Calculo Integral

Antiderivadas

Introduccion

El calculo diferencial se centra en el concepto de derivada. Recordemos que la motiva-cion original para la derivada fue el problema de definir las rectas tangentes a las graficasde las funciones y el calculo de las pendientes de dichas rectas (figura: ??). Las derivadas

Pendiente m =?. mPQ =f(x) f(a)

x a m = lmxaf(x) f(a)

x a

Fig. 1.1: El problema de la recta tangente motiva el calculo diferencial

se usan para calcular la velocidad y la aceleracion, estimar la razon de propagacion de unaenfermedad, fijar niveles de produccion de manera que pueda maximizarse la eficiencia, en-contrar las mejores dimensiones para una lata cilndrica, averiguar la antiguedad de un objetoprehistorico, y para muchas otras aplicaciones.

El calculo integral se basa en el concepto de la integral. La definicion de la integral esmotivada por el problema de definir y calcular el area de la region que se encuentra entre lagrafica de una funcion de valores positivos f y el eje x en un intervalo cerrado [a, b].

El area de la region S de la siguiente figura esta dada por la integral de f de a a b, denotada

por el smbolo baf(x)dx. Pero la integral, as como la derivada, es importante debido a

su aplicacion a muchos problemas que implican movimiento, velocidad, crecimiento de po-blacion, volumen, longitud de arco, area de superficie y centro de gravedad, entre otros. Elteorema principal de este seccion es el Teorema Fundamental del Calculo, el cual proporcio-na una conexion vital entre las operaciones de derivacion e integracion proporcionando unmetodo eficaz para el calculo de integrales.

El problema del area mo-tiva el calculo integral

Area(S) =

b

a

f(x)dx

Veremos que en vez de encontrar la derivada de la funcion f(x) necesitamos hallar unanueva funcion F (x) tal que

F (x) = f(x)

Es decir, necesitamos estudiar un proceso opuesto a la derivacion, la Antiderivacion.

1

1.0.1. Antiderivadas o primitivas

Hemos analizado como encontrar la derivada de una funcion. Sin embargo, muchos pro-blemas exigen recuperar una funcion a partir de su derivada conocida (es decir, a partir desu razon de cambio conocida). Por ejemplo,

Un fsico que conoce la velocidad de una partcula podra desear conocer su posicionen un instante dado.

Un ingeniero que puede medir la cantidad variable a la cual se fuga el agua de untanque quiere conocer la cantidad que se ha fugado durante cierto periodo.

Un biologo que conoce la rapidez a la que crece una poblacion de bacterias puedeinteresarse en deducir el tamano de la poblacion en algun momento futuro.

En cada caso, el problema es el mismo, debemos hallar una funcion F cuya derivada es en lafuncion conocida f . Si tal funcion F existe, se llama una antiderivada de f .

Definition 1. Una funcion F recibe el nombre de antiderivada o primitiva de lafuncion f en un intervalo I si F es continua en I y F (x) = f(x) para todo x I,salvo a lo sumo en un numero finito de puntos.

NOTA: Usamos letras mayusculas como F para representar una antiderivada de unafuncion f , G para representar una antiderivada de una funcion g, y as sucesivamente.

Ejemplo 1. [F no necesariamente es diferenciable] Definamos

f(x) =

1 si x [a, b],0 si x / [a, b],En este caso no hay ninguna funcion cuya derivada coincida con f(x) en todo punto. Sinembargo, la funcion tiene una primitiva. Definiendo

F (x) =

0 si x < a ,

x a si a x b,b a si x > b,

se tiene que F es continua en R, y F (x) = f(x) salvo cuando x = a y x = b. Luego F esprimitiva de f en todo R.

Ejemplo 2. Dada la funcion f(x) = 3x2, entonces F (x) = x3 es una primitiva de f(x) =3x2, como tambien lo son las funciones

G(x) = x3 + 17, H(x) = x3 + K(x) = x3 +2.

