secuencia 21 los polígonos y sus ángulos internos de...eje forma, espacio y medida. tema formas...

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secuencia 21

sesin 1

Los polgonos y sus ngulos internos

En esta secuencia determinars una frmula para calcular la suma de los ngulos internos de un polgono.

TRinGULOs en POLGOnOsPara empezarUn polgono es una figura geomtrica cerrada y plana formada por lados rectos. Como los siguientes:

La palabra polgono viene de las palabras griegas poli que significa muchos y gonos que significa ngulos.

Un polgono es convexo si cada uno de sus ngulos internos mide menos de 180 y sus lados no se cruzan.

Observen los siguientes pentgonos y comenten: Cules son convexos y cules no?

Consideremos lo siguientea) Para cada uno de los siguientes polgonos convexos, tomen uno de los vrtices y,

desde ese vrtice, tracen todas las diagonales del polgono.

R s T V

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Propsito de la sesin. Dividir un polgono convexo en tringulos cuya suma de las medidas de sus ngulos internos sea igual a la suma de las medidas de los ngulos internos del polgono.

Propsito de la actividad. Que los alumnos recuerden qu es un polgono y que identifiquen los polgonos convexos. Es importante que estos trminos queden claros, porque los utilizarn durante toda la secuencia.

Respuestas. El pentgono S tiene un ngulo de ms de 180 y el pentgono T tiene dos lados que se cruzan, por lo que no son convexos.

Sugerencia didctica. Si lo considera necesario recuerde a los alumnos que la diagonal es el segmento que une 2 vrtices no consecutivos.

Enfatice a los alumnos que deben tomar slo uno de los vrtices para trazar las diagonales.

Propsito del interactivo. Explorar la triangulacin de polgonos.

Eje

Forma, espacio y medida.

Tema

Formas geomtricas.

Antecedentes

En las secuencias 3 y 4 de Matemticas I, los alumnos buscaron regularidades que pudieran expresarse mediante frmulas o de manera algebraica. En las secuencias 4, 5 y 6 Matemticas II, exploraron la medicin de ngulos y justificaron las relaciones entre las medidas de los ngulos internos de los tringulos y paralelogramos.

En esta secuencia se espera que los alumnos continen explorando ciertas regularidades, en este caso en la suma de las medidas de los ngulos internos de un polgono, y que puedan expresar tales regularidades mediante una frmula.

Propsitos de la secuencia Establecer una frmula que permita calcular la suma de los ngulos interiores de cualquier polgono.

Sesin Propsitos de la sesin Recursos

1

Tringulos en polgonos Dividir un polgono convexo en tringulos cuya suma de las medidas de sus ngulos internos sea igual a la suma de las medidas de los ngulos internos del polgono.

Video Triangulaciones simples

de los polgonos convexos Interactivo

ngulos interiores de un polgono

2

Una frmula para la suma de los ngulos internos Deducir una frmula para calcular la suma de los ngulos internos de un polgono.

Interactivo ngulos interiores

de un polgono Aula de medios

Medicin de permetros y ngulos

(Geometra dinmica) Programa integrador 16

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IIMATEMTICAS

Cuadriltero Hexgono

Octgono Dodecgono

El procedimiento anterior es una manera de dividir un polgono convexo en tringulos. Comparen sus trazos y comenten en cuntos tringulos qued dividido cada polgono.

b) Completen la tabla con el nmero de lados de cada polgono y el nmero de tringu-los en los que qued dividido.

Polgono Nmero de lados Nmero de tringulos

Cuadriltero

Hexgono

Octgono

Dodecgono

c) Qu relacin hay entre el nmero de lados de cada polgono y el nmero de trin-

gulos en los que qued dividido?

d) En cuntos tringulos quedar dividido un enegono?

e) En cuntos tringulos quedar dividido un polgono de n lados?

Comparen y comenten sus respuestas.

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Sugerencia didctica. Mientras los equipos resuelven, usted puede trazar las figuras en el pizarrn para que posteriormente un miembro de cada equipo pase a trazar las diagonales en una de las figuras. Es importante que los equipos comparen sus respuestas y lleguen a un acuerdo antes de que resuelvan la tabla del inciso b). No es necesario que todos hayan tomado el mismo vrtice.

Propsito de la actividad. Que los alumnos identifiquen la siguiente regularidad: el nmero de tringulos que se obtiene en cada figura es igual al nmero de lados de la figura menos 2. As, el nmero de tringulos en el que puede dividirse un polgono de n lados es n 2.

Respuestas.

c) El nmero de tringulos es el nmero de lados menos 2.

d) En 7.

e) En n 2.

4 2

6 4

8 6

12 10


Propsito de la actividad. Que los alumnos identifiquen las caractersticas del tipo de triangulacin que se propone: todas las diagonales salen de un solo vrtice.

Sugerencia didctica. Es posible que algunos alumnos hayan hecho triangulaciones como las que aqu se presentan, por ello es importante que usted enfatice que la triangulacin que se les pide es aquella en la que todas las diagonales salen de un mismo vrtice.

Sugerencia didctica. Las triangulaciones que se hacen tanto en el enegono 1 como en el enegono 2 arrojan un mismo nmero de tringulos (7); aclare a los alumnos que la triangulacin que cumple con la condicin de que todas las diagonales salen de un mismo vrtice es la del enegono 2.

Propsito de la actividad. Que los alumnos identifiquen la relacin entre el nmero de lados y el nmero de diagonales de un polgono, y entre el nmero de lados y el nmero de tringulos en que se divide un polgono.

62

secuencia 21

Manos a la obrai. En los siguientes enegonos se trazaron diagonales para dividirlos en tringulos.

a) En cul de los enegonos se utiliz el procedimiento descrito en el apartado

Consideremos lo siguiente para dividirlo en tringulos?

Comparen sus respuestas.

ii. Las figuras muestran la divisin de un heptgono en tringulos trazando sus diago-nales desde un vrtice.

a) Completen el siguiente texto.

En la figura 1 la diagonal PB dividi al heptgono en un tringulo y en un hexgono.

En la figura 2 la diagonal PC dividi al hexgono en un y en un pentgono.

En la figura 3 la diagonal PD dividi al pentgono en un tringulo y un

En la figura 4 la diagonal PE dividi al en dos tringulos.

b) Cuntas diagonales se pueden trazar desde el punto P?

c) Observen que por cada diagonal que se traza se forma un tringulo y la ltima diagonal forma dos tringulos En cuntos tringulos qued dividido el hept-gono?

Enegono 1 Enegono 2 Enegono 3

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

P

aB

c

D

e F

P

aB

c

D

e F

P

aB

c

D

e F

P

aB

c

D

e F

MAT2 B3 S21.indd 62 9/10/07 12:33:34 PM

Enegono 2

5

tringulo

cuadrilterocuadriltero

4


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IIMATEMTICASComparen sus respuestas y comenten:

a) Si se trazan desde un vrtice las diagonales de un polgono de 10 lados, cuntas diagonales se obtienen?

b) En cuntos tringulos quedar dividido?

III. Completen la siguiente tabla.

Polgono Nmero de lados del polgono

Nmero de diagonales desde

uno de sus vrtices

Nmero de tringulos en los

que qued dividido

Tringulo 3 0 1Cuadriltero 4Pentgono 5Hexgono 6Heptgono 7Octgono 8Enegono 9Decgono 10Endecgono 11Dodecgono 12Icosgono 20

Polgono de n lados n

Comparen sus resultados.

A lo que llegamosEl nmero de tringulos en los que se puede dividir un polgono convexo es igual al nmero de lados del polgono menos dos. Por ejemplo, un polgono convexo de 15 lados se puede dividir en 13tringulos.

IV. Las siguientes figuras muestran los pasos de la divisin de un pentgono en tringu-los trazando las diagonales desde el vrtice C.

B

A

E

D

C

B

A

E

D

C

B

A

E

D

C

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Propsito del interactivo. Explorar la relacin entre el nmero de lados de un polgono y el nmero de tringulos en que se puede dividir.

Propsito de la actividad. Que analicen la relacin que hay entre los datos de las 3 columnas y que logren establecer:

Para un polgono de n lados, el nmero de diagonales desde uno de sus vrtices es igual a n 3.

Para un polgono de n lados, el nmero de tringulos en los que queda dividido es igual a n 2.

Sugerencia didctica. Lea y comente esta informacin con sus alumnos y pdales que dibujen un ejemplo en su cuaderno.

1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 17 18 n 3 n 2


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secuencia 21Observen que esta divisin del pentgono tiene las siguientes caractersticas:

(1) Los vrtices de los tringulos son vrtices del pentgono.

(2) Juntando todos los ngulos de todos los tringulos se obtienen todos los ngulos del pentgono.

a) Cules de las siguientes divisiones en tringulos del endecgono cumplen con las caractersticas (1) y (2)?

b) Verifiquen que estas caractersticas se cumplen para las divisiones que realizaron en los polgonos del apartado Consideremos lo siguiente.

Cules son triangulaciones simples? y


Triangulaciones simples de los polgonos convexos

Divisin 1 Divisin 2 Divisin 3

Dodecgono Octgono Endecgono

Un polgono convexo se puede dividir en tringulos cuyos vrtices sean vrtices del polgono y tales que la suma de las medidas de sus ngulos internos sea igual a la suma de las medidas de los ngulos internos del polgono. A esta forma de dividir un polgono en tringulos le llamaremos triangulacin simple del polgono.

