ContenidoI.INTRODUCCIN A LAS VIGAS Y MARCOS2II.OBJETIVO GENERAL Y ESPECIFICOS3III.DEFINICIONES DE VIGAS Y MARCOS43.1.VIGA.43.2.MARCOS PLANOS.53.3.SECCIONES DE VIGAS Y MARCOS5IV.CONCEPTOS BSICOS EN EL DISEO DE VIGAS Y MARCOS7V.DIFERENTES MTODOS DE CLCULO PARA LA SOLUCIN DE ELEMENTOS VIGA105.1.Mtodo de la elstica o de la doble integracin.105.2.Mtodo de rea-momento.105.3.Mtodo de la ecuacin de tres momentos.115.4.Mtodo energtico basado en el teorema de castigliano.11VI.ECUACIN DIFERENCIAL DE LA ELSTICA126. 1.ECUACIN DIFERENCIAL DE LA ELSTICA126. 2.MTODO DE DOBLE INTEGRACIN136. 3.MTODO DE REA DE MOMENTO166. 4.MTODO DE TRES MOMENTOS20VII.APLICACIN MTODO DE DOBLE INTEGRACION257.AViga simplemente apoyada con carga puntual aplicada en L/2257.BSimplemente apoyada con carga triangular26267.CViga simplemente apoyada con carga puntual aplicada en 3L/4287.DViga simplemente apoyada con un momento aplicado en el extremo317.EViga en voladizo con carga uniformemente repartida33

I. INTRODUCCIN A LAS VIGAS Y MARCOS

Las vigas y los marcos hacen parte importante hoy de la ingeniera estructural brindando elementos bsicos para la construccin de estructuras monumentales y complejas, dndonos as un gran campo de utilizacin de estos en la vida diaria.

Se supondr en el presente trabajo que las vigas y marcos sean prismticos, lo cual quiere decir de seccin transversal constante, adems los elementos podrn estar sometidos a diferentes tipos de cargas segn sea el caso.

II. OBJETIVO GENERAL Y ESPECIFICOS

Objetivo general Identficar la importancia del calculo infitesimal en la aplicacin de los diseos de ingieneria civil

Objetivos especficos Aprender la utilizacin de las derivadas en clculos estructurales simples como es el caso de vigas

III. DEFINICIONES DE VIGAS Y MARCOS

3.1. VIGA. Se denomina viga a un elemento constructivo en el cual la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones de la seccin transversal y que trabaja principalmente a flexin, siendo un elemento estructural prismtico largo y delgado que soporta cargas transversales aplicadas en diferentes puntos a lo largo de este. Estas cargas externas originan intermitentemente en la viga fuerzas cortantes, momentos flectores, deflexiones y pendientes. Las vigas pueden ser estticamente determinadas o indeterminadas dependiendo de las restricciones en los soportes. La viga es un elemento bastante utilizado estructuralmente como por ejemplo en edificios, puentes y torres, adems de muchas otras aplicaciones en la construccin de mquinas.

Las vigas se pueden construir en diversos materiales, de los materiales tradicionales el ms idneo histricamente ha sido la madera, puesto que puede soportar esfuerzos de traccin de cierta consideracin que no pueden soportar otros materiales tradicionales de tipo cermicos como el barro o el ladrillo. La madera sin embargo es material ortotrpico que presenta diferentes rigideces y resistencias segn los esfuerzos aplicados sean paralelos a la fibra de la madera o transversales a la misma. Para aplicaciones ms modernas, las vigas se empezaron a fabricar en acero. El acero es un material istropo al que puede aplicarse directamente la teora de vigas de Euler-Bernouilli. El acero tiene la ventaja de ser un material con una relacin resistencia/peso inferior a la del hormign, adems de que puede resistir tanto tracciones como compresiones.

Tambin modernamente a partir de la segunda mitad del siglo XIX en arquitectura, se ha venido usando hormign armado y algo ms tardamente el pretensado y el postensado. Estos materiales requieren para su clculo una teora ms compleja que la teora de Euler-Bernouilli.