En realidad, J(x) = x3 + C es una primitiva de f(x) = 3x2 para cualquier eleccion de laconstante C.NOTA: Una funcion puede tener muchas primitivas, pero una unica derivada

Teorema 2. Si F es una antiderivadas de f en el intervalo I, entonces G es una antideri-vada de f en I si y solo si G es de la forma G(x) = F (x) + C para todo x I, donde C esuna constante.

2

DEM: ()

NOTA: Hay que senalar que existen buenas razones para limitar nuestra atencion a inter-valos en la discusion sobre primitivas. De lo contrario, podra ocurrir que una funcion tengaprimitivas que no difieran en una constante.

Ejemplo 3. [Diferentes constantes]

F (x) =

1

x+ 5 si x > 0,

1

x si x < 0,

G(x) =1

x,

son primitivas de f(x) = 1x2

pero, no difieren de una constante sobre el conjunto S =

(, 0) (0,)

NOTA: Del Teorema ?? deducimos que la familia completa de Antideridavas de un funcionse representa agregando una constante C a una antiderivada conocida. Por ejemplo, la familiade antiderivadas de f(x) = 2x esta representada por

G(x) = x2 + C

donde C es una constate. La constante C recibe el nombre de constante de integracion.

Complete las siguientes formulas para las antiderivadas

Ejemplo 4. Halle las siguientes antiderivadas:

f(x) = x5

g(x) = 1x

3

h(x) = sin(2x)

i(x) = cos(x2 )

f(x) = (5x4 + 2 cos(5x) 3x) =g(x) = [2 cos(3t) + 5 sen(4t)] =

m(x) = 20(45x)3 =

1.0.2. Problemas de valor inicial y ecuaciones diferenciales

Encontrar una antiderivada de una funcion f(x) constituye el mismo problema que en-contrar una funcion y(x) que satisfaga la ecuacion

dy

dx= f(x) o y = f(x)

A esto se le llama ecuacion diferencial, ya que es una ecuacion que involucra una funciondesconocida y que esta siendo derivada. Para resolverla, necesitamos una y(x) que satisfagala ecuacion. Esta funcion se encuentra tomando la antiderivada de f(x). Fijamos la constantearbitraria que surge en el proceso de antiderivacion dando una condicion inicial

y(x0) = y0

Esta condicion significa que la funcion y(x) tiene el valor y0 cuando x = x0. La combinacionde una ecuacion diferencial y una condicion inicial se llama problema de valor inicial.Tales problemas juegan papeles importantes en todas las ramas de la ciencia. He aqu unejemplo de un problema de valor inicial.

Ejemplo 5. Encontrar la curva cuya pendiente en el punto (x, y) es 3x2 si la curva debepasar por el punto (1,1)

SOL: Aqu, estamos pidiendo resolver el siguiente problema de valor inicial.

Ec. Diferencial:dy

dx= 3x2

Cond. Inicial: y(1) = 1

La funcion y es una antiderivada de f(x) = 3x2 de manera que y = x3 + C. Encontramos Ca partir de la condicion inicial y(1) = 1. Demostrando que y = x3 2.

Ejercicio 1. Encuentre f sabiendo que f = ex +10

1 + x2y f(0) = 2

Ejemplo 6. Un globo que esta subiendo a razon de 12 pies/seg esta a una altura de 80 piessobre el suelo cuando se lanza un paquete desde el. Cuanto tiempo tarda el paquete en llegaral suelo?

SOL: Sea v(t) la velocidad del paquete en el tiempo t, y sea s(t) su altura sobre elsuelo. La aceleracion de la gravedad cerca de la superficie de la Tierra es 32 pies/seg Luego,matematicamente tenemos

E.Dif :ds

dt= 32 Cond.Inicial v(0) = 12

4

No es difcil ver que la velocidad es v = 32t+ 12. Ahora, como la velocidad es la derivadade la altura, entonces tenemos un segundo problema de valores iniciales.

E.D :dv

dt= 32t 12 Cond.Inicial s(0) = 80

De aqu concluimos que la altura que tiene el paquete sobre el suelo en el tiempo t es s(t) =16t2 + 12t+ 80.