Lo que aprendimos1. Observa las siguientes triangulaciones de polgonos.

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Sugerencia didctica. Asegrese de que los alumnos hagan esta verificacin, para ello pdales que marquen los ngulos internos en cada uno de los polgonos del apartado Consideremos lo siguiente.

Sugerencia didctica. Apoye a los alumnos para que tengan presente la caracterstica de la triangulacin simple: que la su suma de las medidas de los ngulos internos de los tringulos es igual a la suma de las medidas de los ngulos internos del polgono. Es importante que puedan identificar y expresar esta caracterstica, pues a partir de ella obtendrn la frmula de la suma de las medidas de los ngulos internos de un polgono.

Si lo considera necesario reproduzca los tres endecgonos en el pizarrn y muestre en los casos 2 y 3 cmo los ngulos internos de los tringulos coinciden con los ngulos internos de los polgonos.

Descripcin del video. Se muestra cules son los polgonos convexos y cules los cncavos. Se dan ejemplos de esas figuras y se muestran las triangulaciones de varios polgonos distintos a los que se vieron en la sesin.

Propsito de la actividad. Que los alumnos identifiquen una caracterstica importante del tipo de triangulacin que han trabajado: la suma de las medidas de los ngulos internos de los tringulos en que se dividi el polgono es igual a la suma de las medidas de los ngulos internos del polgono. A la triangulacin que cumple con esta caracterstica se le denomina triangulacin simple.

2 3


65

IIMATEMTICASa) Tacha la que no sea una triangulacin simple.

b) Cul de las triangulaciones simples se obtuvo trazando las diagonales desde un

mismo vrtice?

2. En cuntos tringulos se pueden dividir cada uno de los siguientes polgonos con

una triangulacin simple? . Haz las triangulaciones correspondientes.

3. Haz una triangulacin simple del siguiente hexgono, pero que no se obtenga trazan-do las diagonales desde un mismo vrtice.

UnA FRMULA PARA LA sUMA De LOs nGULOs inTeRnOsEn la secuencia 4 de tu libro de Matemticas II, volumen I, aprendiste que la suma de los ngulos internos de un tringulo es igual a 180.

sesin 2

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Propsito de la sesin. Deducir una frmula para calcular la suma de los ngulos internos de un polgono.

Sugerencia didctica. Con ayuda de las ilustraciones que aqu se muestran, apoye a sus alumnos para que recuerden lo que hicieron en la secuencia 4 para justificar que la suma de los ngulos internos de un tringulo, es igual a 180. Es importante que los alumnos tengan clara esta afirmacin para que logren establecer la frmula para la suma de los ngulos internos de un polgono.

Propsito de la sesin en aula de medios. Medir longitudes y ngulos con las herramientas de geometra dinmica.

Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesin 2.


Propsito de la actividad. Se espera que al completar la tabla los alumnos puedan identificar que la suma de los ngulos internos del polgono, es igual al nmero de tringulos en que se dividi el polgono, por la suma de los ngulos internos del tringulo; es decir, la suma de las medidas de los ngulos internos de un polgono de n lados se puede calcular con la expresin (n 2)180.

Propsito del interactivo. Deducir una frmula para calcular la suma de los ngulos internos de un polgono.

66

secuencia 21

Consideremos lo siguienteContesten las siguientes preguntas sobre los ngulos internos de distintos polgonos convexos

Polgono Nmero de lados del polgono

Nmero de tringulos en los

que qued dividido

Suma de los ngulos internos del

polgono

Tringulo 3Cuadriltero 4Pentgono 5Hexgono 6Heptgono 7Octgono 8Enegono 9Decgono 10Endecgono 11Dodecgono 12Icosgono 20

Escriban una expresin que sirva para calcular la suma de las medidas de los ngulos

internos de un polgono convexo de n lados.

Comparen sus respuestas. Si es necesario verifquenlas haciendo triangulaciones simples

de los polgonos convexos.

Manos a la obrai. Triangulen de forma simple los siguientes pentgonos.

a) En cuntos tringulos quedaron divididos cada uno de los pentgonos?

Y

Z

V

W X

u

QT

s R

P

O

n

M

MAT2 B3 S21.indd 66 9/10/07 12:33:36 PM

1 180 2 360 3 540 4 720 5 900 6 1080 7 1260 8 1440 9 1620 10 1800 18 3240

En tres tringulos


67

IIMATEMTICASb) Por qu la siguiente expresin no sirve para calcular la suma de las medidas de

los ngulos internos de los pentgonos?

5 (180)

II. Dibujen un dodecgono convexo y trianglenlo de forma simple.

III. Completen la siguiente expresin para calcular la suma de las medidas de los ngulos internos del dodecgono convexo que dibujaron.

(180) =

Comparen sus respuestas y comenten:

La suma de las medidas de los ngulos internos de un cuadriltero convexo no puede

ser igual a 420. Estn de acuerdo con esta afirmacin? Por qu?

MAT2 B3 S21.indd 67 9/10/07 12:33:37 PM

Propsito de la actividad. Estos ejercicios permiten que los alumnos se apropien de la frmula de tal manera, que puedan tanto calcular la suma de los ngulos internos de un polgono, como determinar si una medida corresponde a la suma de los ngulos internos de un polgono dado.

Porque son 3 tringulos, no 5. (El nmero de tringulos se calcula con la frmula n 2 )

10 1800


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secuencia 21

A lo que llegamosLa suma de los ngulos internos de un polgono convexo de n ladosse puede calcular con la expresin:

(n 2) 180

Regresen al apartado Consideremos lo siguiente y verifiquen sus respuestas utilizando la frmula (n 2) 180.

iV. Contesten las siguientes preguntas

a) Si la suma de los ngulos internos de un polgono es 1 260, cuntos lados tiene

el polgono?

b) Es posible que la suma de los ngulos internos de un polgono sea 1 130?

Justifiquen sus respuestas.


Lo que aprendimos1. Se sabe que la suma de los ngulos internos de un polgono es igual a 900. Elijan los

polgonos a los cuales se hace referencia.

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Sugerencia didctica. Pida a los alumnos que apliquen la expresin algebraica para verificar las respuestas que vieron en el problema inicial.

Posibles procedimientos. Una forma de resolver es seguir el camino inverso:

Dividir 1260 180, y al resultado sumarle 2. Esto mismo se puede plantear con una ecuacin

(n 2)180 = 1260

n 2 = 1260 180

n 2= 7 + 2

n = 9

Si ningn alumno plantea la ecuacin, hgalo usted.

9

no

Integrar al portafolios. Considere los problemas de este apartado para evaluar los aprendizajes de sus alumnos. Los tres problemas que aqu se proponen implican el dominio de la frmula para determinar la suma de los ngulos internos de un polgono; por ello, en caso de que identifique dificultades en los alumnos, revise nuevamente con ellos las relaciones que existen entre el nmero de lados de un polgono, el nmero de tringulos en que puede dividirse, la suma de los ngulos internos (tabla del apartado Consideremos lo siguiente) y la frmula que expresa tales relaciones (apartado A lo que llegamos de esta sesin).

Respuesta. Los polgonos que cumplen con esa condicin son los heptgonos. Una forma de resolverlo es planteando una ecuacin como la anterior.


69

IIMATEMTICAS2. Determinen la suma de los ngulos internos de un polgono de 235 lados.

3. La suma de los ngulos internos de un polgono es de 2 700, cuntos lados tiene el

polgono?

4. Para conocer ms sobre los ngulos internos de polgonos y las triangulaciones sim-ples pueden ver el programa Los polgonos y sus ngulos internos.

Para saber ms

Sobre los polgonos y sus ngulos, consulten en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch, Carlos y Claudia Gmez. Nombres de los polgonos en Una ventana a las formas. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

De la Pea, Jos Antonio. Geometra y el mundo. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

MAT2 B3 S21.indd 69 9/10/07 12:33:38 PM

41940

17

Propsito del programa integrador 16. Mostrar mediante ejemplos como se obtiene la frmula para calcular la suma de los ngulos internos de polgonos convexos.

Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y das de transmisin.


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secuencia 22

sesin 1

Mosaicos y recubrimientos

En esta secuencia conocers las caractersticas de algunos polgonos que permiten cubrir el plano.

RecubRimientos del planoPara empezarQue no quede nada sin cubrir

La reproduccin de figuras geomtricas se ha utilizado para cubrir superficies planas creando hermosos diseos que adornan casas, pirmides, templos y tumbas. Tambin es comn ver estos recubrimientos en telas, pinturas, tapetes y otros accesorios.

Es posible que estos recubrimientos hayan sido copiados de la reproduccin de figuras en las bellezas naturales ya que en la naturaleza se pueden encontrar muchos patrones de este tipo.

Las figuras que se pueden reproducir una y otra vez para cubrir cualquier superficie plana sin que se encimen ni dejen huecos, para formar diseos como los anteriores son figuras que sirven para cubrir el plano.

Comenten la pregunta

En alguno de los diseos, las figuras se enciman o dejan huecos?; en cules?

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Propsito de la sesin. Conocer las caracters-ticas de los polgonos regulares que permiten cubrir el plano.

Materiales. Tijeras, papel y transportador.

