semana 3 - estructuras y centroides

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

SEPARATA 3 ESTÁTICA (GEAF 204)

SEMESTRE 2014 – 0

CONTENIDO: SEMANA 3

Análisis estructural y Centro de Gravedad.

Armaduras simples métodos de nudos y método de secciones.

Armaduras espaciales.

Centro de Gravedad, centro de masa y centroide del cuerpo.

Centro de Gravedad de cuerpos compuestos.

Teorema de Pappus.

AUTOR: Mg. Martín Sandoval Casas.


FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

ESTÁTICA (GEAF 204)

1. GENERALIDADES:

FUNDAMENTACIÓN DEL CURSO: La asignatura de Estática corresponde al área de formación profesional y es de naturaleza teórico – práctica y de carácter obligatorio. Esta asignatura tiene como propósito hacer comprender a los estudiantes que en toda estructura, así como en todos sus elementos que lo conforman deben considerarse tres conceptos importantes: equilibrio, estabilidad y resistencia. En este curso se tratan los dos primeros aspectos, es decir, que la estructura y sus partes componentes deben disponerse de tal manera que se asegure el estado de reposo con respecto a su base. COMPETENCIAS. Identifica los distintos tipos de estructuras de Ingeniería Civil que se presentan en la vida diaria en la práctica profesional. 2. INTRODUCCIÓN Esta separata desarrolla los puntos contenidos en la programación del sílabo correspondientes a la tercera semana: El análisis de estructuras es un tema muy importante en el desarrollo de la estática y en la formación de un ingeniero civil. El análisis estructuras se hace con la aplicación de la primera ley de Newton y la segunda condición de equilibrio. Al final el alumno podrá analizar estructuras en el plano y en el espacio, así como aplicarlas en casos reales y construir estructuras estables en forma experimental. Luego el centro de gravedad de figuras planas y compuestas, donde se utilizara las herramientas del cálculo integral para figuras no simétricas.


3. CONTENIDO

3.1. SEGUNDA UNIDAD: EQUILIBRIO CUERPOS RÍGIDOS Y ANÁLISIS ESTRUCTURAL

Se

ma

na

Contenidos Capacidad Indicador de logro Actitudes Indicador de logro

3

Análisis estructural Armaduras: métodos de nodos y método de secciones. Armaduras espaciales.

Resuelve situaciones problemáticas sobre armaduras.

Resuelve problemas de armaduras planas y espaciales en una práctica dirigida.

Protege su entorno físico.

Respeta los espacios que permiten la libre circulación entre el mobiliario del aula, a fin de mitigar los riesgos en caso de evacuación.

3

Centro de Gravedad y Centroide. Centro de gravedad, centro de masa y el centroide del cuerpo. Centro de gravedad de cuerpos compuestos. Teorema de Papuss.

Resuelve situaciones problemáticas sobre el centro de gravedad de figuras planas y de cuerpos compuestos.

Resuelve problemas de centro de gravedad y centroide en un informe.

Equidad

Toma decisiones basadas en juicios que consideran las necesidades del otro.

ESTRUCTURAS

Las estructuras están en toda la naturaleza, en una telaraña, en el sistema esquelético, etc.

Trataremos de enfocar analizando las fuerzas internas de una parte de la estructura sobre otra parte

de la misma. Para determinar las fuerzas internas se dividirá la estructura y se realizará un DCL de

cada parte.

CLASIFICACIÓN DE LAS ESTRUCTURAS.

1. Armaduras. Estas estructuras se diseñan para soportar cargas y prevenir el movimiento. Las

partes de la armadura se componen de piezas espigadas y rectas que se conectan en sus

extremos, formando juntas. Estas armaduras pueden ser planas o espaciales, dependiendo

la configuración de sus miembros. En este caso se considera solo fuerzas de tensión o

comprensión.

2. Marcos. Un marco se diseña para soportar cargas y prevenir el movimiento pero, a

diferencia de la armadura, tiene al menos un miembro con más de dos fuerzas actuando

sobre él. Esto significa que algunas partes del marco estará sujeto a los efectos de flexión y

torsión.


3. Máquinas. Es un ensamble de partes que trasmiten fuerzas y movimiento, es decir se

trasmite energía de un cuerpo a otro y por lo tanto se tendrá partes móviles.

