1032 CAPÍTULO 14 Integración múltiple

Ejercicios de la sección 14.6

En los ejercicios 1 a 8, evaluar la integral iterada.

1. ff L (x + y + z) dx dy d:

2. fJ~J~1x2y2z2dxdydz3. Lf fYx d: dy dx 4. f I:/3l~yL9X2 Z d: dx dy

5. fL f 2ze-x2 dy dx d: 6. ff'!al

/

xZ

In z dy d; dx

, 7.l4l"/2 L -x x cos y d: dy dx 8. l"/2 I:/

2L/Y sen y d; dx dy

En los ejercicios 9 y 10, utilizar un sistema computacional paraálgebra y evaluar la integral iterada.

9. ef.J4=Xí r2

x d; dy dxJo - J4=:~,jo

10. (h (~(4-y2 y dz dy dxJo Jo J2x2 + y2

En los ejercicios 11 y 12, utilizar un sistema computacional paraálgebra y aproximar la integral iterada.

11. (2 (.J4=Xí (4 x2 sen y d; dy dx

Jo Jo JI z

1

312-<2Y/3)16-2Y-32 _ 2

12. ze x'y dx d; dyo o o

En los ejercicios 13 a 16, dar una integral triple para el volumendel sólido.

13. El sólido en el primer octante acotado por los planos coordena-dos y el plano z = 4 - x - y

14. El sólido acotado por z = 9 - X2, Z = O, x = OY Y = 2x

15. El sólido acotado por el paraboloide z = 9 - x2 - y2 Yel planoz = O

16. El sólido que es el interior común bajo de la esfera x2 + y2 +Z2 = 80 Y sobre el paraboloide z = !(x2 + y2)

Volumen En los ejercicios 17 a 22, utilizar una integral triplepara hallar el volumen del sólido mostrado en la figura.

17. 18.

z =xy

x

xOsxslOsyslz = O y

19. 20.

z = 36 - x2 _ y236

z=O

12 12 Yx

21. 22.

z=4-x2 4

y=-x+2

X;" Oy;" Oz;"O

y yx

En los ejercicios 23 a 26, dibujar el sólido cuyo volumen estádado por la integral iterada y reescribir la integral utilizando elorden de integración indicado.

1

4

1

<4 -X)/21<12 - 3x-6y)/423. dz dy dx

o o oReescribir utilizando el orden dy dx dz.

24. fl~ r-X

-

Y

dz.dy dx

Reescribir utilizando el orden dz dx dy.

25. LL l..fl=Yi d: dx dy

Reescribir utilizando el orden d; dy dx.

26. fJ: f/YL4X2 d: dy dx

Reescribir utilizando el orden dx dy dz,

En los ejercicios 27 a 30, dar los seis posibles órdenes de inte-gración de la integral triple sobre la región sólida Q

f f f xyzdV.Q

27. Q = {(x, y, z): O s x s 1, O s y s x, O s z s 3}28. Q = {(x, y, z):O s x s 2, x2 S y s 4, O s z s 2 - x}

29. Q = {(x, y, z): x2 + y2 S 9,0 s z s 4}30. Q = {(x, y, z): O s x s 1,y s 1 - X2, O S Z s 6}

estáo el

inte-

En los ejercicios 31 y 32, la figura muestra la región de inte-gración de la integral dada. Reescribir la integral como unaintegral iterada equivalente con los otros cinco órdenes.

llll-y2L1-Y

31. dz dx dyo o o

e (X (9-X232. Jo Jo Jo dz dy dx

z

L z=9-x2z=l-y

y=x

yx

X=1_y2x

y

Masa y centro de masa En los ejercicios 33 a 36, hallar la masay las coordenadas indicadas del centro de masa del sólido dedensidad dada acotado por las gráficas de las ecuaciones.

33. Hallar x utilizando p(x, y, z) = k.

Q: 2.x + 3y + 6z = 12, x = O, Y = O, z = O34. Hallar y utilizando p(x, y, z) = ky.

Q: 3x + 3y + 5z = 15, x = O, Y = O, z = O35. Hallar z utilizando p(x, y, z) = kx.

Q: z = 4 - x, z = O, Y = O, Y = 4, x = O36. Hallar y utilizando p(x, y, z) = k.

x y z ( )Q: - + -b + - = 1 a, b, e > O , x = O, Y = O, z = Oa e

Masa y centro de masa En los ejercicios 37 y 38, formular lasintegrales triples para hallar la masa y el centro de masa delsólido acotado por las gráficas de las ecuaciones.

37. x = O, x = b, y = O, Y = b, z = O, z = b

p(x, y, z) = kxy

38. x = O, x = a, y = O, Y = b, z = O, z = e

p(x, y, z) = k;

Para pensar En la figura se muestra el centro de masa de unsólido de densidad constante. En los ejercicios 39 a 42, haceruna conjetura acerca de cómo cambiará el centro de masa(x,y, z) con la densidad no constante p(x,y, z). Explicar.

