clase 4 determinantes
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determinantes, algebra linealTRANSCRIPT
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
DETERMINANTES
Martha C. Moreno
Departamento de MatematicasUniversidad Nacional de Colombia
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
DETERMINANTES
Martha C. Moreno
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
Un determinante es una funcion que asigna a una matriz cuadrada
A un numero real: det(A) = |A|
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
Un determinante es una funcion que asigna a una matriz cuadrada
A un numero real: det(A) = |A|
det : Mnn R
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
Un determinante es una funcion que asigna a una matriz cuadrada
A un numero real: det(A) = |A|
det : Mnn RA det(A) = |A|
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Nota
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Nota
El metodo que utilizaremos para calcular el determinante de unamatriz usa un proceso de recurrencia, es decir para calcular eldeterminante de una matriz de tamano n n debemos calcularpreviamente el determinante de una matriz n 1 n 1 y asisucesivamente hasta obtener una matriz 1 1.
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Nota
El metodo que utilizaremos para calcular el determinante de unamatriz usa un proceso de recurrencia, es decir para calcular eldeterminante de una matriz de tamano n n debemos calcularpreviamente el determinante de una matriz n 1 n 1 y asisucesivamente hasta obtener una matriz 1 1.
Definicion
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Nota
El metodo que utilizaremos para calcular el determinante de unamatriz usa un proceso de recurrencia, es decir para calcular eldeterminante de una matriz de tamano n n debemos calcularpreviamente el determinante de una matriz n 1 n 1 y asisucesivamente hasta obtener una matriz 1 1.
Definicion
Si la matriz A = (a11), entonces
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Nota
El metodo que utilizaremos para calcular el determinante de unamatriz usa un proceso de recurrencia, es decir para calcular eldeterminante de una matriz de tamano n n debemos calcularpreviamente el determinante de una matriz n 1 n 1 y asisucesivamente hasta obtener una matriz 1 1.
Definicion
Si la matriz A = (a11), entonces det(A) = |A| = a11
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
Sea A una matriz cuadrada de tamano n n
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
Sea A una matriz cuadrada de tamano n n
A =
a11 a12 . . . a1j . . . a1n...
......
......
...
ai1 ai2 . . . aij . . . ain...
......
......
...
an1 an2 . . . anj . . . ann
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
Sea A una matriz cuadrada de tamano n n
A =
a11 a12 . . . a1j . . . a1n...
......
......
...
ai1 ai2 . . . aij . . . ain...
......
......
...
an1 an2 . . . anj . . . ann
a cada componente de la matriz A asociamos una matriz de
tamano n 1 n 1 denominada el menor ij, y denotado por
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
Sea A una matriz cuadrada de tamano n n
A =
a11 a12 . . . a1j . . . a1n...
......
......
...
ai1 ai2 . . . aij . . . ain...
......
......
...
an1 an2 . . . anj . . . ann
a cada componente de la matriz A asociamos una matriz de
tamano n 1 n 1 denominada el menor ij, y denotado porMij .
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
Sea A una matriz cuadrada de tamano n n
A =
a11 a12 . . . a1j . . . a1n...
......
......
...
ai1 ai2 . . . aij . . . ain...
......
......
...
an1 an2 . . . anj . . . ann
a cada componente de la matriz A asociamos una matriz de
tamano n 1 n 1 denominada el menor ij, y denotado porMij .
Mij Se define como la matriz obtenida de A eliminando en A la fila
i y la columna j
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Mij =
a11 . . . a1j1 a1j+1 . . . a1n...
......
......
...ai11 . . . ai1j1 ai1j+1 . . . ai1nai+11 . . . ai+1j1 ai+1j+1 . . . ai+1n...
......
......
...an1 . . . anj1 anj+1 . . . ann
n1n1
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
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Ejemplo
Si A =
2 1 34 5 100 4 2
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Ejemplo
Si A =
2 1 34 5 100 4 2
Entonces:
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Ejemplo
Si A =
2 1 34 5 100 4 2
Entonces:
M11 =
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Ejemplo
Si A =
2 1 34 5 100 4 2
Entonces:
M11 =
(5 104 2
)
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A =
2 1 34 5 100 4 2
Entonces:
M11 =
(5 104 2
)
M32 =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A =
2 1 34 5 100 4 2
Entonces:
M11 =
(5 104 2
)
M32 =
(2 34 10
)
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A =
2 1 34 5 100 4 2
Entonces:
M11 =
(5 104 2
)
M32 =
(2 34 10
)
M21 =?