Ahora halle el tiempo tarda el paquete en tocar el suelo.

Ejercicio 2. Suponga que se dispara una flecha en sentido vertical mediante una poderosaballesta, desde el piso, y que vuelve a tocar el suelo 48 segundos despues. Si podemos despre-ciar la resistencia del aire, determinar la velocidad inicial de la flecha y la altura maximaque alcanza.

Ejercicio 3. Las narcas de derrape de unos neumaticos indican que se han aplicado losfrenos durante una distancia de 160 pies antes de detenerse el automovil. Supongamos queel automovil en cuestion tiene una desaceleracion constante de 20 pies/seg2 bajo las condi-ciones del derrape. A que velocidad viajaba el auto cuando se comenzo a frenar?

Geometra de las Antiderivadas

Si se conoce la grafica de una funcion f , sera razonable que podamos dibujar la graficade una antiderivada F . Por ejemplo, suponga que sabe que F (0) = 1. Entonces, hay unpunto de donde partir, el punto (0, 1), y la direccion en la cual tenemos que desplazarnos laproporciona, la derivada.

Ejemplo 7. La grafica de una funcion f se ilustra en la figura 5. Trace un croquis de unaantiderivada F , dado que F (0) = 2.

SOL:

Partimos del punto (0, 2) pues F (0) = 2.

f(x) < 0 en 0 < x < 1 luego F decrece en 0 < x < 1.

f(x) > 0 en 1 < x < 3 luego F crece en 1 < x < 3.

f(x) < 0 en x > 3 luego F decrece en x > 3.

f(1) = f(3) = 0 luego F tiene tangentes horizontales cuando x = 1 y x = 3

En x = 1 f cambia de a +, luego F (1) hay un minimoEn x = 3 f cambia de + a , luego F (3) hay un maximoEn x = 2 F (x) = f (x) cambia de + a , luego F (2) hay inflexion.En x = 4 F (x) = f (x) cambia de a +, luego F (4) hay inflexion. Fig. 5

Ejercicio 4.

1. Se proporciona la grafica 1 de una funcion f . Que grafica es una antiderivada de f ypor que?

5

2. Se presenta la grafica 2 de una funcion en la figura. Trace un croquis de una antideri-vada F , dado que F (0) = 1.

3. La grafica de la funcion velocidad de un automovil se ilustra en la grafica 3. Elabore lagrafica de la funcion posicion.

Gra. 1 Graf. 2 Graf. 3

Calculo de areas elementales

Tal vez el primer contacto que se tiene con el concepto de area son las formulas A = bh yA = bh2 las cuales describen las areas de un rectangulo y un triangulo resp. Mientras que elarea de un polgono se encuentra al dividirlo en triangulos y sumar las areas de esos triangulos.

Los antiguos griegos iniciaron el estudio de areas de figuras con lneas curvas en los siglosIV y V a.C. Dada una region plana R cuya area queran determinar, trabajaban con unpolgono P inscrito en R (dentro de R) y con un polgono Q crcunscrito (o fuera de R).

Si los polgonos Pn y Qn tenan un numero suficientemente grande de lados, de longitudpequena, entonces parecera que sus areas, area(P ) y area(Q), se aproximan al area de laregion R. Ademas, es posible controlar el error: vemos que

area(P ) < area(R) < area(Q)

ya que R contiene al polgono P pero esta contenido en el polgono Q.

Nuestro objetivo principal es describir una tecnica sistematica para aproximar el area deuna region curvilnea adecuada utilizando areas poligonales faciles de calcular.

6

1.0.3. Areas bajo graficas

Empecemos por intentar resolver el problema del area: hallar elarea de la region S que esta debajo de la curva y y = f(x), desdea hasta b. Esto significa que S esta limitada por la grafica de unafuncion continua f donde f(x) 0, las rectas verticales x = a yx = b, y el eje x.Para aproximar el area de S dividimos la region S en n franjas deanchos iguales. El ancho del intervalo [a, b] es b a, de modo queel ancho de cada una de las n franjas

x =b an

Estas franjas dividen el intervalo [a, b] en n subintervalos

[x0, x1], [x1, , x2], [x2, x3], . . . , [xn1, xn]

donde a = x0 y b = xn.

