CLASE Nº 1 Ángulos y Polígonos

Aprendizajes esperados:

• Transformar la medida de un ángulo a los distintos sistemas de medición.

• Clasificar los ángulos según su medida.

• Reconocer relaciones angulares.

• Clasificar polígonos de acuerdo al número de lados.

• Identificar propiedades generales de los polígonos.

• Aplicar las propiedades de los polígonos en la resolución de ejercicios.

• Identificar propiedades en polígonos regulares.

1. Ángulos1.1 Definición

1.2 Sistemas de Medición

1.3 Transformación de una unidad a otra

1.4 Clasificación

1.5 Relaciones angulares

1.6 Ángulos entre paralelas

2. Polígonos2.1 Definición

2.2 Clasificación

2.3 Generalidades

Ángulos y Polígonos

1. Ángulos1.1 Definición

Un ángulo está formado por la intersección de dos rayos y se mide positivamente en sentido contrario a los punteros del reloj.

Para nombrarlos, se utilizan las letras del alfabeto griego (,…) o números (1, 2, 3, 4…) en el interior del ángulo.

En la figura, = AOB = 1

1.2 Sistemas de medición• Sistema Sexagesimal:

La circunferencia es dividida en 360 partes iguales. Cada una de estas partes corresponde a un grado sexagesimal (1°). Cada grado se divide en 60 partes iguales llamadas minutos y cada minuto se divide en otras 60 partes iguales llamadas segundos.

Ver más en la página 200 del Libro.

• Sistema Centesimal:La circunferencia es dividida en 400 partes iguales. Cada una de estas partes corresponde a un grado centesimal o gradian (g).

• Sistema Circular:En este sistema de medición, la unidad es el radián (rad).

1.3 Transformación Para transformar ángulos de un sistema a otro, consideremos la siguiente relación:

360° = 2(radianes) = 400g (gradianes)

Ejemplo:

Usando proporciones o “regla de tres simple”, se obtienen las siguientes equivalencias:

Como 360° = 2 rad, entonces: 180° = rad

90° = /2 rad

En el cuadrado de la figura (1), los ángulos están expresados en grados sexagesimales, y en el cuadrado de la figura (2), en radianes.

360° = 2270° = x

Al resolver la proporción

Se obtiene que: x = 3/2 rad.

Fig.1 Fig.2

Los ángulos de clasifican según su medida en:

0 < Agudo < 90°

Ejemplos:

15°, 39°, 58°, 75°, 88°, etc.

1.4 Clasificación de ángulos en el Sistema Sexagesimal

Recto = 90°

90 < Obtuso < 180°

Ejemplos:

92°, 125°, 100°, 112°, 179°, etc.

Extendido = 180°

180° < Cóncavo < 360°

Ejemplos:

181°, 190°,250°, 327, etc.

Completo = 360°

1.5 Relaciones AngularesÁngulos Congruentes: Son aquellos que tienen la misma medida.

Ángulos Complementarios: Son aquellos cuya suma es 90°.

Ejemplos: 28° y 62° son complementarios.

28° es el “complemento” de 62° y a su vez,

62° es el “complemento” de 28°.

Ángulos Suplementarios: Son aquellos cuya suma es 180°.

Ejemplo: 126° y 54° son suplementarios.

126° es el “suplemento” de 54° y a su vez,

54° es el “sumplemento” de 126°.

Ejemplos:

El suplemento de 30º es 150º. El suplemento de 0º es 180º.El suplemento de ε es (180º – ε).

Ángulos Adyacentes: Son aquellos que tienen un lado común y los otros dos sobre la misma recta.

Ángulos Opuestos por el vértice: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

1.6 Ángulos entre paralelasCuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, se forman ocho ángulos, de los cuales, algunos son congruentes (poseen igual medida).

Ver páginas 203 y 204 del Libro.

En la imagen, si L1//L2 y L3 es una transversal, se forman ocho ángulos, éstos corresponden a un ángulo y su suplemento que se repiten.

(93° + 87° = 180°)

Propiedades de ángulos entre rectas paralelas

a) En las siguiente figura, se cumple que:

( L1 // L2 )

= β

b) En la siguiente figura, se cumple que:

= w + y

β = x + z

Puedes aplicar estas propiedades resolviendo los ejercicios del libro, página 210.

( L1 // L2 )

2. Polígonos2.1 Definición

Es toda figura plana, cerrada, limitada por un número finito de lados rectos.

De acuerdo al número de lados, los más utilizados se clasifican en:

Triángulos 3 lados

Cuadriláteros 4 lados

Pentágonos 5 lados

Hexágonos 6 lados

Octágonos 8 lados…

2.2 Clasificación de Polígonos• Polígonos Regulares

Se denomina Polígono regular a aquel que tenga todos sus lados y ángulos interiores iguales.

Ejemplos:

El triángulo Equilátero

El Cuadrado

• Polígonos IrregularesSon aquellos que NO son regulares, es decir, no cumplen una o ambas condiciones de los polígonos regulares.

Ejemplos:

El rectángulo

El rombo

• Polígonos ConvexosSon aquellos polígonos que poseen todos sus ángulos interiores menores a 180°.

Ejemplo:

• Polígonos CóncavosSon aquellos polígonos que poseen, al menos, un ángulo interior que mide más de 180°.Ejemplo:

Al menos un segmento que une un par de puntos de la región interior del polígono, no está enteramente incluido en dicha región.

Todo segmento que une a dos puntos de la región interior del polígono, está enteramente

incluido ella.

2.3 Generalidades en un Polígono de “n” lados• Número de diagonales desde un vértice (d)

Por ejemplo, en un octágono:

Si n es el número de lados de un polígono, entonces el total de diagonales que se pueden trazar desde uno de sus vértices es:

d = n - 3

d = 5

• Número Total de diagonales (D)Si n es el número de lados de un polígono, entonces el total de diagonales que se pueden trazar es:

D = n (n – 3)

2

Por ejemplo, en un pentágono, el total de diagonales es:

D = 5 (5 – 3)

2

D = 5

• Suma de los ángulos interiores (Si)Si n es el número de lados de un polígono, entonces la suma de los ángulos interiores es:

Si = 180° (n – 2)

Si = 180° ∙ (5 – 2)

Si = 180° ∙ (3)

Si = 540°

Por ejemplo, en un pentágono, la suma de sus ángulos interiores es:

• Suma de los ángulos exteriores (Se)La suma de los ángulos exteriores es siempre 360°.

Se = 360°

Puedes profundizar lo visto anteriormente con tu libro, desde la página 200 a la 209 y practicar con los ejercicios de las páginas 210 a la 214.