1

CASO 1

Factor Común

“Común” significa que están o que pertenezcan a todos. De tal manera que factor común tiene el significado de las cantidades que aparecen multiplicando en todos términos de la expresión dividiéndose en 2.

Factor Común monomio

Ejemplo:

a2+2a=a (a+2 ) = En este caso escribimos el factor común de este monomio el

cual es “a” luego dividimos “a” sobre el monomio y el resultado dará:

a2+2a=a (a+2 )

Ejemplo 10a2+5a+15a3=5a (2a−1+3a2) En esta ecuación lo primero que se hiso

fue escribir l factor común en este caso es “5a”, luego dividimos todo el monomio

por el factor común y nos dio como resultado 5a(2a−1+3a2).

Factor Común polinomio

X(a+b)+m(a+b) = Los dos términos de esta expresión tienen como factor común el binomio (a+b).

x(a+b)(a+b)

=xm(a+b)(a+b)

=m = Dividir los dos términos de la expresión dada entre el

factor común (a+b) y el resultado dio (x, y)

x (a+b )+m (a+b )= (a+b )(x+m).

2x(a-1)-y(a-1) = primero tenemos que encontrar el factor común en este caso es (a+b).

2x (a−1)(a−1)

=2x− y (a−1)

(a−1)=− y = Al dividir los dos términos de la expresión nos dio

como resultado (2x, -y).

2 x (a−1 )− y (a−1 )=(a−1 )(2 x− y )

2

CASO 2

Factor Común por Agrupación de términos

El proceso consiste en formar grupos o agrupar términos en cantidades iguales (de dos en dos y de tres en tres) etc. Para luego factorizar cada grupo por factor común y finalmente para volver a factorizar por factor común.

Ejemplo

2ac+bc+10a+5b = primero Formaremos dos grupos uno con los dos primero términos y el otro con los otros dos términos.

2ac+2bc + 10a+5b = Al factorizar el primer grupo se observa que “c” es el factor común y en el segundo grupo se observa que “5” es el factor común.

2ac+bc + 10a+5b=c(2a+b) + 5(2a+b) = Luego de resolver y factorar nos dará.

2ac+bc + 10a+5b=(2a+b)(c+5) = Es el resultado final al factorar, donde multiplicamos el factor común por el resultado de la división del primer y segundo grupo en este caso “c” y “5”.

Pero en el caso que el factor este desordenado se tiene que agrupar los términos que tengan el mismo número o el mismo coeficiente.

EJEMPLO

2ac+5b + 10a+bc Al ordenarlo quedaría de ambas formas las cuales son:

2ac+bc + 10a+5bC(2a+b) + 5(2a+b)

(c+5)(2a+b)

10a+2ac + 5b+bc2a(5+c) + b(5+c)

(5+c)(2a+b)

Donde nos ha dado la misma respuesta.

3

2 x2−3xy−4 x+6 y

2 x2−3xy−4 x+6 y 2 x2−4 x−3xy+6 y

Como se observa también puede agruparse por ambas maneras y al resolverlo el resultado daría siempre el mismo

2 x2−3xy−4 x+6 y=x (2 x−3 y )−2 (2 x−3 y )=(2 x−3 y )(x−2)

2 x2−4 x−3xy−6 y=2 x ( x−2 )−3 y ( x−2 )=( x−2 )(2 x−3 y )

Ejercicios:

1- a2+ab+ax+bx2- am−bm+an−bn3- ax−2bx−2ay+4by4- x+x2+xy2− y2

5- 4 a2−1−a2+4a

4

CASO 3

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Una cantidad es cuadrada perfecta, cuando es el cuadrado de otra cantidad, o sea, cuando es el producto de dos factores iguales.

Así 4a² es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de 2a

En efecto: (2a)² =(-2a)(-2a)=4a² luego, -2a es también la raíz cuadrada de 4a².

Observe que (2a)² = 2a * 2a = 4a² y 2a multiplicado por si misma da 4a², y es la raíz cuadrada de 4a²

Raíz Cuadrada de un monomio

Para extraer la raíz cuadrada de un monomio se extrae la raíz cuadrada de su coeficiente y se divide el exponente de cada letra por 2.