A partir de aqu podemos obtener una R-estimacion de la i-esima franja,Si, con un rectangulo con ancho x y altura f(xi), valor que toma f enel punto extremo derecho del subintervalo; o tambien podemos obtener unaL-estimacion de la i-esima franja, Si, con un rectangulo con ancho x yaltura f(xi1), valor que toma f en el punto extremo izquierdo del subintervalo.

NOTA: Los puntos extremos xi de la derecha de los subintervalos son:

a+x, a+ 2x, a+ 3x, . . . , b.

Mientras quelos puntos extremos xi1 de la izquierda de los subintervalos son:

a, a+x, a+ 2x, a+ 3x, . . . , a+ (n 1)x.

En decir los extremos estan dados por la siguiente formula

xk = a+ kx

Despues, el area del i-esimo rectangulo con altura f(xi) o f(xi1) es

f(xi)x f(xi1)x.

Al sumar las areas de los rectangulos con altura f(xi) para i = 1, 2, 3, . . . , n, obtenemosla R-estimacion

Rn := f(x1)x+ f(x2)x+ + f(xn)x =ni=1

f(xi)x

del area real de S. De manera analoga, la suma de las areas de los rectangulos con alturaf(xi1) es la L-estimacion

Ln := f(x0)x+ f(x2)x+ + f(xn1)x =ni=1

f(xi1)x

La siguiente figura muestra esta R-estimacion para n = 2, 4, 8 y 12.

7

Observe que esta aproximacion parece mejorarse a medida que se incrementa la cantidadde franjas; es decir, cuando n . Por consiguiente, se define el area A de la region S dela manera siguiente:

Definition 3. El area A de la region S que se encuentra debajo de la grafica de la funcioncontinua f es el lmite de la suma de las areas de los rectangulos de estimacion:

A = lmn

Rn = lmn

ni=1

f(xi)x A = lmn

Ln = lmn

ni=1

f(xi1)x

NOTA: De hecho, en lugar de usarf(xi1) o f(xi) como altura delrectangulo, podramos tomar f(xi )donde xi [xi1, xi]. A estos nume-ros x1, x

2, . . . , x

n los llamamos puntos

muestras.

A = lmn

[f(x1)x+ f(x2)x+ + f(xn)x] = lm

n[

ni=1

f(xi )x

Conclusion parcial: Si queremos hallar el area de un region S tendremos que usar estadefinicion de lmite. Es decir, debemos conocer la altura f(xi ) y el ancho x de cada unolos rectangulos que vamos a usar para estimar el area S.

1.0.4. Sumas finitas y la notacion sigma

La notacion sigma nos permite escribir una suma con muchos terminosen la forma compacta

nk=1

ak = a1 + a2 + a3 + + an1 + an

La letra griega, significa suma. ndice de la sumatoria k nos

dice en donde empieza la suma (mediante el numero que esta debajodel smbolo) y en donde termina (usando el numero que esta arriba delsmbolo ). Se puede usar cualquier letra para denotar el ndice, pero lasletras mas usuales son i, j y k.

Ejemplo 8.

12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92 + 102 + 112 =11k=1

k2 =11r=1

r2

8

f(1) + f(2) + f(3) + + f(100) =100i=1

f(i) =

100s=1

f(s)

Ejercicio 5.

1. Demostrar que

ni=1

i =n(n+ 1)

2,

ni=1

i2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6

ni=1

i3 =n2(n+ 1)2

4

2. Calcule

10i=1

(2i2 3i) =

Ejemplo 9. Use rectangulos para estimar el area A de la region R que se encuentra bajo Iaparabola y = x2 y por arriba del intervalo [0, 3].

