capítulo vii centro de gravedad, centro de masa y centroide · 7.6 problemas resueltos de centro...
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Capítulo VII
CENTRO DE GRAVEDAD, CENTRO
DE MASA Y CENTROIDE
7.1 INTRODUCCIÓN
Todo cuerpo que se halla en las inmediaciones de la tierra interactúa con ella y como
resultado de esta interacción actúa sobre el cuerpo una fuerza resultante que tiene dirección radial
y que está dirigida hacia el centro de la tierra. Esta fuerza es de naturaleza gravitatoria porque es
originada por el campo gravitatorio que rodea a la tierra y recibe el nombre de FUERZA DE LA
GRAVEDAD. La magnitud de esta fuerza se determina aplicando la ley de Gravitación Universal
de Newton, que dice: “Dos cuerpos cualesquiera en el universo se atraen con una fuerza cuya
magnitud es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia que separa los centros de masa de los cuerpos”. Estos cuerpos
cualesquiera podrían ser el planeta tierra y un objeto ubicado sobre él.
La fuerza de la gravedad al actuar sobre un cuerpo o partícula que se halla en el interior de
un campo gravitatorio produce una aceleración denominada aceleración de la gravedad. Esta
aceleración tiene la misma dirección de la fuerza de la gravedad y su valor depende de la posición
del cuerpo, es decir de la distancia que haya entre el cuerpo y el centro de la tierra. Para un
cuerpo ubicado en las cercanías de la superficie terrestre, la aceleración de la gravedad tiene un
valor promedio de 9,81 m/s2 o 32,2 pie/s2.
La aceleración de la gravedad y la fuerza de la gravedad son medidas vectoriales de los
efectos producidos por la acción del campo gravitatorio o campo gravitacional; y éste es el
resultado de una propiedad de la materia denominada GRAVEDAD.
7.2 CENTRO DE GRAVEDAD (G)
Es aquel punto de un cuerpo o partícula donde actúa la fuerza resultante de la gravedad.
Esta fuerza es ejercida por el campo gravitatorio donde se halla inmerso dicho cuerpo o partícula y
su magnitud o intensidad dependerá de las masas del cuerpo y del planeta (la tierra, por ejemplo),
así como de la distancia que haya entre el centro del planeta y el cuerpo.
Se considera que en el centro de gravedad se halla concentrado el peso total de un cuerpo
o partícula.
114
7.3 CENTRO DE MASA (C.M.)
Es aquel punto donde actúa la fuerza neta, a fin de determinar el movimiento de traslación
del cuerpo como un todo.
* Cuando un cuerpo está en movimiento, hay un punto que se mueve en la misma trayectoria que
seguiría una partícula si se sujetara a la misma fuerza neta, a este punto se llama centro de masa.
Las coordenadas del centro de masa: , ,x y z , se determinan reemplazando g
( = densidad) en las ecuaciones del centro de gravedad, y como “g” se cancela, queda:
V
V
x dV
xdV
; V
V
y dV
ydV
; V
V
z dV
zdV
donde: dV dm . Si se reemplaza está equivalencia en las ecuaciones anteriores, queda:
x dm
xdm
;
y dm
ydm
;
z dm
zdm
Nota.- Para fines prácticos se considera que el centro de masa y el centro de gravedad están en
el mismo punto. Sin embargo, si el cuerpo es lo suficientemente grande, la gravedad tiene
valores distintos en diferentes partes del cuerpo, en este caso el centro de masa y el
centro de gravedad son diferentes.
dV G
z
x
z
y
x
dW
x
z
y
W
y
Las coordenadas del centro de gravedad
G: , ,x y z se hallan mediante un
proceso de integración, a partir de un
diferencial de peso “dW”.
Se cumple:
x dW
xdW
;
y dW
ydW
;
z dW
zdW
Donde: dW dV ; = peso específico
Reemplazando dW obtenemos:
V
V
x dV
xdV
; V
V
y dV
ydV
; V
V
z dV
zdV
115
7.4 CENTROIDE (C).-
Es el centro geométrico de un cuerpo u objeto.
Si el material que constituye el cuerpo u objeto es uniforme y homogéneo, las ecuaciones
para calcular el centroide dependen sólo de la geometría del cuerpo. Se consideran tres casos
específicos.
1er Caso: Centroide de volumen
Si C ( ; ;x y z ) es el centroide del volumen, donde ; ;x y z son las coordenadas de C, estas
coordenadas se determinan mediante las siguientes ecuaciones:
V
V
x dV
xdV
O también V
x dV
xV
V
V
y dV
ydV
O también V
y dV
yV
V
V
z dV
zdV
O también V
z dV
zV
Donde: x , y , z , son las coordenadas del centro de gravedad del elemento diferencial utilizado.