Descripcin del video. Se dan ejemplos de recubrimientos y mosaicos en construcciones y objetos diseados por el hombre a lo largo de la historia. Se muestran patrones que hay en la naturaleza tales como los que encontramos en los panales de las abejas y en las cscaras de la pia. Adems, se dan las condiciones necesarias para hacer un recubrimiento con una sola figura geomtrica. Al final se presentan ejemplos de los recubrimientos que se encontrarn a lo largo de la secuencia

Propsito de la sesin en el aula de medios. Cubrir el plano con diferentes polgonos regulares.


Sugerencia didctica. Ayude a los alumnos a precisar las condiciones que se establecen: no debe quedar una figura sobre la otra y no deben quedar espacios vacos. Enfatice estas dos caractersticas.

Eje

Forma, espacio y medida.

Tema

Formas geomtricas.

Antecedentes

En el primer grado de la educacin secundaria, los alumnos estudiaron la simetra con respecto a una recta y algunas propiedades de polgonos regulares como la medida de sus ngulos interiores y del ngulo central. En esta ocasin se espera que los alumnos utilicen los conocimientos que tienen sobre las propiedades de las figuras, para que puedan argumentar qu tipo de figuras regulares e irregulares permiten cubrir el plano. As mismo, se espera que aprecien y disfruten de las cualidades estticas de ciertos diseos geomtricos

Propsitos de la secuencia Conocer las caractersticas de los polgonos que permiten cubrir el plano

y realizar recubrimientos del plano.


1Recubrimientos del plano Conocer las caractersticas de los polgonos regulares que permiten cubrir el plano.

Video Que no quede nada sin cubrir

Interactivo Cubrimientos del plano

Aula de medios Recubrimiento del plano

(Geometra dinmica)

2Los recubrimientos con polgonos irregulares Identificar por qu los tringulos y los cuadrilteros son figuras con las que se puede cubrir el plano.

Interactivo Cubrimientos del plano

3Algunas combinaciones Crear recubrimientos del plano combinando diferentes tipos de polgonos.

Interactivo Cubrimientos del plano Programa integrador 17


71

IIMATEMTICASConsideremos lo siguienteRecorten los polgonos regulares del anexo Recortables 1. Polgonos regulares. Reproduz-can cada polgono en su cuaderno, como se muestra en la siguiente ilustracin, y traten de construir algunos diseos cuidando que los polgonos no se encimen y no dejen huecos.

a) Cules de los polgonos regulares que recortaron sirven para cubrir el plano?

b) Creen que haya otros polgonos regulares que sirvan para cubrir el plano?

Cules?


Manos a la obraI. Utilicen el pentgono regular que recortaron y reprodzcanlo de tal manera que los

pentgonos compartan el vrtice F, que no se encimen y que compartan un lado con el pentgono vecino.

F

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Propsito del interactivo. Explorar con cules polgonos regulares se puede cubrir un plano.

Sugerencia didctica. Es importante que los alumnos trabajen en equipos para que renan sus figuras geomtricas y puedan llevar a cabo la actividad. Sugirales que cada uno elija un polgono y lo reproduzca 4 o 5 veces; pueden calcar la figura y luego recortarla.

En caso de que tengan dudas sobre cmo cubrir el plano, analice junto con ellos la ilustracin que se muestra como ejemplo.

Respuesta. Las figuras con las que se puede cubrir el plano son: el tringulo equiltero, el cuadrado y el hexgono regular.

En caso de que se presenten respuestas distintas, invite a los alumnos a que argumenten sus respuestas; ms adelante podrn verificarlas

Propsito de la actividad. Que los alumnos descubran que la medida de los ngulos internos de los polgonos regulares da informacin para determinar si un polgono regular sirve para recubrir el plano o no. Por ello, es importante que los alumnos reproduzcan el pentgono tomando en cuenta el punto F, esto les permitir percatarse de que si se coloca tres pentgonos, queda un espacio que no se puede cubrir, y de que al intentar colocar un cuarto pentgono, se encima con los otros.


Sugerencia didctica. Asegrese de que realicen el mismo ejercicio utilizando cualquier otro vrtice del pentgono, con la finalidad de que logren identificar que en ninguno de los vrtices es posible acomodar los pentgonos sin que dejen huecos o sin que se encimen.

Sugerencia didctica. Insista en que la condicin de rodear completamente un vrtice se debe de cumplir para cualquiera de los vrtices y que no es una caracterstica especial del vrtice que se propone. 72

secuencia 22a) Cuntos pentgonos que cumplan con las condiciones pedidas se pueden colocar?

b) Cunto mide cada uno de los ngulos internos del pentgono regular?

c) Cunto suman las medidas de los ngulos internos de los pentgonos que estn

alrededor del vrtice F?

d) Cunto mide el ngulo que falta por cubrir para rodear el vrtice F?

Comparen sus respuestas y comenten, sucede lo mismo con cualquier vrtice de los pentgonos regulares? Por qu?

ii. Utilicen el hexgono regular que recortaron y reprodzcanlo de tal manera que los hexgonos compartan el punto e como vrtice, que no se encimen y que no dejen huecos.

a) Cuntos hexgonos regulares que cumplan con las condiciones pedidas lograron

colocar?

b) Cunto mide cada uno de los ngulos internos del hexgono regular?

c) Cunto suman las medidas de los ngulos que comparten el punto e como vr-

tice?

Comparen sus respuestas y comenten, si elijen cualquier otro vrtice de los hexgonos regulares que reprodujeron, y realizan la misma actividad, suceder lo mismo que con el vrtice e? Por qu?

e

MAT2 B3 S22.indd 72 9/10/07 12:34:54 PM

3

36

108

3

360

120


73

IIMATEMTICASIII. Realicen el mismo ejercicio con cada uno de los polgonos regulares que recortaron.

Traten de colocarlos de manera que no se encimen y que no dejen huecos.

a) Completen la siguiente tabla:

Nmero de lados del polgono regular

Medida de cada uno de los ngulos internos del

polgono regular

Resultado de dividir 360 entre la medida de un ngulo interno del

polgono regular

El polgono regular sirve para cubrir

el plano?

3

4

5

6

7

8

9

10

b) Para cules polgonos regulares el resultado de dividir 360 entre la medida de un

ngulo interno es un nmero entero?

c) Coinciden los polgonos que sirven para cubrir el plano con los polgonos que dan

un nmero entero en est divisin?

Justifiquen su respuesta.


A lo que llegamosDe los polgonos regulares, slo el tringulo, el cuadrado y el hexgono sirven para cubrir el plano, pues es posible acomodar los ngulos de estas figuras alrededor de cada vrtice para que formen un ngulo de 360. Para estos polgonos, el resultado de la divisin de 360 entre la medida de uno de sus ngulos internos es un nmero entero.

Los ngulos internos de los dems polgonos regulares no se pueden colocar de tal manera que formen un ngulo de 360. Pues el resultado de la divisin de 360 entre la medida de uno de sus ngulos internos no es un nmero entero.

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Sugerencia didctica. Proponga a los alumnos que cada uno de ellos trabaje con uno o dos polgonos distintos y que despus compartan con el equipo lo que observaron. Una vez que todos estn de acuerdo con la forma en que se cubre el plano completan la tabla que se les propone.

Sugerencia didctica. Apoye a los alumnos en el anlisis de la tabla para que identifiquen que los polgonos que sirven para cubrir el plano, cumplen con la condicin de que la medida de cada uno de sus ngulos internos es divisor de 360.

Sugerencia didctica. Lea y comente con sus alumnos la informacin que aqu se les presenta; apyese en la tabla para ejemplificar las caracte-rsticas que tienen los polgonos que s pueden cubrir un plano.

60 6 S

90 4 S

108 3.33 No

120 3 S

128.57 2.8 No

135 2.66 No

140 2.57 No

144 2.5 No


74

secuencia 22

Lo que aprendimos1. Elije un polgono regular y recubre una hoja de papel blanca; colorea de distintas

formas cada polgono para que construyas diferentes diseos y monta junto con tus compaeros una exposicin con lo que obtengas. Por ejemplo, los siguientes diseos se construyeron a partir de recubrir el plano con tringulos equilteros y lo que los hace diferentes es la coloracin.

los RecubRimientos con polgonos iRRegulaResPara empezarCada uno de los siguientes diseos se construy reproduciendo un mismo polgono.

sesin 2

En cada diseo las figuras no se enciman, no dejan huecos entre ellas y se pueden repro-ducir en cualquier direccin tanto como se quiera hacer crecer el diseo. se dice que estas figuras sirven para recubrir el plano.

Comenten qu polgono se utiliza para construir cada uno de los diseos.

Diseo 1 Diseo 2

Diseo 1 Diseo 2 Diseo 3 Diseo 4

MAT2 B3 S22.indd 74 9/10/07 12:34:56 PM

Integrar al portafolios. En el caso del diseo 4 sugiera a los alumnos que tracen la diagonal menor de los rombos, para que puedan identificar los tringulos a partir de los cuales se form este diseo.

Organice junto con los alumnos una exposicin para que puedan compartir sus creaciones.

Propsito de la sesin. Identificar por qu los tringulos y los cuadrilteros son figuras con las que se puede cubrir el plano.

Materiales. Tijeras, papel, lpices de colores y transportador.

Respuesta. El del diseo 1 es un hexgono, el del 2 es un pentgono, los dos son irregulares.

