Ángulos - iegenaroleon.com

Fuente: Los Caminos del Saber, Matemáticas 10. Editorial Santillana.

DÍA/MES/AÑO:

08/04/2021

GUÍA No 3 GRADO 10

- SISTEMA DE MEDIDAS. - FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

CÓDIGOS EDMODO: 10-1 tymh6e 10-2 nijbua 10-3 3te3es 10-4 emqrw5 10-5 bxg5dg

ÁREA:

MATEMÁTICAS

ASIGNATURA:

ALGEBRA DOCENTES

Adelina Del Socorro Pineda Jorge Jaramillo Ponce

WHATSAPP: 3182936137 3017967997

APRENDIZAJES Resuelve problemas que involucran el significado de medidas de magnitudes relacionales de tablas gráficas y expresiones algebraicas. Utilizo las propiedades de los números reales, sus operaciones, relaciones y representaciones para analizar procesos infinitos y resolver problemas.

“LO QUE SIEMBRES HOY DARÁ SUS FRUTOS MAÑANA” OG MANDINO.

ÁNGULOS

Un ángulo es la unión de dos semirrectas que se unen entre un punto común denominado vértice.

Según su contrucción.

COMPLEMENTARIOS SUMADOS DAN 90°

SUPLEMENTARIOS SUMADOS DAN 180°

Si existen dos rectas paralelas y una secante L genera 8 angulos:

1. Ángulos colaterales: son aquellos que se hallan en un mismo

lado con respecto a la secante:

1 4 5 7

2 3 6 8

2. Ángulos adyacentes: Son los que tienen un lado en común:

4 y 3

1 y 2

1 y 4

2 y 3

5 y 6

7 y 8

5 y 7

6 y 8

RECTO MIDE 90° AGUDO MENOS DE

90°

LLANO MIDE 180°

GIRO MIDE 360°

OBTUSO MÁS DE 90° Y

MENOS DE 180°

L

A + B= 90° 30+60=90

a + b=180°


3. Ángulos opuestos: por el vértice son aquellos que tienen un

vértice en común, se abren a distinto lado y son congruentes:

1 y 3

4 y 2

4. Ángulos alternos internos: cumplen con cuatro condiciones.

- Son aquellos que están dentro de la recta. - Están en distinto lado. - No son adyacentes. - Son congruentes.

5. Ángulos alternos externos: están fuera de la recta y cumplen

con las mismas condiciones: 1 y 8

2 y 7

6. Ángulos correspondientes: cumplen cuatro condiciones.

- Se hallan en un mismo lado. - Son un interno y otro externo. - No son adyacentes. - Son congruentes.

1 y 5 2 y 6

Ángulos Según Su Posición Y Orientación

Un ángulo se halla en posición normal si el vértice es el origen de coordenadas y el lado inicial es el semieje positivo de las x. Ángulo positivo: Es aquel que gira en sentido contrario a las

manecillas del reloj. Ángulo Negativo: gira en el mismo sentido de las manecillas del

reloj.

Sistema De Medidas

Existen dos sistemas para medir ángulos; el sistema sexagesimal y sistema cíclico. Sistema sexagesimal: Considera a la circunferencia en 360

partes iguales llamadas grados.

La unidad de medida es el grado. El grado sexagesimal se divide en minutos y segundos, las equivalencias entre grados, minutos y segundos es: 1° =60’ (60 minutos) 1’ = 60’’ (60 segundos) Sistema cíclico: La unidad fundamental es el radian. En una

circunferencia cualquiera, un radian es un ángulo central cuyos lados interceptan un arco de longitud igual a un radio.

La medida en radianes de una circunferencia es 2𝜋 radianes.

Conversión de grados a radianes

Para pasar de grados a radianes se multiplica el ángulo dado por

𝜋

180° y se efectúa la operación.

Convertir 135° a radianes:

135° x 𝜋

180°=

135𝜋

180 Simplifico

=3𝜋

4

Conversión radianes a grados

Para pasar de radianes a grados se multiplica el ángulo por 180°

por 180°

𝜋 y se efectúa la operación.