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A =
2 1 34 5 100 4 2
Entonces:
M11 =
(5 104 2
)
M32 =
(2 34 10
)
M21 =? M33 =?
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
El Cofactor ij , es un numero que se asocia a cada componente de
la matriz A:
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
El Cofactor ij , es un numero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
El Cofactor ij , es un numero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Cij = (1)i+jdet(Mij) = (1)
i+j |Mij |
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
El Cofactor ij , es un numero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Cij = (1)i+jdet(Mij) = (1)
i+j |Mij |
Ejemplo
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
El Cofactor ij , es un numero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Cij = (1)i+jdet(Mij) = (1)
i+j |Mij |
Ejemplo
Sea A =
(4 82 3
)
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
El Cofactor ij , es un numero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Cij = (1)i+jdet(Mij) = (1)
i+j |Mij |
Ejemplo
Sea A =
(4 82 3
)
C11 =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
El Cofactor ij , es un numero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Cij = (1)i+jdet(Mij) = (1)
i+j |Mij |
Ejemplo
Sea A =
(4 82 3
)
C11 = (1)1+1| 3| = (1)2(3) = 3
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
El Cofactor ij , es un numero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Cij = (1)i+jdet(Mij) = (1)
i+j |Mij |
Ejemplo
Sea A =
(4 82 3
)
C11 = (1)1+1| 3| = (1)2(3) = 3
C12 =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
El Cofactor ij , es un numero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Cij = (1)i+jdet(Mij) = (1)
i+j |Mij |
Ejemplo
Sea A =
(4 82 3
)
C11 = (1)1+1| 3| = (1)2(3) = 3
C12 = (1)1+2| 2| = (1)3(2) = 2
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
El Cofactor ij , es un numero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Cij = (1)i+jdet(Mij) = (1)
i+j |Mij |
Ejemplo
Sea A =
(4 82 3
)
C11 = (1)1+1| 3| = (1)2(3) = 3
C12 = (1)1+2| 2| = (1)3(2) = 2
C21 =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
El Cofactor ij , es un numero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Cij = (1)i+jdet(Mij) = (1)
i+j |Mij |
Ejemplo
Sea A =
(4 82 3
)
C11 = (1)1+1| 3| = (1)2(3) = 3
C12 = (1)1+2| 2| = (1)3(2) = 2
C21 = (1)2+1|8| = (1)3(8) = 8
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
El Cofactor ij , es un numero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Cij = (1)i+jdet(Mij) = (1)
i+j |Mij |
Ejemplo
Sea A =
(4 82 3
)
C11 = (1)1+1| 3| = (1)2(3) = 3
C12 = (1)1+2| 2| = (1)3(2) = 2
C21 = (1)2+1|8| = (1)3(8) = 8
C22 =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
El Cofactor ij , es un numero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Cij = (1)i+jdet(Mij) = (1)
i+j |Mij |
Ejemplo
Sea A =
(4 82 3
)
C11 = (1)1+1| 3| = (1)2(3) = 3
C12 = (1)1+2| 2| = (1)3(2) = 2
C21 = (1)2+1|8| = (1)3(8) = 8
C22 = (1)2+2| 3| = (1)4(4) = 4
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Desarrollo por Cofactores
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Desarrollo por Cofactores
Para calcular el determinante de la matriz A seleccionamos una filao columna:
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Desarrollo por Cofactores
Para calcular el determinante de la matriz A seleccionamos una filao columna:
A =
a11 a12 a1na21 a22 a2n. . . . . . . . . . . .
ai1 ai2 ain. . . . . . . . . . . .
an1 an2 ann
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Desarrollo por Cofactores
Para calcular el determinante de la matriz A seleccionamos una filao columna:
A =
a11 a12 a1na21 a22 a2n. . . . . . . . . . . .
ai1 ai2 ain. . . . . . . . . . . .
an1 an2 ann
Supongamos que seleccionamos la fila i , entonces:
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Desarrollo por Cofactores
Para calcular el determinante de la matriz A seleccionamos una filao columna:
A =
a11 a12 a1na21 a22 a2n. . . . . . . . . . . .
ai1 ai2 ain. . . . . . . . . . . .
an1 an2 ann
Supongamos que seleccionamos la fila i , entonces:
detA = |A| = ai1Ci1 + ai2Ci2 + ...... + ainCin
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Desarrollo por Cofactores
Para calcular el determinante de la matriz A seleccionamos una filao columna:
A =
a11 a12 a1na21 a22 a2n. . . . . . . . . . . .
ai1 ai2 ain. . . . . . . . . . . .
an1 an2 ann
Supongamos que seleccionamos la fila i , entonces:
detA = |A| = ai1Ci1 + ai2Ci2 + ...... + ainCin
Se dice que el determinante de la matriz A se desarrollo por la filai .
