clase 2 determinantes

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

1

1. El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de su transpuesta.

En símbolos: ∀� ∈ ��×�: �� = |�|

� Ejercicio 1: Resolver:

a) ( ) a bDet A

c d= = … ( )T a c

Det Ab d

= = …

b) Si ( ) 8Det A = entonces ( ) ( )TDet A Det A+ =…

2. Si en un determinante se cambian de lugar, es decir se permutan, dos filas o dos columnas entre sí, el

determinante cambia de signo.

� Ejercicio 2: Resolver:

a) Siendo ( ) 2 42

3 5Det A = = − obtener, usando la propiedad 2, el valor de los siguientes determinantes:

( ) 4 2

5 3Det B = = Puesto que se cambió la � por la �� en el determinante de �

( ) 3 5

2 4Det C = = Puesto que se cambió la � por la �� en el determinante de �

b) Si �� ℎ � � = 9 entonces: �� ℎ �� = ⋯ y �� ℎ �� = ⋯

3. Si en un determinante una fila o una columna es múltiplo de un escalar entonces el determinante es múltiplo del

mismo escalar.

Importante: Esta propiedad nos permite extraer factores de un determinante. Para extraer un factor � de un

determinante alcanza con que solamente todos los elementos una fila o solamente todos los elementos de una

columna sean múltiplos de �.

Ejemplo:

a) |�| = �15 21−1 1 � = �3 ∙ 5 3 ∙ 7−1 1 � = 3 ∙ � 5 7−1 1� = 3 ∙ 12 = 36

Justificación: Se extrajo el factor 3 pues la � es múltiplo de 3

b) |(| = �25 −245 3� = �5 ∙ 5 −25 ∙ 9 1 � = 5 ∙ �5 −29 3 � = 5 ∙ 3 ∙ �5 −23 1� = 5 ∙ 3 ∙ *5 + 6, = 165

Justificación: Se extrajo el factor 5 de la � y luego, el factor 3 de la ��

� Ejercicio 3: Aplicando la propiedad 3, calcular los siguientes determinantes:

Si �� ℎ � � = 9 entonces: �2� 2� 2�� ℎ � � = ⋯ �� 3�� 3�� ℎ 3� � = ⋯ y �2� 2� 6�−� −� −3�� ℎ 3� � = ⋯

4. El determinante asociado a un producto de matrices cuadradas es igual al producto entre los determinantes

asociados a cada matriz. En símbolos: ∀� ∈ ��×�, ∀. ∈ ��×�:|� ∙ .| = |�| ∙ |.| � Ejercicio 4: Resolver:

a) Sean las matrices: � = /1 22 70 y ( = /3 44 60, calcular:

i) �. (2|�. (|

ii) |�|, |(|2|�|. |(|

Esta propiedad de

los determinantes

justifica la

propiedad cíclica

del producto mixto.


2

b) Usando la propiedad 4, y sabiendo que: |�| = 2 calcular: |�3|, |�4|2��5�

Por lo tanto:

5. El determinante de una potencia enésima de matriz cuadrada es igual a la potencia enésima de su determinante.

En símbolos: ∀� ∈ ��×�: |��| = |�|� (con � ∈ 6)

6. Si todos los elementos de una fila o de una columna de una matriz cuadrada es suma de “m términos” entonces

el determinante asociado puede descomponerse en suma de “m determinantes”.

En consecuencia, el determinante de una suma de matrices no es igual a la suma de los determinantes asociados a cada

matriz.

� Ejercicio 5: Verificar las siguientes igualdades

a) �3 + 4 2 + 57 8 � = �3 27 8� + �4 57 8�

b) �3 + 4 2 + 57 + 1 8 + 1� = � 3 27 + 1 8 + 1� + � 4 57 + 1 8 + 1� = �3 27 8� + �3 21 1� + �4 57 8� + �4 51 1�

7. El determinante de una matriz triangular superior o inferior es igual al producto de los elementos de la diagonal

principal.

8. Consecuencia Propiedad 6: El determinante de una matriz diagonal es igual al producto entre los elementos de la

diagonal principal.

9. Consecuencia Propiedad 7: El determinante de la matriz identidad de orden � × � es 1.

� Ejercicio 6:

a) Calcular, usando propiedades (6), (7) y (8)

1) �1 + � 2 30 � 50 0 3�� =

2) �2 − 3� 0 08 + � 5 09� 2 1 − �� =

3)

2 0 0 0

0 3 0 0

0 0 4 0

0 0 0 5

= 4)

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

=

La propiedad 9 nos permite “crear ceros”, y combinada con las propiedades 6 y 7 es útil para resolver determinantes.

10. Un determinante no varía si a una fila o a una columna se le suma o resta múltiplos de otras filas o columnas.

La operación permitida para que no varíe el valor del determinante es: �9 → �9 ± <�= (a la �9 la reemplazamos por lo que se obtiene al sumarle o restarle un múltiplo de la �= �9 → �9 ± <�= (a la �9 la reemplazamos por lo que se obtiene al sumarle o restarle un múltiplo de la �=

Ejemplo: �2 1 34 3 16 1 2� =>?@→?@A�?B

�2 1 3C D −E6 1 2� =>?F→?FA3?B

�2 1 30 1 −5C −G −H� =>?F→?FI�?@

�2 1 30 1 −5C C −17� = 2 ∙ 1 ∙ *−17, = −34

Observar que aplicamos la operación que no modifica el valor del determinante sobre las filas para crear ceros. Al crear

estos ceros, la matriz se transformó en una matriz triangular superior, entonces el valor del determinante es igual al

producto entre los elementos de la diagonal principal.

