ESTATICA

TEMA: CENTROIDES Y MOMENTOS DE INCERCIA DE FIGURAS FORMADAS POR FUNCIONES MEDIANTE EXCEL Y AUTOCAD

Nombre: Madero Villalta Geovanna Elizabeth

Curso: Segundo

Paralelo: Tercero

Fecha: 2013/07/09

Revisa: Ing. Fernando Rivas

1. MARCO TEORICOCENTROIDE DE FIGURAS PLANAS

 El Centroide es una palabra que pertenece a la familia centro. En la mecánica racional es la coordenada de un punto que pertenece a una figura.  Al   igual  que el  centro,  el  centroide tiene coordenadas de acuerdo a la posición que ocupe en el espacio. Existen centroides de línea, de área y de volumen. En esta parte de la mecánica analizaremos los centroides de área y estudiaremos a las figuras planas.

 Las  figuras  son   formas  que  reprentan   la   silueta  de  algo.  Los  cuerpos  que  estudiamos  mediante   la mecánica   racional   tendrán,   en   consecuencia,  una   forma  definida  para   calcularle   sus   características geométricas.  Por   lo   tanto,  a   toda figura  se   le  podrá calcular   su centroide.  Ahora  bien,  existen dos maneras de hacerlo: A través de la Integración y mediante una Matriz Centroidal. En realidad, ambas técnicas son la misma cosa, sólo que se diferencian por el método que emplean para calcularlo. Son además centroides de áreas, debido a que la integral es el área bajo una curva y la otra técnica calcula el centroide de una forma específica basándose en el área de la figura.

 Existen diversos conceptos centroidales que son usados en la ingeniería: El centro de masa, el centro de presión y el centro de gravedad, son ejemplos de ellos. Todos se parecen porque tienen coordenadas y, además, son puntos; pero se diferencian por lo que representan. El centro de masa es solo para los cuerpos que tienen masa. El centro de presión es el punto donde actúa la resultante de un sistema de fuerzas y el centro de gravedad es donde actúa la fuerza gravitacional, la cual denominamos peso. Por lo tanto, no podemos llamar centro de masa a lo que es un centro de área; tampoco podemos llamar centro de área al centro de presión o al centro de gravedad. Cada término debe ser coherente con lo que representa. Sin embargo, el centroide es un término más neutro y el puede ser área, volumen, masa, presión o gravitacional. En ocasiones es usado como sinónimo para no repetir constantemente la misma palabra.

FIGURAS PLANAS

Geométricamente, las figuras son representaciones de una forma las cuales han sido definida en cuanto a su área y a su centroide. Este punto se denomina centro geométrico y se obtienen sus coordenadas mediante  un método también geométrico.  Estos  métodos  se  realizan  trazando  líneas   imaginarias  a través de los vertices de las figuras las cuales terminan en los catetos opuestos de las mismas. Existen figuras geométricas que pudieramos considerar básicas, a partir de las cuales se pueden construir otras figuras más complejas.

 Consideraremos como figuras geométricas básicas a los triángulos, rectángulos y círculos. La geometría desde   tiempos   remotos   se   ha   encargado   de   estudiarlas   y   ha   definido   sus   áreas   y   sus   centros geométricos. Estas características de las figuras básicas se muestran en la tabla 1, donde además, se detallan otras figuras que se derivan de esas básicas o fundamentales.  Con estas figuras se pueden construir otras muchas mas complejas que pueden reprentar cualquier forma en el universo.

 

TABLA 1: CARACTERISTICAS DE LAS FIGURAS GEOMETRICAS BASICAS

 

FIGURA PLANA COORDENADA X COORDENADA Y

TRIANGULO RECTANGULO

A = (1/2) b.h b/3 h/3

RECTANGULO Y CUADRADO

A = b.h b/2 h/2

CIRCULO

A = PI.R^2 R R

A = (PI.R^2)/2 R 4R/3PI

SEMI CIRCULO

CUARTO DE CIRCULO

A = (PI.R^2)/4 4R/3PI 4R/3PI

 

CENTROIDE POR INTEGRACION

Para calcular el centroide de una figura empleando la técnica de integración, es necesario que la forma de  la  misma pueda ser   representada mediante  una  función matemática.  Es  precisamente  la  mayor desventaja de esta técnica, debido a que no siempre es posible determinar una función para definir la forma de una figura de un cuerpo real. Matemáticamente, las funciones son arreglos de coordenadas que están relacionadas mediante una expresión, la cual es denominada función matemática. Para la mayoría de  las figuras que se muestran en  la tabla 1,  estas funciones son polinomios.  Aún cuando, pueden definirse otro tipo de funciones tales como las trigonométricas, sin embargo, estas son muy escasas encontrarlas en cuerpos naturales.