39. p(x, y, z) = kx

40. p(x, y, z) = k;

41. p(x, y, z) = k(y + 2)42. p(x, y, z) = kxZ2(y + 2)2

x

SECCIÓN 14.6 Integrales triples y aplicaciones 1033

Centroide En los ejercicios 43 a 48, hallar el centroide de laregión sólida acotada por las gráficas de las ecuaciones o descri-ta en la figura. Utilizar un sistema computacional para álgebray evaluar las integrales triples. (Suponer densidad uniforme yhallar el centro de masa.)

h43. z = _Jx2 + y2, Z = h

r44. y = .J4 - x2, z = y, z = O

46.

z = .J42 - x2 - y2, Z = O1

Z = --- z = O x = -2 x = 2 y = O Y =y2 + l' , , , ,

45.

47.

x

48.(O, O, 4)

x

Momentos de inercia En los ejercicios 49 a 52, hallar Ix' Iy e L,para el sólido de densidad dada. Utilizar un sistema compu-tacional para álgebra y evaluar las integrales triples.

49. a) p = k

b) p = kxy:

x

~ .. , I

, ¡ \ \ '

51. a) p(x, y, z) = k

b) p = ky

x

50. a) p(x, y, z) = k

b) p(x, y, z) = k(x2 + y2)

y

y

52. a) p = kz

b) p = k(4 - z)

4z=4-y2

y4

x

Momentos de inercia En los ejercicios 53 y 54, verificar losmomentos de inercia del sólido de densidad uniforme. Utilizarun sistema computacional para álgebra y evaluar las integralestriples.

53. Ix = ~m(3a2 + L2)

1y = !ma2

1, = ~m(3a2 + U)

y

y

CAPÍTULO 141034 Integración múltiple

54. Ix = nm(a2 + b2)

1) = nm(b2 + C2)

1, = nm(a2 + C2)

z

~c-1~'lb

,V--, ,----, 1

•.Momentos de inercia En los ejercicios 55 y 56, dar una integraltriple que represente el momento de inercia con respecto al ejez de la región sólida Q de densidad p.

55. Q = {(x, y, z): -1 s x s 1,-1 s y sI, Os z s 1 - x}p = .Jx2 + y2 + Z2

56. Q={(x,y,z):X2+y2s I,Oszs4-x2-y2}

p = kx2

En los ejercicios 57 y 58, utilizando la descripción de región só-lida, dar la integral para a) la masa, b) el centro de masa y e) elmomento de inercia con respecto al eje z.

57. El sólido acotado por z = 4 - x2 - y2 Y z = O con la funciónde densidad p = k;

58. El sólido en el primer octante acotado por los planos coordena-dos y x2 + y2 + Z2 = 25 con función de densidad p = kxy

Desarrollo de conceptos59. Definir una integral triple y describir un método para eva-

luar una integral triple.

60. Dar el número de órdenes posibles de integración al eva-luar una integral triple.

61. Considerar el sólido A y el sólido B de pesos iguales que semuestran en la figura.

a) Como los sólidos tienen el mismo peso, ¿cuál tiene ladensidad mayor?

b) ¿Cuál sólido tiene el momento de inercia mayor?Explicar.

e) Los sólidos se hacen rodar hacia abajo en un planoinclinado. Empiezan al mismo tiempo y a la mismaaltura. ¿Cuál llegará abajo primero? Explicar.

Sólido A Sólido B

Desarrollo de conceptos (continuación)62. Determinar si el momento de inercia con respecto al eje y

del cilindro del ejercicio 53 aumentará o disminuirá con ladensidad no constante p(x, y, z) = .J x2 + Z2 Y a = 4.

Valor promedio En los ejercicios 63 a 66, hallar el valor prome-dio de la función sobre el sólido dado. El valor promedio de unafunción continuaf(x, y, z) sobre una región sólida Q es

i f f f f(x, y, z) dVQ

donde Ves el volumen de la región sólida Q.

63. f(x, y, z) = Z2 + 4 sobre el cubo en el primer octante acotadopor los planos coordenados, y los planos x = 1, y = 1 Y z = l

64. f(x, y, z) = .xyz sobre el cubo en el primer octante acotado porlos planos coordenados y los planos x = 3, y = 3 Y z = 3

65. f(x, y, z) = x + y + z sobre el tetraedro en el primer octantecuyos vértices son (O, O, O), (2, O, O), (O, 2, O) Y (O, O, 2)

66. f(x, y, z) = x + y sobre el sólido acotado por la esferax2 + y2 + Z2 = 2

67. Hallar la región sólida Q donde la integral triple

f f f (1 - 2x2 - y2 - 3z2) dV

Q

es un máximo. Utilizar un sistema computacional para álgebra yaproximar el valor máximo. ¿Cuál es el valor máximo exacto?

68. Hallar la región sólida Q donde la integral triple

f f f (J - x2 - y2 - Z2) dV

Q

es un máximo. Utilizar un sistema computacional para álgebray aproximar el valor máximo. ¿Cuál es el valor máximo exacto?

69. Encontrar a en la integral triple.

1113-a-Y214-X-Y2 _ 14

dz dx dy - 15o o a

70. Determinar el valor de b de manera que el volumen del elip-soide

y2 Z2x2+-+-=

b2 9

es 167T.

Preparación del examen Putnam

71. Evaluar

lím {1{1 ... {ICOS2{~(X +x +"'+X)}dxdx .. ·dx,,_= Jo Jo Jo 2n 1 2 ,,1 2 n:

Este problema fue preparado por el Cornmittee on the Putnam Prize Competition.© The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.