ARMADURAS PLANAS

El análisis de armaduras se basa en que se supone que todos los miembros o partes de la armadura

son miembros de dos fuerzas. Un miembro es un elemento, recto y rígido que esta remachado a uno

o más elementos diferentes en conexiones llamadas juntas.

Tensión Compresión

Si hay equilibrio entonces Las fuerzas son iguales en magnitud pero opuestas en dirección.

El elemento constitutivo básico de toda armadura es el triángulo. Para mantener su forma y resistir

las grandes cargas que se apliquen, las armaduras han de ser estructuras rígidas, desde luego esto

no significa que la estructura no se deforme, experimentara deformaciones muy pequeñas, pero

mantendrá casi totalmente su forma. Las armaduras grandes se construyen a base de triángulos, a

estas armaduras se denominan armaduras simples.

La importancia de la armadura simple es que permite de manera sencilla la rigidez y resolubilidad de

la armadura. Sea m el número de miembros y n el número de nudos de la armadura, estos estarán

relacionados por:

m = 2n – 3 (1)

Esta es la condición necesaria para garantizar que el número de ecuaciones a resolver (2n) es igual

al número de incógnitas a despejar (m fuerzas en los miembros más tres reacciones en los apoyos).

Esta relación solo es garantía para armaduras simples y planas. Una generalización de la ecuación

(1) es:

m = 2n – r (2)

Donde r es el número de reacciones en los apoyos.

CONSIDERACIONES DE ANÁLISIS

La armadura solo está cargada en los nudos.

Se desprecian los pesos de los miembros de la armadura.

Fa Fa Fb Fb


MÉTODO DE NUDOS

Consideremos la siguiente armadura.

Veamos si cumple la condición de rigidez y resolución, vemos que son 5 miembros (m), cuatro

nudos (n) y tres reacciones en los apoyos

Según la ecuación (1) se tiene 5 = 2*4 – 3, por lo tanto la estructura es rígida y tiene solución.

El diagrama de cuerpo libre de la armadura es

Como la estructura se encuentra en equilibrio, entonces

podemos aplicar la primera ley de Newton y

obtenemos:

Aplicamos la primera ley de Newton en el eje x. 1 000 + Ax = 0, por lo tanto Ax = – 1

000 N, lo cual implica que su magnitud es 1 000 N y su dirección es opuesta a la elegida, es decir la

reacción Ax no apunta hacia la derecha, según lo hemos elegido en la figura, su correcta disposición

seria hacia la izquierda.

Aplicamos la primera ley de Newton en el eje y. Ay + By = 2 000 N

Aplicamos sumatoria de momentos en A. Los torques horarios los igualamos con los torques

antihorarios, entonces tenemos:

1 000 (4) + 2 000(8) = By(8), entonces By es 2 500 N y en la dirección mostrada.

Reemplazamos en la ecuación anterior y obtenemos Ay = – 500 N. El resultado implica que la

dirección de Ay es contraria a la elegida.

Si la estructura es un cuerpo rígido en equilibrio, entonces cada una de sus partes también lo estará.

El método de nudos consiste en desmontar la armadura y analizar cada miembro de la armadura y

cada pasador, para esto se debe realizar un correcto diagrama de cuerpo libre.

Si sacamos el miembro DC, tenemos:

En magnitud, podemos decir FCD = FDC, además serian fuerzas de compresión.

1 000 N

D

4 m

8 m

A B

C

2 000 N

FCD FDC

1 000 N

D

4 m

8 m

A B

C

2 000 N

Ax Ay By


Si analizamos el nudo D, tenemos, según la tercera ley de Newton F’CD sería la reacción a la fuerza FCD que actúa sobre la barra CD.

Aplicando la primera ley de Newton al nudo D, se tiene que F‟CD = 1 000 N y FAD es nula.

