Momento de inerciaEl momento de inercia (smbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso ms general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripcin tensorial es necesaria para el anlisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscpicos. El momento de inercia refleja la distribucin de masa de un cuerpo o de un sistema de partculas en rotacin, respecto a un eje de giro. El momento de inercia slo depende de la geometra del cuerpo y de la posicin del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempea un papel anlogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un slido rgido.

Ecuacin: Dado un sistema de partculas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se define como la suma de los productos de las masas de las partculas por el cuadrado de la distancia r de cada partcula a dicho eje. Matemticamente se expresa como:

Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:

El subndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo. Se resuelve a travs de una integral triple.

Este concepto desempea en el movimiento de rotacin un papel anlogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilneo y uniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslacin y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotacin. As, por ejemplo, la segunda ley de Newton: tiene como equivalente para la rotacin:

Donde:

es el momento aplicado al cuerpo. es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotacin y es la aceleracin angular.

Siempre y cuando la distancia con respecto al sistema de referencia permanezca constante. La energa cintica de un cuerpo en movimiento con velocidad v es , mientras que la energa cintica de un cuerpo en rotacin con velocidad angular es , donde I es el momento de inercia con respecto al eje de rotacin. La conservacin de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservacin del momento angular :

El vector momento angular, en general, no tiene la misma direccin que el vector velocidad angular . Ambos vectores tienen la misma direccin si el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetra entonces es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido tambin a lo largo de ese eje. Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos Pasos para calcular el momento de inercia de reas compuestas Dividir el rea compuesta en varias partes que sean simples Determinar las reas de las partes, designarlas por Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes respecto a los ejes X e Y. Y calcular el cdm por todas las reas parciales anteriores. . con

de toda la figura formada

Calcular las distancias de los cdm de cada rea respecto al cdm total de la figura. Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de centro de masas (que sern paralelos a x e y). Designar como: Ii,x e Ii,y, para el rea isima. Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e y aplicando el teorema del eje paralelo, es decir, el teorema de Steiner: y

Calcular los momentos de inercia del rea compuesta a partir de los momentos anteriores:

e

Momento de reaEl primer momento de rea (tambin momento esttico o de primer orden) es una magnitud geomtrica que se define para un rea plana. Normalmente aparece en el contexto del clculo de vigas en ingeniera estructural, en particular la tensin cortante media dada por la frmula de Collignon, que es proporcional al primer momento de rea de una su seccin de la seccin transversal de la viga. El primer momento de rea coincide con el producto del rea total multiplicado por la distancia entre el punto considerado al centroide del rea. Los momentos de primer orden de un rea, se designan por la letra S o Q. Dado un eje o recta se define el primer momento de rea del rea A respecto a un eje de ecuacin rea de la distancia al eje fijado: viene dado por la integral sobre el

Si consideramos coordenadas x e y centradas en el centro de masas y se calculan los primeros momentos de rea respecto a los ejes coordenados, por la propia definicin de centro de masas:

Eso implica que para cualquier otro eje que pase por el centro de gravedad de la seccin se tiene:

El clculo respecto a un eje cualquiera que no pase por en centro de masas es trivial ya que:

Donde resulta que c coincide con la distancia de ese eje al centro de gravedad y el resultado anterior es el equivalente del teorema de Steiner para el primer momento de rea.

Primer momento de rea parcial: Como se ha visto en la seccin anterior el primer momento de rea calculado respecto al centro de gravedad de la seccin es siempre nulo. Sin embargo, si se considera un rea parcial de una seccin y se calcula el primer momento de rea respecto al centro de gravedad de la seccin completa el resultado no es cero. Designaremos a este primer momento de rea parcial por la letra vendr dado por: y su valor

Para una seccin rectangular de dimensiones 2h x b se tiene:

El clculo de este momento se requiere para el clculo de la tensin cortante sobre la lnea punteada (ver figura) de acuerdo con la frmula de CollignonJourawski (o Collignon-Zhuravski).