Convertir 7𝜋

2 a grados:

7𝜋

2𝑥

180°

𝜋=

1260

2= 630°

5 y 8

6 y 7

4 y 6

5 y 3

4 y 7 3 y 8


TRIÁNGULOS En triángulos es importante tener en cuenta cómo se clasifican los triángulos y cuáles son sus principales propiedades. CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS

Los triángulos se clasifican según la medida de sus lados y según la medida de sus ángulos, así:

PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS

Algunas propiedades de los triángulos son las siguientes: - Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces, los ángulos opuestos a estos lados son congruentes. - Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces, los lados opuestos a estos ángulos son congruentes. - La suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es 180°. -Si dos triángulos tienen la misma base b y la misma altura h, entonces, tienen áreas iguales. - Si un triángulo es equilátero, entonces, es equiángulo. - Cada ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes. En particular, las medidas de los lados de un triángulo rectángulo se relacionan mediante el teorema de Pitágoras.

TEOREMA DE PITÁGORAS

En todo triángulo rectángulo el lado opuesto al ángulo recto se denomina hipotenusa y los otros lados se denominan catetos.

El teorema de Pitágoras establece que la suma de los cuadrados

de los catetos es igual a la hipotenusa al cuadrado. Así, si en un triángulo rectángulo las medidas de los catetos son a, b y la medida de la hipotenusa es c, entonces se cumple que:

Ejemplos: 1. Un poste de hierro hincado verticalmente en el suelo, proyecta

una sombra que mide 60 cm. Hallar la altura del poste, si la distancia entre su punta y el extremo de su sombra es de 100 cm.

Primero, se tiene que la figura que se forma es un triángulo

rectángulo, porque el eje central del poste forma un ángulo recto con el suelo. Así, la altura del poste es uno de los catetos b. Luego, se aplica el teorema de Pitágoras.

(60𝑐𝑚)2 + 𝑏2 = (100𝑐𝑚)2

𝑏 = √(100𝑐𝑚)2 − (60𝑐𝑚)2

𝑏 = √6400𝑐𝑚2 = 80𝑐𝑚 Finalmente, la altura del poste es de 80 cm.

2. Una escalera se encuentra apoyada verticalmente sobre una

pared. La distancia de la pared a la base de la escalera es de 50 cm y la longitud desde el suelo hasta el punto de apoyo de la escalera con la pared es de 200 cm. Calcular el largo de la escalera.

Primero, se tiene que la longitud de la escalera corresponde a la

hipotenusa de un triángulo rectángulo. Luego, se aplica el teorema de Pitágoras.

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

𝑐2 = (200𝑐𝑚)2 + (50𝑐𝑚)2

𝑐 = √42500𝑐𝑚2 ≈ 206,15𝑐𝑚 Finalmente, se tiene que la longitud de la escalera es de

206,15cm.

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2


RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Dado un ángulo α en posición normal y un punto P(x, y) de su lado final, la proyección de P sobre el eje x genera un triángulo

rectángulo en el que 𝑂𝑃̅̅ ̅̅ es la hipotenusa y x, y son las medidas

de los catetos, como se muestra en la siguiente figura.

Con respecto al ángulo α se tiene que 𝑂𝑆̅̅̅̅ es el cateto adyacente

y 𝑃𝑆̅̅̅̅ es el cateto opuesto. Además, si la medida de la hipotenusa es r, entonces, las razones trigonométricas se definen como:

𝑠𝑒𝑛𝛼 =𝑦

𝑟=

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑠𝑐𝛼 =

𝑟

𝑦=

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎


𝑐𝑜𝑠𝛼 =𝑥

𝑟=

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑠𝑒𝑐𝛼 =

𝑟

𝑥=

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎


𝑡𝑎𝑛𝛼 =𝑦

𝑥=


𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑡𝛼 =

𝑥

𝑦=



El valor de cada razón trigonométrica es independiente de la medida de los lados del triángulo rectángulo ya que solo depende del ángulo α. Ejemplos: 1. Determinar los valores de tan α y de tan ϴ en el siguiente

triángulo rectángulo.

En la tabla se muestran los catetos adyacentes y opuestos de los ángulos α y ϴ.

Ángulo Cateto opuesto Cateto adyacente

α BC = 6 AB = 8

ϴ AB = 8 BC = 6

Por tanto, tan α = 𝐵𝐶

𝐴𝐵=

6

8=

3

4 y tan ϴ =

𝐴𝐵

𝐵𝐶=

8

6=

4

3.