Si analizamos el nudo C, aplicamos la primera ley de Newton al eje x, se tiene:

1 000 N = FAC cos FAC = 1 118 N Analizamos el eje y y obtenemos:

2 000 N + FACsen = FBC FBC = 2 500 N Ahora analizamos el nudo B, si aplicamos la primera ley de Newton al eje x, de inmediato se obtiene que FAB es nula. Y si analizamos el eje y, obtenemos que By = 2 500 N. Finalmente analizamos el nudo A, y lo usamos para verificar nuestros resultados, cumple con todo lo encontrado. Finalmente podemos concluir que las barras AD y AB no soportan fuerzas, pero están listas a actuar en el caso que se apliquen fuerzas diferentes a las aplicadas, por ejemplo una carga vertical en el nudo D y actuaria la barra AD. Las barras BC y CD están sometidas a fuerzas de compresión y la barra AC está sometida a tensión. MÉTODO DE SECCIONES

En el método de nudos se trata de descomponer todas las partes de la armadura y analizar uno a

uno los nudos, este proceso resulta trabajoso si queremos calcular alguna fuerza que esta por el

medio de la armadura. El método de secciones permite partir la armadura en dos partes, si el total

está en equilibrio, las partes o secciones también lo están.

Determínese la fuerza en el miembro EF de la armadura.

D 1 000 N F’CD

FAD

C 1 000 N

FBC

2 000 N

FAC

1

2

B FAB

By

FCB = 2 500 N

1 000 N

Ay

FDA = 0 N FCA

FBA = 0 N

A

28 kN 28 kN

A C E G I K 16 kN

10 m

8 m 8 m 8 m 8 m 8 m

J H F D

B


Hacemos el diagrama de cuerpo libre de toda la armadura.

En el eje x, la aplicación de la primera ley de Newton, nos da: Bx + 16 = 0 por lo tanto Bx = – 16 kN.

Esto significa que la dirección elegida no es la correcta, es decir, su dirección no es hacia la derecha

sino hacia la izquierda.

El análisis en el eje y, By + Jy = 56 kN.

Ahora aplicamos momentos con respecto a B, igualamos los momentos horarios y antihorarios.

28(8) + 28(24) + 16(10) = Jy(32) entonces Jy = 33 kN.

Reemplazamos en la relación anterior y obtenemos By = 23 kN.

Ahora realizamos cortes, para buscar las fuerzas pedidas.

Analizamos la sección de la izquierda Si tomamos el punto E y evaluamos los torques, se

tiene:

28(8) + FFD(10) = 23(16) +16(10)

De donde FFD es 30,4 kN.

En el je x, podemos establecer que:

FFD +FFG = 16 N. 30,4 +FFG = 16 FFG = –14,4 N.

En el eje y, podemos establecer que:

By = 28 + FFE 23 = 28 + FFE FFE = –5 kN.

ARMADURAS ESPACIALES

28 kN 28 kN

A C E G I K 16 kN

10 m

8 m 8 m 8 m 8 m 8 m

J H F D

B

Bx Jy By

28 kN 28 kN

A C E G I K 16 kN

10 m

8 m 8 m 8 m 8 m 8 m

J H F D

B

Bx Jy By

28 kN

A C E

10 m

8 m 8 m 8 m

D

B 16 kN

By

FFE

FFG

FFD

23 kN


Una armadura cuyos nudos no se encuentran todos en un plano, o los apoyos y cargas no son

coplanarios, estamos frente a una armadura espacial. El equivalente tridimensional del triángulo es el

tetraedro, las armaduras espaciales se construyen a partir de subunidades tetraédricas, ahora cada

nudo lleva tres miembros y la relación entre los nudos y el número de miembros es:

m = 3n – 6

Las armaduras espaciales simples son siempre rígidas, el método de análisis ya fue descrito en los

temas anteriores, es decir podemos aplicar la suma de momentos igual a cero y la suma de fuerzas

igual a cero.

CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE.

En la práctica las fuerzas puntales no existen en realidad son fuerzas distribuidas sobre

longitudes o áreas tal como se muestran en las figuras 12.1, 12.2 y 12.3

x

y

z

A

B

C

D

x

y

z

A

B

C

D


Las cargas aplicadas a un cuerpo pueden ser distribuidas como se aprecia en la Fig 12.4

CENTRO DE MASA

Si se suspende un cuerpo (cualquiera) desde una cuerda desde diversos puntos del mismo

A, B, C (Fig 14.5) , las líneas de acción del peso W para cada posición se intersectan en un

punto, el Centro de Gravedad G del cuerpo.