3.2. MARCOS PLANOS.Son elementos viga conectados rgidamente entre si, los elementos de un marco presentan comportamientos idnticos al de las vigas pero adicionando el efecto ocasionado por las cargas axiales y deformaciones axiales.Adems el elemento de un marco tendr diferente orientacin.

3.3. SECCIONES DE VIGAS Y MARCOSEn el mercado existen una variedad de secciones o perfiles estandarizados de elementos viga donde los estndares ms comunes son el americano y el europeo. Ya que los marcos se conforman de elementos viga unidos rgidamente, estos entraran a formar parte de la clasificacin de las secciones de vigas. Se pueden clasificar las vigas por medio de su seccin transversal, lo cual es un factor muy importante a la hora del diseo, es un parmetro que viene representado en la teora de diseo por medio del momento de inercia, en este caso ser el momento de inercia respecto al eje x. Algunas secciones transversales ms comunes son: seccin transversal en I (figura: a-b), seccin cuadrada, seccin rectangular (figura: c), seccin en ngulo (figura: d), seccin circular (figura: f), seccin en s (figura: e) y seccin en U (figura: g). Adems se puede construir vigas de cualquier seccin transversal pero a la hora de los resultados en el diseo es mucho ms factible y recomendado utilizarlas secciones anteriormente citadas.

Secciones de elementos viga. (a) Seccin en I normal. (b) Seccin en I de ala ancha. (c) Seccin rectangular. (d) Seccin en ngulo. (e) Seccin en S. (f) Seccin elptica. (g) Seccin en U

IV. CONCEPTOS BSICOS EN EL DISEO DE VIGAS Y MARCOS

Como concepto importante se define el papel que juega el momento de inercia y el mdulo de elasticidad en el diseo de elementos viga. Las cantidades llamadas momentos de inercia son de gran utilidad en muchos problemas de ingeniera, especialmente en los relacionados con la ingeniera estructural. Los momentos de inercia de reas transversales se utilizan tanto en el estudio de fuerzas distribuidas como en el clculo de las deflexiones en vigas el cual ser el caso estudiado en este trabajo.

El momento de inercia se podr definir entonces como la propiedad del rea de una seccin transversal que determina la resistencia a la flexin respecto a un eje particular. Los momentos de inercia de un rea son integrales de rea la cual variara segn sea el eje a analizar, en este trabajo se utilizara el momento de inercia respecto al eje x, representado en la siguiente figura, donde es la ordenada del elemento y diferencial.

Momento de inercia respecto al eje xRepresentacin grafica

La cantidad definida como mdulo Coeficiente de Elasticidad (m) recibe tambin el nombre de mdulo de Young, siendo este valor una caracterstica propia de cada material. Existen varios aspectos importantes en el diseo de vigas y marcos como lo son: la eleccin del material, la seccin transversal del elemento y la prediccin de la deflexin para el elemento a disear bajo unas cargas dadas.

El diseo depende del mximo momento flector y de las fuerzas cortantes. Pueden haber tantos esfuerzos normales como cortantes, adems dentro del lmite elstico el esfuerzo normal varia linealmente con la distancia al eje neutro y es mximo en el punto ms alejado del eje, dependiendo tambin del momento mximo. m = Mximo valor Absoluto del Esfuerzo Normal maximoM = valor absoluto del momento flector mximo.C = distancia y al eje neutro (distancia del eje neutro a la fibra exterior).I = momento de inercia

Este esfuerzo normal podr ser de tensin o de compresin segn sea el caso. El esfuerzo cortante es mximo en el eje neutro

V = valor absoluto del esfuerzo cortante mximo.Q = primer momento con respecto al eje de la porcin de la seccin situada respecto al eje neutro.I = momento de inercia. = el ancho de la seccin transversal en el eje neutro

El diseo de estos elementos prismticos generalmente se realizan siguiendo bsicamente el valor absoluto del mximo momento flector, lo que es la eleccin del material, forma y las dimensiones de la seccin transversal constante se hacen dependiendo del valor mximo del esfuerzo normal, teniendo en cuenta que valor no exceda el esfuerzo normal admisible, el cual es basado en datos obtenidos en pruebas de tensin en laboratorio.