Sugerencia didctica. Solicite a los alumnos que resalten en cada diseo cul fue la figura base con la que se construy.


Respuesta. Con el hexgono C no se puede cubrir el plano

Sugerencia didctica. Es recomendable que los alumnos trabajen en equipo, pues as tendrn ms piezas para construir recubrimientos ms grandes.

75

IIMATEMTICASConsideremos lo siguienteUno de los siguientes polgonos irregulares no sirve para cubrir el plano.

Tringulo A Cuadriltero B Hexgono C

Tringulo D Cuadriltero E

a) Cul polgono es el que no sirve para cubrir el plano?

Por qu?

Comparen sus respuestas y recorten los polgonos irregulares del anexo Recortables 2. Polgonos irregulares. Verifiquen cul de ellos no sirve para recubrir el plano.

Manos a la obraI. Las siguientes ilustraciones muestran

dos formas de acomodar las reproduc-ciones del cuadriltero E. Reproduz-can cada uno de los diseos en una hoja y continenlos sin dejar huecos y sin encimar.

Diseo 1

E

MAT2 B3 S22.indd 75 9/10/07 12:34:57 PM

Propsito del interactivo. Explorar cundo los polgonos irregulares sirven para cubrir el plano.


76

secuencia 22a) Con cul de los dos diseos lograron

colocar el mayor nmero de cuadri-lteros sin dejar huecos ni encimar?

b) Con cul de los diseos podran se-guir colocando cuadrilteros sin que se encimen y sin que dejen huecos?

c) En cada uno de los diseos sobre-pongan un cuadriltero en los mar-cados con la letra E. Si desplazan y giran el cuadriltero sin levantarlo, en cul de los diseos pueden llevar el cudriltero E a uno de sus vecinos? Diseo 2


ii. El siguiente diseo se hizo reproduciendo el tringulo a.

1

234

5

6

R

E

MAT2 B3 S22.indd 76 9/10/07 12:34:57 PM

Sugerencia didctica. Apoye a los alumnos para que reflexionen sobre la manera de transformar un cuadriltero en otro: si toman uno de los cuadrilteros como base, cmo lo moveran para llegar desde l hasta los que tiene alrededor?

En el 2

En el 2


77

IIMATEMTICASa) En los tringulos 2, 3, 4, 5 y 6, marquen de rosa todos los ngulos iguales al n-

gulo rosa del tringulo 1; de la misma forma marquen los que son azules y los que son verdes.

b) Cuntos ngulos rosas comparten el vrtice R?

c) Cuntos ngulos azules comparten el vrtice R?

d) Cuntos ngulos verdes comparten el punto R?

e) Cunto suman las medidas de los ngulos que comparten el punto R como vr-

tice?

f) Elijan otro vrtice, llmenlo S y marquen los ngulos que lo comparten, cunto

suman las medidas de los ngulos que comparten el vrtice S?


III. Con el mismo tringulo A se construy el siguiente recubrimiento; comenten por qu no es posible completarlo sin dejar huecos y sin que los tringulos se encimen.

a) Cunto suman las medidas de los ngulos que comparten el punto P como vrti-

ce y que son ngulos internos de los tringulos?

b) Cunto mide el ngulo que falta por cubrir?

P

MAT2 B3 S22.indd 77 9/10/07 12:34:57 PM

Sugerencia didctica. Pida a los alumnos que midan los ngulos internos del tringulo A y que anoten sus medidas; esto les permitir elaborar despus argumentos sobre la posibilidad de cubrir el plano con esta figura.

Sugerencia didctica. Cada uno de los ngulos que comparten el vrtice P mide 39, pero es probable que los alumnos tomen la medida y piensen que son 40. Si algn alumno comete este error de medicin, en su respuesta debe poner que la suma de los ngulos internos es igual a 360, pero entonces puede hacerle notar que no tendra que haber un espacio en blanco.

2

2

2

360

360

351

9


78

secuencia 22

a

B

c

a

B

c

Todos los tringulos sirven para recubrir el plano sin dejar huecos ni encimarse.

Por ejemplo, para recubrir con el tringulo ABC se puede girar el tringulo de manera que el vrtice A coincida con el vrtice C; despus, girarlo de manera que el vrtice B coincida con el vrtice C. Los tres ngu-los forman un ngulo de 180. Esto se debe a que en todo tringulo las medidas de sus ngulos internos suman 180.

Repitiendo este proceso se completa un ngulo de 360 alrededor del vrtice C.

El tringulo ABC se puede continuar reproduciendo hasta cubrir cualquier superficie plana.

c) Es posible colocar otro tringulo morado para terminar de rodear el punto P sin

que se encime con los otros tringulos? Por qu?

A lo que llegamos

iV. El siguiente recubrimiento se construy con el cuadriltero B. Marquen de rojo, rosa, caf y azul los ngulos que comparten el vrtice T.

12

3

4

5T

MAT2 B3 S22.indd 78 9/10/07 12:34:59 PM

no

Sugerencia didctica. Pida a los equipos que utilicen el tringulo A y el tringulo D para hacer, cada uno, un diseo como el que se muestra.


79

IIMATEMTICASa) Cuntos cuadrilteros comparten el punto T como vrtice?

b) Cuntos ngulos de cada color comparten el punto T como vrtice?

c) Elijan otro vrtice de cualquiera de los cuadrilteros, cuntos ngulos de cada

color comparten ese vrtice?

A lo que llegamosTodos los cuadrilteros convexos sirven para recubrir el plano sin dejar huecos ni encimar-se. En la figura el cuadriltero ABCD se gira de manera que el vrtice D coincida con el vrtice C. Despus se gira de manera que el vrtice B coincida con el vrtice C. Y Despus se gira de manera que el vrtice A coincida con el vrtice C. Los cuatro ngulos del cuadri-ltero forman un ngulo de 360.

A

B

D

C

A

B

D

C

A

B

D

Esto se debe a que las medidas de sus ngulos internos suman 360.

El cuadriltero ABCD se puede continuar reproduciendo hasta cubrir cualquier superficie plana.

V. Dibujen y recorten un cuadriltero irregular en cartulina, marquen los puntos medios de sus lados y reprodzcanlo en una hoja blanca como se muestra en las fotos.

Comparen sus reproducciones y comenten: Creen que este mtodo funcione para formar recubrimientos de cualquier superficie plana con cualquier cuadriltero?, El mtodo funcionar con tringulos?

MAT2 B3 S22.indd 79 9/10/07 12:35:24 PM

Sugerencia didctica. Lea y comente esta informacin con los alumnos, apyese en los casos que se dieron para ejemplificar las caractersticas de estas figuras (Manos a la obra I, II ), tambin puede recurrir al caso de la actividad III como contraejemplo de un caso en el que se utilizan tringulos pero en el que no se cumple una de las condiciones.

4

1 de cada lado

1 de cada lado

Otorgue la palabra a distintos alumnos, incluyendo a los que no levanten la mano.


Respuestas.

a) Si se considera el ngulo de 120, caben hasta 3 hexgonos.

b) La suma de las medidas depende de la manera en que se acomoden los hexgonos.

Sugerencia didctica. Es importante que los alumnos justifiquen sus respuestas con base en los elementos estudiados durante la sesin.

Propsito de la sesin. Crear recubrimientos del plano combinando diferentes tipos de polgonos.

Sugerencia didctica. Apoye a los alumnos para que identifiquen, en cada uno de los diseos, cul es el polgono con el que, por s solo, s se puede cubrir el plano.

80

secuencia 22Vi. Pinten un punto en su cuaderno y llmenlo Q. Reproduzcan el hexgono c alrededor

del punto Q, sin que se encimen y sin que dejen huecos.

a) Cuntos hexgonos comparten el punto Q como vrtice?

b) Cunto suman las medidas de los ngulos que comparten el punto Q como vr-

tice?

Regresen al apartado Consideremos lo siguiente y revisen sus respuestas.

Lo que aprendimos1. Traza un paralelogramo. Este paralelogramo servir para recubrir el plano?

Justifica tu respuesta.

2. Un crculo sirve para recubrir el plano? Justifica tu respuesta.

3. Crea tus propios diseos de recubrimientos del plano y arma con tus compaeros una exposicin en tu saln. Pueden hacer un concurso y votar por el que ms les guste.

algunas combinacionesPara empezarAlgunos polgonos regulares que no sirven para recubrir el plano se pueden combinar con otros polgonos para cubrir el plano sin que se encimen ni dejen huecos.

En cada diseo las figuras no se enciman, no dejan huecos entre ellas y los diseos pue-den seguir creciendo tanto como se quiera. Estas combinaciones de figuras sirven para recubrir el plano.

sesin 3

Diseo 1 Diseo 2

MAT2 B3 S22.indd 80 9/10/07 12:35:24 PM

S

No


Propsito del programa integrador 17. Mostrar cmo se realizan recubrimientos del plano con algunos polgonos y enunciar las caractersticas que permiten hacerlo.


81

IIMATEMTICASLo que aprendimos1. Anota en el siguiente pentgono las medidas de sus ngulos

internos.

El pentgono anterior sirve para recubrir el plano?

Justifica tu respuesta.

2. En el siguiente diseo se estn combinando dos figuras, un heptgono regular y un octgono irregular, cunto miden los ngulos internos del octgono irregular?

3. Con qu polgono puedes combinar el octgono regular para construir un diseo que recubra el plano? Construye un diseo en una hoja blanca y compralo con los de tus compaeros.