 Las funciones mas empleadas son aquellas  que definen  líneas rectas de pendiente cero,  pendiente positiva, pendiente negativa, parábolas cuadráticas, cúbicas, etc. Generalmente, estas funciones son de tipo geométricas. esto facilita los cálculos, debido a que las integrales que resultan de su análisis son integrales   sencillas   y   directas.   Ahora   bien,   recordando   los   conocimientos   relativos   a   las   funciones matemáticas y la técnica empleada para obtener la integral de la misma, tenemos que a toda función es posible definirle un diferencial, que este caso será un diferencial de área.

 

FIGURA 1: FUNCIÓN MATEMÁTICA En la figura 1, se representa una función matemática cualquiera con una relación de dependencia hacia la variable x, el área bajo la curva, delimitada por la función f(x) y las   líneas verticales  Aa y  Bb definen  la   integral  de  la   función.  En este  caso,  se  ha seleccionado un diferencial de área dA = ydx.

 Los límites de la integral quedan definidos por el diferencial, así como el éste es dx los límites de la integral son también en x. Por lo tanto, el límite inferior es "a" y el superior "b". Como el diferencial es un rectángulo, el centro geométrico estará en la mitad de la base y en la mitad de la altura.

 Las coordenadas del centro geométrico se denominan Xe y Ye. Dado que el diferencial dx es un valor que tiende a cero, la mitad de él es un número bien pequeño que podemos considerar sea el mismo valor dx. Así las ecuaciones que definen al centro geométrico del diferencial de área son:

 

Xe = x

Ye = y/2

 

Las ecuaciones que permiten calcular el centroide de la figura representada por f(x) son:

 Primera Integral

Segunda Integral

Tercera Integral

 

Los límites de todas las integrales son a y b. Los valores Xc y Yc son las coordenadas x,y del punto que denominamos centroide de la figura. Por lo tanto, el centroide queda expresado de la siguiente manera:

C(Xc,Yc) unidades

CENTROIDE POR MATRIZ CENTROIDAL

 Existen figuras que serán estudiadas dentro de cualquier fenómeno natural que su forma no podrá ser representada mediante una función matemática. Para calcular el centroide de estas figuras se emplea la técnica de la matriz centroidal.  Una matriz es una tabla donde se ordena la información básica que caracteriza una figura. Para ello, la figura, que por lo general no es geométrica, se dividirá en elementos simples que coincidan con las figuras geométricas básicas. De esta manera, cualquier forma se puede aproximar a un conjunto de elementos que la sumatoria de sus áreas individuales conincidan con el área de la figura estudiada.

La matriz centroidal que se muestra, en la figura 2, está conformada por una primera columna para describir a los elementos o figuras básicas que conforman a la figura general. En otra se indican sus áreas.  En  una   tercera  columna  se  muestran   las  proyecciones  de   los   centros  geométricos   sobre  un sistema de referencia definido para la figura. En la siguiente se multiplican cada área por su respectiva coordenada geométrica  proyectada sobre x.  Finalmente,  se  multiplican cada área por su respectiva coordenada geométrica proyectada sobre y. En la matriz mostrada las celdas en azul representan las características de la figura estudiada. Las celdas en amarillo son las características ya procesadas y en las 

celdas   rojas   con   letra   blancas   se   expresan   los   resultados   del   análisis   que   conlleva   al   cálculo   del centroide.

 

FIGURA 2: MATRIZ CENTROIDAL DE LA FIGURA

ELEMENTOS AREAS(Ai) Xi Yi Ai.Xi Ai.YiFigura 1 A1 X1 Y1 A1.X1 A1.Y1Figura 2 A2 X2 Y2 A2.X2 A2.Y2Figura n An X3 Y3 A3.X3 A3.Y3

∑Ai ∑Ai.Xi ∑Ai.Yi

 EJEMPLO DE CALCULO DE CENTROIDE POR INTEGRACION

Sea la figura de un cuerpo definida por la función f(x) = 2x - 3, la cual se encuentra delimitada por la curva f(x)  y  los  límites en "x" 3 y 7 unidades.  Determine  las coordenas del  centroide empleando la técnica de la integración.

 

 

EJEMPLO DE CALCULO DE CENTROIDE POR MATRIZ CENTROIDAL

La figura de un cuerpo queda definida por la forma que se muestra en la figura 3, considerando que la figura   se   encuentra   rotada   con   respecto   a   su   línea   base   un   ángulo   de   35°   en   dirección   horaria, determine:   a)   Coordenadas   del   centroide   en   su   posición   no   inclinada   b)   Nuevas   coordenadas centroidales   producto   de   la   rotación.   Nota:   Las   dimensiones   de   la   figura   se   definen   por   los acotamientos. Suponga que el origen del sistema de referencia se encuentra en el punto A.