Segundo momento de rea: Anlogamente al primer momento de rea se define el segundo momento de rea, o momento de inercia, como:

Que puede expresarse en funcin de los segundos momentos de rea respecto al centro de masas como:

Este ltimo resultado de demostracin inmediata se conoce como teorema de Steiner

Momento de segundo ordenConsidrese una viga de seccin transversal uniforme la cual est sometida a dos pares iguales y opuestos que estn aplicados en cada uno de los extremos de la viga. Se dice que una viga en tales condiciones est en flexin pura y en la mecnica de materiales se demuestra que en las fuerzas internas en cualquier seccin de la viga son fuerzas distribuidas cuyas magnitudes varan linealmente con la distancia y que hay entre el elemento de rea y un eje que pasa a travs del centroide de la seccin. Dicho eje, se conoce como el eje neutro. Las fuerzas en un lado del eje neutro son fuerzas de compresin, mientras que las fuerzas en el otro lado son fuerzas de tensin; sobre el propio eje neutro de las fuerzas son iguales a cero. La magnitud de la resultante R de las fuerzas elementales F que actan sobre toda la seccin est dada por la frmula. La ltima integral obtenida se conoce como el primer momento Qx de la seccin con respecto del eje x; dicha cantidad es igual a YA y por lo tanto, es igual a cero puesto que el centroide de la seccin est localizado sobre el eje x. Por consiguiente el sistema de fuerzas F se reduce a un par. La magnitud m de dicho par debe ser igual a la suma de los momentos Mx = yF = Ky2 A de las fuerzas elementales. Integrando sobre toda la seccin se obtiene: La ltima integral se conoce como segundo momento o momento de inercia, de la seccin de la viga con respecto del eje x y se representa con Ix. El segundo momento se obtiene multiplicando cada elemento de rea dA por el cuadrado de su distancia desde el eje x e integrndolo sobre la seccin de la viga. Como cada

producto y2 dA es positivo, sin importar el signo de y, o cero, la integral Ix siempre ser positiva. Otro ejemplo de un segundo momento, o momento de inercia de un rea lo proporciona el siguiente problema de hidrosttica: Una compuerta circular vertical utilizada para cerrar el escurridero de un gran depsito est sumergida bajo agua como muestra la figura. cul es la resultante de las fuerzas ejercidas por el agua sobre la compuerta y cual es el momento de la resultante con respecto de la lnea de interseccin del plano de la compuerta y la superficie del agua ( eje x)?. Si la compuerta fuera rectangular, la resultante de las fuerzas de presin se podra determinar a partir de la curva de presin tal y como se hizo en los captulos anteriores. Sin embargo puesto que la compuerta es circular, se debe utilizar un mtodo ms general. Representado por y la profundidad de un elemento de rea A y por el ngulo gamma al peso especfico del agua, la presin en el elemento es p = y y la magnitud de la fuerza elemental ejercida sobre A es F = pA =yA. Por lo tanto, la magnitud de la resultante de las fuerzas elementales est dada por: Y puede obtenerse el primer momento QX = ydA del rea de la compuerta con respecto del eje x. El momento Mx de la resultante debe ser igual a la suma de los momentos Mx = yF = y2 A de las fuerzas elementales. Integrando sobre el rea de la compuerta, se tiene que Aqu, nuevamente, la integral obtenida representa el segundo momento o momento de inercia, Ix del rea con respecto del eje x.

Momento de masasEn fsica, la masa inercial o masa inerte es una medida de la resistencia de una masa al cambio de velocidad en relacin con un sistema de referencia inercial. En fsica clsica la masa inercial de partculas puntuales se define mediante la siguiente ecuacin:

Donde la partcula uno se toma como la unidad ( ); es inercial de la partcula ; es la aceleracin inicial de la partcula direccin de la partcula hacia la partcula , en un volumen ocupado partculas y , donde ambas partculas estn inicialmente en reposo distancia unidad.

la masa , en la slo por y a una

No hay fuerzas externas, pero las partculas ejercen fuerza las unas en las otras.

Momento de inercia en figuras de planos y slidosMomento de inercia de una varilla:

Vamos a calcular el momento de inercia de una varilla de masa M y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de masas. La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x+dx es:

El momento de inercia de la varilla es:

Aplicando el teorema de Steiner, podemos calcular el momento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular a la misma que pasa por uno de sus extremos.

Momento de inercia de un cilindro:Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L respecto de su eje.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotacin. El elemento es una capa cilndrica cuyo radio interior es x, exterior x+dx, y de longitud L, tal como se muestra en la figura. La masa dm que contiene esta capa es

El momento de inercia del cilindro es:

Mtodos de integracinSe entiende por mtodos de integracin cualquiera de las diferentes tcnicas elementales usadas para calcular una anti derivada o integral indefinida de una funcin. As, dada una funcin f(x), los mtodos de integracin son tcnicas cuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar una funcin F(x) tal que

, Lo cual, por el teorema fundamental del clculo equivale a hallar una funcin F(x) tal que f(x) es su derivada:

Integracin directa: En ocasiones es posible aplicar la relacin dada por el teorema fundamental del clculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una funcin cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal funcin es el resultado de la anti derivada. Ejemplo Calcular la integral