4. Para conocer ms ejemplos de polgonos que permiten cubrir el plano pueden ver el programa Mosaicos y recubrimientos.

Para saber msSobre recubrimientos de superficies planas, consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch, Carlos y Claudia Gmez. La miel de los hexgonos y Recubrimiento en Una ventana a las formas.Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

Para crear recubrimientos consulta:http://www.interactiva.matem.unam.mx/teselados/html/tesela.html[Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007].Proyecto Universitario de Enseanza de la Matemticas Asistida por Computadora (PUEMAC), UNAM.

Explora las actividades Mosaicos y creacin del interactivo Cubrimientos del plano.

MAT2 B3 S22.indd 81 9/10/07 12:35:25 PM

Propsito del interactivo. Mostrar otros polgonos que permiten cubrir el plano.

Mostrar cmo se pueden transformar algunos polgonos en otros que cubran el plano.

Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a los ejercicios 1 y 2. Si tienen dificultades repasen la informacin del apartado A lo que llegamos.

Respuesta.

1. Pida a los alumnos que acompaen su justificacin con un recubrimiento del plano en el que utilicen slo al pentgono indicado.

S

60

150

90 90

150

102.5

102.5

231.42

231.42


82

secuencia 23

sesin 1

Las caractersticas de la lnea recta

En esta secuencia estudiars el comportamiento de grficas lineales de la forma y = mx + b, al modificar los valores de m y de b.

Pendiente y ProPorcionalidadPara empezarComo viste en la secuencia 32 de tu libro de Matemticas i, volumen ii, la grfica aso-ciada a una expresin de la forma y = kx est formada por puntos localizados sobre una lnea recta que pasa por el origen.

Consideremos lo siguienteEn un estado de la Repblica Mexicana se realiz una competencia de caminata. Se to-maron los registros de tres de los competidores y se grafic la distancia recorrida y el tiempo que cada competidor tard en recorrerla.

La competencia tuvo un recorrido total de 60 kilmetros y los competidores fueron siempre a velocidad constante.

Tiempo en horas

Dis

tan

cia

en k

ilm

etro

s

60

55

50

45

40

35

30

25

20

15

10

5

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

Competidor A

Competidor B

Competidor C

x

y(6

, 60)

(15,

60)

(10,

60)

MAT2 B3 S23.indd 82 9/10/07 12:37:40 PM

Propsito de la sesin. Determinar el efecto de la pendiente en expresiones de la forma y = mx donde la ordenada al origen es cero, es decir, en relaciones de proporcionalidad.

Propsito de la actividad. En esta sesin los alumnos estudiarn el concepto de pendiente en una familia de rectas que pasa por el origen. Sabiendo que los alumnos han tenido mltiples acercamientos a las relaciones de proporcionali-dad directa, se pretende que sus conocimientos al respecto les sirvan para aprender los propsitos de esta secuencia. Por ejemplo: saben que la velocidad constante es una situacin en la que las cantidades se relacionan de manera directamente proporcional y que la grfica de una relacin de proporcionalidad directa es una lnea recta que pasa por el origen. Ahora vern que a mayor velocidad, mayor ngulo de inclinacin de la recta con respecto al eje x.

Propsito de la sesin en el aula de medios. Construir la grfica de ecuaciones de la forma y = mx y analizar los efectos que se producen al cambiar el valor de la pendiente m.


Eje

Manejo de la informacin.

Tema

Representacin de la informacin.

Antecedentes

Los alumnos han representado a la variacin lineal mediante grficas y han analizado algunas de sus caractersticas. Ahora se pretende que determinen cmo cambian las rectas al modificar los valores de m o de b. Es decir, se estudiar qu sucede con una familia de rectas que tienen la misma ordenada al origen pero distinta pendiente, y qu sucede con una familia de rectas que tienen la misma pendiente pero distinta ordenada al origen.

Propsitos de la secuencia Anticipar el comportamiento de grficas lineales de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de b mientras el valor de m

permanece constante. Analizar el comportamiento de grficas lineales de la forma y = mx + b, cuando cambia el valor de m, mientras el valor de b permanece constante.


1

Pendiente y proporcionalidad Determinar el efecto de la pendiente en expresiones de la forma y = mx donde la ordenada al origen es cero, es decir, en relaciones de proporcionalidad.

Aula de medios Rectas que "crecen" (Calculadora)

Qu grficas crecen ms rpido? (Calculadora)

2Las pendientes negativas Determinar el efecto de la pendiente negativa en expresiones de la forma y = mx donde la ordenada al origen es cero.

Aula de medios Grficas que "decrecen" (Calculadora)

Interactivo Ecuacin de la recta

y = mx + b

3La ordenada al origen Establecer qu pasa con una familia de rectas que tienen la misma pendiente y distinta ordenada al origen.

Video Rectas paralelas

Interactivo Ecuacin de la recta

y = mx + b Aula de medios

Analizando grficas de rectas (Calculadora) Un punto importante en una recta (Calculadora)

4

Miscelnea de problemas y algo ms Anticipar el comportamiento de una familia de rectas que tienen la misma ordenada al origen pero distinta pendiente y de familias de rectas que tienen la misma pendiente y distinta ordenada al origen.

Programa integrador 18


83

IIMATEMTICASa) En qu lugar llegaron los competidores y en cuanto tiempo termin cada uno la caminata?

Competidor A lugar Competidor A horas

Competidor B lugar Competidor B horas

Competidor C lugar Competidor C horas

b) Qu velocidad alcanz el competidor que gan la competencia?


En una telesecundaria dijeron que el competidor B lleg en primer lugar porque el seg-

mento de recta rojo es el ms largo, estn de acuerdo? Justifiquen su respuesta.

Manos a la obraI. Con ayuda de la grfica anterior completen las siguientes tablas para

encontrar las velocidades a las que fueron los competidores A, B y C.

Tiempo(horas)

Distancia recorrida (en kilmetros)

Tiempo(horas)

Distancia recorrida (en kilmetros)

60 60

1 1

Tabla del competidor A Tabla del competidor B

a) Qu velocidad alcanz el competidor A?

b) Qu velocidad alcanz el competidor B?

c) Qu velocidad alcanz el competidor C?

d) Cul de las siguientes expresiones algebraicas permite en-

contrar la distancia recorrida y por el competidor A en el tiem-po x? Subryenla.

y = 6x

y = 60x

y = x

e) Cul es la expresin algebraica que permite encontrar la dis-

tancia recorrida y por el competidor B en el tiempo x?

f) Cul es la expresin algebraica que permite encontrar la distancia recorrida y por el competidor C en el tiempo x?


Recuerden que:

Si la velocidad es constante,

entonces la distancia y el

tiempo son cantidades directa-

mente proporcionales y la

constante de proporcionalidad

es la velocidad.

Recuerden que:

La expresin algebraica asociada a

una relacin de proporcionalidad

directa es de la forma

y = kx

donde k es la constante de propor-

cionalidad.

Tiempo(horas)

Distancia recorrida(en kilmetros)

60

1

Tabla del competidor C

MAT2 B3 S23.indd 83 9/10/07 12:37:41 PM

Posibles dificultades. Quiz algunos alumnos piensen que el marchista B fue el ganador de la carrera porque la recta que representa su recorrido es la que avanza ms hacia la derecha con respecto al eje x. Si ocurre, permtales continuar resolviendo la sesin, ms adelante podrn corregirlo.

Sugerencia didctica. Si alguno de los alumnos escribe una expresin como 10 km/h pregnte-les cmo se lee y qu significa.

Sugerencia didctica. Pida a varios alumnos que contesten la pregunta y que argumenten su respuesta. Puede ser til trazar la grfica en el pizarrn para que expliquen cul creen que es la recta del competidor que lleg en primer lugar.

Propsito de la actividad. Al encontrar la distancia que cada competidor recorri en una hora (valor unitario) se pretende que los alumnos sepan cul fue el ganador de la carrera. El competidor C recorri 10 kilmetros por hora, con lo que pudo terminar los 60 km que dur la carrera en 6 horas y es por lo tanto, el ganador.

Sugerencia didctica. Anote en el pizarrn las expresiones y analicen cada una. La expresin correcta es aquella en la que la distancia (y ) se obtiene multiplicando cada hora (x ) por 6 (ya que recorre 6 km en una hora).

Si los alumnos no estn seguros de cul es la correcta, propngales que las prueben. Segn los datos de la tabla, el competidor A en 10 horas recorre 60 km; entonces, explqueles que cuando x vale 10 debe obtenerse y = 60, y pdales que prueben cada expresin.

segundo 10

tercer 15

primer 6 10km/h

10 15 6 4

6 10

6km/h

4km/h

10km/h

y = 4x

y = 10x


Posibles dificultades. Algunos alumnos tienen dificultades al medir ngulos porque no saben cmo utilizar el transportador. Pdales que saquen su transportador y que lo comparen con el de sus compaeros. Explqueles que hay transportadores que slo muestran 180 y otros (los circulares) que muestran los 360. Con ambos se puede medir cualquier ngulo. Ahora pdales que observen la escala del transportador. Por lo general, los transportadores tienen la escala para medir ngulos en dos sentidos (de derecha a izquierda y de izquierda a derecha). Cuando quieran medir un ngulo pueden utilizar cualquiera de estos dos sentidos, pero siempre empezando por el cero.