 

 FIGURA 3: Forma de un cuerpo representada por la suma de varias figuras básicas

Primera Fase

Consideramos la figura sin inclinar, tal como se muestra en la figura 3. Para ello, divideremos la figura en cuatro elementos básicos: Rectángulo mayor, rectángulo menor, semi-círculo y triángulo. Por el punto A trazamos los ejes de un sistema de referencia. A continuación, llenamos la matriz con las características de las figuras geométricas ya definidas.

 MATRIZ CENTROIDAL DE LA FIGURA

ELEMENTOS AREA (Ai) Xi Yi Ai.Xi Ai.YiRectángulo Mayor +7.000 +30 0 +210.000 0Rectángulo Menor -1.750 +25 -17,5 -43.750 +30.625Semi-círculo +1.924,23 -34,85 0 -67.059,42 0

Triángulo -1.575 +65 +11,67 -102.375 -18.380,25+5.599,23 cm2 -3.184,42 +12.244,75

Coordenadas centroidales de la figura en la posición no inclinada:

Xc = -3.184,42/+5.599,23 = -0,57 cm

Yc = +12.244,75/+5.599,23 = +2,19 cm

C(-0.57,+2.19) cm

Segunda Fase:

Las coordenadas calculadas se representan en un sistema cartesiano y se dibuja un triángulo rectángulo al cual se le calcula la hipotenusa resultante. Así tenemos:

FIGURA 4: Hipotenusa del Centroide No Inclinado

FIGURA 5: La línea base es rotada 35° en sentido horario

 

Después de rotada la hipotenusa el ángulo que se indica en el enunciado, nos damos cuenta que la suma del ángulo 35° y 75,4111° es mayor a 90°, por lo tanto, la hipotenusa cambia de cuadrante, del segundo al primero. El ángulo que ahora forma la hipotenusa respecto a la horizontal positiva es: 180° - 35° - 75,4111° resultando un ángulo de 69,5889°

 Coordenadas centroidales de la figura en la posición inclinada:

Xc = +2,2630 cm . coseno (69,5889°) = + 0,79 cm

Yc = +2,2630 cm . seno (69,5889°) = + 2,12 cm

C(+0.79,+2.12) cm

 NOTA: Cuando el ángulo de rotación y el ángulo de la hipotenusa se encuentran uno dentro del otro, el ángulo resultante se obtiene restando ambos ángulos. Cuando ellos se encuentre uno a continuación del otro, como el caso del ejemplo mostrado, entonces, el ángulo resultante se obtiene sumando ámbos ángulos. Es importante verificar si la hipotenusa cambia de cuadrante cuando la figura es rotada, ya que el signo de las coordenadas vendrá dado por el cuadrante donde ella se encuentre

2. CENTROIDES EN AUTOCAD

PASOS:1. Al tener la función y sus límites en los cuales se va a calcular el centroide, utilizando el programa 

“Microsoft Excel” ingresamos la función y establecemos un dominio con intervalos muy pequeños, luego hallamos el recorrido de la función 

2. En una columna adyacente ponemos los valores para x, y en coordenadas de la siguiente manera : =A2&","&B2

3. Cuando ya tenemos las coordenadas de todos los puntos, SELECCIONAR y COPIAR toda la columna

xy = 0.5

X^2 Coordenadas0 0 0,0

0.1 0.005 0.1,0.0050.2 0.02 0.2,0.020.3 0.045 0.3,0.0450.4 0.08 0.4,0.080.5 0.125 0.5,0.1250.6 0.18 0.6,0.180.7 0.245 0.7,0.2450.8 0.32 0.8,0.320.9 0.405 0.9,0.4051 0.5 1,0.5

4. Vamos al programa “AUTOCAD”5. Con el comando “Polilinea”  vamos a trazar la curva de nuestra función, una vez seleccionado 

este comando en la Barra de Comandos procedemos a PEGAR los valores antes copiados6. Podremos observar como nuestra curva se dibuja7. Trazamos las rectas que van a ser los límites de nuestra función8.  Con el comando “Region” creamos la región formada por la funcion, y las rectas que la limitan

9. Una vez creada la Region con el comando “MASS” en Ingles o “PROPFIS” en Español nos aparecerá todas las características de la Region, incluyendo: Centroides, Momentos de Inercia con respecto a los ejes coordenados, Producto de Momentos, etc