V. DIFERENTES MTODOS DE CLCULO PARA LA SOLUCIN DE ELEMENTOS VIGA

Existen varios mtodos para calcular las deformaciones y las pendientes en vigas, donde la aplicacin de estos se realiza segn las caractersticas del elemento, tipo de viga y forma de aplicacin de las cargas. Algunos de estos mtodos son:

5.1. Mtodo de la elstica o de la doble integracin.

Se determina la ecuacin de la elstica (ecuacin de la curva que forma el elemento luego de deformarse bajo la accin de las cargas aplicadas). En este mtodo se realizan cortes para conseguir una serie de ecuaciones de momentos, validas en los rangos de corte.

Despus de tener las ecuaciones de momentos se realizan una serie de integraciones logrando as las ecuaciones para la pendiente y la deflexin a lo largo de los cortes hechos en un principio.

En base a este mtodo se presenta una generalizacin de ecuaciones denominada funciones de singularidad, disminuyendo los clculos logrando una sola ecuacin de momento la cual es integrada hasta conseguir una ecuacin para la pendiente y otra para la deflexin a lo largo de todo el elemento viga.

5.2. Mtodo de rea-momento.

Este mtodo es grfico y se pueden calcular las pendientes y deflexiones en cualquier punto, a diferencia con el anterior aqu para cada punto hay que realizar un clculo diferente, mientras que por funciones singulares solo se reemplaza en la ecuacin algn punto a lo largo del elemento.

Adems con este mtodo se pueden calcular vigas hiperestaticas y con rigidez flexional variable.

El mtodo est basado en dos teoremas denominados: primer y segundo teorema de rea-momento, el primero sirve para hallar la variacin de la pendiente entre dos puntos cualesquiera y con el segundo teorema se puede determinar la desviacin de la tangente a la elstica entre dos puntos. Como es un mtodo grafico es necesario construir una exageracin de la curva elstica del elemento y un diagrama a lo largo de la viga con un punto de empotramiento segn sea el caso.

5.3. Mtodo de la ecuacin de tres momentos.

Este mtodo es muy til a la hora de resolver vigas hiperestaticas, pero solo se pueden calcular deflexiones por medio de este recurso. El mtodo es basado en la relacin de los momentos internos en tres puntos a lo largo del elemento viga.

5.4. Mtodo energtico basado en el teorema de castigliano.

Este mtodo es uno de los ms completos pues con esta herramienta se pueden realizar anlisis a muchas estructuras y elementos. El mtodo consiste en determinar la energa elstica almacenada y luego se aplica el teorema de castigliano, determinando as las deflexiones requeridas. Teorema de castigliano: la derivada parcial de la energa elstica total almacenada en un sistema, con respecto a una carga externa, es igual a la deflexin ya sea angular o lineal del punto de aplicacin de la carga externa y en la direccin de esta.

VI. ECUACIN DIFERENCIAL DE LA ELSTICA

6. 1. ECUACIN DIFERENCIAL DE LA ELSTICA

La curvatura de la superficie neutra con el momento flector en una viga sometida a flexin pura:

Donde es el radio de curvatura, E el mdulo de elasticidad del material del que se compone la viga, I el momento de inercia de la seccin transversal de la viga M(x) el momento flector al que est sometida la misma.

Observemos que este ltimo trmino se ha designado como dependiente de la longitud medida desde un extremo de la viga (x).

Para deducir la ecuacin de la elstica es necesario recordar del clculo elemental, que el radio de curvatura de una curva plana en un punto P(x,y) puede determinarse mediante la expresin:

.= Corresponde a la primera derivada de la funcin

.= Corresponde a la segunda derivada de la funcin

Como las deflexiones son muy pequeas, podemos despreciar el trmino relativo a la primera derivada; obtenemos entonces que:

Esta es una ecuacin diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden, y gobierna el comportamiento de la curva elstica, la cual describe las deflexiones que experimenta una viga cuando es sometida a cargas transversales.