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Ejemplo
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Ejemplo
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Ejemplo
Sea A =
(a b
c d
),
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Ejemplo
Sea A =
(a b
c d
),si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A|
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Ejemplo
Sea A =
(a b
c d
),si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(1)1+1|d |+ b(1)1+2|c | =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Ejemplo
Sea A =
(a b
c d
),si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(1)1+1|d |+ b(1)1+2|c | = ad bc
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Sea A =
(a b
c d
),si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(1)1+1|d |+ b(1)1+2|c | = ad bc
Si A =
(4 82 3
),
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Sea A =
(a b
c d
),si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(1)1+1|d |+ b(1)1+2|c | = ad bc
Si A =
(4 82 3
),entonces:
det(A) = |A| =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Sea A =
(a b
c d
),si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(1)1+1|d |+ b(1)1+2|c | = ad bc
Si A =
(4 82 3
),entonces:
det(A) = |A| = 4(3)(2)8 =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Sea A =
(a b
c d
),si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(1)1+1|d |+ b(1)1+2|c | = ad bc
Si A =
(4 82 3
),entonces:
det(A) = |A| = 4(3)(2)8 = 12(16) = 12+16 = 4
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Sea A =
(a b
c d
),si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(1)1+1|d |+ b(1)1+2|c | = ad bc
Si A =
(4 82 3
),entonces:
det(A) = |A| = 4(3)(2)8 = 12(16) = 12+16 = 4
Si A =
1 2 13 4 20 3 9
,
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Sea A =
(a b
c d
),si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(1)1+1|d |+ b(1)1+2|c | = ad bc
Si A =
(4 82 3
),entonces:
det(A) = |A| = 4(3)(2)8 = 12(16) = 12+16 = 4
Si A =
1 2 13 4 20 3 9
,desarrollado por la primera columna:
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Sea A =
(a b
c d
),si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(1)1+1|d |+ b(1)1+2|c | = ad bc
Si A =
(4 82 3
),entonces:
det(A) = |A| = 4(3)(2)8 = 12(16) = 12+16 = 4
Si A =
1 2 13 4 20 3 9
,desarrollado por la primera columna:
det(A) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Sea A =
(a b
c d
),si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(1)1+1|d |+ b(1)1+2|c | = ad bc
Si A =
(4 82 3
),entonces:
det(A) = |A| = 4(3)(2)8 = 12(16) = 12+16 = 4
Si A =
1 2 13 4 20 3 9
,desarrollado por la primera columna:
det(A) =
1(1)1+14 23 9
+ 3(1)2+12 13 9
+ 0(1)3+12 14 2
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Sea A =
(a b
c d
),si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(1)1+1|d |+ b(1)1+2|c | = ad bc
Si A =
(4 82 3
),entonces:
det(A) = |A| = 4(3)(2)8 = 12(16) = 12+16 = 4
Si A =
1 2 13 4 20 3 9
,desarrollado por la primera columna:
det(A) =
1(1)1+14 23 9
+ 3(1)2+12 13 9
+ 0(1)3+12 14 2
det(A) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Sea A =
(a b
c d
),si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(1)1+1|d |+ b(1)1+2|c | = ad bc
Si A =
(4 82 3
),entonces:
det(A) = |A| = 4(3)(2)8 = 12(16) = 12+16 = 4
Si A =
1 2 13 4 20 3 9
,desarrollado por la primera columna:
det(A) =
1(1)1+14 23 9
+ 3(1)2+12 13 9
+ 0(1)3+12 14 2
det(A) = 1(36 6) + (3)(18 (3)) + 0 = 30 63 = 33
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Regla de Sarrus
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Regla de Sarrus
Para el caso especial de las matrices de tamano 3 3, tambienpodemos encontrar un metodo similar al de las matrices 2 2usando diagonales, este metodo se conoce como:
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Regla de Sarrus
Para el caso especial de las matrices de tamano 3 3, tambienpodemos encontrar un metodo similar al de las matrices 2 2usando diagonales, este metodo se conoce como: La Regla deSarrus
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Regla de Sarrus
Para el caso especial de las matrices de tamano 3 3, tambienpodemos encontrar un metodo similar al de las matrices 2 2usando diagonales, este metodo se conoce como: La Regla deSarrus
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Regla de Sarrus
Para el caso especial de las matrices de tamano 3 3, tambienpodemos encontrar un metodo similar al de las matrices 2 2usando diagonales, este metodo se conoce como: La Regla deSarrus
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
El metodo consiste en repetir las dos primeras columnas acontinuacion de la ultima para formar diagonales de tres elementos:
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Regla de Sarrus
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Regla de Sarrus
