centros de masa y centroides

7/24/2019 Centros de Masa y Centroides

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CE

El centro de gravedad de un cue

los efectos sobre el cuerpo no

sustituye por el centroide del reexpresiones para determinar las c

La posicin del centro de masas

DondeM es la masa total del sistEsta es una ecuacin vectorial,

dada por:

En gran cantidad de casos una

comunes (rectngulo, triangulo,centroide de cualquier superficie

Dondexie yison las coordenada

TROIDE O CENTROS DE MASA

rpo es el punto de aplicacin donde al ubica

aran. En el caso de superficies homogne

a, el cual considera las reas de los elementoordenadas centroidales son:

e un sistema de partculas viene dada por la

ema de partculas.ada una de las componentes de la posicin

superficie cualquiera puede ser subdividi

ircunferencia etc..). Esta forma de anlisis esegn:

s del centro de rea (masa) de la figura cono

Fsica: E. Imitola

r la resultante de las fuerzas

s, el centro de gravedad se

os en vez de los pesos y las

expresin:

del centro de masas vendr

a en una serie de figuras

til y permite determinar el

ida y Ai=Atotal.


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Fsica: E. Imitola

Cuando un sistema est formado por un nmero extremadamente grande de partculas (como es el caso de

un slido, un volumen lquido, etc.) Se realiza lo que se llama el paso al continuo que consiste en

considerar el sistema constituido no por partculas individuales sino como un continuo de materia. En este

caso se divide al sistema en pequeos diferenciales de masa dm, cada uno con su posicin

correspondiente. Las sumas de la expresin anterior se transforman ahora en integrales (ya que en ellmite estamos sumando un nmero infinitamente grande de cantidades infinitesimalmente pequeas), y la

expresin de la posicin del centro de masas queda ahora:

Si el cuerpo es filiforme (tiene forma de hilo o alambre) los diferenciales de masa dm en que lo dividimos

estn asociados a diferenciales de longitud dl: dm = dl, donde es la densidad lineal (masa por unidad

de longitud). Esta densidad lineal puede ser constante o no. En caso de que sea constante puede salir fuera

de las integrales en el numerador y el denominador simplificndose. Las integrales se transforman enintegrales de longitud y las ecuaciones (3) quedan en este caso:

DondeL es la longitud total del cuerpo.

Si el cuerpo tiene forma de placa los diferenciales de masa dm en que lo dividimos estn asociados a

diferenciales de rea dA: dm = dA, donde es la densidad superficial (masa por unidad de superficie).

Esta densidad superficial puede ser constante o no. En caso de que sea constante, igual que en el caso

anterior, puede salir fuera de las integrales en el numerador y el denominador simplificndose. Lasintegrales se transforman en integrales de superficie y las ecuaciones quedan en este caso:

DondeA es la superficie total del cuerpo.

Por ltimo, si el cuerpo es volumtrico, los diferenciales de masa dm en que lo dividimos estn asociados

a diferenciales de volumen dV: dm = dV , donde es la densidad volumtrica (masa por unidad de

volumen). Esta densidad volumtrica puede ser constante o no. En caso de que sea constante, como en losdos casos anteriores, puede salir fuera de las integrales en el numerador y el denominador

simplificndose. Las integrales se transforman en integrales de volumen y las ecuaciones quedan en estecaso:


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Fsica: E. Imitola

EJEMPLO 1:Clculo de la posicin del C.M. de un semicrculo homogneo (densidad superficial constante)

Primeramente deberemos dividir al semicrculo en diferenciales de rea y despus aplicar las ecuaciones

(5). En nuestro caso si el semicrculo se encuentra en el plano XY, no es necesario calcular la coordenada

zc.m. ya que todas las partculas del semicrculo tienen coordenadaz nula con lo quezc.m. = 0.

La eleccin del diferencial de rea correcto debe hacerse de forma de poder calcular lasintegrales de las ecuaciones (5). En la figura de la derecha se presentan algunas de las muchaselecciones posibles de diferencial de rea.

Para el clculo de la coordenada xc.m. el diferencial de rea escogido debe tener una coordenada x bien

determinada. Si escogemos el rectngulo de lados dx, dy, todos los puntos de dicho diferencial de rea

tienen la misma coordenada x (y la misma coordenada y). Nuestra integral se transformara en una

integral doble en x y en y de forma de coger los infinitos rectngulos infinitesimalmente pequeos que

forman el semicrculo. Una manera de simplificar el clculo sera coger bandas verticales de espesor dx.

Todos los puntos de dichas bandas tienen la misma coordenada x, y nuestra integral ser una integral

sencilla enx, desdex igual a R hastax igual aR:


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Fsica: E. Imitola

Para el clculo de la coordenada yc.m. el diferencial de rea escogido debe tener una coordenada y bien

determinada. Por analoga con el clculo anterior, nos convendra coger bandas horizontales de espesor

dy. Todos los puntos de dichas bandas tienen la misma coordenaday, y nuestra integral ser una integral

sencilla eny, desdey igual a 0 hastay igual aR:

FIGURA Nombre xi yi A

Rectngu

lo

b/2 h/2 b*h

TringuloRectng

ulo(cm

apartirdelngulo

recto)

b/3 h/3 b*h/2


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Fsica: E. Imitola

Crculo

R R R2/2

Semicrc

ulo

R 4R/3 R2/2

Cua

rtodecrculo

4R/3 4R/3 R2/4

NOTA: Para huecos use reas negativas.


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Fsica: E. Imitola

EJEMPLO 2:Determine el centro de masa de

la figura mostrada

Solucin. Dividiremos la figura en reasconocidas, 1, 2, 3 y 4, Ntese que el rea 4 esnegativa.

rea 1: Tringulo

xi yi Ai

4 2 18

rea 2: Rectngulo. Se usa el rea completa yaque el rea 3 es negativa

xi yi Ai

8 3 24

rea 3: Cuadrado. Ntese que el rea esnegativa

xi yi Ai

9 1 4

rea 4: Semicrculo

xi yi Ai

8 6,84 6,28

Ntese que yi es la suma de (6 + 4R/3) con

R= 2


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Tabla general:

Figura xi y

1 4 22 8 3

3 9 1

4 8 6,

Sumatorias

=

=

,

,= 6,2

=

=

,

,= 3,31

EJEMPLO 3: Determine el cem3= 6 kg y m4= 3 kg

Masa xi y

1 0 02 10 1

3 4 7

4 11 1

Sumatorias

=

=

= 4,86

=

=

= 3,5

Ai xi*Ai

18 7224 192

4 36

4 6,28 50,24

Ai= 44,28 xi*Ai=278,24

tro de masa del sistema de partculas mostr

mi xi*mi

8 05 50

6 24

3 33

mi= 22 xi*mi= 107

Fsica: E. Imitola

yi*Ai

3672

4

42,95

yi*Ai= 146,95

ado si m1= 8 kg, m2= 5 kg;

yi*mi

05

42

30

yi*mi= 77


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Fsica: E. Imitola

EJERCICIOS PROPUESTOS: Determine elcentro de masa de cada sistema o cuerpomostrado

1. m1= 300 g, m2= 45 g y m3= 150 g

3. m1= 25 kg, m2= 35 kg; m3= 15 kg y m4= 55 kg

3. m1= 12 kg, m2= 15 kg; m3= 8 kg y m4= 6 kg;

m5= 9 kg

4.

5.


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Fsica: E. Imitola

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