cicloide y cisoide
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Se describe cómo se puede construir la cicloide y la cisoide, usando GeogebraTRANSCRIPT
Wilbert De Jesús López
Descripción de una clase: Construcción de la cicloide y la cisoide
Contenido
La cicloide.........................................................................................................................................3
Un poco de historia….................................................................................................................3
Construcción de la cicloide........................................................................................................5
Construcción de la curva compañera de la cicloide...............................................................6
El área entre la curva compañera y la cicloide........................................................................6
Área bajo la curva compañera...................................................................................................7
Área bajo la cicloide....................................................................................................................8
La cisoide de Diocles......................................................................................................................9
Un poco de historia….................................................................................................................9
Construcción de la cisoide.........................................................................................................9
Conclusiones..................................................................................................................................10
Referencias....................................................................................................................................10
Wilbert De Jesús López
En esta clase vimos algunas construcciones interesantes como: la cicloide, la curva compañera de la cicloide, la cisoide de Diocles, la construcción de Pappus y Wittgenstein. Aquí sólo presentaré la construcción de la cicloide y la cisoide de Diocles utilizando GeoGebra.
Antes realizar cada una de las construcciones, daré una pequeña reseña histórica de las mismas. En cuanto a la primera curva, se calculará también el área bajo el arco de la cicloide, utilizando una derivación del método de un matemático francés llamado Gilles Personne de Roberval. Lo que hizo fue construir una curva auxiliar a la cicloide y para ello usó el método de los indivisibles.
Imagínate que tienes un juego de naipes. Si las cartas están apiladas, los mueves un poco, observarás que el volumen no cambia (considerándolos como un sólido). De igual forma, si tienes dos figuras planas de igual altura e igual base. Si en cada altura intermedia se puede probar que la sección transversal de uno de ellos es igual a la del otro, entonces estas dos superficies tendrán la misma área.
Lo anterior se le conoce como el principio de Cavalieri, el cual se enuncia de la siguiente manera:
Si dos sólidos tienen la misma altura y si las secciones que se obtienen por planos paralelos a las bases y a igual distancia de éstas están siempre en una razón dad, entonces los volúmenes de los sólidos están también en la misma razón. (Collette, 2006, p. 314).
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Sin embargo, aplicaremos este principio solo a dos figuras planas para determinar el área bajo el arco de una cicloide.
La cicloide
Imagínate que le pones un foquito a la rueda de la bicicleta bien pegado al neumático, así cuando ésta gira, el foquito describirá una trayectoria en forma de arcos, a esta curva se le llama cicloide.
Un poco de historia…
Desde la antigüedad los matemáticos han sabido que muchas curvas interesantes pueden definirse y dibujarse con instrumentos mecánicos sencillos. De estas curvas mecánicas las cicloides son de las más notables. Ptolomeo (ca. 200 d.C.) las usó de una manera muy ingeniosa para describir los movimientos de los planetas en los cielos (Courant y Robbins, 2002, pp. 185-187).
La más sencilla de las cicloides es la curva descrita por un punto fijo en la circunferencia de un círculo que rueda sin resbalar sobre una línea recta.
Nicholas de Cusa (1401-1464) fue el primero en estudiar la cicloide, cuando estaba intentando encontrar el área de un círculo por integración. Marin Mersenne (1588-1648) dio la primera definición formal de la cicloide en 1599 y estableció propiedades obvias tales como que la longitud de la base es igual a la circunferencia del círculo que rueda. Intentó encontrar el área bajo la curva por integración pero fracasó.
Alrededor de 1599, Galileo acuña el término cicloide y se encarga de estudiar por primera vez el área que encierra un arco de cicloide en base a consideraciones de carácter mecánico. Galileo efectuó la comparación entre el peso de un arco de cicloide y el círculo generador, hallando que los pesos se encontraban en relación de 3 a 1, pero decidió (erróneamente) que no debía ser exactamente 3, ya que intuía que dicha razón no debía ser un número racional. (Tortosa y Vicent, 2012, pp. 118-119).
Mersenne propuso el problema del área al francés Gilles Personne de Roberval (1602-1675) en 1628. Este fue resuelto por Roberval en 1634, afirmando que el área bajo la curva de un arco es tres veces el área del círculo que la generaba. Roberval orgulloso de su resultado, le escribió a René Descartes (1596-1650) dándoselo. Descartes replicó que el resultado era “uno bueno del cual no me
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había dado cuenta antes, que no causa dificultad a ningún geómetra moderadamente hábil.” Descartes retó a Roberval a encontrar un método para dibujar una tangente a la cicloide habiendo descubierto el mismo como construir una. Roberval fracaso, pero Fermat, quien estaba incluido en el reto, tuvo éxito.