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Regla de Sarrus
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades de los Determinantes
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) = 0
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) = 0
Si la Matriz B se obtuvo de A intercambiando dos filas o doscolumnas, entonces det(B) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) = 0
Si la Matriz B se obtuvo de A intercambiando dos filas o doscolumnas, entonces det(B) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) = 0
Si la Matriz B se obtuvo de A intercambiando dos filas o doscolumnas, entonces det(B) = det(A)
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) = 0
Si la Matriz B se obtuvo de A intercambiando dos filas o doscolumnas, entonces det(B) = det(A)
Si la Matriz B se obtuvo de A multiplicando una fila ocolumna por 6= 0, entonces det(B) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) = 0
Si la Matriz B se obtuvo de A intercambiando dos filas o doscolumnas, entonces det(B) = det(A)
Si la Matriz B se obtuvo de A multiplicando una fila ocolumna por 6= 0, entonces det(B) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) = 0
Si la Matriz B se obtuvo de A intercambiando dos filas o doscolumnas, entonces det(B) = det(A)
Si la Matriz B se obtuvo de A multiplicando una fila ocolumna por 6= 0, entonces det(B) = det(A)
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) = 0
Si la Matriz B se obtuvo de A intercambiando dos filas o doscolumnas, entonces det(B) = det(A)
Si la Matriz B se obtuvo de A multiplicando una fila ocolumna por 6= 0, entonces det(B) = det(A)
Si A es de tamano n n y R, entoncesdet(A) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) = 0
Si la Matriz B se obtuvo de A intercambiando dos filas o doscolumnas, entonces det(B) = det(A)
Si la Matriz B se obtuvo de A multiplicando una fila ocolumna por 6= 0, entonces det(B) = det(A)
Si A es de tamano n n y R, entoncesdet(A) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) = 0
Si la Matriz B se obtuvo de A intercambiando dos filas o doscolumnas, entonces det(B) = det(A)
Si la Matriz B se obtuvo de A multiplicando una fila ocolumna por 6= 0, entonces det(B) = det(A)
Si A es de tamano n n y R, entoncesdet(A) = ndet(A)
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Si la Matriz B se obtuvo de A reemplazando una fila ocolumna por la suma de ella con otra, entoncesdet(B) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Si la Matriz B se obtuvo de A reemplazando una fila ocolumna por la suma de ella con otra, entoncesdet(B) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Si la Matriz B se obtuvo de A reemplazando una fila ocolumna por la suma de ella con otra, entoncesdet(B) = det(A)
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Si la Matriz B se obtuvo de A reemplazando una fila ocolumna por la suma de ella con otra, entoncesdet(B) = det(A)
Si dos filas o columnas de A son iguales, entonces det(A) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Si la Matriz B se obtuvo de A reemplazando una fila ocolumna por la suma de ella con otra, entoncesdet(B) = det(A)
Si dos filas o columnas de A son iguales, entonces det(A) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Si la Matriz B se obtuvo de A reemplazando una fila ocolumna por la suma de ella con otra, entoncesdet(B) = det(A)
Si dos filas o columnas de A son iguales, entonces det(A) = 0
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Si la Matriz B se obtuvo de A reemplazando una fila ocolumna por la suma de ella con otra, entoncesdet(B) = det(A)
Si dos filas o columnas de A son iguales, entonces det(A) = 0
Si dos filas o columnas de A son multiplos escalares, entoncesdet(A) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Si la Matriz B se obtuvo de A reemplazando una fila ocolumna por la suma de ella con otra, entoncesdet(B) = det(A)
Si dos filas o columnas de A son iguales, entonces det(A) = 0
Si dos filas o columnas de A son multiplos escalares, entoncesdet(A) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Si la Matriz B se obtuvo de A reemplazando una fila ocolumna por la suma de ella con otra, entoncesdet(B) = det(A)
Si dos filas o columnas de A son iguales, entonces det(A) = 0
Si dos filas o columnas de A son multiplos escalares, entoncesdet(A) = 0
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si:
a b c
d e f
g h i
= 6, entonces:
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si:
a b c
d e f
g h i
= 6, entonces:
d e f
g h i
a b c
=
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si:
a b c
d e f
g h i
= 6, entonces:
d e f
g h i
a b c
=6
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si:
a b c
d e f
g h i
= 6, entonces:
d e f
g h i
a b c
=6 Porque?