2. Encontrar los valores de las razones trigonométricas para el

ángulo ϴ del triángulo LMN.

Primero, se calcula la medida de la hipotenusa.

(𝐿𝑁)𝟐 = (𝑁𝑀)𝟐 + (𝑀𝐿)𝟐 Se aplica el teorema de Pitágoras.

(𝐿𝑁)2 = (6)2 + (8)2 Se remplazan las medidas de los catetos.

(𝐿𝑁)2 = 36 + 64 Se resuelven las potencias.

(𝐿𝑁)2 = 100 Se efectúa la suma.

𝐿𝑁 = √100 = 10 Se extrae la raíz cuadrada. Luego, se tiene que 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅ es el cateto adyacente al ángulo ϴ,

mientras que 𝑀𝐿̅̅ ̅̅ es el cateto opuesto.

Finalmente, se remplaza las medidas de los catetos y de la

hipotenusa para calcular las razones trigonométricas.

𝑠𝑒𝑛𝜃 =8

10=

4

5 𝑡𝑎𝑛𝜃 =

8

6=

4

3 𝑠𝑒𝑐𝜃 =

10

6=

5

3

𝑐𝑜𝑠𝜃 =6

10=

3

5 𝑐𝑜𝑡𝜃 =

6

8=

3

4 𝑐𝑠𝑐𝜃 =

10

8=

5

4

VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DE 30° Y 60 °

A partir de la circunferencia unitaria se establecieron los valores

de las funciones trigonométricas para los ángulos 𝜋

3,

𝜋

4 𝑦

𝜋

6 en

radianes. Sin embargo, también se pueden determinar los valores para estos ángulos en grados, a partir de la relación entre los lados y los ángulos de ciertos triángulos rectángulos. Para determinar las razones trigonométricas para 30° y 60° se

construye un ΔABC equilátero y se traza la altura 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ sobre 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , formando dos triángulos rectángulos como se muestra en la figura.

Como 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ es bisectriz del ∢ABC, entonces, m∢ABD = 30º.

Además, si b es la medida de 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ , entonces, se puede expresar en términos de 𝑙 así:


ℎ2 + (𝑙

2)

2= 𝑙2 Se aplica el teorema de Pitágoras.

ℎ2 +𝑙2

4= 𝑙2 Se resuelve la potencia.

ℎ2 = 𝑙2 −𝑙2

4 Se despeja ℎ2.

ℎ2 =3𝑙2

4 Se efectúa la resta.

ℎ =𝑙√3

2 Se extrae raíz cuadrada.

Por tanto, en el ΔABC rectángulo se tiene que:

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑙 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ =𝑙√3

2 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ =

1

2

Así, las razones trigonométricas para 30° son:

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Las funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo se aplican en áreas como la física, la ingeniería y la navegación, puesto que permiten calcular distancias y medidas de ángulos. Para resolver un problema aplicando funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo es conveniente realizar los siguientes pasos: # Primero, se realiza un dibujo de la situación en el que se

muestre el triángulo rectángulo con las medidas dadas y la incógnita.

# Luego, se busca la función trigonométrica que relaciona las

medidas dadas con la incógnita. # Finalmente, se despeja la incógnita y se redacta la respuesta

En este tipo de problemas es importante tener en cuenta el teorema de Pitágoras y la suma de los ángulos internos de un triángulo. EJEMPLO: Un topógrafo ubica un punto O a 40 m de un punto B de la base de un edificio. Si el punto A ubicado en la parte más alta del edificio forma un ∢AOB cuya medida es 52°, ¿cuál es la altura del edificio?

Primero, se realiza un dibujo de la situación, identificando las

medidas dadas y la incógnita, que en este caso es la altura del edificio.

Luego, se relacionan las medidas dadas con la incógnita (h),

mediante la función trigonométrica tangente, así:

tan 52° =ℎ

40

Finalmente, se despeja h.

tan 52° =ℎ

40

ℎ = 40 ∗ tan 52°

ℎ ≈ 51,2

Por tanto, la altura del edificio es aproximadamente 51,2 metros.