Usted puede trazar varios ngulos en el pizarrn para explicar cmo se miden con el transporta-dor. Luego pase a algunos alumnos a medir otros de los ngulos que traz.

Sugerencia didctica. Es importante que los alumnos midan cuidadosamente los ngulos, sin embargo, es posible que existan pequeos errores en la medicin o en el trazo de las rectas. Si en el grupo los alumnos obtienen varias medidas cercanas para un mismo ngulo, lleguen a un acuerdo sobre cul es la que van a considerar para que todos tengan lo mismo.

Despus pdales que expliquen, primero de manera oral y luego por escrito en sus cuadernos, quin fue el competidor que gan la carrera y por qu. Cuando terminen pida a tres o cuatro alumnos que lean lo que escribieron y pregunte al resto del grupo si alguien puso cosas distintas. Si ninguno escribi algo como a mayor ngulo mayor velocidad, vuelvan a esta discusin una vez que hayan ledo el siguiente A lo que llegamos.

Respuestas.

a) 80.

b) 76.

c) 84.

84

secuencia 23

ii. Con su transportador midan cada uno de los ngulos que forma cada una de las rectas

respecto al eje x.

a) ngulo de inclinacin respecto al eje x de la recta correspendiente al competidor

A =

b) ngulo de inclinacin respecto al eje x de la recta correspendiente al competidor

B =

c) ngulo de inclinacin respecto al eje x de la recta correspendiente al competidor

C =


El competidor D no pudo participar en la caminata porque estaba lesionado. En el si-guiente plano cartesiano se presenta la recta correspondiente a registros obtenidos por el competidor D en una caminata anterior.

Para medir el ngulo de inclinacin de una lnea recta que pasa por el origen respecto al eje x, se hace lo siguiente:1. Se coloca el centro del transportador en el origen

(punto (0,0)).2. Contamos los grados en el transportador desde la parte

derecha del eje x hasta el grado en que el transportador es cruzado por la recta.

3. El nmero en que la recta cruza el transportador es el ngulo de inclinacin de la recta respecto al eje x.

Por ejemplo, en la figura 1, la recta la recta y = x tiene un ngulo de inclinacin de 45 respecto al eje x.

Tiempo en horas

Dis

tan

cia

en k

ilm

etro

s

60

55

50

45

40

35

30

25

20

15

10

5

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

Competidor D

x

y(1

2,60

)

45

Recta y = x

Figura 1

MAT2 B3 S23.indd 84 9/10/07 12:37:43 PM


85

IIMATEMTICASa) Cul es el ngulo de inclinacin respecto al eje x de la recta correspondiente al com-

petidor D?

b) En qu lugar habra quedado el competidor D?

c) Si la recta correspondiente a un competidor E tiene un ngulo de inclinacin respec-

to al eje x de 45 y la recta correspondiente a un competidor F tiene una ngulo de

inclinacin respecto al eje x de 50. Cul de los dos competidores lleg primero?

Cul de los competidores fue a mayor velocidad?

Usen el plano anterior para graficar y verificar sus respuestas.

A lo que llegamosLas grficas que representan expresiones de la forma y = kx son lneas rectas que pasan por el origen. En estas expresiones, el nmero k es llamado pendiente de la recta.

Entre mayor sea la pendiente, mayor es el ngulo de inclinacin que tiene la recta res-pecto al eje x y viceversa entre mayor sea el ngulo de inclinacin de una recta respecto al eje x, mayor es la pendiente de la recta.Por ejemplo, si la grfica de un competidor G tiene pendiente 8 y la grfica de otro com-petidor H tiene pendiente 4, entonces es mayor el ngulo de inclinacin de la recta aso-ciada al competidor G que el ngulo de inclinacin de la recta asociada al competidor H.

Las grficas correspondientes seran las siguientes:

Esto significa que el competidor G fue a mayor velocidad que el competidor H, es decir, si la pendiente de la recta que representa la velocidad constante de un competidor es mayor que la de otro competidor entonces el de pendiente mayor va a mayor velocidad.

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Grfica de la recta G: y = 8xGrfica de la recta H: y = 4x

83

76

x

y

MAT2 B3 S23.indd 85 9/10/07 12:37:44 PM

Respuestas.

a) 78

b) El competidor D habra recorrido los 60km en 12 horas, o a una velocidad de 5km/h, con lo que hubiera ocupado el tercer lugar.

c) El competidor F.

d) El competidor E.

Sugerencia didctica. Puede hacer ms preguntas a los alumnos para que logren determinar que entre mayor es el ngulo de inclinacin de una recta con respecto al eje x, el competidor fue a mayor velocidad, y viceversa.

La grfica para verificar los resultados dados la pueden hacer de forma grupal.

Sugerencia didctica. Pida a un alumno que lea esta informacin en voz alta y, al terminar, planteles algunas preguntas, por ejemplo:

Qu quiere decir ngulo de inclinacin de la recta con el eje x?

Alguno puede dibujar dos rectas con pendientes distintas?, Cul es la pendiente mayor y cul la pendiente menor?


86

secuencia 23iii. Contesten lo siguiente.

a) Cul de las rectas correspondientes a las expresiones y = 12 x y y =14 x tiene

mayor ngulo de inclinacin respecto al eje x ?

b) Encuentren las expresiones algebraicas de dos rectas que pasen por el origen y

que tengan ngulos de inclinacin respecto al eje x menores que el ngulo de inclinacin de la recta y = 10x, pero mayores que el ngulo de inclinacin res-pecto al eje x de la recta y = 3x: y

c) Encuentren las expresiones algebraicas de dos rectas que pasen por el origen y que

tengan menor ngulo de inclinacin respecto al eje x que el ngulo de inclinacin de la recta correspondiente a y = 2x: y

Comparen sus respuestas. Verifquenlas graficando las rectas en el siguiente plano carte-

siano y midiendo sus ngulos de inclinacin.

Lo que aprendimosDe las grficas asociadas a las siguientes expresiones algebraicas:

y = 5x

y = 2.5x

y = 13x

a) Cul de las expresiones algebraicas tiene una grfica asociada con mayor ngulo

de inclinacin respecto al eje x?

b) Cul de las expresiones algebraicas tiene una grfica asociada con menor ngulo

de inclinacin respecto al eje x?

c) En tu cuaderno elabora las tablas y dibuja las grficas correspondientes para veri-

ficar tus respuestas.

20

15

10

5

5 10 15 20 x

y

MAT2 B3 S23.indd 86 9/10/07 12:37:45 PM

Respuestas.

a) La expresin y = 1 2

x . Si los alumnos tienen dudas, dgales que elaboren la grfica con dos o tres valores para x.

b) Deben hallar expresiones de rectas que sean menores que y = 10x y mayores que y = 3x, as que servir cualquier pendiente entre 10 y 3, por ejemplo y = 8x, y = 7

2x, entre otras.

c) Tienen que ser expresiones con pendientes menores que 2 y mayores que 0, por ejemplo y = 1

9x, y = 3

2x, entre otras.

Respuestas.

a) y = 5x

b) y = 1 3

x


87

IIMATEMTICASLas Pendientes negativasConsideremos lo siguienteEn el siguiente plano cartesiano estn graficadas las rectas L y S.

Los puntos A' = (2, 4), B' = (4, 8) pertenecen a la recta S y los puntos A = (2, 4),B = (4, 8) pertenecen a la recta L.

Encuentren las expresiones algebraicas que corresponden a estas rectas.

Recta L: y =

Recta S: y =


Manos a la obraI. A partir de la grfica anterior completen las siguientes tablas para encontrar las co-

ordenadas de algunos puntos de las rectas L y S.

Recta S Recta L

Abscisa Ordenada Abscisa Ordenada

4 8 4 8

2 2

0 0 0 0

1 1

2 2

4 8 4 8

sesin 2

Recta L

Recta S

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

8

7

6

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

6

7

8

A

B

A'

B'

x

y

MAT2 B3 S23.indd 87 9/10/07 12:37:46 PM

Propsito de la sesin. Determinar el efecto de la pendiente negativa en expresiones de la forma y = mx, donde la ordenada al origen es cero.

Propsito de la sesin en el aula de medios. Construir la grfica de ecuaciones de la forma y = mx cuando el valor de la pendiente m es negativa.


Posibles dificultades. Es probable que los alumnos no sepan hallar la expresin de la recta con pendiente negativa. Permtales explorar un rato la actividad y si no logran hallar la expresin, sigan adelante; con la tabla que aparece a continuacin podrn hacerlo.

Propsito de la actividad. Con el llenado de la tabla se pretende que los alumnos obtengan las coordenadas de varios puntos de las rectas S y L para que se percaten de que sta ltima tiene una pendiente negativa, es decir, que cada absci-sa debe multiplicarse por 2 para obtener la ordenada.

Respuestas.

a) Por 2.

b) Por 2.

2x

2x

4 4 2 2 4 4


88

secuencia 23a) Para los puntos de la recta s, por qu nmero hay que multiplicar las abscisas

para obtener las ordenadas?

b) Para los puntos de la recta L, por qu nmero hay que multiplicar las abscisas

para obtener las ordenadas?

c) Relaciona las columnas.