6. 2. MTODO DE DOBLE INTEGRACIN

Es el ms general para determinar deflexiones. Se puede usar para resolver casi cualquier combinacin de cargas y condiciones de apoyo en vigas estticamente determinadas e indeterminadas.Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la pendiente y deflexin de una viga por medio del clculo integral.El mtodo de doble integracin produce ecuaciones para la pendiente la deflexin en toda la viga y permite la determinacin directa del punto de mxima deflexin.

Recordando la ecuacin diferencial de la elstica:

El producto EI se conoce como la rigidez a flexin y en caso de que vare a lo largo de la viga, como es el caso de una viga de seccin transversal variable, debe expresarse en funcin de x antes de integrar la ecuacin diferencial. Sin embargo, para una viga prismtica, que es el caso considerado, la rigidez a la flexin es constante.

Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuacin por el mdulo de rigidez e integrar respecto a x. Planteamos:

Donde C1 es una constante de integracin que depende de las condiciones de frontera, como se explicar ms adelante. Como la variacin de las deflexiones es muy pequea, es satisfactoria la aproximacin:

De modo que con la expresin anterior se puede determinar la inclinacin de la recta tangente a la curva de la elstica para cualquier longitud x de la viga.

Integrando nuevamente en ambos lados de la expresin anterior, tenemos:

Mediante esta expresin podemos conseguir la deflexin para cualquier distancia x medida desde un extremo de la viga.

El trmino C2 es una constante de integracin que, al igual que C1, depende de las condiciones de frontera. Para poder establecer sus valores, deben conocerse la deflexin y/o el ngulo de deflexin en algn(os) punto(s) de la viga. Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta informacin.

En el caso de vigas simplemente apoyadas y vigas empotradas en un extremo, por ejemplo, tenemos las siguientes condiciones:En el caso de vigas simplemente apoyadas y vigas empotradas en un extremo, por ejemplo, tenemos las siguientes condiciones:

Del apoyo en A puede establecerse:x = LA y = 0Y, debido al apoyo en B :x = LB y = 0

Debido al empotramiento A :x = LA y = 0x = LA = 0

6. 3. MTODO DE REA DE MOMENTO

El mtodo de rea-momento proporciona un procedimiento semigrfico para encontrar la pendiente y el desplazamiento en puntos especficos sobre la curva elstica de la viga.

La aplicacin de este mtodo requiere el clculo de reas asociadas con el diagrama de momento flector de la viga; si el diagrama consta de formas geomtricas sencillas, el mtodo resulta muy fcil de usar.

Normalmente este es el caso cuando la viga est cargada con fuerzas y momentos concentrados.

El mtodo es bastante rpido y simple, pero en general se usa para calcular la deflexin de solo uno a unos cuantos puntos de la viga. Su uso requiere un elevado nivel de comprensin del principio de momentos y de las tcnicas para preparar diagramas de momento flector.

La figura muestra una curva elstica en la que se han seleccionado dos puntos cualquiera (A y B) y se han trazado rectas tangentes a los mismos.

Puede observarse que B/A es el ngulo que forma la tangente que pasa por el punto B respecto a la que pasa por A. De forma anloga se define el ngulo A/B . Es importante notar que ambos tienen la misma magnitud, y se miden en sentido contrario.

Recordando que las deflexiones son muy pequeas, podemos plantear la ecuacin de la elstica de la forma:

Si integramos la expresin anterior, obtenemos:

Planteando que:

Podemos finalmente rescribir la expresin anterior de la forma:

Esta ecuacin es la base del primer teorema del mtodo de rea de momento: El ngulo entre dos rectas tangentes a dos puntos cualquiera sobre la curva elstica es igual al rea bajo el diagrama M/(E - I) entre esos dos puntos

Luego, como se observa en la figura, puede considerarse aceptable la aproximacin:

Donde d es el ngulo que existe entre dos tangentes de dos puntos separados una distancia dx y x es la distancia medida desde el punto A hasta el elemento diferencial en cuestin. Al sustituir d queda:

Finalmente, al integrar la expresin anterior queda:

Lo cual puede rescribirse de la forma:

Donde xA es la distancia (medida sobre la direccin x) que existe entre el punto A y el centroide del rea bajo la curva ME/I.La desviacin vertical de la tangente en un punto A sobre la curva elstica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B es igual al momento de rea bajo el diagrama ME/I entre los puntos A y B. Este momento se calcula respecto al punto A donde va a determinarse la desviacin vertical tA/B.