Expresiones del centro de gravedad

Podemos sustituir W = mgy dW = g dM, luego las expresiones del centro de gravedad se

expresan como

La ecuaciones anteriores se pueden expresar vectorialmente si el vector de posición del

elemento de masa dm es: ----- (I)


Además la expresión del vector de posición del centro de gravedad G del cuerpo es:

de tal manera que

De donde se deriva las ecuaciones para determinar las coordenadas del centro de

gravedad

Estas expresiones son independientes de la aceleración de la gravedad „g‟ , quiere decir

que la localización del punto G solo depende de la distribución de la masa del cuerpo, a

este punto se le conoce como el Centro de Masa y coincide con el centro de gravedad

siempre y cuando se considere el campo de la fuerza de gravedad como un campo

uniforme y paralelo. En ausencia de la gravedad solo existiría el centro de masa del cuerpo.

CENTROIDES DE LÍNEAS, ÁREAS Y VOLÚMENES

Si un cuerpo es uniforme entonces se puede eliminar la densidad de las ecuaciones

anteriores. Observando que V por lo tanto el problemase transforma en un

problema puramente geométrico, en ese caso estamos hablando del Centroide del cuerpo.

Centroides de Líneas

Centroides de Áreas

Cuando un cuerpo de densidad tiene espesor t pequeño pero constante podemos

considerar el cuerpo como una superficie A la masa de un elemento del cuerpo es dm = t

dA y si t son constantes en el cuerpo entonces el Centro de masa del cuerpo se

convierte en el Centroide de la superficie A que puede ser escrito como indican las

siguientes ecuaciones:


Siguiendo el mismo método derivamos ecuaciones del centroide de volúmenes

COMO ELEGIR EL ELEMENTO DE INTEGRACIÓN

(de línea (dL), área(dA) o volumen(dV) )

Para poder realizar la integraciones anteriores y hallar el respectivo centroide es importante

saber elegir el elemento diferencial correctamente sea dicho elemento diferencial de

longitud, (dL), de área (dA) o de volumen (dV). Debe ser un elemento tal que permita

realizar la integración sin problema. La fig 12.9 muestra un área y su respectivo elemento de

área aunque también se puede expresar como indica la Fig 12.10, para el volumen de la

fig12.11se puede usar un elemento de volumen como se puede observar en dicha figura

aunque también es válido el elemento de volumen de la figura12.12. Se puede considerar

aquel elemento de área o volumen que permita una rápida y fácil integración.


Coordenadas del Elemento diferencial de línea (dL) ,área (dA) o de volumen (dV)

Las coordenadas del elemento diferencial seleccionado se expresan como

Otros autores lo expresan como ó e indican como su nombre lo

dice el centroide del elemento diferencial de línea, área o volumen elegido, en las figuras

12.13 y 12.14 se ven ejemplos de dichas coordenadas

Luego las expresiones de las coordenadas centroidales del cuerpo queda expresado por las

siguientes ecuaciones:

Ejemplo 12.1 Localice el centroide del arco circular de la figura 12.15

Solución elija un eje de simetría como el eje X que hace que , expresamos el elemento

diferencial de longitud en coordenadas polares

Para un semicírculo el arco lo cual si reemplazamos en la ecuación de resulta

( fig 12.15 b )


Ejemplo 12.2 Localice el centroide del área triangular de la Fig 12.16 en el eje Y

Solución:

El eje x considerado coincide con la base. Se elige un diferencial de área

dA = x dy, por semejanzas de triángulos se obtiene de donde

Ejemplo 12.3 Localice el centroide del sector circular con respecto a su vértice O

Solución: El eje x es de simetría por tanto . La figura12.17 b muestra el elemento de

área seleccionado (anillo parcial circular) el radio del aro es y su espesor es entonces

el elemento de área es dA = , la coordenada centroidal el element de area es

donde reemplaza r en la fórmula


La figura 12.17 c muestra otra posibilidad

para elegir el elemento de área

Donde y

Ejemplo 12.4 Localice el centroide de área bajo la curva desde x = 0 hasta x = a

Solución: Se elige un elemento de área vertical como se muestra en la fig.12.18 b


Solución II: Segundo método, elegimos un elemento de área horizontal, la coordenada

centroidal del elemento de área es

(a – x) = ( a+x)/2

Ejemplo 12.5 Localice el centroide de un hemisferio de

radio r con respecto a su base.

