DETERMINANTES

Ya estamos en el segundo tema. Recuerda esto que lees: si el tema de Matrices no ha quedado claro, mejor no empieces con los Determinantes.

El determinante es una operación que se hace con una matriz cuadrada, es decir, tiene que tener el mismo numero de filas que de columnas para que se pueda hacer el determinante.

DETERMINANTE DE ORDEN 2

Imagina que tienes una matriz cuadrada de orden 2, es decir, que tiene dos filas y dos columnas.

Es importante que la matriz sea cuadrada, es decir, que tenga el mismo numero de filas y de columnas por que sino, no se podría calcular el determinante.

𝐴 = #𝑎 𝑏𝑐 𝑑(

Se denomina determinante de la matriz A, a la siguiente expresión:

|𝐴| = *𝑎 𝑏𝑐 𝑑* = 𝑎 ⋅ 𝑑 − 𝑏 ⋅ 𝑐

El valor que obtengamos de esta operación se denota también por 𝑑𝑒𝑡(𝐴).

Venga, es momento de que pruebes lo que has aprendido:

Calcula el determinante de las siguientes matrices

• 𝐴 = # 8 3−5 −2(

• 𝐵 = # 9 −3−12 4 (

• 𝐶 = #−2 50 −3(

• 𝐷 = =!"

!#

$%

#&

>

DETERMINANTE DE ORDEN 3

Imagina que tenemos una matriz de orden tres como la siguiente:

𝐴 = ?𝑎 𝑏 𝑐𝑥 𝑦 𝑧𝑢 𝑣 𝑡

E

Para calcular el determinante de la matriz 𝐴, que se denotara por 𝑑𝑒𝑡(𝐴)𝑜|𝐴|, tenemos que hacer la siguiente operación:

|𝐴| = 𝑎 ⋅ 𝑦 ⋅ 𝑡 + 𝑏 ⋅ 𝑧 ⋅ 𝑢 + 𝑥 ⋅ 𝑣 ⋅ 𝑐 − 𝑐 ⋅ 𝑦 ⋅ 𝑢 − 𝑧 ⋅ 𝑣 ⋅ 𝑎 − 𝑏 ⋅ 𝑥 ⋅ 𝑡

Este procedimiento que acabo de desarrollar se llama la regla de Sarrus.

Te voy a enseñar un procedimiento algo mas sencillo para que no te líes con tantas operaciones, pero mejor si lo hago con un ejemplo para que lo veas claro:

𝐴 =I1 2 30 1 12 4 0

J

1 2 30 1 1

= 0 + 0 + 2 − 6 − 4 − 0 = −8

Atento y atenta, tienes que colocar por debajo del determinante las dos primeras filas y ahora las operaciones son mas sencillas si sigues los colores.

Vamos a practicar:

• L0 −3 20 6 −45 1

2M 8L =

• N1 3 −4−2 2 51 −1 2

N =

• N10 47 590 10 910 0 10

N =

Ahora te voy a complicar un poco la situación y quiero que pruebes a resolver los siguientes determinantes:

• *𝑥 − 10 22 + 𝑥 2 + 𝑥* = 0

• N1 − 𝑥 2 32 1 − 𝑥 33 3 6 − 𝑥

N = 0

• N1 2𝑥 −42 𝑥 3−1 −2 1

N = 0

• N𝑥 2𝑥 3𝑥4 −5 6−1 2 −3

N = 48

MATRIZ REGULAR E IRREGULAR

Es importante diferenciar entre lo que es una matriz regular y una matriz irregular. Es decir, una matriz es regular cuando su determinante es distinto de cero;

𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 ↔ |𝐴| ≠ 0 → 𝑇𝑖𝑒𝑛𝑒𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎

Por el contrario, una matriz se dice que es irregular cuando su determinante es igual a cero;

𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧𝑖𝑟𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 ↔ |𝐴| = 0 → 𝑁𝑜𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎.

Halla el valor de 𝑎 para que sea regular la matriz 𝐴 = ?1 0 −1𝑎 2 12 1 1

E

MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO

Tenemos que diferenciar entre el calculo del menor complementario y el calculo del adjunto.

Para poder diferenciarlos vamos a realizar un pequeño ejercicio.

Imagina que tenemos la siguiente matriz:

𝐴 = ?1 2 0−1 0 32 1 4

E → 𝐿𝑜𝑠𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠𝐴 = ?𝐴!! 𝐴!" 𝐴!#𝐴"! 𝐴"" 𝐴"#𝐴#! 𝐴#" 𝐴##

E

Vamos a calcular primero el menor complementario del elemento 𝑀"# = *1 22 1* = 1 − 4 = −3

Lo que hemos hecho en el menor complementario del ejercicio anterior es lo siguiente:

Como tenemos una matriz cuadrada, se llama menor complementario del elemento, en este caso, 𝑀"# al determinante que queda de suprimir la fila y la columna que ocupa el elemento. En este caso al suprimir la fila 2 y la columna 3.

Ahora vamos a determinar el adjunto del mismo elemento del que hemos calculado su menor complementario.

El adjunto del elemento 𝐴"# = (−) *1 22 1* = (−)(−3) = 3. Se pone el signo negativo porque la

posición que ocupa el elemento es impar, es decir, 2 + 3 = 5.