9

Calcularemos la R-estimacion y la L-estimacion del area A de R obtenida usan-do 5 rectangulos, cada uno de ancho x = 35 . Despues repetimos los calculoscon 10 rectangulos, cada uno de ancho x = 310 .SOL: No es difcil ver que los 5 extremos xi del lado derecho son

35 ,

65 ,

95 ,

125 y 3,

mientras que los 5 extremos xi1 del lado izquierdo son 0, 35 ,65 ,

95 , y

125 . Luego,

R5 =5i=1

f(xi)x = (5i=1

f(xi))x

=(f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) + f(x5)

)x

=[(3

5)2 + (

6

5)2 + (

9

5)2) + (

12

5)2 + (3)2

](35

)= 11, 88

L5 =5i=1

f(xi1)x = (5i=1

f(xi1))x

=(f(x0) + f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4)

)x

=[(0)2 + (

3

5)2 + (

6

5)2) + (

9

5)2 + (

12

5)2](35

)= 6, 48

Usando, el hecho de quen

i=1 i2 = n(n+1)(2n+1)6 y que xi = 0 + ix = 0 + i

310

R10 =

10i=1

f(xi)x =

10i=1

f(i3

10)3

10=

10i=1

(i3

10)2

3

10

= (3

10)3

10i=1

i2 = (27

1000)(10)(11)(21)

6= 10, 395

L10 =

10i=1

f(xi1)x =10i=1

f((i 1) 310

)3

10=

10i=1

((i 1) 310

)23

10

= (3

10)3

10i=1

(i 1)2 =k=i1

(3

10)3

9k=0

k2 = (3

10)3

9k=1

k2

= (27

1000)(9)(10)(19)

6= 7, 695

Ahora calculemos con exactitud el area de la region bajo la grafica de f(x) = x2 en elintervalo [0, 3]. Si dividimos [0, 3] en n subintervalos, todos de la misma longitud, entoncestenemos

x =b an

=3

nxi = 0 + ix = i

3

npara i = 0, 1, 2, . . . , n. Por tanto,

ni=1

f(xi)x =

ni=1

x2ix =

ni=1

(3i

n)23

n=

27

n3

ni=1

i2 =27

n3n(n+ 1)(2n+ 1)

6

De la definicion de area tenemos que

A = lmn

ni=1

f(xi)x = lmn

27(3+

1

2n+

1

6n2

)= 9

Ejemplo 10. Encontrar el area de la region limitada por la grafica f(x) = 4 x2, en el ejex y las rectas x = 1 y x = 2.

10

SOL: Se empieza notando que la funcion es continua y no negativa en el intervalo [1, 2].Despues, se divide el intervalo [1, 2] en n-subintervalos, cada uno de ancho x = 21n =

1n .

Elegimos como puntos de muestra a xi (es decir, vamos hacer una R-estimacion) luego, lospuntos extremos derechos son xi = a+ ix = 1 +

in

A = lmn

ni=1

f(xi)x = lmn

ni=1

[4 (1 + i

n)2] 1n

= lmn

ni=1

[3 2i

n i

2

n2

] 1n

= lmn

( 1n

ni=1

3 2n2

ni=1

i 1n3

ni=1

i2)

= lmn

[3 (1 1

n) (1

3+

1

2n+

1

6n2)]

=5

3

En la definicion ?? de area, las particiones tenan subintervalos de igual ancho. Esto se hizosolo por convenencia de calculo. El siguiente ejemplo demuestra que no es necesario tenersubintervalos de igual ancho

Ejemplo 11. [Subintervalos de anchos desiguales]

Encontrar el area de la region acotada por la grafica f(x) =x y el eje x para 0 x 1.

SOL: Note que la funcion es continua y no negativa en el intervalo [0, 1]. Consideremos

una particion x0, x1, . . . , xn donde xi =i2

n2 , de manera que

xi = xi xi1 = i2

n2 (i 1)

2

n2=

2i 1n

Luego,

A = lmn

ni=1

f(xi)xi = lmn

ni=1

i2

n2

(2i 1n2

)= lm

n1

n3

ni=1

(2i2 i) = lmn

1

n3

[2(n(n+ 1)(2n+ 1)

6

) n(n+ 12

]= lm

n4n3 + 3n2 n

6n3=

2

3

OBS: La razon por la que esta particion en particular da el area apropiada es que cuandon crece, el ancho del intervalo mas grande tiene a cero. Esta caracteristica es CLAVE deldesarrollo de las integrales definidas.