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si:
a b c
d e f
g h i
= 6, entonces:
d e f
g h i
a b c
=6 Porque?
3a 3b 3cd e f4g 4h 4i
=
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si:
a b c
d e f
g h i
= 6, entonces:
d e f
g h i
a b c
=6 Porque?
3a 3b 3cd e f4g 4h 4i
=72
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si:
a b c
d e f
g h i
= 6, entonces:
d e f
g h i
a b c
=6 Porque?
3a 3b 3cd e f4g 4h 4i
=72 Porque?
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si:
a b c
d e f
g h i
= 6, entonces:
d e f
g h i
a b c
=6 Porque?
3a 3b 3cd e f4g 4h 4i
=72 Porque?
a + g b + h c + id e f
g h i
=
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si:
a b c
d e f
g h i
= 6, entonces:
d e f
g h i
a b c
=6 Porque?
3a 3b 3cd e f4g 4h 4i
=72 Porque?
a + g b + h c + id e f
g h i
= 6
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si:
a b c
d e f
g h i
= 6, entonces:
d e f
g h i
a b c
=6 Porque?
3a 3b 3cd e f4g 4h 4i
=72 Porque?
a + g b + h c + id e f
g h i
= 6 Porque?
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
3a 3b 3cd e f
g 4d h 4e i 4f
=
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
3a 3b 3cd e f
g 4d h 4e i 4f
= 18
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
3a 3b 3cd e f
g 4d h 4e i 4f
= 18 Porque?
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
3a 3b 3cd e f
g 4d h 4e i 4f
= 18 Porque?
a d g
c f i
b e h
=
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
3a 3b 3cd e f
g 4d h 4e i 4f
= 18 Porque?
a d g
c f i
b e h
=6
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
3a 3b 3cd e f
g 4d h 4e i 4f
= 18 Porque?
a d g
c f i
b e h
=6 Porque?
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
2 1 4 85 6 10 32 1 4 310 3 20 8
=
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
2 1 4 85 6 10 32 1 4 310 3 20 8
=0
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
2 1 4 85 6 10 32 1 4 310 3 20 8
=0 Porque?
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
2 1 4 85 6 10 32 1 4 310 3 20 8
=0 Porque?
2 5 3 22 3 2 51 3 2 21 6 4 3
=
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
2 1 4 85 6 10 32 1 4 310 3 20 8
=0 Porque?
2 5 3 22 3 2 51 3 2 21 6 4 3
=
0 1 1 60 3 2 11 3 2 20 3 2 5
=
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
2 1 4 85 6 10 32 1 4 310 3 20 8
=0 Porque?
2 5 3 22 3 2 51 3 2 21 6 4 3
=
0 1 1 60 3 2 11 3 2 20 3 2 5
=
1(1)4
1 1 63 2 13 2 5
=
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
2 1 4 85 6 10 32 1 4 310 3 20 8
=0 Porque?
2 5 3 22 3 2 51 3 2 21 6 4 3
=
0 1 1 60 3 2 11 3 2 20 3 2 5
=
1(1)4
1 1 63 2 13 2 5
=
1 0 03 1 193 1 23
=
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
2 1 4 85 6 10 32 1 4 310 3 20 8
=0 Porque?
2 5 3 22 3 2 51 3 2 21 6 4 3
=
0 1 1 60 3 2 11 3 2 20 3 2 5
=
1(1)4
1 1 63 2 13 2 5
=
1 0 03 1 193 1 23
=
(1)(1)21 191 23
=
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
2 1 4 85 6 10 32 1 4 310 3 20 8
=0 Porque?