Así, la raíz cuadrada de 9a2b4 es de 3ab² porque (3ab²)² = 3ab² * 3ab², el

resultado será 9a2b4.

La raíz cuadrada de 36 y6 y8 es 6 x3 y4.

Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, o sea, el producto de dos binomios iguales.

Así a2+2ab+b2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a+b en efecto

(a+b)2=(a+b ) (a+b )=a2+2ab+b2

Del propio modo, (2 x+3 y)2=4 x2+12 xy+9 y2 luego, 4 x2+12 xy+9 y2 es un

trinomio cuadrado perfecto.

Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primero y el tercer término son cuadrados perfectos (o tiene raíz cuadrada exacta) y positivas. Y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.

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Así, a2−4 ab+4b2 es cuadrada perfecta por:

Raíz cuadrada de a² -------aRaíz cuadrada de 4b²------2b

Y el doble producto de estas raíces: 2 * a * 2b = 4ab, da como resultado el segundo término del trinomio anterior

Cuando no es trinomio cuadrado perfecto.

36 x2−18 xy4+4 y8

6x 2 y4

Este trinomio no es cuadrado perfecto porque al multiplicar el doble producto de estas raíces 6 x∗2 y4∗2=2 4 xy4

Factorar un trinomio:

m²+2m+1 =(m*1)(m*1)=(m*1)²m 1

6

Caso 4

Diferencias de cuadrados perfectos.

Una diferencia de cuadrados se factoriza en dos binomios conjugados, formados con las raíces cuadradas de los términos originales.

Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre el minuendo y el sustraendo.

EJEMPLO:

1-a²= (1+a) (1-a) = 1+a-a-a² = 1-a²

16 x2−25 y4=(4 x+5 y¿¿2)(4 x−5 y¿¿2)¿¿

¿16 x2−20 xy2+20xy 2−25 y4

¿16 x2−25 xy4

Caso Especial:

(a+b)2−c2=[ (a+b )+c ] [ (a+b )−c]

¿ (a+b+c ) (a+b−c )

4 x2−¿

¿ (2 x+x+ y ) (2 x−x− y )

¿ (3 x+ y ) ( x− y )

Combinación del Caso 3 y 4

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Mediante estos términos se obtiene uno o dos trinomios cuadrados perfectos y descomponiendo el caso 3 se obtiene una diferencia de cuadrados caso 4.

EJEMPLOS:

a2+2ab+b2−1=(a¿¿2+2ab+b2)−1¿

¿¿

¿ (a+b+1 ) (a+b−1 )

a2+m−4 b−2am

a2−2am+m−4 b2=(a2−2am+m )−4b2

¿(a−m)2−4b2

¿ (a−m+2b ) (a−m−2b )

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Caso 5

Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción.

Si vemos este trinomio x4+x2 y2+ y 4 no es perfecto, la raíz cuadrada x4 es x2; la

raíz cuadrada de y4 es y2; el doble producto de estas raíces es 2 x2 y2; aquí notamos que no es trinomio cuadrado perfecto.

Para convertir este trinomio en cuadrado perfecto, hay que lograr que el segundo término x2 y2 se convierta en 2 x2 y2, lo cual se conseguirá sumándole x2 y2. Pero

para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma x2 y2

, y tendremos:

x4+x2 y2+ y 4

+x2 y2−x2 y2

x4+2 x2 y2+ y4−x2 y2=(x4+2 x2 y2+ y4)−x2 y2

Factorando eltrinomio=¿

Factorando dif . cuadrados=(x2+ y2+xy )(x2+ y2−xy )

Ordenando=(x2+xy+ y2 )(x2−x y+ y2)

4 a4+8a2b2+9b4 ¿

2a23b2

9

4 a4+8a2b2+9b4

+4a2b2−4 a2b2

4 a4+12a2b2+9b4−4 a2b2=(4 a4+12a2b2+9 y4)−4a2b2

¿¿

¿ (2a2+3b2+2ab )(2a2+3b2−2ab)

¿ (2a2+2ab+3b2 )(2a2−2ab+3b2)

Factor de una suma o de dos cuadrados.