Ejercicio 6.

Determine el area bajo la grafica de f(x) = 100 3x2 de x = 1 a x = 5.Encontrar el area de la region limitada por la grafica f(x) = x3, en el eje x y las rectasx = 0 y x = 1

Encontrar el area de la region limitada por la grafica f(y) = y2, en el eje y y las rectasy = 0 y y = 1

11

1.0.5. Sumas de Riemann y la Integral

Empezamos con una funcion arbitraria f definida en un intervalo cerrado [a, b].f puede tener valores tanto negativos como positivos. Subdividimos el inter-valo [a, b] en subintervalos, no necesariamente del mismo ancho (o longitud), yformamos sumas como lo hicimos para las aproximaciones finitas. Para hacerlo,elegimos puntos entre a y b, que satisfagan

a = x0 < x1 < x2 < < xn1 < xn = b.

El conjunto P = {x0, x1, x2, . . . xn1, xn} se llama particion de [a, b]. La par-ticion P divide [a, b] en n subintervalos cerrados

[xo, x1], [x1, x2], . . . , [xk1, xk], . . . , [xn1, xn]

El ancho del primer subintervalo [xo, x1] se denota mediante x1 el anchodel segundo intervalo es x2 y el ancho del k-esimo subintervalo es xk =xk xk1. Si todos los n subintervalos tienen el mismo ancho, x = ban ,diremos que la particion P es regular.

En cada subintervalo elegimos algun punto ck. Entonces, en cada subintervalo levantamosun rectangulo vertical a partir del eje x hasta tocar la curva en (c, f(ck). Estos rectangulospueden estar arriba o debajo del eje x, dependiendo de si f(ck) es positivo o negativo, o sif(ck) = 0

En cada subintervalo formamos el producto f(ck)xk. Este producto es positivo, negativoo cero dependiendo del signo de f(ck). Cuando f(ck) > 0, el producto f(ck)xk es el areadel rectangulo con altura f(ck) y ancho xk. Cuando f(ck) < 0, el producto f(ck)xk es unnumero negativo, el negativo del area del rectangulo de ancho xk que cae desde el eje x alnumero negativo f(ck). Finalmente sumamos todos estos productos para obtener

SP =

nk=1

f(ck)xk

12

Definition 4. Sea f una funcion definida en un intervalo cerrado [a, b], y sea P una par-ticion de [a, b] dada por

a = x0 < x1 < x2 < xn1 < xn = b

donde xk es el ancho de k-esimo subintervalo [xk1, xk]. Si ck [xk1, xk] entonces

SP =

nk=1

f(ck)xk xk1 ck xk

suma de Riemann de f para la particion P .

NOTA: Cuando una particion tiene subintervalos cuyo ancho vara, podemos asegurar quetodos son angostos controlando el ancho del subintervalo mas ancho (mas largo). Definimosla norma de una particion P , denotada por P como el mayor de los anchos de todos lossubintervalos. Si P es un numero pequeno, todos los subintervalos de la particion P tienenancho pequeno.

Si los anchos xk de estos rectangulos son todos muy pequenos (es decir, si la norma Pes pequena), entonces parece que la suma de Riemann SP aproximara el area de a a b bajoy = f(x) sobre el eje x, menos el area bajo el eje x.

NOTA: Si particion es regular esto es, todos los intervalos tienen la misma anchura lanorma se denota por

P = x = b an

particion ordinaria

En una particion general, la norma se relaciona con el numero de subintervalos en [a, b] de lasiguiente forma

b aP n particion general

De tal modo, que si P 0 entonces n . La afirmacion reciproco es FALSA. Porejemplo, considere la particion del intervalo [0, 1] dado por

0