2 5 3 22 3 2 51 3 2 21 6 4 3
=
0 1 1 60 3 2 11 3 2 20 3 2 5
=
1(1)4
1 1 63 2 13 2 5
=
1 0 03 1 193 1 23
=
(1)(1)21 191 23
=(23 19) = 4
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades
Si A es triangular superior o inferior o diagonal, entonces
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades
Si A es triangular superior o inferior o diagonal, entonces
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades
Si A es triangular superior o inferior o diagonal, entonces
det(A) = a11a22.....ann
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades
Si A es triangular superior o inferior o diagonal, entonces
det(A) = a11a22.....ann
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamano, entonces:
det(AB) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades
Si A es triangular superior o inferior o diagonal, entonces
det(A) = a11a22.....ann
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamano, entonces:
det(AB) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades
Si A es triangular superior o inferior o diagonal, entonces
det(A) = a11a22.....ann
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamano, entonces:
det(AB) = det(A)det(B)
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades
Si A es triangular superior o inferior o diagonal, entonces
det(A) = a11a22.....ann
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamano, entonces:
det(AB) = det(A)det(B)
det(An) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades
Si A es triangular superior o inferior o diagonal, entonces
det(A) = a11a22.....ann
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamano, entonces:
det(AB) = det(A)det(B)
det(An) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades
Si A es triangular superior o inferior o diagonal, entonces
det(A) = a11a22.....ann
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamano, entonces:
det(AB) = det(A)det(B)
det(An) = (det(A))n
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades
Si A es triangular superior o inferior o diagonal, entonces
det(A) = a11a22.....ann
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamano, entonces:
det(AB) = det(A)det(B)
det(An) = (det(A))n
Si A es no singular, entonces
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades
Si A es triangular superior o inferior o diagonal, entonces
det(A) = a11a22.....ann
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamano, entonces:
det(AB) = det(A)det(B)
det(An) = (det(A))n
Si A es no singular, entonces
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades
Si A es triangular superior o inferior o diagonal, entonces
det(A) = a11a22.....ann
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamano, entonces:
det(AB) = det(A)det(B)
det(An) = (det(A))n
Si A es no singular, entonces det(A1) = 1det(A)
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A33 y det(A) = 7, entonces:
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A33 y det(A) = 7, entonces:
det(4A) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A33 y det(A) = 7, entonces:
det(4A) = 43(7) = 448
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A33 y det(A) = 7, entonces:
det(4A) = 43(7) = 448
det(A1) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A33 y det(A) = 7, entonces:
det(4A) = 43(7) = 448
det(A1) = 17 =
17
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A33 y det(A) = 7, entonces:
det(4A) = 43(7) = 448
det(A1) = 17 =
17
det(2A1) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A33 y det(A) = 7, entonces:
det(4A) = 43(7) = 448
det(A1) = 17 =
17
det(2A1) = 2317 =87
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A33 y det(A) = 7, entonces:
det(4A) = 43(7) = 448
det(A1) = 17 =
17
det(2A1) = 2317 =87
det((2A)1) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A33 y det(A) = 7, entonces:
det(4A) = 43(7) = 448
det(A1) = 17 =
17
det(2A1) = 2317 =87
det((2A)1) =det(12A1) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A33 y det(A) = 7, entonces:
det(4A) = 43(7) = 448
det(A1) = 17 =
17
det(2A1) = 2317 =87
det((2A)1) =det(12A1) =(12 )
317 =
156
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A33 y det(A) = 7, entonces:
det(4A) = 43(7) = 448
det(A1) = 17 =
17
det(2A1) = 2317 =87
det((2A)1) =det(12A1) =(12 )
317 =
156
o tambien:
det((2A)1) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A33 y det(A) = 7, entonces:
det(4A) = 43(7) = 448
det(A1) = 17 =
17
det(2A1) = 2317 =87
det((2A)1) =det(12A1) =(12 )
317 =
156
o tambien:
det((2A)1) = 1det(2A) =
123det(A)
= 156
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A33 y det(A) = 7, entonces:
det(4A) = 43(7) = 448
det(A1) = 17 =
17
det(2A1) = 2317 =87
det((2A)1) =det(12A1) =(12 )
317 =
156
o tambien:
det((2A)1) = 1det(2A) =
123det(A)
= 156
det(A+ A) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A33 y det(A) = 7, entonces:
det(4A) = 43(7) = 448
det(A1) = 17 =
17
det(2A1) = 2317 =87
det((2A)1) =det(12A1) =(12 )
317 =
156
o tambien:
det((2A)1) = 1det(2A) =
123det(A)
= 156
det(A+ A) =det(2A) = 23(7) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A33 y det(A) = 7, entonces:
det(4A) = 43(7) = 448
det(A1) = 17 =
17
det(2A1) = 2317 =87
det((2A)1) =det(12A1) =(12 )
317 =
156
o tambien:
det((2A)1) = 1det(2A) =
123det(A)
= 156
det(A+ A) =det(2A) = 23(7) = 56
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejercicio
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejercicio
Si A es una matriz cuadrada involutiva, entonces: det(A) =?
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejercicio
Si A es una matriz cuadrada involutiva, entonces: det(A) =?
Si A es una matriz cuadrada ortogonal, entonces: det(A) =?