( ) Expresin algebraica de la recta L A) y = 2x + 1

( ) Expresin algebraica de la recta s B) y = 2x

C) y = 2x


ii. En el siguiente plano cartesiano se encuentran las grficas de cuatro lneas rectas que pasan por el origen.

a) De las siguientes ecuaciones, cul le corresponde a cada una de las rectas? Rela-cionen las columnas.

( ) Recta roja. A. y = x

( ) Recta azul. B. y = x

( ) Recta verde. C. y = 2x

( ) Recta naranja. D. y = 3x

E. y = 3x

Comparen sus respuestas y comenten cmo las encontraron.

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

8

7

6

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

MAT2 B3 S23.indd 88 9/10/07 12:37:46 PM

Posibles dificultades. Quiz para algunos alumnos sea an difcil hallar la expresin correspondiente a una recta. Si es el caso, sugirales que para cada recta hagan una tabla como la del apartado Manos a la obra anterior.

DEBA

BC


89

IIMATEMTICASPara medir el ngulo de inclinacin (mayor a 90) de una lnea recta que pasa por el origen respecto al eje x, se hace lo siguiente:1. Se coloca el centro del transportador en el origen (punto (0,0)).

2. Contamos los grados en el transportador desde la parte derecha del eje x hasta el grado en que el transportador es cruzado por la recta.


Por ejemplo, en la figura 2, la recta la recta y = 4x tiene un ngulo de inclinacin de 104 respecto al eje x.

Figura 2

Recta y = 4x

104

III. Midan el ngulo que forma cada una de las rectas con el eje x.

ngulo de inclinacin respecto al eje x de la recta roja:

ngulo de inclinacin respecto al eje x de la recta azul:

ngulo de inclinacin respecto al eje x de la recta verde:

ngulo de inclinacin respecto al eje x de la recta morada:

Comparen sus resultados y comenten:

a) Los ngulos de la inclinacin respecto al eje x de las rectas que tienen pendien-

te positiva son mayores o menores que 90?

b) Los ngulos de la inclinacin respecto al eje x de las rectas que tienen pendien-

te negativa son mayores o menores que 90?

MAT2 B3 S23.indd 89 9/10/07 12:37:49 PM

Respuestas.

a) Son menores que 90.

b) Son mayores que 90.

Posibles dificultades. Quiz los alumnos midan el ngulo complementario (en este ejemplo, seran 76). Para que no se confundan, pdales que sealen cul es el ngulo que van a medir con un lpiz de color (como aparece en la ilustracin de su libro). Comnteles que una vez que coloquen el transportador en el origen (punto (0,0) deben empezar a contar los grados a partir del eje x siempre empezando cero.

Sugerencia didctica. Para que los alumnos tengan claro cmo medir los ngulos mayores de 90 tambin puede trazar algunos en el pizarrn y pasar a dos o tres alumnos a medirlos.

Sugerencia didctica. Es importante que todo el grupo tenga las mismas medidas de los ngulos, as que si hay diferencias, pida a los alumnos que lleguen a un acuerdo.

71

109

135

45


Sugerencia didctica. Cuando terminen de leer esta informacin, pregunte a los alumnos cul es la pendiente de la recta en las siguientes expresiones:

y = 7x

y = x

y = 4 7

x

y = x

Posibles respuestas.

a) Para que la recta tenga un ngulo de inclinacin mayor que 90, debe tener una pendiente negativa, as que servir cualquier expresin como y = 5x , y = 1

3x, y = x,

entre otras.

b) Cualquier recta con pendiente positiva cumplir las condiciones, por ejemplo y = 3x, y = 5

6x, y = x, entre otras.

90

secuencia 23

iV. Encuentren las expresiones algebraicas de otras rectas que pasen por el origen y que tengan las caractersticas que se piden:

a) Una recta que tenga un ngulo de inclinacin respecto al eje x mayor que 90.

y =

b) Una recta que tenga un ngulo de inclinacin respecto al eje x menor que 90.

y =

Lo que aprendimosDe las siguientes grficas contesta:

Recta y = xRecta y = 4x

8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8

6

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

6

x

y

76

135

A lo que llegamosEn las expresiones de la forma y = kx el nmero k es llamado pendiente de la recta.

Las rectas con pendiente positiva tienen ngulos de inclinacin respecto al eje xmenores que 90.

Las rectas con pendiente negativa tienen ngulos de inclinacin respecto al eje xmayores que 90.

Por ejemplo, la recta y = x tiene ngulo de inclinacin respecto al eje x de135, mien-tras que la recta y = 4x tiene ngulo de inclinacin respecto al eje x de 76.

MAT2 B3 S23.indd 90 9/10/07 12:37:49 PM

Propsito del interactivo. Reconocer la relacin entre la pendiente y el ngulo de inclinacin con respecto al eje x de una recta que pasa por el origen a partir de su grfica.


91

IIMATEMTICAS

a) Cules rectas tienen pendientes positivas?

b) Cules rectas tienen pendientes negativas?

c) Cules rectas tienen un ngulo de inclinacin con el eje x mayor que 90?

c) Cules rectas tienen un ngulo de inclinacin con el eje x menor que 90?

Usa tu transportador para verificar sus resultados.

la ordenada al origenPara empezarEn la secuencia 20 de este libro de Matemticas II, volumen II aprendiste que la grfica que corresponde a una expresin algebraica de la forma y = mx + b es una lnea recta. Al nmero representado por la letra b se le llama ordenada al origen y corresponde al punto en el cual la recta corta al eje y.

Consideremos lo siguienteEn el siguiente plano cartesiano grafiquen las siguientes expresiones. Usen colores dis-tintos para cada recta.

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

8

7

6

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

SeSin 3

MAT2 B3 S23.indd 91 9/10/07 12:37:50 PM

Respuestas.

a) La naranja y la roja.

b) La verde, la morada y la azul.

c) Las que tienen una pendiente negativa, es decir, la verde, la morada y la azul.

d) Las que tienen una pendiente positiva, es decir, la naranja y la roja.

Propsito de la sesin. Establecer qu pasa con una familia de rectas que tienen la misma pendiente y distinta ordenada al origen.

Organizacin del grupo. Ponga a los alumnos en parejas y comenten los resultados y procedimientos de manera grupal.

Propsito de la actividad. Al trazar las rectas, los alumnos se darn cuenta de que la recta R y la recta T son paralelas y, por lo tanto, nunca se intersecarn. Es importante que a travs de las actividades que se plantean en la sesin, los alumnos se den cuenta de que entre la expresin de la recta R (y = 2x ) y la de la recta T (y = 2x + 4) lo que cambia es la ordenada al origen. La recta R pasa por el origen (el punto 0,0) y la recta T nunca va a pasar por el origen.

Posibles dificultades. Quiz algunos alumnos crean que si las rectas R, T y U se prolongan lo suficiente llegarn a intersecarse. Si esto ocurre en el grupo, no los corrija en este momento, despus tendrn oportunidad de darse cuenta de que dos rectas que tienen la misma pendiente son paralelas y no tienen punto de interseccin.

Propsito de la sesin en el aula de medios. Analizar las caractersticas correspondientes a grficas de ecuaciones lineales de la forma y = mx + b.



92

secuencia 23

a) La recta R interseca a la recta s? Si su repuesta

fue s en qu punto se intersecan?

Si su respuesta fue no por qu creen que no se intersecan?

b) La recta R interseca a la recta T? Si su repuesta

fue s en qu punto se intersecan?

Si su respuesta fue no por qu creen que no se intersecan?

c) Qu recta interseca a la recta u?


Con cul de las siguientes afirmaciones estn de acuerdo?

Las rectas R y s no se intersecan porque la recta R pasa por el origen

y la recta s no pasa por el origen.

Como las rectas R y s no son paralelas entonces s se intersecan.

Recta R y = 2xRecta s y = 3x 6Recta T y = 2x + 4Recta u y = 2x 6

Recuerden que:

Dos rectas se intersecan

cuando hay un punto que

pertenece a ambas. A ese

punto se le llama el punto

de interseccin de las

rectas.

Recuerden que:

Las rectas que son parale-

las nunca se intersecan.

y

x 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

6

MAT2 B3 S23.indd 92 9/10/07 12:37:51 PM

Respuestas.

a) La recta R s interseca a la recta S en el punto (6, 12).

b) La recta R no interseca a la recta T porque son paralelas.

c) La recta S.

Sugerencia didctica. Otorgue la palabra a distintos alumnos, incluyendo a aquellos que no levantan la mano.


93

IIMATEMTICASManos a la obraI. Completen la siguiente tabla para encontrar algunos puntos de las rectas R, S y T.

Recta R: y = 2x Recta S: y = 3x 6 Recta T: y = 2x + 4 Recta U: y = 2x 6Abscisa Ordenada Abscisa Ordenada Abscisa Ordenada Abscisa Ordenada

0 0 0 0

1 1 3 1 6 1

4 4 4 4

6 6 6 6

II. Con su transportador midan los ngulos de inclinacin con respecto al eje X de las rectas R, S, T y U.

a) ngulo de inclinacin de la recta R:

b) ngulo de inclinacin de la recta S:

c) ngulo de inclinacin de la recta T:

d) ngulo de inclinacin de la recta U:

e) Cules de estas rectas son paralelas?

f) Cules no son paralelas?