En 1658 Blaise Pascal resolvió los problemas del área y el centro de gravedad de cualquier segmento de la cicloide. También resolvió los problemas del volumen y el área de la superficie del sólido de revolución formado por la rotación de la cicloide respecto al eje x.
Pascal (bajo el nombre de Dettonville) publicó un reto ofreciendo dos premios por la solución de los dos primeros problemas antes mencionados. El inglés John Wallis (1616-1703) y Antoine de Lalouvère (1600-1664) se enteraron. La solución de Lalouvère fue errónea. Wallis no tuvo éxito. René de Sluze (1622-1685), Michelangelo Ricci (1619-1682), Huygens, Sir Chistopher Wren (1632-1723) y Fermat comunicaron sus descubrimientos a Pascal sin estar enterados de la competencia. La contribución de Wren fue la más notable, encontró que la longitud de un arco es ocho veces el radio de la circunferencia que la generaba.
El físico holandés Huygens descubrió en 1659 que la cicloide es tautócrona lo que significa que dos partículas de la misma masa que caen en un arco cicloidal invertido de diferentes alturas alcanzan el punto más bajo en el mismo instante. El problema de la tautocronía es la determinación del tipo de curva a lo largo de la cual debe moverse una partícula sujeta a una fuerza específica para producir un movimiento armónico. El período de este movimiento es 2π . En 1673 Huygens demostró que la cicloide es tautócrona, y determinó su evoluta (Fernández, 2007, pp. 50-51).
En 1692 Jakob Bernoulli y Johann Bernoulli mostraron que la cicloide es la catacáustica (cáustica por reflexión) de un círculo cuando los rayos de luz provienen de un punto en la circunferencia.
El problema de la braquistócronia (del griego brachistos, el menor, y cronos, tiempo) es la determinación de un camino a lo largo del cual una partícula se mueve de un punto en un plano a otro, sujeta a una fuerza específica, en el menor tiempo posible. En junio de 1696 Johann Bernoulli retó a su hermano Jakob Bernoulli (eran rivales) a resolver el problema. En diciembre de 1696 Johann repitió su reto en el Acta eruditorum, pidiendo le enviaran soluciones antes de la pascua de 1697. Él ya sabía que la cicloide era braquistócrona y publicó su solución en 1697. Además de Johann y Jakob Bernoulli también Leibniz, Newton y L’Hôpital resolvieron el problema. Éste fue uno de los primeros problemas
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variacionales y su investigación fue el punto de arranque para el desarrollo del cálculo de variaciones. (Courant y Robbins, 2002, pp. 418-420).
Construcción de la cicloide
Para la construcción de la cicloide, realizar los siguientes pasos:
Traza una semirrecta AB.
Colocar un punto C sobre AB, de modo que C sea un punto libre sobre la semirrecta.
Traza la recta perpendicular a AB que pase por C. Coloca un punto D sobre la perpendicular. Traza una circunferencia con centro en D y radio CD. Traslada la distancia AC, sobre la circunferencia.
Como GeoGebra no cuenta con el comando de trasladar medidas, recurriremos a trazar el ángulo que contiene el arco de medida AC.
La medida de un arco s de una circunferencia está dado por s=rθ, siendo r el radio de la circunferencia y θ el ángulo en radianes. Como lo que queremos saber es el ángulo, entonces θ=s /r, donde, s=AC y r=CD, de
esta manera θ=ACCD
.
Ahora bien, utilizando la herramienta de ángulo dado su amplitud, seleccionamos el punto C, luego D y en el recuadro que aparecerá colocamos AC /CD, eligiendo la opción de sentido horario. Es importante elegir esta opción, en caso contrario el punto C’ se moverá en sentido contrario a las manecillas del reloj.
Con el procedimiento anterior, obtendremos el ángulo θ y el punto C’.
Oculta el ángulo ya que no se usará en los siguientes pasos. Observa que al mover el punto C sobre la semirrecta, el punto C’ cambia de posición (Puedes activar el rastro del punto C’ para observar el lugar que va generando).
Traza el lugar geométrico del punto C’ cuando se mueve el punto C (puedes quitar el rastro del punto C’).
Esta curva que se genera es la que se llama cicloide.
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Construcción de la curva compañera de la cicloide
Para construir la curva compañera de la cicloide, realizar lo siguiente:
Traza la recta perpendicular a CD, que pasa por el punto C’. Llamemos E al punto de intersección de esta nueva recta y CD.