De forma anloga, podra hallarse la desviacin del punto B respecto a la tangente que pasa por A. Para ello, se calculara el momento de rea bajo el diagrama ME/I respecto al punto B, es decir:

Donde xB es la distancia que existe desde el punto B hasta el centroide de la figura. Es importante mencionar que, si el resultado de la ecuacin es positivo, el punto B (en el que se calcula la deflexin) se encuentra por encima de la recta tangente que pasa por el A (y viceversa).

6. 4. MTODO DE TRES MOMENTOS

Con este mtodo puede analizarse una viga sostenida por cualquier nmero de apoyos. De hecho, el teorema soluciona los momentos flectores en los apoyos sucesivos entre s, y con las cargas que actan en la viga. En el caso de una viga con tres apoyos nicamente, este mtodo permite el clculo directo del momento en el apoyo intermedio. Las condiciones de los extremos proporcionan datos para calcular los momentos en ellos. Luego pueden usarse los principios de esttica para determinar las reacciones.En el caso de vigas con ms de tres apoyos, el teorema se aplica en sucesin a juegos de tres apoyos adyacentes, para obtener un juego de ecuaciones que se puede resolver simultneamente para los momentos desconocidos. Se puede usar el teorema de los tres momentos para cualquier combinacin de cargas. Consideremos una viga cargada como se muestra en la figura.

Se han elegido tres puntos cualquiera sobre la viga (1, 2 y 3), donde realizaremos cortes transversales y estableceremos las cargas a las que estn sometidas estas secciones, manteniendo las que estn aplicadas sobre los tramos L12 y L23 .

Se tendra entonces:

Note que los momentos flectores (M1, M2, M3) se han dispuesto en su sentido positivo, segn el convenio establecido. Las fuerzas cortantes V2i y V2d no son necesariamente iguales; depende de la condicin de apoyo carga que exista en el punto 2.

Luego, planteamos las cargas y los momentos flectores de forma separada, agregando y quitando fuerzas, como se muestra en la figura. En el caso mostrado, se ha asumido que M2 < M1 y M2 < M3.

Posteriormente, se realizan los diagramas de momento flector para los casos anteriormente mostrados. Recordamos nuevamente que se ha asumido M2 < M1 y M2 < M3.

Ahora, observemos una representacin exagerada de la curva elstica entre los puntos 1 y 3. Puede notarse que se cumple la relacin de tringulos:

Posteriormente podemos establecer las expresiones de deflexin de los puntos 1 y 3 respecto a la tangente que pasa por 2:

Finalmente, al sustituir t1/2 y t3/2 en la ecuacin, se obtiene:

Esta ecuacin expresa la una relacin general entre los momentos flectores en tres puntos cualesquiera de la viga, razn por la cual se llama ecuacin de los tres momentos.

Si los puntos 1, 2 y 3 estn al mismo nivel en la viga flexionada, los trminos h1 y h3 se anulan, con lo cual el miembro derecho de la ecuacin se hace cero.