En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de tan(x) es sec2(x). Por tanto:

Ejemplo Calcular la integral

Una frmula estndar sobre derivadas establece que

De este modo, la solucin del problema es

No obstante, puesto que la funcin esta definida en los nmeros negativos tambin ha de estarlo su integral, as que, la integral escrita de una forma rigurosa sera ln(|x|)

Mtodo de integracin por sustitucin: El mtodo de integracin por sustitucin o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o anti derivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fcilmente su primitiva. Este mtodo realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivacin. Procedimiento prctico Supongamos que la integral a resolver es:

En la integral reemplazamos

con (u):

(1)

Ahora necesitamos sustituir tambin de : Tenemos que

para que la integral quede slo en funcin

por tanto derivando se obtiene

Se despeja

y se agrega donde corresponde en (1):

Simplificando:

Debemos considerar si la sustitucin fue til y por tanto se lleg a una forma mejor, o por el contrario empeor las cosas. Luego de adquirir prctica en esta operacin, se puede realizar mentalmente. En este caso qued de una manera ms sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno. Como ltimo paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva debemos modificar los lmites de integracin. Sustituimos x por el lmite de integracin y obtenemos uno nuevo. En este caso, como se hizo (Lmite inferior) (Lmite superior) Luego de realizar esta operacin con ambos lmites la integral queda de una forma final: De inters Supongamos ahora que la integral a resolver es: :

Cuando las integrales son de tipo racional e involucra funciones trigonomtricas, dgase: y la sustitucin conveniente resulta ser :

, Entonces (por Teorema de la suma y la restas

Por otra parte

o

La integral queda despus de dicha sustitucin:

Momento polarEl momento de inercia es la resistencia que un cuerpo en rotacin opone al cambio de su velocidad de giro. A veces se denomina inercia rotacional. El momento de inercia desempea en la rotacin un papel equivalente al de la masa en el movimiento lineal. Por ejemplo, si una catapulta lanza una piedra pequea y una grande aplicando la misma fuerza a cada una, la piedra pequea se acelerar mucho ms que la grande. F=m*a, si F=20N y la masa de la piedra pequea es 10kg y de la grande 100 kg sus aceleraciones sern distintas (a=F/m con F=cte=20N)

De modo similar, si se aplica un mismo par de fuerzas. M=I alpha (donde I es el momento de inercia, alpha=aceleracin angular). Con el mismo momento aplicado la aceleracin angular ser distinta segn el momento de inercia del cuerpo (lo mismo que antes). Respecto al momento polar: es el momento respecto de un "polo". Es decir el momento en un sistema de coordenadas polar. Se usa bastante en figuras con simetra. Depende mucho de la figura de la que quieras calcularlo. El momento polar no es lo mismo que el momento de inercia. Un momento de inercia puede ser respecto un punto, recta, plano. El polar es un momento de inercia particular.

Radio de giroEl radio de giro describe la forma en la cual el rea transversal o una distribucin de masa se distribuye alrededor de su eje centroidal. Concretamente es el valor medio cuadrtico de distancia de los puntos de la seccin o la distribucin de masa respecto a un eje que pasa por el centro de la misma.

Radio de giro de rea: El radio de giro de un rea con respecto a un eje particular es igual a la raz cuadrada del cociente del segundo momento de rea dividido por el rea:

Donde ig es el radio de giro, el eje es el segundo momento de rea o momento de inercia de la seccin y A es el rea de la seccin transversal. Es una medida del alejamiento promedio de la seccin resistente del centro de gravedad, dadas dos secciones de la misma rea la de mayor radio de giro presentar mayor rigidez torsional y tambin un mejor comportamiento frente a pandeo.

El radio de giro para diversas secciones transversales es:

seccin cuadrada de lado :

seccin circular de radio

:

Radio de giro de masa: El radio de giro de una masa es similar excepto que se usara el momento de inercia de la masa. El valor numrico es dado por la siguiente frmula:

Donde dg es el radio de giro, I es el momento de inercia y m es la masa del objeto.

Teorema de los ejes paralelosEl teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa ms el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

donde: el eje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; I(CM)eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; M (Masa Total) y h (Distancia entre los dos ejes paralelos considerados).