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejercicio
Si A es una matriz cuadrada involutiva, entonces: det(A) =?
Si A es una matriz cuadrada ortogonal, entonces: det(A) =?
Si A es una matriz cuadrada idempotente, entonces:
det(A) =?
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejercicio
Si A es una matriz cuadrada involutiva, entonces: det(A) =?
Si A es una matriz cuadrada ortogonal, entonces: det(A) =?
Si A es una matriz cuadrada idempotente, entonces:
det(A) =?
Si A es una matriz cuadrada antisimetrica, enonces:det(A) =?
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejercicio
Si A es una matriz cuadrada involutiva, entonces: det(A) =?
Si A es una matriz cuadrada ortogonal, entonces: det(A) =?
Si A es una matriz cuadrada idempotente, entonces:
det(A) =?
Si A es una matriz cuadrada antisimetrica, enonces:det(A) =?
Si A es una matriz cuadrada n n, enonces:det(A) =?
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
INVERSA DE UNA MATRIZ
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Teorema
Una matriz cuadrada A es no singular si y solo si det(A) 6= 0
Martha C. Moreno DETERMINANTES
-
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Teorema
Una matriz cuadrada A es no singular si y solo si det(A) 6= 0
Definicion
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Teorema
Una matriz cuadrada A es no singular si y solo si det(A) 6= 0
Definicion
Sea A = (aij), una matriz cuadrada
C =
c11 c12 c1nc21 c22 c2n. . . . . . . . . . . .
cn1 cn2 cnn
se denomina la matriz de cofactores de A
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
Sea A = (aij) una matriz cuadrada, la Adjunta de A , se definecomo la transpuesta de la matriz de los cofactores.
Es decir:
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
Sea A = (aij) una matriz cuadrada, la Adjunta de A , se definecomo la transpuesta de la matriz de los cofactores.
Es decir:
adj(A) = C t
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
Sea A = (aij) una matriz cuadrada, la Adjunta de A , se definecomo la transpuesta de la matriz de los cofactores.
Es decir:
adj(A) = C t
Proposicion
Sean A = (aij) matriz cuadrada y A la matriz obtenida de Acambiando la fila i por la fila j, entonces:
aj1ci1 + aj2ci2 + . . . + ajncin = 0, si i 6= j
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Demostracion
A =
a11 a12 a1n. . . . . . . . . . . .
ai1 ai2 ain. . . . . . . . . . . .
aj1 aj2 ajn. . . . . . . . . . . .
an1 an2 ann
A =
a11 a12 a1n. . . . . . . . . . . .
aj1 aj2 ajn. . . . . . . . . . . .
aj1 aj2 ajn. . . . . . . . . . . .
an1 an2 ann
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Demostracion
A =
a11 a12 a1n. . . . . . . . . . . .
ai1 ai2 ain. . . . . . . . . . . .
aj1 aj2 ajn. . . . . . . . . . . .
an1 an2 ann
A =
a11 a12 a1n. . . . . . . . . . . .
aj1 aj2 ajn. . . . . . . . . . . .
aj1 aj2 ajn. . . . . . . . . . . .
an1 an2 ann
det(A) =
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Demostracion
A =
a11 a12 a1n. . . . . . . . . . . .
ai1 ai2 ain. . . . . . . . . . . .
aj1 aj2 ajn. . . . . . . . . . . .
an1 an2 ann
A =
a11 a12 a1n. . . . . . . . . . . .
aj1 aj2 ajn. . . . . . . . . . . .
aj1 aj2 ajn. . . . . . . . . . . .
an1 an2 ann
det(A) = 0
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Demostracion
A =
a11 a12 a1n. . . . . . . . . . . .
ai1 ai2 ain. . . . . . . . . . . .
aj1 aj2 ajn. . . . . . . . . . . .
an1 an2 ann
A =
a11 a12 a1n. . . . . . . . . . . .
aj1 aj2 ajn. . . . . . . . . . . .
aj1 aj2 ajn. . . . . . . . . . . .
an1 an2 ann
det(A) = 0 = aj1ci1 + aj2ci2 + ...+ ajncin,
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Demostracion
A =
a11 a12 a1n. . . . . . . . . . . .
ai1 ai2 ain. . . . . . . . . . . .
aj1 aj2 ajn. . . . . . . . . . . .
an1 an2 ann
A =
a11 a12 a1n. . . . . . . . . . . .
aj1 aj2 ajn. . . . . . . . . . . .
aj1 aj2 ajn. . . . . . . . . . . .