VII. APLICACIN MTODO DE DOBLE INTEGRACION

7.A Viga simplemente apoyada con carga puntual aplicada en L/2

La viga es simtrica analizamos el primer tramo con la ecuacin general de momento, establecemos la ecuacin de la elstica:

Integrando dos veces la ecuacin obtenemos

Segn la deformacin de la viga, la pendiente de la tangente trazada en el centro de la viga es nula es decir

Entonces la ecuacion general de agulo es

7.B Simplemente apoyada con carga triangular

La viga es simtrica por lo tanto se puede analizar un solo tramo. Con la ecuacin general de momento flector establecemos la ecuacin diferencial de la elstica para el primer tramo

Integramos la Ecuacin dos veces obtenemos

Segn la deformacin de la viga, la pendiente es nula cuando X=L/2

Segn las condiciones de apoyo, la flecha es nula cuando X = 0Por lo tanto C2 = 0

Reemplazando C1 y C2 en las ecuaciones anteriores obtenemos: Ecuacin general de ngulo

Ecuacin general de flecha

Determinamos el ngulo en los apoyos reemplazando X=0 en la ecuacin correspondiente

Siendo simtrica la viga, este valor tambin es vlido para el otro extremo de la viga. Y la flecha mxima reemplazando en X=L/2

7.C Viga simplemente apoyada con carga puntual aplicada en 3L/4

Con las ecuaciones generales de momentos establecemos las ecuaciones diferenciales para ambos tramos, integrndola dos veces obtenemos

Segn las condiciones de apoyo: la flecha es nula cuando X=0 para el primer tramo

La flecha es nula cuando X=L para el segundo tramo

Segn la deformacin de la viga pendiente es nica para ambos tramos cuando X=3L/4. Entonces igualamos las ecuaciones de pendientes de ambos tramos en 3L/4

Del mismo modo igualamos las ecuaciones de flecha de ambos tramos en 3L/4

Reemplazamos C3 en las ecuaciones anteriormente obtenidas

Entonces las ecuaciones generales de ngulo y flecha son TRAMO 1Ecuacin de pendiente vlida para 0 X 3L/4

Ecuacin de flecha vlida para 0 X 3L/4

TRAMO 2Ecuacin de pendiente vlida para 0 X 3L/4

Ecuacin de flecha vlida para 0 X 3L/4

Para determinar la ubicacin de la flecha mxima en la viga es necesario considerar que la flecha es mxima cuando el ngulo es nulo, para lo cual igualamos la ecuacin de ngulo del primer tramo a cero.

Los ngulos en los apoyos se obtiene reemplazando X=0 o X=L en la ecuacin correspondiente

Y la flecha mxima reemplazando en

7.D Viga simplemente apoyada con un momento aplicado en el extremo Con la ecuacin general de momento flector establecemos la ecuacin diferencial de la elstica

Integrando la ecuacin diferencial dos veces obtenemos

Segn las condiciones d apoyo, la flecha es nula cuando X=0 y X=L

Reemplazando los valores de C1 y C2 en las ecuaciones correspondientes podemos determinar la ecuacin general de pendiente

Y la ecuacin general de la flecha

Los ngulos en los apoyos los obtenemos reemplazando X=0 y X=L en la ecuacin de pendiente

Para determinar la ubicacin del punto en donde la flecha es mxima igualamos la ecuacin general de ngulo a cero

Determinamos la flecha mxima reemplazando la ecuacin general de flecha en

7.E Viga en voladizo con carga uniformemente repartida

Con la ecuacin general de momento flector establecemos la ecuacin diferencial de la elstica

Integrando la ecuacin diferencial dos veces se obtiene:

Segn la deformacin de la viga, la pendiente es nula cuando X=L

Segn las condiciones de apoyo, la flecha es nula cuando X=L

Reemplazando C1 y C2 en las ecuaciones anteriores se obtiene: Ecuacin general de pendiente

Ecuacin general de la flecha

El valor mximo de ngulo se obtiene reemplazando X=0 en la ecuacin correspondiente

Y la flecha mxima reemplazando en X = 0

VIII. CONCLUSIONES Se demostr cmo se obtienen las frmulas de ejemplos comunes como vigas empotradas simtricas, con cargas puntuales.

Se determin que el clculo diferencial es indispensable para desarrollar ejercicios del clculo integral siendo este ltimo fundamental para resolver problemas que se presentan en la ingeniera civil.

La aplicacin de clculo de mximos y mnimos ha permitido resolver de una forma rpida y sencilla una de las tantas interrogantes que se pueden presentar en la ejecucin de una obra civil.