Una suma de dos cuadrados no tiene descomposición en factores racionales, es decir, factores en que no haya raíz pero hay suma de cuadrados que, sumándoles o restándoles una misma cantidad, pueden llevarse al caso anterior y descomponerse

a4+4 b4 Para que se convierta en un trinomio debemos agregarle 4 a2b2, y restarle

la misma cantidad.

a4+4 b4

+4a2b2−4 a2b2

a4+4 a2b2+4 b4−4 a2b2=(a¿¿ 4+4a2b2+4b4)−4 a2b2 ¿

¿¿

¿ (a2+2b2+2ab )(a2+2b2−2ab)

¿ (a2+2ab+2b2 )(a2−2ab+2b2)

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Caso 6

Trinomio de la forma x2+bx+c

Como se sabe para factorar este trinomio, se descompone en dos binomios, cuyo primer término es la raíz cuadrada del primer término, luego buscamos dos numero que al sumarse den el segundo valor y al multiplicar den el tercer valor.

EJEMPLO:

x2+5x+6 Primero debemos descomponer el trinomio en 2 binomios

(X+3) (X+2) Resultado al descomponer el trinomio

Si ambos tienen el mismo signo (+ +), (- -) se buscaran dos números que al sumarse de “x” cantidad y al multiplicarse den “y” cantidad, cuya suma será el valor absoluto del segundo término y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término. Pero si el signo no es el mismo se buscaran dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de este término es el segundo del primer binomio y el menor el segundo término del segundo binomio.

EJEMPLOS:

a2−2a−15=(a−5 )(a+3)

¿a2+3 a−5a−15

¿a2−2a−15

x2+2x−15=( x+5 )(x−3)

¿ x2−3 x+5x−15

¿ x2+2x−15

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Caso 7

Trinomio de la forma a x2+bx+c.

Son trinomios de esta forma 2 x2+11 x+5 3a2+7 a−6

10n2−n−2 7m223m+6, que se diferencia de los trinomios estudiados en el caso anterior en que el primer término tiene un coeficiente distinto de 1.

Al Factorar:

6 x2+7 x−3 Primero se multiplicamos el trinomio por el coeficiente de x2 que

en este caso es 6 y dejamos indicado del producto de 6(7x):

6 x2+7 x−3 (6 )=6 (6 x2)+6 (7 x )−6(3)

36 x2+7(6 x )−18 Ya que dejamos indicada 7(6x) luego se escribirá de la siguiente

manera

(6 x )2+7 (6 x)−18 Al descomponer este trinomio por el caso anterior el primer

término de cada factor será la raíz cuadrada de (6 x )2

(6x-9) (6x+2) Para llegar hasta aquí buscamos dos números cuya diferencia sea 7 y cuyo producto sea -18

(6x-9) (6x+2) 6

Como al principio el trinomio se multiplico 6, ahora se tiene que dividir entre 6

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Pero cono ninguno de los binomios es divisible por 6 se descompone 6 en 2 * 3 y se divide (6x-9) entre 3 y (6x+2) entre 2 se tendrá:

(6 x−9 ) (6 x+2 )

2∗3 ¿ (2 x−3 ) (3x+1 )

¿6 x2+2x−9x−3

¿6 x2−7 x−3

¿6 x2−7 x−3=(2x−3 )(3 x+1)

EJEMPLO:

20 x2+7 x−6=(20 x)2−7 (20 x )−180

(20 x)2−7 (20x )−180=(20 x+15 )(20 x−8)

20

(20x+15 )(20x−8)5∗4

= (4 x+3 )(5 x−2)

¿ (4 x+3 )(5 x−2)

¿20 x2−8 x+15x−6

¿20 x2+7 x−6= (4 x+3 )(5 x−2)

Casos Especiales

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Al factorar 15 x2+11 x2−12

Al multiplicar por 15 (15 x2)2−11 (15 x2 )−180

Descomponer el Trinomio (15 x2−20 ) (15 x2+9 )

El primer término de cada factor será la raíz cuadrada de (15 x2 ).