Solución : con el eje de coordenadas elegidos tenemos

El elemento de área más convenientees un cilindro elemental de espesor dy paralelo al

plano x-z. Desde que el hemisferio intersecta al plano y-z en el círculo de

donde , entonces el elemento volumen es :


TEOREMA DE PAPPUS

De manera simple se puede hallar el área de cualquier superficie generada al girar una

curva plana alrededor de un eje que no intersecta a dicha curva. El diferencial del anillo

mostrado en la fig. 12.21 es igual a dA = 2 por lo tanto el área total es,

de donde el área total de la superficie girada es .Para hallar el volumen (Fig

12.22) de un área que rota alrededor de un eje que no la intersecta consideramos primero el

elemento de área dA, luego el elemento de volumen es donde después de

integrar obtenemosel volumensolicitado

Debido a que

El volumen queda reducido a la siguiente expresión

Ejemplo 12.6 Determine el volumen V y la superficie A del toro completo de sección circular

Solución : El toro puede ser generado girando el área circularde radio un ángulo de

alrededor del eje z


Ejemplo 12.7 Calcule el volumen V del sólido generado por girar 180° en torno al eje Z el

triángulo rectángulo de área triangular. Si este cuerpo fuera fabricado de acero ¿cuál sería

su masa m?

Girando 180° tenemos:

La masa del cuerpo es:

CENTROIDE DE ÁREAS COMPUESTAS

Ejemplo 12.8 Localice el centroide del área sombreada.


SOLUCIÓN : El área compuesta es dividida en 4 formas elementales mostradas en la fig

12.8 a . El centroide de todas esa formas puede ser obtenido de Tablas de centroides .

Observe que los áreasen forma deagujero son consideradas como áreas “negativas”en la

siguiente tabla

Aplicamos las formulas decentroides para áreas compuestas y obtenemos las coordenadas

centroidales del área compuesta

EJERCICIOS PROPUESTOS – ARMADURAS

1. Determínese la fuerza en el miembro GI de la armadura.

28 kN 28 kN

A C E G I K 16 kN

10 m

8 m 8 m 8 m 8 m 8 m

J H F D

B


2. Determine la fuerza en la barra CD de la cercha tipo Fink mostrado. 3. Determine las barras de fuerza nula en la armadura mostrada. 4. Calcule la magnitud y calidad de los esfuerzos que se desarrollan en todas las barras. 5. Determínese las fuerzas en cada una de

las armaduras y establezca para cada miembro si se encuentra en tensión o en compresión.

D

E C

B

A

8 paneles de 1,5 m = 12 m

10 kN

10 kN

20 kN

20 kN

20 kN

2 m

60º

60º 60º 30º 30º

3 m 3 m 3 m

1 000 N 1 000 N

1 000 N 2 000 N

A

B

D

C

F

E G

G D

F

E C

B

A

K

J

I

H

M

L

N

O

P

Q

1,5 m 1,5 m

A C B

1,6

kN E

0,8 m

F

D

0,8 m


6. Determínese los miembros de fuerza cero en la armadura siguiente.

7. Determínese la fuerza FH, GH y GI de la armadura del techo que se muestra en la figura. 8. Determine la fuerza en

cada miembro de la armadura e indique si los miembros están en tensión o compresión.

9. Determínese los miembros de fuerza cero en la armadura siguiente

G D

F

E C

B

A

K

J

I

H

M

L

N

O

P

Q

1 kN

1 kN

1 kN

1 kN 1 kN

5 kN 5 kN 5 kN

8 m

6 secciones de 5 m = 30 m

A

C

B

E

D

G

F

I

H

K

L

J

1

2

3

4

6

5 7

8

10 kN

4 paneles a 3 m = 12 m

1 m

3 m

A B C D E

F H

G I J

K O

L M N

a a a a

a

a

P

Q


10. En la armadura, todos los ángulos son de 90º o 45º: a. Halle las reacciones externas. b. Halle los esfuerzos en las barras CD y FI.