Para calcular el centroide de un volumen,
primero se elige un diferencial de volumen “dV”,
el cual puede ser un disco circular de espesor
pequeño, un cascarón cilíndrico u otro elemento
diferencial, y mediante un proceso de
integración se halla las coordenadas del
centroide de dicho volumen.
dV C
z
y
x
z
y
x
116
2do Caso: Centroide de área
3er Caso: Centroide de línea
dA
z
y
x
z
y
x
C
Para calcular el centroide de un área, primero se
elige un diferencial de área “dA”, que
generalmente es un rectángulo, y mediante un
proceso de integración se halla las coordenadas
del centroide de dicha área.
Si C ( ; ;x y z ) es el centroide del área, las
coordenadas ; ;x y z se determinan en forma
similar que en el caso del volumen. Es decir:
A
A
dA
dAx
x O también A
dAx
x A
A
A
dA
dAy
y O también A
dAy
y A
A
A
dA
dAz
z O también A
dAz
z A
dL
z
y
x
z
y
x
C
Para calcular el centroide de una línea, primero se
elige un diferencial de longitud “dL” y se procede
igual que en los casos anteriores.
Las coordenadas ; ;x y z para el centroide de una
línea se determinan utilizando las ecuaciones siguientes:
L
L
x dL
xdL
O también L
x dL
xL
L
L
y dL
ydL
O también L
y dL
yL
L
L
z dL
zdL
O también L
z dL
zL
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Nota: El centroide de un objeto puede ubicarse dentro o fuera del objeto. Asimismo, si la figura del
objeto es simétrica, respecto a uno o más ejes, su centroide se halla en uno de los ejes o
en la intersección de los ejes (ver las figuras siguientes).
7.4.1 Centroide en cuerpos compuestos
Un cuerpo compuesto consiste en una serie de cuerpos de forma sencilla y que están
conectados. Estos cuerpos sencillos pueden ser rectangulares, triangulares, semicirculares,
etc. Los cuerpos compuestos pueden descomponerse en sus partes y analizar cada parte
por separado.
Método para hallar el centroide de un objeto geométrico compuesto
1. Se divide el objeto o cuerpo en un número finito de partes componentes que tengan
formas más sencillas. Si una parte componente tiene un agujero, o una región
geométrica donde no exista material, ésta se toma como una componente adicional
pero con signo negativo.
2. Se determina las coordenadas x, y, z del centroide de cada parte.
3. Se calcula las coordenadas ; ;x y z del centroide del objeto o cuerpo, utilizando las
siguientes ecuaciones:
En líneas:
x Lx
L
; y L
yL
; z L
zL
En áreas:
x Ax
A
; y A
yA
; z A
zA
x
y
z
x
y
C
118
En volúmenes:
xVx
V
; yV
yV
; zV
zV
7.4.2 TEOREMAS DE PAPPUS-GULDINUS
TEOREMA I: “El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la
curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de dicha
curva al momento de generar la superficie”.
* Recordar que una superficie de revolución se genera mediante la rotación de una curva
plana con respecto a un eje fijo. Por ejemplo (ver figura siguiente), se puede obtener la
superficie de una esfera rotando un arco semicircular ABC con respecto al diámetro AC; se
puede producir la superficie de un cono rotando una línea recta AB con respecto a un eje
AC.
TEOREMA II: “El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generatriz
multiplicada por la distancia recorrida por el centroide del área al momento de
generar el cuerpo”.
* Recordar que un cuerpo de revolución se genera mediante la rotación de un área plana
alrededor de un eje fijo. Como se muestra en la siguiente figura, se puede generar una
esfera o un cono rotando la forma apropiada con respecto al eje que se indica.
A
B
C A
B
C
Esfera Cono
A
B
C A
B
C
Esfera Cono
119
7.5 TABLA 7.1 – Situación del centroide en algunas líneas, superficies
y volúmenes.
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TABLA 7.1 – Situación del centroide en algunas líneas, superficies
y volúmenes (Continuación).
Fuente: RILEY W. y STURGES L. Estática. Editorial Reverté. 2005
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7.6 PROBLEMAS RESUELTOS DE CENTRO DE GRAVEDAD, CENTRO DE MASA
Y CENTROIDE.
PROBLEMA Nº 1
Determine el centroide del área limitada por la parábola 2 4y ax y las rectas y b y 0x .
Resolución
Para calcular el centroide del área mencionada, primero hago las gráficas correspondientes a la
parábola 2 4y ax y a las rectas y b y 0x .