(15 x2−20 ) (15 x2+9 )15

Dividiendo por 15

(15 x2−20 ) (15 x2+9 )5∗3

=(3 x2−4 )(5 x2+3)

EJERCICIOS:

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CASO 8

Cubo Perfecto de binomio.

En los productos notables se vio que: (a+b)3=a3+3 a2b+3ab2+b3

(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3

Lo anterior nos dice que para que una expresión algebraica ordenada con respecto a una letra sea el cubo de un binomio, tiene que cumplir las siguientes condiciones.

1- Tener cuatro términos2- Que el primer y el último término sean cubos perfectos.3- Que el segundo término sea más o menos el triplo del cuadrado de la raíz

cubica del primero término multiplicado por la raíz cubica del último término 4- Que el tercer término sea más el triplo de la raíz cúbica del primer término

por el cuadrado de la raíz del último.

Raíz cubica de un monomio.La raíz cúbica de un monomio se obtiene extrayendo la raíz cúbica de su coeficiente y dividiendo el exponente de cada letra entre 3.Así la raíz cúbica de 8a3b6 es 2ab2 En efecto¿

8 x3+12x2+6 x+1 Es el cubo de un binomio

8 x3=2 x Al sacar la raíz cubica a 8 x3

1 = 1 Al sacar la raíz cúbica de 13¿ Segundo Termino3 (1 ) ¿ Tercer Termino

Factorar una expresión que es el cubo de un binomio

1+12a+48a2+64a3=(1+4a)3

a9−18a6b5+108 a3b10−216b15=¿¿

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Caso 9Suma o diferencia de cubos perfectos.

Sabemos que: a3+b3

a+b=a2−ab+b2Y : a

3−b3

a−b=a2+ab+b2

Y como en toda división exacta el dividendo es igual al producto del divisor del divisor por el cociente, tendremos:

a3+b3=¿)(a2−ab+b2¿a3−b3=(a−b ) (a2+ab+b2 )

La formula nos dice que

REGLA 1

La suma de todos dos cubos perfectos se descomponen en dos factores:

1- La suma de sus raíces cubicas2- El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las 2 raíces, mas el

cuadrado de la segunda raíz.

La fórmula 2 indica:

REGLA 2

1- La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores 2- La diferencia de sus raíces cubicas 3- El cuadrado de la primera raíz más el producto de las dos raíces, mas el

cuadrado de la segunda raíz

EJEMPLO:

x3+1 Al encontrarnos con este cubo perfecto, primero extraer raíz cúbica de

ambos.

x ,1 Luego efectuar la operación

x3+1=( x+1 ) [x2−x (1 )+12 ]=( x+1 ) ( x2−x+1 )

¿ x3−x2+ x+x2−x+1

¿ x3+1

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Al factorar

27a3+b6=3 a+b2

27a3+b6=(3a+b2 )=¿

¿27a3−9a2b2+3ab4

+9 a2b2−3ab4+b6

¿27a3+b6

¿

¿

¿ (a+b+1 )(a2+2ab+b2−a−b+1)}

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Caso 10

Suma o diferencia de dos potencias iguales

- El número de monomios que lo conforman son 2- La raíz del primer y segundo monomio tienen que ser raíz n-ésimas

diferentes a las raíces cuadradas o cúbicas.- Valido para operar tanto en suma como en resta entre los monomios

Pasos para desarrollar la factorización.

- Organizar los monomios de mayor a menor exponente- Sacar la raíz n-ésima al primer y segundo termino - Dividir la expresión original entre la suma o resta(de acuerdo al signo del

segundo término) de las raíces- Igualar este término a la suma de los (n-1). En donde se observa que el

primer término comienza elevado a (n-1) y termina en 0- Mientras que el segundo término comienza con 0 y termina en (n-1)- Pasar a multiplicar el término ubicado en el denominador a la expresión

obtenida en el paso anterior- Verificar que la expresión da el ejercicio que se quiere desarrollar

EJEMPLOS:

m5+n5

m+n=m4−m3n+m2n2−mn3+n4

m5+n5= (m+n )¿

a5−b5=a−b

a5−b5

a−b=a4+a3b+a2b2+ab3+b4

a5+b5=(a+b ) (a4+a3b+a2b2+ab3+b4 )