an1 an2 ann
det(A) = 0 = aj1ci1 + aj2ci2 + ...+ ajncin, para i 6= j
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Teorema
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Teorema
A adj(A) = adj(A) A = det(A) In
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Teorema
A adj(A) = adj(A) A = det(A) In
Demostracion
Sea B = (bij ) = A adj(A)
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Teorema
A adj(A) = adj(A) A = det(A) In
Demostracion
Sea B = (bij ) = A adj(A)
B =
a11 a12 a1n. . . . . . . . . . . .
ai1 ai2 ain. . . . . . . . . . . .
an1 an2 ann
c11 c21 cj1 cn1. . . . . . . . . . .
c1i c2i cji cni. . . . . . . . . . .
c1n c2n cjn cnn
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Demostracion-Continuacion
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Demostracion-Continuacion
bij = (ai1 ai2 ain)
cj1cj2...cjn
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Demostracion-Continuacion
bij = (ai1 ai2 ain)
cj1cj2...cjn
bij = ai1cj1 + ai2cj2 + . . .+ aincjn
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Demostracion-Continuacion
bij = (ai1 ai2 ain)
cj1cj2...cjn
bij = ai1cj1 + ai2cj2 + . . .+ aincjn
bij =
{det(A), si i = j
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Demostracion-Continuacion
bij = (ai1 ai2 ain)
cj1cj2...cjn
bij = ai1cj1 + ai2cj2 + . . .+ aincjn
bij =
{det(A), si i = j
0, si i 6= j
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Matriz inversa
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Matriz inversa
Del teorema anterior se tiene que si A es no singular, entonces:
A1 = 1det(A)adj(A)
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REGLA DE CRAMER
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Consideremos el sistema:a11x1 + a12x2 + ....... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ....... + a2nxn = b2
.....
....
an1x1 + an2x2 + ....... + annxn = bn
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
En forma simplificada:
AX = B
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
En forma simplificada:
AX = B
Si A es no singular, entonces el sistema tiene unica solucion
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
En forma simplificada:
AX = B
Si A es no singular, entonces el sistema tiene unica solucion
X = A1B
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
En forma simplificada:
AX = B
Si A es no singular, entonces el sistema tiene unica solucion
X = A1BX = 1
det(A)adj(A)B
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
En forma simplificada:
AX = B
Si A es no singular, entonces el sistema tiene unica solucion
X = A1BX = 1
det(A)adj(A)B
X = 1det(A)
c11 c21 cj1 cn1. . . . . . . . . . .
c1i c2i cji cni. . . . . . . . . . .
c1n c2n cjn cnn
B
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
x1x2...xn
=
1det(A)
c11 c21 cj1 cn1. . . . . . . . . . .
c1i c2i cji cni. . . . . . . . . . .
c1n c2n cjn cnn
b1b2...bn
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
xi =
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
xi =1
det(A) [c1ib1 + c2ib2 + . . .+ cnibn]
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
xi =1
det(A) [c1ib1 + c2ib2 + . . .+ cnibn]
xi =1
det(A)
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
xi =1
det(A) [c1ib1 + c2ib2 + . . .+ cnibn]
xi =1
det(A)
a11 . . . a1i1 b1 a1i+1 . . . a1na21 . . . a2i1 b2 a2i+1 . . . a2n. . . . . . . . . . . .
an1 . . . ani1 bn ani+1 . . . ann
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
xi =1
det(A) [c1ib1 + c2ib2 + . . .+ cnibn]
xi =1
det(A)
a11 . . . a1i1 b1 a1i+1 . . . a1na21 . . . a2i1 b2 a2i+1 . . . a2n. . . . . . . . . . . .
an1 . . . ani1 bn ani+1 . . . ann
xi =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
xi =1
det(A) [c1ib1 + c2ib2 + . . .+ cnibn]
xi =1
det(A)
a11 . . . a1i1 b1 a1i+1 . . . a1na21 . . . a2i1 b2 a2i+1 . . . a2n. . . . . . . . . . . .
an1 . . . ani1 bn ani+1 . . . ann
xi =det(Ai )det(A)
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
xi =1
det(A) [c1ib1 + c2ib2 + . . .+ cnibn]
xi =1
det(A)
a11 . . . a1i1 b1 a1i+1 . . . a1na21 . . . a2i1 b2 a2i+1 . . . a2n. . . . . . . . . . . .
an1 . . . ani1 bn ani+1 . . . ann
xi =det(Ai )det(A)
Donde Ai es la matriz que se obtiene de A reemplazando lacolumna i por B
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