1. Observa el triángulo rectángulo que forma la torre de energía con el cable. Luego, responde.

A. Si se quiere calcular la altura de la torre de energía, ¿cuál función trigonométrica se debe aplicar si se conocen las medidas α y c?


B. Si se quiere calcular la longitud del cable, ¿cuál función trigonométrica se debe aplicar si se conocen α y la altura h?

2. Halla la longitud de la escalera.

TALLER DE APLICACIÓN Apoyándose en los conocimientos adquiridos de la fundamentación teórica resuelve. 1. En la siguiente figura, la cual no está a escala, se muestra la

ubicación de las casas de Ana, Bernarda, Carlos, Diana y Ricardo, se indica alguna información sobre distancias y ángulos de inclinación.

Dela anterior información es correcto afirmar que:

A. El triángulo DBR es un triángulo acutángulo equilátero y el triángulo DCB es un triángulo obtusángulo isósceles.

B. El triángulo ABC es un triángulo obtusángulo y el

triángulo DBC es un triángulo acutángulo.

C. El triángulo ABD es un triángulo obtusángulo escaleno y el triángulo DRC es un triángulo acutángulo equilátero.

D. El Triángulo BCR y el triángulo DCR son triángulos

equiláteros. 2. Felipe ha diseñado unas placas metálicas conmemorativas

para los participantes al Torneo Capri de Relevos. La medalla tiene un orificio que debe ser troquelado (cortado) utilizando un láser.

La suma de los ángulos internos del orificio el cual aparece sombreado en el diseño de Felipe es de:

A. 360° B. 180° C. 280° D. 140°

3. La figura muestra el borrador del diseño de un techo para una

casa.

De los ángulos mostrados podemos decir que:

A. 𝛼 +𝛽

2= 270°

B. 𝛼 + 𝛽 = 180°

C. 𝛼 +𝛽

2= 180°

D. 𝛼 + 𝛽 = 270° 4. Observa la siguiente figura:

De acuerdo a la imagen anterior es correcto decir que el valor del

ángulo a es:

A. 80° B. 60° C. 40° D. 50°

5. observe la siguiente figura:

De los ángulos de la figura anterior podemos decir que:

A. a – f = 0° B. a + f = 180° C. d + b = 180° D. h – d = 0°


6. La medida del ángulo α= 315° expresada en radianes es:

A. 4𝜋

7

B. 7𝜋

4

C. 7𝜋

6

D. 6𝜋

7

7. Al expresar 6𝜋

5𝑟𝑎𝑑 en grados, se obtiene:

A. 210° B. 215° C. 216° D. 220°

8. En la siguiente figura se ilustra un árbol de navidad que es

sostenido por un alambre, la distancia que hay entre el alambre y la base sobre la que se encuentra el árbol es de 80cm y el ángulo de inclinación formado entre el alambre y la base es de 30°.

La altura del árbol se puede expresar como

A. 80 tan 30°

B. 20 cos 30°

C. 80 sin 30°

D. 80 csc 300 9. Una carpa de un circo se le ha zafado uno de sus amarres.

La distancia a la que se debe clavar la estaca para que quede igual a la que se mantiene en pie es:

A. 30√2𝑚

B. 3√2𝑚

C. 12

√2𝑚

D. 2√30𝑚

10. Juan está elevando su cometa mientras su hermana Nelly lo

sigue. Nelly se encuentra a 20 metros de Juan y justo debajo de la cometa, como lo muestra la siguiente imagen.

La longitud en metros de la cuerda de la cometa de Juan es:

A. 20m

B. 10

√3𝑚

C. 40

√3𝑚

D. 10√3𝑚

JUEGOS MATEMÁTICOS

11. Si tienes una serie de números del 1 al 9 sin cambiar el orden

inserte signos + o - para que la ecuación final sea igual a 100, solo se debe utilizar 3 signos para sumar o restar

1 2 3 4 5 6 7 8 9

12. Hay 6 vasos los 3 primeros están llenos, mientras que los

otros 3 están vacíos, como se los puede reorganizar para que queden alternados lleno – vacío – lleno. Solo puedes tocar un vaso.

13. Se tiene 10 árboles repártalos para que formen 5 filas con 4

árboles cada uno.

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