Cálculo de x , y (coordenadas x e y) del centroide del área mostrada en la figura
En este tipo de problemas, primero se elige un elemento diferencial y luego se aplica las
ecuaciones siguientes:
dA
dAxx ;
dA
dAyy
Donde:
x y
y son las coordenadas del centroide del elemento diferencial utilizado.
PRIMER MÉTODO DE RESOLUCIÓN: UTILIZANDO UNA FRANJA HORIZONTAL COMO
ELEMENTO DIFERENCIAL
De la figura anterior observamos que:
2
xx
; xayy 4
; dxxadyxdA
y
x
xay 4
by b
yy
x
x
dy
a
b
4
2
0x
122
Reemplazando en las ecuaciones de x e y , tenemos:
dxxa
dxxax
xab
ab
4/
0
4/
02
2
2
a
bx
40
3 2
dxxa
dxxaxa
yab
ab
4/
0
4/
02
2
)(4
by4
3
SEGUNDO MÉTODO DE RESOLUCIÓN: UTILIZANDO UNA FRANJA VERTICAL COMO
ELEMENTO DIFERENCIAL
De la figura anterior se observa que:
xx
; 2
4
2
21bxayy
y
; dxxabdxyydA )4()( 12
Se sabe que las coordenadas x e y del centroide de área se calculan con las ecuaciones
siguientes:
dA
dAxx ;
dA
dAyy
y
x
xay 41
by 2
b
y
x
dx
a
b
4
2
0x
123
Luego, al reemplazar
x ,
y y dA , tenemos:
dxxab
dxxabx
xab
ab
)4(
)4(
4/
0
4/
02
2
a
bx
40
3 2
dxxab
dxxabbxa
yab
ab
)4(
)4(2
4
4/
0
4/
0
2
2
by4
3
TERCER MÉTODO DE RESOLUCIÓN: UTILIZANDO UN ELEMENTO DIFERENCIAL
RECTANGULAR
De la figura anterior observamos que:
xx
; yy
; dydxdA
Sabemos que las coordenadas
x e
y del centroide de área se calculan con las ecuaciones
siguientes:
dA
dAxx ;
dA
dAyy
y
x
xay 42
by b
y
x
dx
a
b
4
2
0x
dy
ayx 4/2
124
Reemplazando
x ,
y y dA , tenemos:
dydx
dydxx
xabb
abb
4/
00
4/
002
2
a
bx
40
3 2
dydx
dydxy
xabb
abb
4/
00
4/
002
2
by4
3
PROBLEMA Nº 2
La pieza de máquina en forma de L que se muestra en la figura está compuesta por dos barras
homogéneas. La barra 1 es de una aleación de tungsteno con densidad de 14 000 kg/m3. La barra
2 es de acero, con densidad 7 800 kg/m3. Determine las coordenadas x e y del centro de masa
de esta pieza.
80 mm 240 mm
240 mm
40 mm
80 mm
y
z
x
1
2
125
Resolución
Las coordenadas x e y del centro de masa para el cuerpo compuesto mostrado en la figura,
están dadas por las ecuaciones siguientes:
21
2211
mm
mxmxx
;
21
2211
mm
mymyy
Donde:
1x y 2x son las coordenadas “x” de los cuerpos componentes (1) y (2).
1m y 2m son las masas de los cuerpos componentes (1) y (2).
Cálculo de x (coordenada “x” del centro de masa del cuerpo compuesto en forma de L):
Para calcular x , primero necesito conocer los valores de las coordenadas 1x y 2x , así como de
las masas 1m y 2m . Las coordenadas 1x y 2x , de acuerdo al sistema de coordenadas mostrado
en la figura, tienen los siguientes valores:
mmx 401 ; mmx 2002
Las masas 1m y 2m se determinan utilizando la ecuación: Vm . Dado que la densidad del
cuerpo ( ) es dato del problema, y el volumen V se halla multiplicando las tres dimensiones del
cuerpo, entonces tenemos:
)104080240(/14000 393
111 mmkgVm kgm 75,101
)104080240(/7800 393
222 mmkgVm kgm 9904,52
Al reemplazar los valores de 1x , 2x , 1m y 2m , tenemos que:
mmx9904,575,10
9904,520075,1040
mmx 2545,97
Cálculo de y (coordenada “y” del centro de masa del cuerpo compuesto en forma de L):
Para calcular y , primero necesito conocer los valores de 1y y 2y , así como de 1m y 2m . Las
coordenadas 1y y 2y , de acuerdo al sistema de coordenadas mostrado en la figura, tienen los
siguientes valores:
mmy 1201 ; mmy 402
Las masas 1m y 2m ya se hallaron anteriormente y son: kgm 75,101 y kgm 9904,52
Al reemplazar los valores de 1y , 2y , 1m y 2m , tenemos que:
mmy9904,575,10
9904,54075,10120
mmy 37,91