Comparen sus tablas y decidan si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

Las rectas paralelas tienen la misma pendiente

Las rectas paralelas tienen distinto ngulo de inclinacin respecto al eje x

Para medir el ngulo de inclinacin respecto al eje x de una lnea recta que no pasa por el origen se hace lo siguiente:1. Se coloca el centro del transportador en el punto en el que la

recta corta el eje x y el extremo derecho del transportador (el que marca los 0) sobre el eje x. Si la recta no corta al eje x se prolonga la recta hasta que corte dicho eje.

2. Contamos los grados en el transportador desde la parte derecha del eje x hasta el grado en que el transportador es cruzado por la recta.


Por ejemplo, en la figura 3, la recta y = 4x + 2 tiene un ngulo de inclinacin de 76 respecto al eje x.

76

Recta y = 4x + 2

2

Figura 3

MAT2 B3 S23.indd 93 9/10/07 12:37:53 PM

Respuestas.

a) 62.

b) 71.

c) 62.

d) 62.

e) Las rectas R, T y U.

f) R S, T S, U S.

Sugerencia didctica. Tambin en esta parte puede trazar rectas que no pasen por el origen en el pizarrn y pasar a algunos alumnos a medir los ngulos que forman con el eje x.

0 6 4 6 2 4 8 6 12 2 12 12 16 6

Verdadera

Falsa


94

secuencia 23iii. En el siguiente plano cartesiano se encuentran las grficas de cuatro rectas.

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y

Recta y = -2x + 4Recta y = -2xRecta y = 3xRecta y = 3x + 8

a) Midan los ngulos de inclinacin de cada una de las rectas con respecto al eje x y completen la siguiente tabla.

Recta Pendiente Ordenada al origen ngulo de inclinaciny = 2x + 4 184

y = 2x 2

y = 3x

y = 3x + 8 8

b) Contesten las siguientes preguntas a partir de la informacin de la tabla anterior.

Cul recta es paralela a la recta y = 2x?

Cul recta tiene la misma pendiente que la recta y = 2x?

Qu rectas tienen distinto ngulo de inclinacin que la recta y = 2x? y

Qu rectas tienen distinta pendiente que la recta y= 2x?y

MAT2 B3 S23.indd 94 9/10/07 12:37:54 PM

2 4

0 184

3 0 71

3 71

y = 2x + 4 y = 2x + 4

y = 3x y = 3x + 8

y = 3x y = 3x + 8


95

IIMATEMTICASComparen sus resultados y comenten:

a) Se interseca la recta y = 2x con la recta y = 2x + 1?, por qu?

b) Con cules rectas se interseca la recta y = 2x?

A lo que llegamosRectas paralelas

Dos rectas que tienen la misma pendiente son rectas paralelas, es decir, no se intersecan.

Por ejemplo, las rectas y = 4x , y = 4x + 7 as como y = 4x 8 son paralelas. Todas ellas tienen la misma pendiente: 4, es decir, el mismo ngulo de inclinacin respecto al eje x : 76.

-13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

x

y

Recta y = 4xRecta y = 4x + 7Recta y = 4x 8

76 76 76

MAT2 B3 S23.indd 95 9/10/07 12:37:55 PM

Respuestas.

a) No, porque son paralelas (tienen la misma pendiente y ngulo de inclinacin).

b) Con cualquiera que no tenga la misma pendiente.

Descripcin del video. Se refuerza visualmente lo visto en la sesin 3 con ejemplos de expresiones con pendiente igual y ordenada al origen distinta. Adems, se muestran familias de rectas que tienen estas caractersticas.

Propsito del interactivo. Reconocer el signo y la magnitud de la ordenada al origen de una recta a partir de su grfica.

Sugerencia didctica. Escriba las siguientes expresiones en el pizarrn (de una en una) y luego pase a un alumno para que escriba otra que sea paralela.

y = 24x

y = 1 2

x + 2

y = x + 1 4

y = 18x

y = x


96

secuencia 23iV. Realicen las siguientes actividades.

a) Completen las expresiones de las siguientes rectas para que sean paralelas a la recta y = 23x:

y = x + 4

y = 23 x

y = x

b) Completen las expresiones de las siguientes rectas para que intersequen a la recta

y = 23 x:

y = x + 4

y = x

Lo que aprendimos1. Las grficas de las siguientes expresiones algebraicas son lneas rectas.

Recta R Recta S Recta T Recta U Recta V

y = 12 x + 4 y = 2x y =12 x y = 2x + 1 y = x + 4

a) Qu recta es paralela a la recta y = x + 4?

b) Qu recta es paralela a la recta y = 2x + 1?

Dibuja en tu cuaderno las grficas de las expresiones anteriores para verificar tus resul-tados.

2. Encuentra dos expresiones cuyas grficas sean rectas paralelas a la grfica de la recta y = 12x.

Recta 1 y =

Recta 2 y =

MAT2 B3 S23.indd 96 9/10/07 12:37:56 PM

Posibles respuestas. Cualquier recta con pendiente 2

3 ser paralela a la recta y = 2

3x.

Posibles respuestas. Cualquier recta con pendiente distinta a 2

3 intersecar a la

recta y = 23

x.

Respuestas.

a) La recta T.

b) La recta S.

Respuestas. Dos rectas con pendiente 12

y distinta ordenada al origen.


97

IIMATEMTICASMiscelnea de ProbleMas y algo MsLo que aprendimos1. Completa la siguiente tabla para encontrar las expresiones algebraicas, las pendientes

y las ordenadas al origen de algunas lneas rectas.

Recta Expresin Pendiente Ordenada al origen

A y = x + 2

B y = x + 2 -1

C y = x + 2 2

D y = 3x + 2

E y = 12 x + 2

Grafica estas rectas usando colores distintos para cada una.

y

x

sesin 4

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

MAT2 B3 S23.indd 97 9/10/07 12:37:57 PM

Propsito de la sesin. Anticipar el comporta-miento de una familia de rectas que tienen la misma ordenada al origen pero distinta pendiente, y de familias de rectas que tienen la misma pendiente y distinta ordenada al origen.

Organizacin del grupo. Se sugiere resolver las actividades de manera individual.

Integrar al portafolios. Esta sesin est dedicada a revisar los conceptos aprendidos a lo largo de la secuencia. Analice si los alumnos han comprendido qu es lo que sucede cuando:

una recta tiene pendiente positiva (cmo se ve, cul es su ngulo de inclinacin);

una recta tiene pendiente negativa (cmo se ve, cul es su ngulo de inclinacin);

una familia de rectas tiene la misma ordenada al origen y distinta pendiente;

una familia de rectas tiene la misma pendiente y distinta ordenada al origen.

Si es necesario hacer un repaso, puede ser til leer juntos los apartados A lo que llegamos.

2 1

2

2 2

2 3

12

2


98

secuencia 23a) Estas rectas se intersecan en un mismo punto, cules son las coordenadas de este

punto? ( , ).

b) Encuentra otras dos rectas distintas que se intersequen en el mismo punto. Escribe

sus expresiones correspondientes:

Recta F y =

Recta G y =

c) Cul de las rectas anteriores tiene el menor ngulo de inclinacin respecto al

eje x ?

d) Cul de las rectas anteriores tiene el mayor ngulo de inclinacin respecto al

eje x?

Verifica midiendo estos dos ngulos de inclinacin.

2. En el siguiente plano cartesiano se graficaron cinco rectas incompletas.

y

x

Recta R

Recta S

Recta T

Recta U

Recta V

MAT2 B3 S23.indd 98 9/10/07 12:37:57 PM

Respuestas.

a) (0,2).

b) Cualquier par de rectas que tengan ordenada al origen 2.

c) La recta A.

d) La recta D.


99

IIMATEMTICASa) Completa la siguiente tabla para encontrar las expresiones algebraicas de cada

una de las lneas rectas anteriores.


Expresin y = y = y = y = y =

Ordenada al origen

Pendiente

b) Encuentra los ngulos de inclinacin respecto al eje x de cada una de las rectas y completa la siguiente tabla.


ngulo de inclinacin

c) Qu rectas son paralelas a la recta T?

3. Para conocer ms sobre la pendiente y la ordenada al origen de las lneas rectas pue-den ver el programa Las caractersticas de la lnea recta.

Para saber ms

Sobre las rectas y puntos, consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: De la Pea, Jos Antonio. Rectas y puntos en Geometra y el mundo. Mxico: SEP/ Santillana, Libros del Rincn, 2003.

Sobre las rectas paralelas y algunas ilusiones pticas consulta: http://www.opticas.info/articulos/ilusiones-opticas.php[Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007].

MAT2 B3 S23.indd 99 9/10/07 12:37:58 PM

Posibles dificultades. D un tiempo para que los alumnos exploren distintas respuestas. Si nota que les es difcil obtener las expresiones algebraicas de las rectas, puede hacer hincapi en que todas son paralelas, por lo tanto deben tener la misma pendiente pero distinta ordenada al origen. Para averiguar cul es la pendiente, puede sugerirles que empiecen con la recta S (la roja) porque tiene una ordenada al origen 0 y posiblemente les sea ms fcil.

Propsito del programa integrador 18. Mostrar la construccin de grficas lineales asociadas a expresiones de la forma y = mx + b. Analizar su comportamiento cuando vara m o b.


2x + 3 2x 2x 2 2x 7 2x 12

3 0 2 7 12

2 2 2 2 2

62 62 62 62 62

secuencia 21 los polígonos y sus ángulos internos de...eje forma, espacio y medida. tema formas...

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