Traza el segmento C ' E y ocultar la recta perpendicular. Activa el rastro del punto E cuando se mueve el punto C sobre AB . Traza el lugar geométrico E cuando se mueve el punto C sobre AB
(Desactivar el rastro del punto E).
Esta nueva curva construida se llama curva compañera de la cicloide.
El área entre la curva compañera y la cicloide
Para determinar el área entre las dos curvas, aplicaremos el principio de Cavalieri.
Mueve el punto C y observa que el segmento C ' E recorre simultáneamente el área de la circunferencia y el área contenida entre la cicloide y la curva compañera. Para visualizar mejor esto, activa el rastro del segmento C ' E.
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Aplicando el principio de Cavalieri, podemos decir que el área sombrada es igual a el área del círculo, es decir, es igual a π r2.
Área bajo la curva compañera
Ahora sólo falta conocer el área que está debajo de la curva compañera. Para ello trazamos un rectángulo de base y altura igual que de la cicloide.
De la figura anterior, se puede observar que la altura del rectángulo es 2 r y la base 2πr (igual que el perímetro del círculo), así que el área del rectángulo es 4 π r2.
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Se puede observar también que el área bajo la curva compañera es igual a la mitad del área del rectángulo, es decir
Áre acurva compañera=12Área delrectángulo=2π r2
Área bajo la cicloide
Ahora bien, con los resultados obtenidos anteriormente ya podemos calcular el área bajo un arco de la cicloide, el cual está dado por
Áre acicloide=Áreacurvacompañera+Áre aentre lasdos curvas¿2π r2+π r2=3 π r2
Por lo tanto, el área que se encuentra bajo un arco de la cicloide es igual a tres veces el área del círculo encerrado por la circunferencia que la genera.
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La cisoide de Diocles
Un poco de historia…
La cisoide fue construida por el griego Diocles (240−180 a.C. aproximadamente) para resolver la duplicación del cubo, ¿cuánto debe incrementarse la arista de un cubo para duplicar el volumen del cubo? Diocles también estudió el problema de Arquímedes de cortar una esfera con un plano de manera que los volúmenes de los segmentos estuviesen en una proporción dada.
El nombre de cisoide (viene de una palabra griega que significa en forma de hiedra) se mencionó por el griego Geminus (10 a.C.- 60 d.C. aproximadamente), un siglo después de la muerte de Diocles. Posteriormente el método usado para generar esta curva se generalizó, llamamos a las curvas generadas de este modo cisoides.
En los comentarios del trabajo de Arquímedes On the Sphere and the Cylinder la cisoide es atribuida a Diocles. Roberval y Fermat construyeron la tangente de la cisoide (1634). En 1658 Huygens y Wallis determinaron el área entre la curva y su asíntota. (Tortosa y Vicent, 2012, pp. 119-120).
Construcción de la cisoide
Para construir la cisoide de Diocles, realizaremos lo siguiente:
Traza la recta AB. Coloca un punto libre C sobre la recta AB. Traza una recta perpendicular a AB que pase por C. Coloca un punto D, sobre la recta perpendicular. Traza la circunferencia con centro en D y radio CD. Determina el punto de intersección de la circunferencia con la recta
perpendicular y llama a este punto E. Coloca un punto P sobre la recta AB. Traza el segmento EP. Traza la circunferencia con centro en E y radio CP. Determina el punto de intersección de la circunferencia con el segmento EP
y llama a este punto F (Ocultar la última circunferencia).
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Mueve el punto P y observa el lugar que describe el punto F. Para esto, puedes utilizar la herramienta de rastro.
Determina el lugar geométrico del punto F cuando se mueve el punto P. El lugar geométrico que se obtiene es la cisoide de Diocles.
Conclusiones
Estudiar los enfoques que los matemáticos utilizaron para el trabajo geométrico, puede proporcionar elementos interesantes para repensar la forma de estudiar el cálculo diferencial e integral. Al determinar el área bajo un arco de la cicloide, no hubo necesidad de utilizar conocimientos del cálculo integral sino que sólo aplicamos el Principio de Cavalieri.
Referencias
Collette, J. (2006). Historia de las matemáticas I. Madrid, España: Siglo veintiuno editores.
Courant, R. y Robbins, H. (2002). ¿Qué son las matemáticas? Conceptos y métodos fundamentales. México, D.F.: Fondo de cultura económica.
Fernández, M. (2007). Galería de curvas en el plano. Revista electrónica de contenido matemático, 24(3). Recuperado de http://www.red-mat.unam.mx/foro/volumenes/vol024/MaterialDeApoyoEnMaple9.pdf
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Tortosa, L. y Vicent, J. (2012). Geometría moderna para Ingeniería. España: Club Universitario.