Centroides.

3.1 Centro de Gravedad.

3.2 Propiedades de simetra.

3.3 Centroides de reas y lneas.

3.4 Centroides de reas y lneas compuestas.

3.5 Centroides de volmenes compuestos.

3.6 Momentos de Inercia de reas compuestas.

3.7 Teorema de los ejes paralelos.

3.8 Radios de giro y momento polar de Inercia.

3.1 Centro de Gravedad.

El peso de un cuerpo es la resultante de las fuerzas msicas distribuidas que la Tierra ejerce sobre los puntos materiales que constituyen el cuerpo.

El centro de gravedad es el punto de aplicacin de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actan sobre las distintas porciones materiales de un cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo.

En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo.

El centro de gravedad de un cuerpo no corresponde necesariamente a un punto material del cuerpo. As, el c.g. de una esfera hueca est situado en el centro de la esfera que, obviamente, no pertenece al cuerpo. En fsica, adems del centro de gravedad aparecen los conceptos de centro de masa y de centro geomtrico o centroide que, aunque pueden coincidir con el centro de gravedad, son conceptualmente diferentes.

Centro de masa y centro de gravedad: El centro de masas coincide con el centro de gravedad slo si el campo gravitatorio es uniforme; es decir, viene dado en todos los puntos del campo gravitatorio por un vector de magnitud y direccin constante.

Centro geomtrico (Centroide) y centro de masa: El centro geomtrico de un cuerpo material coincide con el centro de masa si el objeto es homogneo (densidad uniforme) o cuando la distribucin de materia en el sistema es simtrico.

En nuestros estudios de Ingeniera Civil se asume que el cuerpo se encuentra en condicin ideal, es decir, el campo gravitatorio es uniforme y el objeto motivo de estudio es homogneo; luego el centro de gravedad, el centro de masa y el centroide coinciden en un mismo punto. Los dos mtodos ms utilizados para el clculo del centroide de una figura geomtrica plana son el Mtodo de las reas y el Mtodo de integracin directa. Si una figura geomtrica posee un eje de simetra, el centroide de la figura coincide con este eje.

El punto G del cuerpo en el que acta el peso es el C.D.G. del cuerpo.

El mdulo de la fuerza que la Tierra ejerce sobre un punto material dado del cuerpo depende de la masa de dicho punto y de la distancia a que se encuentre del centro de la Tierra. En la prctica se supone que todos los puntos del cuerpo experimentan la misma aceleracin gravitatoria g. Adems, debido al tamao de la Tierra, las rectas soporte de las fuerzas que se ejercen sobre los distintos puntos materiales concurren en el centro de la Tierra y se pueden suponer paralelas. Estas dos hiptesis dan un centro de gravedad que coincide con el CDM ya que:

Si se multiplican por g los dos miembros de las ecuaciones descritas para el clculo del CDM tendremos:

Donde:

Cuando el cuerpo tenga una forma concreta, su C.D.G. podr determinarse considerando que el cuerpo est constituido por infinitos elementos cada uno de los cuales tenga un peso dW dado as:

donde es el peso especfico del material (peso por unidad de volumen) y dV es el volumen del elemento. El peso total del cuerpo ser:

Si se elige un sistema de coordenadas xyz tal que la recta soporte del peso W sea paralela al eje z, el momento respecto al eje y del peso dW de un elemento ser

Y segn la definicin de CDG:

As pues, la coordenada x de un punto de la recta soporte del peso W ser:

Anlogamente,

3.2 Propiedades de Simetra.

El centroide de un objeto o figura tambin puede definirse como unpunto fijodelgrupo de isometrade dicha figura. Para un objeto, figura limitada o regin finita el grupo de isometra no incluye traslaciones y en ese caso si el grupo de isometra no es trivial, sussimetraspueden determinar el centroide.

Sin embargo si para un objeto tiene alguna simetra traslacional el centroide no est definido, porque unatraslacinno tiene ningn punto fijo.

El centroide geomtrico de un objeto convexo siempre se encuentra en el objeto. Un objeto no convexo puede tener un centro de gravedad que est fuera de la propia figura. El centroide de un anillo o un recipiente, por ejemplo, se encuentra en vaco central del objeto.

Si se define el centroide, es un punto de todas las isometras en su grupo de simetra fijo. En particular, el centroide geomtrico de un objeto se encuentra en la interseccin de todos sus hiperplanos de simetra. El centroide de muchas figuras puede ser determinada por este principio solo.

En particular, el centro de gravedad de un paralelogramo es el punto de encuentro de sus dos diagonales. Esto no es cierto para otros cuadrilteros.

Por la misma razn, el centro de gravedad de un objeto con simetra de traslacin no est definido, debido a una traduccin no tiene un punto fijo.

Se conoce como centroide al centro de masa de una regin sin masa en un plano

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