El adjunto del elemento 𝐴## = (+) * 1 2−1 0* = (+)(2) = 2. Se pone el signo positivo porque la posición

que ocupa el elemento es par, es decir, 3 + 3 = 6

A ver si las cosas te han quedado claras:

Calcula de la siguiente matriz: 𝑀!#; 𝑀"#; 𝐴!!; 𝐴"#,𝐴#"

𝐵 = ?1 7 −56 −2 −35 −9 2

E

PROPIEDADES DE LOS DETEMRIANANTES

• El determinante de una matriz es igual al determinante de su traspuesta. 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 𝑑𝑒𝑡(𝐴()

• Si se intercambian entre si dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo: 𝑑𝑒𝑡(𝐶!, 𝐶", 𝐶#) = −𝑑𝑒𝑡(𝐶", 𝐶!, 𝐶#)

• Si se multiplican una fila o columna por un numero, el determinante queda multiplicado por dicho número:

𝑑𝑒𝑡(𝑘𝐶!, 𝐶", 𝐶#) = 𝑘𝑑𝑒𝑡(𝐶!, 𝐶", 𝐶#)

• Si un determinante tiene dos filas o dos columnas proporcionales, su valor es cero.

• Si una fila o columna puede descomponerse en suma de otras dos, por ejemplo:

𝑑𝑒𝑡(𝐺 + 𝐻, 𝐹", 𝐹#) = 𝑑𝑒𝑡(𝐺, 𝐹", 𝐹#) + 𝑑𝑒𝑡(𝐻, 𝐹", 𝐹#)

• Si a una fila o columna le sumamos otra multiplicada por un numero la determinante no varia:

𝑑𝑒𝑡(𝐹!, 𝐹", 𝐹#) = 𝑑𝑒𝑡(𝐹!, 𝐹" + 𝛼𝐹!, 𝐹#)

CALCULO DE DETERMINANTES

Para calcular los determinantes tenemos tres procedimientos bien diferenciados:

• Aplicando directamente la definición, es decir, los cálculos que has aprendido hacer al principio del tema.

• Se puede calcular el determinante desarrollándolo por los elementos de un fila o columna. Para facilitar el proceso, lo desarrollaremos por la fila o columna que mas ceros tenga.

|𝐴| = L1 0 1 −11 1 1 1−10

21

12

−11

L

• También podemos usar el método de Gauss y transformarlo en un determinante de una matriz triangular, con lo que su valor es el producto de los elementos de la diagonal principal.

|𝐴| = L−2 0 5 510 −1 0 644

−22

3−1

06

L

• Por último, también podemos emplear el método del pivote o pivotal.

|𝐴| = L−1 1 1 32 0 1 −114

2−1

00

−22

L

Ahora te voy a complicar un poco la situación y quiero que pruebes a resolver los siguientes determinantes: utiliza los tres métodos para realizar el calculo y comprobar que obtienes el mismo resultado.

• |𝐵| = L4 −1 0 2−1 1 1 321

02

1 −10 2

L

• |𝐶| = L−2 2 1 1−1 1 −1 002

0−1

21

−13

L

• |𝐷| = e10 6 0 −1−1 −3 0 00−5

113

512

−50

e

RANGO DE UNA MATRIZ

Para hallar el rango de una matriz puedes seguir dos procedimientos:

• Puedes utilizar el método de Gauss, de forma que el rango de la matriz sea el numero de filas no nulas de la matriz triangular obtenida después de la aplicación del método y sus transformaciones.

• Gracias al calculo de los determinantes y a lo que has aprendido hasta ahora, puedes hacer el calculo del rango de una forma mas sencilla, cuando se trate de matrices como mucho de dimensión 3𝑥3;

|𝐴#)#| ≠ 0 → 𝑅𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 3

|𝐴#)#| = 0 → 𝑅𝑎𝑛𝑔(𝐴) < 3

En este caso tendríamos que buscar otro determinante 3𝑥3o uno de 2𝑥2para demostrar que el 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 2

Es decir, si el determinante es distinto de cero, el rango es máximo, dependiendo de la dimensión.

Halla el rango de las siguientes matrices para ver si has entendido realmente el procedimiento:

• 𝐴 = ?−2 3 −14 −6 2−6 9 −3

E

• 𝐵 = ?−3 52 −41 0

E

• 𝐶 = =5 0 −3 41 −1 0 2−23

01

3−2

30

>

• 𝐷 = # 3 −7 4−2 8 −1(

INVERSA DE UNA MATRIZ

Para el calculo de la inversa de una matriz recuerda varias cosas:

1. Solo puedes calcular la matriz inversa de matrices que sean cuadradas, es decir, mismo numero de filas que de columnas.

2. Para que exista la inversa de una matriz, la matriz tiene que ser 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 ↔ |𝐴| ≠ 0 3. Si los dos pasos anteriores se cumplen:

𝐴*! =1|𝐴| h𝐴+,-i

(

Recuerda que 𝐴+,- → 𝐸𝑠𝑙𝑎𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧𝑑𝑒𝑎𝑑𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠h𝐴+,-i( → 𝐸𝑠𝑙𝑎𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧𝑑𝑒𝑎𝑑𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎.

Venga, es hora de trabajar, intenta calcular la matriz inversa de las siguientes matrices, recuerda que primero tienes que comprobar si estas trabajando con una matriz regular o irregular para saber si tiene o no inversa y de esta forma ahorrarte algunos cálculos.

• 𝐴 = ?1 0 03 −1 21 5 −4

E

• 𝐵 = =

!"

1 30 2 10 2 3

>