� Ejercicio 7:

Aplicando la propiedad (9) para crear ceros y resolver “parecido” a lo hecho en el ejemplo, verifique que:

3 3 1

1 5 3 72

5 1 5

=


3

10. Si en un determinante existen dos filas o dos columnas iguales entonces el determinante vale cero.

11. Si en un determinante existen al menos dos filas o dos columnas proporcionales entonces el determinante vale

cero.

12. Si en un determinante existe una fila o una columna de ceros entonces el determinante vale cero.

13. Si en un determinante existe una fila o una columna que es combinación lineal de otras filas o de otras columnas

el determinante vale cero.

En síntesis:

Si una matriz cuadrada tiene líneas (filas o columnas) linealmente dependientes el determinante asociado vale cero.

Ejemplos:

a) De la propiedad 10: �2 1 34 3 14 3 1� =>?@J?F

0 �1 5 13 7 33 0 3� =>KBJKF

0

b) De la propiedad 11: �2 1 34 2 65 3 1� =>?@J�?B

0 �1 5 157 7 219 2 6 � =>L@J3LF

0

c) De la propiedad 12: �2 1 30 0 04 3 1� =>?@JMNNO

0 �1 5 03 7 03 0 0� =>LFJMNNO

0

d) De la propiedad 13: �2 1 34 3 18 5 7� =>?FJ�?BI?@

0 �17 5 127 7 36 0 3� =>LBJ3K@I�LF

0

� Ejercicio 8 Explicar porque los siguientes determinantes valen cero

a) �2 3 40 1 02 3 4� = 0 b) �2 0 24 3 18 6 2� = 0 c) �0 1 20 3 40 5 6� = 0

d) �1 1 13 4 34 5 4� = 0 e) � � � �2� 2� 2�P Q R � = 0 f)

�� + � + � � + � + � � + � + �� S T U � = 0

Estas propiedades se pueden sintetizar en:

14. Si una matriz � ∈ ��×� tiene rango: V*�, ≠ � entonces |�| = C

15. Si una matriz � ∈ ��×� tiene rango: V*�, = � entonces |�| ≠ C

Además de la propiedad 15, ¿qué se puede afirmar de una matriz de orden � × � cuyo rango es �? …

Si juntamos estas propiedades, tendremos que:

Sea una matriz � ∈ ��×�: V*�, = � sí y solo si |�| ≠ C V*�, = � sí y solo si XYZ[\X�AD |�| ≠ C sí y solo si XYZ[\X�AD ]YZ[\X�AD sí y solo si |�| ≠ C

� Ejercicio 9 Encontrar los valores de ^ ∈ _ para que:

a) El rango de la matriz � = `^ + 1 2 1^ 2 02 ^ + 2 ^a sea 2

b) La matriz � = `^ − 1 2 1^ − 1 2 01 ^ ^a sea no singular

V*��×�, = � |�| ≠ C ∃�AD

Son equivalentes:


4

16. Sea� ∈ ��×� una matriz no singular entonces: ��AD� = D|�|

Demostración:

Si � ∈ _c×c una matriz no singular: � ∙ �A = d Aplicamos determinante en ambos miembros de la igualdad: |� ∙ �A | = |d| Por propiedad del determinante de un producto de matrices y por determinante de la matriz Identidad: |�| ∙ |�A | = 1

Como � es no singular, resulta lo que queríamos demostrar: |�A | = |e|

� Ejercicio 10

Si � ∈ _3×3 es una matriz tal que: |�| = 5, usando propiedades calcular los siguientes determinantes:

a) |�A | =

b) |�f ∙ �A | =

c) |�A�| =

d) |5 ∙ �A | =

17. Sea � ∈ ��×� una matriz involutiva: �G = g entonces es |�| = D ó |�| = −D

� Ejercicio 11

Tomando como base la demostración de la propiedad 16, demostrar la propiedad 17.

18. Sea � ∈ ��×� una matriz idempotente: �G = � entonces es |�| = D ó |�| = C

� Ejercicio 12


19. Sea � ∈ _c×c una matriz ortogonal: �A = �f entonces es |�| = 1 ó |�| = −1

� Ejercicio 13



5

Resolvemos los siguientes ejercicios del trabajo práctico: Determinantes.

4.3) Resolver:

1) Sea � = `3 0 30 1 00 0 3a, calcular, cuando sea posible usando propiedades de los determinantes:

a) |�| b) |2�| c) |�f| d) |�A | e) |2�A | f) |*2�,A | g) |� h| h) |�f�A |

2) Sean � = ` 1 0 32 2 −1−1 0 1a y ( = `2 1 −10 1 80 0 −1a, calcular, cuando sea posible aplicando propiedades de los

determinantes:

a) |�| b) |(| c) |�(| d) |*�(,f| e) |*�(,A | f) |�3(�| g) |2�(| h) ��5( + �5� i) |� + (| j) |*� + (,f| k) |*� + (,A | l) |*4*� + (,,A |

Con estos contenidos se completa el desarrollo de la Unidad: Determinantes

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