que la medida de un ángulo en radianes es un número! La palabra indica la cantidad de veces que el radio está contenido en el arco respectivo. Ejemplos:

Si =radα 2 rad, significa que el radio está contenido dos veces en el arco

Si =radβ 0,5 rad, significa que sólo la mitad del radio está contenido en el arco

Estas medidas podrían expresarse, simplemente como:

Como la medida de los ángulos en radianes es en realidad un unidad adecuada para graficar las funciones trigonométricas.

α


positivo y al sentido horario de giro, signo negativo. Para indicarlo gráficamente arcos orientados. Teniendo en cuenta lo dicho previamente.

Ángulo positivo Ángulo negativo

Generalmente estamos acostumbrados a medir ángulos en el sistema sexagesimaldecir, en grados. Como recordarás, si damos una vuelta completa, habremos dibujado un

ulo de 360º, media vuelta equivale a 180º, etc., etc.

e medirse en radianes.

definición de radián :

Tomemos una circunferencia centrada en el origen del sistema de coordenadas. Un es la medida del ángulo α cuyos lados inicial y terminal determinan sobre la

circunferencia, un arco AB de longitud r (radio de la circunferencia).

α = 1 rad si

radianes mide un ángulo se divide la longitud del arco que abarca por el radio de la circunferencia:

radio del longitudarco del longitud=radα

Como el cociente entre dos longitudes es un número abstracto, ¡resulta que la medida de un ángulo en radianes es un número! La palabra “radián” que acompaña a ese número nos indica la cantidad de veces que el radio está contenido en el arco respectivo.

rad, significa que el radio está contenido dos veces en el arco

ignifica que sólo la mitad del radio está contenido en el arco

Estas medidas podrían expresarse, simplemente como: =radα 2 y radβComo la medida de los ángulos en radianes es en realidad un númerounidad adecuada para graficar las funciones trigonométricas.

β

FAU - UNLP 14 de

positivo y al sentido horario de giro, signo negativo. Para indicarlo gráficamente se usan

sistema sexagesimal , es decir, en grados. Como recordarás, si damos una vuelta completa, habremos dibujado un

Tomemos una circunferencia centrada en el origen del sistema de coordenadas. Un cuyos lados inicial y terminal determinan sobre la

(radio de la circunferencia).

= 1 rad si ____

AB = r

mide un ángulo se divide la longitud del arco que abarca

Como el cociente entre dos longitudes es un número abstracto, ¡resulta que la medida de un “radián” que acompaña a ese número nos

indica la cantidad de veces que el radio está contenido en el arco respectivo.

rad, significa que el radio está contenido dos veces en el arco

ignifica que sólo la mitad del radio está contenido en el arco

=rad 0,5

número, se constituyen en la


17

Por lo dicho, resulta que un ángulo de un giro (es decir, una vuelta completa) es igual a 2radianes (ó 6,2831… radián), porque la longitud del arco que abarca es, como ya dijimos, 2πr. Entonces:

Ejemplos de equivalencias entre un sistema y otro:

Siendo 1º y 1 radián las unidades de medidas de los sistemas mencionados: ¿cuál es el ángulo equivalente de las mismas en el otro sistema de medida?

En primer lugar, pasemos 1º a radianes con una regla de tres simple:

Ahora, averigüemos cuánto vale 1 radián, en grados:

2π

Conversión de un sistema a otro

Ya hemos visto que 1 giro =

2π ∝� �

A partir de este razonamiento, si se conoce

Razones trigonométricas

Seguramente recordarás las razones trigonométricas que se definen para un triángulo rectángulo. Tomemos como ejemplo el ángulo tangente (tan) de un ángulo

hipotenusa

catetosen =α

cateto=αcos

cateto

cateto=αtan

Las otras tres funciones trigonométricas son recíprocas de estas tres, o sea:

Cotangente: �� ∝ ��

��


Por lo dicho, resulta que un ángulo de un giro (es decir, una vuelta completa) es igual a 2radianes (ó 6,2831… radián), porque la longitud del arco que abarca es, como ya dijimos,

2ππππ radianes equivale a 360º

Ejemplos de equivalencias entre un sistema y otro:

Siendo 1º y 1 radián las unidades de medidas de los sistemas mencionados: ¿cuál es el ángulo equivalente de las mismas en el otro sistema de medida?

lugar, pasemos 1º a radianes con una regla de tres simple:360º → 2π 1º → 017,0

º3602º.1 ≅π radianes

Ahora, averigüemos cuánto vale 1 radián, en grados: π rad → 360º

1 rad → º296,572

º360.1 ≅rad

rad

π

sistema a otro

Ya hemos visto que 1 giro = 2π = 360º por lo tanto:

π → 360º

� � → ∝ º

A partir de este razonamiento, si se conoce ∝� � se calcula ∝ º y recíprocamente

Razones trigonométricas

Seguramente recordarás las razones trigonométricas que se definen para un triángulo rectángulo. Tomemos como ejemplo el ángulo α y definamos seno tangente (tan) de un ángulo :

c

a

hipotenusa

opuestocateto =

c

b

hipotenusa

adyacentecateto =

b

a

adyacentecateto

opuestocateto =


�

�� ∝ / Secante: �� ∝ �

�

�� ∝ / Cosecante:

∝��

�ππππ =

∝ º

!"#º

FAU - UNLP 15 de

Por lo dicho, resulta que un ángulo de un giro (es decir, una vuelta completa) es igual a 2π radianes (ó 6,2831… radián), porque la longitud del arco que abarca es, como ya dijimos,

Siendo 1º y 1 radián las unidades de medidas de los sistemas mencionados: ¿cuál es el

lugar, pasemos 1º a radianes con una regla de tres simple:

º y recíprocamente.

Seguramente recordarás las razones trigonométricas que se definen para un triángulo (sen), coseno (cos) y


osecante: ��$%� ∝ ��

$%� ∝


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Teorema fundamental de la

Puede demostrarse que para todo ángulo se verifica: se IMPORTANTE!!!!

Si bien hemos definido las funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo para sus ángulos agudos, estas Generalmente se grafican en un sistema de coordenadas cartesianas.

RECORDEMOS que los ejes coordenados dividen al plano en cuatro regiones, denominadas cuadrantesen la figura, siendo:

− Primer cuadrante (0º; 90º− Segundo cuadrante (90º; 180º) − Tercer cuadrante (180º; 270º− Cuarto cuadrante (270º; 360º)

En un sistema de coordenadas, denominaremos "x"; al catetohipotenusa la designaremos

Estas expresiones son válidas para todos los cuadrantes, pero es preciso considerar, en cada uno de ellos, el signo de “x” y de “y” además de tener en cuenta que “r” es SIEMPRE positivo. Esto significa que el signo de las funciones depende, solamente, del signo que tengan x e y. De ahí que las razones trigonométricas sepertenezca el ángulo.

1er cuadrante 2do cuadrante 3er cuadrante 4to cuadrante

Nota: los ángulos señalados son lado final Rt.

Con respecto al signo de las funciones trigonométricas, p

− Primer cuadrante: son todas positivas.− Segundo cuadrante− Tercer cuadrante: son positivas la tangente y la cotangente.


Teorema fundamental de la trigonometría (asociado al teorema de Pitágoras)

Puede demostrarse que para todo ángulo se verifica: sen2ß + cos2 ß = 1

Si bien hemos definido las funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo para sus ángulos agudos, estas definiciones tienen validez para cualquier ángulo plano. Generalmente se grafican en un sistema de coordenadas cartesianas.

os ejes coordenados dividen al plano en cuatro regiones, denominadas cuadrantes, que se numeran como se muestra

(0º; 90º. Segundo cuadrante (90º; 180º) Tercer cuadrante (180º; 270º Cuarto cuadrante (270º; 360º)

En un sistema de coordenadas, el cateto adyacente se ubica sobre el eje"; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos "

designaremos "r" y siempre es positiva. Entonces:

Estas expresiones son válidas para todos los cuadrantes, pero es preciso considerar, en el signo de “x” y de “y” además de tener en cuenta que “r” es SIEMPRE

Esto significa que el signo de las funciones depende, solamente, del signo que

De ahí que las razones trigonométricas serán positivas o negativas, según a qué


Nota: los ángulos señalados son orientados, esto significa que tienen un

al signo de las funciones trigonométricas, puede verificarse que en:

son todas positivas. Segundo cuadrante: son positivas el seno y la cosecante.

son positivas la tangente y la cotangente.

FAU - UNLP 16 de

(asociado al teorema de Pitágoras)

ß = 1

Si bien hemos definido las funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo para sus definiciones tienen validez para cualquier ángulo plano.

os ejes coordenados dividen al plano en cuatro , que se numeran como se muestra

l cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo , lo llamaremos "y". A la

Estas expresiones son válidas para todos los cuadrantes, pero es preciso considerar, en el signo de “x” y de “y” además de tener en cuenta que “r” es SIEMPRE

Esto significa que el signo de las funciones depende, solamente, del signo que

rán positivas o negativas, según a qué cuadrante


esto significa que tienen un lado inicial Ri y un

uede verificarse que en:

Cátedra de Matemática Nº 2 “Enrich -Creus-Carnicero” FAU - UNLP 17 de

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− Cuarto cuadrante: son positivas el coseno y la secante.

Te proponemos que analices los signos con tus compañeros y con tu docente.

cm.2 enrich – creus – carnicero nivel 1 · veamos ahora un mapa conceptual sobre el conjunto de...

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