clase fourier (1)

7/25/2019 Clase Fourier (1)

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1

Transformada de Fourier

Prof. Eduardo Gmez L.


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2

Series de Fourier


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3

...3

)3(

2

)2()(

)(

2)(

1

tsentsentsen

n

ntsenttf

n

La primera serie de Fourier de la historia

Euler 1744 escribe en una carta a un amigo:

Es cierto?

Observemos que en t = 0hay problemas /2 = 0

La clave est en el concepto de funcin peridica.


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Funciones Peridicas

Unafuncin peridicaf(t)cumple que para todo valor de t:

f(t) = f(t + T).

Al valor mnimo, mayor que cero, de la constante Tque cumple lo

anterior se le llama elperiodo fundamental (o simplemente periodo)

de la funcin.

Observa que:

f(t) = f(t + nT), donde n = 0, 1, 2, 3,...

Cuestin: Es f(t) = cte. una funcin peridica?

4


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Ejemplo: Cul es el periodo de la funcin

Sif(t)es peridica se debe cumplir:

Como cos(t + 2k) = cos(t)para cualquier entero k,entonces, para que se cumpla la igualdad, se requiere que:

T/3 = 2k1 y T/4 = 2k2.Es decir:

T = 6k1 = 8k2con k1y k2enteros.El valor mnimo de Tse obtiene con k1= 4, k2= 3, es decir, T= 24. 5

?coscos43

)()(f(t) tt

)()(T)f(t TtTt43

coscos )()(f(t) tt43

coscos


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Grfica de la funcin

6

0 50 100 150 200-3

-2

-1

0

1

2

3

f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)

t

f(t)

24

T

)()(f(t) tt43

coscos


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Es la suma de dos funciones peridicasuna funcin peridica?

Depende. Consideremos la funcin:

f(t) = cos(w1t) + cos(w2t).

Para que sea peridica se requiere encontrar dosenteros m, ntales que:

w1T = 2 m y w2T = 2 n.Es decir, que cumplan:

T = m/ (2w1) = n/ (2w2)7

n

m

2

1

w

w


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Ejemplo: para la funcin cos(3t) + cos((+3)t)tenemosque

Es peridica?

8

w

w

3

3

2

1

0 5 10 15 20 25 30-2

-1

0

1

2

f(t)=cos(3t)+cos((3+)t)

t

f(t)


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Para que exista periodicidad w1/ w2debe ser

un nmero racional (n/m).

Ejercicios: Encontrar el periodo de lassiguientes funciones, si es que son peridicas:

1) f(t) = sen(nt), donde n es un entero.

2) f(t) = sen2(2t)3) f(t) = sen(t) + sen(t + /2)

4) f(t) = sen(w1t) + cos(w2t)

5) f(t) = sen(2 t)

9


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10

Si f1(t)tiene periodo T1y f2(t )tiene periodo T2,

es posible que f1(t) + f2(t )tenga periodo

T < m in(T1,T2)?

T1= 5

T2= 5

T = 2,5


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11

Jean

d'Alembert

1717-1783

LeonhardEuler

1707-1783

Daniel

Bernouilli1700-1782

Lagrange


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Joseph Fourier

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En diciembre de 1807Joseph

Fourier present un sorprendenteartculo a la Academia de Ciencias

en Pars. En l afirmaba que

cualquier funcin puede escribirseen forma de serie trigonomtrica

semejante al ejemplo de Euler.

Polmica: Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)

era uno de los muchos que opinaba que algo as

era simplemente imposible...

Jean Baptiste Joseph Fourier

1768-1830


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Serie trigonomtrica de Fourier

Algunas funciones peridicasf(t)de periodo Tpueden expresarse porla siguiente serie, llamada serie trigonomtrica de Fourier

Donde w0 = 2/T se denomina frecuencia fundamental.

13

])()cos([)(

1

0002

1

n

nn tnsenbtnaatf ww

...)3()2()(...

...)3cos()2cos()cos()(

030201

03020102

1

tsenbtsenbtsenb

tatataatf

www

www


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14

...

3

)3(

2

)2(

2

tsentsen

tsent

])()cos([)(1

0002

1

nnn tnsenbtnaatf ww

a0

= 0, a1

= 0, a2

= 0 ...

b1= 1, b2= 1/2, b3= 1/3,...


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Cmo calcular los coeficientes de la serie?

Dada una funcin peridicaf(t),cmo se obtiene su serie de

Fourier?

Necesitamos calcular los coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,...

Lo haremos gracias a la ortogonalidadde las funciones seno ycoseno. 15

]t)sen(n

bt)(n

[aaf(t) nnn

1 00021

cos


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Ortogonalidad

Se dice que las funciones del conjunto {fk(t)}son ortogonalesen el

intervalo a < t < bsi dos funciones cualesquierafm(t), fn(t)de dichoconjunto cumplen:

16

nmparar

nmparadt(t)(t)ff

n

b

a

nm

0


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Ejemplo: las funciones ty t2son ortogonales en el

intervalo 1 < t < 1, ya que:

Ejemplo: Las funciones sen ty cos tson ortogonales

en el intervalo < t


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Ortogonalidad de senos y cosenos

Aunque los ejemplos anteriores se limitaron a un

par de funciones, el siguiente es un conjunto de unainfinidad de funciones ortogonales en el intervalo -T/2< t

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