11. El panel pesa 600 N, halle las fuerzas en: GJ; CD y CF. 12. Halle las fuerzas (indicando tracción o compresión) en todas las barras de la armadura.

6 kN 3 kN 2 kN

0,5 m 0,5 m

0,25 m

0,25 m

A B C

D

K H G F E

J I

60 cm 60 cm 60 cm 60 cm

60 cm

UCV

140 cm

60 cm A

B C

D

E

F

G

H

I

J

45º

2 2 T

3T T

2 m 2 m

A

B C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M


1,2 m

1,4 m 1,5 m 1,0 m

0,3 m

0,4 m

0,7 m

2 800 N

1 3600N

B

A

C

D

H

F

G

E

1 000 N 2 000 N

3,0 m

1,8 m 5,4 m 1,8 m

3,0 m

A

D

F E C

B

13. Para la armadura mostrada. Determine los esfuerzos y calidad de las barras.

14. Determine las fuerzas en BF

y FE 15. En la siguiente armadura:

a. Calcule las reacciones. b. Determine la fuerza en la barra BE. c. Halle la fuerza en el miembro DE.

4 m

4 m

4 m

4 m

12 m

10 kN

10 kN

A

B

F

D

H

C

E

G

I


2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m

3 m

A

B

D

G

K

N

M

C E H J L

F I

12 kN

6 kN

6 kN

16. Halle las fuerzas en las barras EH, DG y JI


PROBLEMAS PROPUESTOS

01. Especifique las coordenadas X, Y y Z

del centro de masa del semicilindro homogéneo.

02. Determine el centroide del área

sombreada

03. La Determine las coordenadas del

centroide del área sombreada.

04. Determine la coordenada y del centroide del área sombreada

05. Determine las coordenadas x e y del centroide del área trapezoidal.

06. Determine las coordenadas X y Y del centroide del área sombreada.


07. Localice el centroide del área sombreada

08. Determine las coordenadas X e Y del

centroide del área sombreada.

09. Determine la coordenada X del

centroide del segmento esférico sólido.

10. El grosor de la placa triangular varía linealmente con Y desde a hasta el valor de to a lo largo de su base Y = 0 hasta 2to en y = h. Determine la coordenada Y del centro de masa del plato.

11. Usando Pappus halle la superficie y

volumen de revolución del cuerpo formadal rotar el rectángulo alrededor el eje z un ángulo de 360°.

12. El área cuarto-circular es girado

alrededor del eje y. Determine el volumen del cuerpo que resulta, el cual es una parte de una esfera.

13. El cuerpo mostrado en sección

transversal es un aro circular generado por rotar el área octogonal alrededor del eje z. La superficie entera será cubierta con una capa especial. Determine la superficie de su área.


14. Calcule el volumen V de un aparato espacial en la forma de un anillo completo de sección semicircular. Calcule también su superficie total A

15. Los arcos circulares AB y BC son

rotados alrededor del eje vertical para obtener la superficie de revolución mostrada. Calcule el área A de la superficie exterior.

16. Determine el volumen V y la superficie

total del área A del sólido generado al rotar el área mostrada180° alrededor del eje Z

17. Localice el centroide del área

sombreada.

18. Por el método explicado en este artículo, determine las coordenadas del centroide del área sombreada

19. Calcule las coordenadas del centro de masa de la placa de espesor uniforme

20. Determine la distancia H desde el fondo

de la base hasta el centro de masa del apoyo.


4. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Riley W, Sturges L. Ingeniería Mecánica – Estática. Editorial Reverte, S.A. 2008.

Hibbeler, Russel; Mecánica Vectorial para Ingenieros Tomo I Estática Editorial Pearson Prentice Hill, 2004, Décima Edición.

Meriam,J.L., Kraige L.G. ; Mecánica para Ingenieros ESTATICA , Editorial Reverté S.A. University of California . 1998 , Tercera Edición

Shames, Irving; Mecánica para Ingenieros Estática Ed. Prentice Hill Cuarta Edición. 1998 Madrid.

Mc Gill, Mecánica para Ingeniería Estática, Grupo Editorial Iberoamerica, México D.F.

Sandor, Bela; Ingeniería Mecánica Estática, Segunda Edición, Editorial Prentice Hall, 2006.

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