La demostracin de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposicin de coordenadas relativa al centro de masas C inmediata: Donde el segundo trmino es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en torno al centro de masa es nula, por la propia definicin de centro de masa. El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de masa slo depende de la geometra del cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende del campo gravitacional en el que est inmerso dicho cuerpo

Momento de rea compuestoConsideremos una rea compuesta A formada por varias reas componentes A1, A2. etc. Como la integral que representa el momento de inercia de A puede subdividirse en integrales calculadas sobre A1, A2. etc. el momento de inercia de A con respecto a un eje dado se obtendr sumando los momentos de inercia de las reas A1, A2. Etc. con respecto al mismo eje. El momento de inercia de un rea formada por varias de las formas comunes puede entonces obtenerse de las frmulas dadas. Sin embargo, antes de sumar los momentos de inercia de las reas componentes, se debe usar el teorema de los ejes paralelos para referir cada momento de inercia al eje deseado.

Reacciones en vigas:Para determinar las reacciones de una viga mediante un anlisis esttico en dos dimensiones se debe Proceder de la siguiente manera: Determinar el diagrama de cuerpo libre, en el cual se asla la viga de sus apoyos, sustituyndolas por las fuerzas que se generan en los apoyos o reacciones, as como las fuerzas externas aplicadas en la viga. Determinar si el cuerpo es estticamente determinado. Si el nmero de reacciones es menor de tres (r3) la estructura es indeterminada y el anlisis esttico finaliza. Si la estructura es isosttica (r=3) se verifica la estabilidad, de no ser estable, el anlisis igualmente finaliza, solo el procedimiento continua si la estructura es isosttica y estable.

Se determinan las reacciones usando la Ecuacin 1, de manera que en cada ecuacin exista una sola incgnita o reaccin. El signo positivo de la respuesta para la magnitud de la fuerza indica que el sentido supuesto inicialmente en el diagrama de cuerpo libre era correcto, el signo negativo indica que el sentido correcto de la reaccin es contrario al supuesto inicialmente. Se deben determinar las tres reacciones usando tres ecuaciones de equilibrio. Los resultados deben ser verificados con las ecuaciones que no hayan sido utilizadas

Tipos de carga de apoyosUna viga esta sometida a dos grupos de cargas denominadas concentradas o puntuales y distribuidas. El primer grupo est formado por fuerzas actuando en un punto definido, como por ejemplo, una fuerza aplicada o un momento aplicado. Estn expresadas en unidades de fuerza o de momento (N, lb, kgf, N*m, lb*pie, kgf*m, etc.). En cuanto al segundo grupo, la carga distribuida es aquella que acta sobre una longitud de la viga. La magnitud de la carga distribuida puede ser constante por unidad de longitud o variable y se expresa en unidades de fuerza sobre unidades de longitud (N/m, lb/pie, kgf/m). La magnitud de la fuerza originada por esta carga es igual al rea de la forma generada por la carga y se ubica en el centroide de la mencionada forma (Beer y Johnston, 1979; Parker y Ambrose, 1995).

Diagrama de fuerzas constanteEstablecer los ejes V y X y trazar los valores de la fuerza cortante en los dos extremos de la viga. La pendiente del diagrama de fuerza cortante en cualquier punto es igual a la intensidad (negativa) de la carga distribuida en el punto. Si se necesita determinar un valor numrico de la fuerza cortante en el punto, se debe encontrar usando el mtodo de secciones. a) Determinar la capacidad de soportar las cargas para las cuales fue diseada la estructura. b) Determinar las dimensiones ms adecuadas para resistir, (comparar los esfuerzos que soporta el material contra los esfuerzos actuantes o los previstos.).

Momento flectorSe denomina momento flector un momento de fuerza resultante de una distribucin de tensiones sobre una seccin transversal de un prisma mecnico flexionado o una placa que es perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexin. Es una solicitacin tpica en vigas y pilares y tambin en losas ya que todos estos elementos suelen deformarse predominantemente por flexin. El momento flector puede aparecer cuando se someten estos elementos a la accin un momento (torque) o tambin de fuerzas puntuales o distribuidas. Para elementos lineales perpendiculares tipo barra, el momento flector se define como una funcin a lo largo del eje neutro del elemento, donde "x" representa la longitud a lo largo de dicho eje. El momento flector as definido, dadas las condiciones de equilibrio, coincide con la resultante de fuerzas de todas las

fuerzas situadas a uno de los dos lados de la seccin en equilibrio en la que pretendemos calcular el momento flector. Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas, cargas distribuidas y momentos, el diagrama de momento flector vara a lo largo del mismo. Asimismo las cargas estarn completadas en secciones y divididas por tramos de secciones. En una pieza de plano medio, si se conoce el desplazamiento vertical del eje baricntrico sobre dicho plano el momento flector puede calcularse a partir de la ecuacin de la curva elstica:

Donde: es el desplazamiento vertical o desplazamiento de la curva elstica. es el mdulo de Young del material de la viga. es el segundo momento de rea de la seccin transversal de la viga. Adems el momento flector sobre una viga de plano medio viene relacionado con el esfuerzo cortante por la relacin:

Fuerzas de vigaEn ingeniera y arquitectura se denomina viga a un elemento constructivo lineal que trabaja principalmente a flexin. En las vigas, la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y suele ser horizontal. El esfuerzo de flexin provoca tensiones de traccin y compresin, producindose las mximas en el cordn inferior y en el cordn superior respectivamente, las cuales se calculan relacionando el momento flector y el segundo momento de inercia. En las zonas cercanas a los apoyos se producen esfuerzos cortantes o punzonamente. Tambin pueden producirse tensiones por torsin, sobre todo en las vigas que forman el permetro exterior de un forjado. Estructuralmente el comportamiento de una viga se estudia mediante un modelo de prisma mecnico.

Deformaciones y tensiones en vigas: Si se calculan las componentes del tensor de deformaciones a partir de estos desplazamientos se llega a:

A partir de estas deformaciones se pueden obtener las tensiones usando las ecuaciones de Lam-Hooke, asumiendo yy = 0,zz = 0:

Donde E es el mdulo de elasticidad longitudinal, o mdulo de Young, y G el mdulo de elasticidad transversal. Es claro que la teora de Euler-Bernoulli es incapaz de aproximar la energa de deformacin tangencial, para tal fin deber recurrirse a la teora de Timoshenko en la cual:

Esfuerzos internos en vigas: a partir de los resultados anteriores y de las ecuaciones de equivalencia pueden obtenerse sencillamente el esfuerzo normal, el esfuerzo cortante y el momento flector al que est sometida una seccin de una viga sometida a flexin simple en la teora de Euler-Bernouilli:

Donde: A rea de la seccin transversal, Iz el momento de inercia segn el eje respecto al cual se produce la flexin. La ltima de estas ecuaciones es precisamente la ecuacin de la curva elstica, una de las ecuaciones bsicas de la teora de vigas que relaciona los esfuerzos internos con el campo de desplazamientos verticales.

Ecuaciones de equilibrio Las ecuaciones de equilibrio para una viga son la aplicacin de las ecuaciones de la esttica a un tramo de viga en equilibrio. Las fuerzas que intervienen sobre el tramo seran la carga exterior aplicada sobre la viga y las fuerzas cortantes actuantes sobre las secciones extremas que delimitan el tramo. Si el tramo est en equilibrio eso implica que la suma de fuerzas verticales debe ser cero, y adems la suma de momentos de fuerza a la fibra neutra debe ser cero en la direccin tangente a la fibra neutra. Estas dos condiciones slo se pueden cumplir si la variacin de esfuerzo cortante y momento flector estn relacionada con la carga vertical por unidad de longitud mediante:

Clculo de tensiones en vigas: El clculo de tensiones en vigas generalmente requiere conocer la variacin de los esfuerzos internos y a partir de ellos aplicar la frmula adecuada segn la viga est sometida a flexin, torsin, esfuerzo normal o esfuerzo cortante. El tensor tensin de una viga viene dado en funcin de los esfuerzos internos por:

Donde las tensiones pueden determinarse, aproximadamente, a partir de los esfuerzos internos. Si se considera un sistema de ejes principales de inercia sobre la viga, considerada como prisma mecnico, las tensiones asociadas a la extensin, flexin, cortante y torsin resultan ser:

Donde: son las tensiones sobre la seccin transversal: tensin normal o perpendicular, y las tensiones tangenciales de torsin y cortante. , son los esfuerzos internos: esfuerzo axial, momentos flectores y bimomento asociado a la torsin. , son propiedades de la seccin transversal de la viga: rea, segundos momentos de rea (o momentos de inercia), alabeo y momento de alabeo. Las mximas tensiones normal y tangencial sobre una seccin transversal cualquiera de la viga se pueden calcular a partir de la primera ( ) y tercera ( ) tensin principal:

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGA ANTONIO JOS DE SUCRE AMPLIACION ANACO EDO ANZOATEGUI

Informe de mecnica racional

Mecnica II Prof: Greberth Linero Integrantes: Pedro Rodrguez CI 24.832181 Bastardo Jhany CI: 20.710.137 Jorge Chgale CI: 20.712.917 Panella Diego CI: 20.195.477

Anaco, 15-06-2011