*mf g5)5)tmpi)jipij ^

La técnica más simple para determinar la posición de un objeto extenso en una imagen es el cálculo del centroide, o momento de primer orden del perfil de intensidad de la imagen del objeto^).

El cálculo del centroide es una técnica con aplicación en muy diversos campos. Entre las aplicaciones más interesantes podemos destacar los sistemas de seguimiento

(2) empleados en las comunicaciones por la'ser(3-8)( donde se utiliza

la técnica del centroide para medir el alineamiento entre el emisor y el receptor: o los sistemas de navegación para satélites, en los que la técnica se utiliza para determinar el rumbo respecto a las estrellas fijase-12)

Otra técnica basada en el cálculo del centroide es la caracterización de un frente de onda usando un sensor del tipo Hartmann-Shack(13.14) Este consiste en un conjunto de lentes que, a partir de un frente de onda incidente, forman un conjunto de subimágenes sobre un detector, normalmente una cámara CCD (véase figura 1.1). Mediante el cálculo del centroide, se miden las posiciones de las imá­genes. A partir de esta información se consigue una descripción completa de las pendientes locales del frente de onda, con las que este último puede reconstruirse completamente. Estos sensores son de gran utilidad en la medida de las aberracio­nes introducidas en el frente de onda por componentes ópticos no perfectos o medios no homogéneos por los que atraviese el haz de luz. En particular el sensor de Hartmann-Shack se utiliza en áreas tales como óptica adaptativa(16) medi­das de las deformaciones de los ojos(^), o simplemente para calibrar instrumen­tos ópticos^**, 19)

Figura 1.1 Sensor de frente de onda Hartmann-Shack.

7

Por último, cuando no es posible construir un sistema de óptica adaptativa en el que los errores residuales sean pequeños comparados con la longitud de onda, se recurre a la óptica adaptativa de bajo orden(20-23) 0 recentrado de imágenes. Este método de corrección de imágenes consiste en superponer imágenes de corta exposición, de tal forma que sus centroides coincidan. La imagen resultante tiene una resolución mayor que la imagen de larga exposición equivalente^-^)

Todos estos ejemplos ilustran claramente la importancia de la medida del cen­t ro ide .

Cuando se aplica la técnica del centroide con niveles de iluminación muy débiles (por ejemplo en óptica adaptativa para astronomía) el cociente señal-ruido de las cámaras CCD que se utilizan normalmente en iluminación media es insuficiente para tomar imágenes útiles. Para mejorarlo se recurre al empleo de intensif icadores(24"2(>) , e n u n a 0 v a r j a s etapas, en cada una de las cuales la señal se amplifica, lográndose finalmente aumentar el cociente señal-ruido en un factor que va desde 10^ hasta 10^. El uso de intensificadores presenta el problema de los tiempos muertos de las diversas etapas de amplificación, que modifican la estadística previa (detección poissoniana) transformándola en una de Bernoulli, en la que las únicas detecciones posibles son cero o un fotón. Se dice entonces que la detección es binaria(27)

El efecto de la binarización en el cálculo del centroide es el aumento de los errores estadístico y sistemático, respecto a la detección poissoniana.

En este trabajo proponemos un método que reduce los errores sistemáticos y estadísticos en el cálculo del centroide a partir de imágenes binarias. Esta técnica ropera parte de la información sobre la intensidad que reciben los pixeles, que se pierde debido a la binarización, a partir de las intensidades detectadas en los

vecinos. Como se verá más adelante, la técnica proporciona buenos m a t a d o s para bajas intensidades que es, precisamente, la situación experimen­tal wtkk iaaeresante.

Además, realizaremos un estudio del comportamiento de los errores sistemáti-

8

eos y estadísticos de los centroides poissoniano. binarizado y corregido, para poder compararlos entre sí. El estudio se llevará a cabo considerando la influen­cia de la intensidad de la señal, del ruido, y de la anchura del perfil de intensidad.

En este estadio, se coapararaa datos obtenidos de expresiones teóricas, y de experiacaaos s iaa lados . y se comprobará la validez de las primeras.

Se llega finalmente a la conclusión de que la técnica que introducimos en este trabajo es aplicable y útil, cuando se trabaja con detectores que utilizan intensifi-c adores.

9

2.1 Definición de centroide. 2.1.1 Definición.

Se define el centroide de una imagen bidimensional como el punto cuyas coor-XC .YC) verifican(2)

,y)dxdy

(2.1) | | I(x,y)dx

j I yl(x,y)dx

Tí

dy

;dy

(2.2) I(x,y)dxdy

2.1.2 Simplificación de la definición.

Se puede simplificar la definición de centroide utilizando la proyección unidimensional de la intensidad sobre los ejes. Para el eje x tendremos

i(x)=J I(x, y)dy (2.3) y

con lo que la coordenada del eje x del centroide es

i(x)xdx

i(x)dx

í 1

X = ' 4 (2.4)

Se paede dar una definición equivalente para la coordenada Y c del centroide.

11

A partir de ahora, y con el fin de no duplicar los cálculos, nos restringiremos al e t f d i o de la coordenada X c .

2.2 Medida del centroide. La estimación experimental del centroide correspondiente a la definición

(2.1). una vez discretizada la imagen en pixeles(^), es.

NN' N y w. .x. Y w . x . ¿—t ij i ¿—t i i

c NN' N (2.5)

IJ donde x. ,+x. — i+l i x. = — - —

2

siendo xj, X J + j , y ¡ , y i + 1 , los extremos del intervalo de medida (i,j), W ¡j es la inten­sidad en el pixel (i,j), y W ¡ es la intensidad en la columna i

4" í r x i + i [y-i+i

l(x\y')áx'áy' (2.6)

N' w . = —y w . (2.7)

Los detectores más comúnmente empleados para el estudio de imágenes son las cámaras CCD. Existen dos tipos de detección con estas cámaras; analógica y digital. En detección analógica el detector mide las intensidades recibidas en cada pixel, aacatras que en detección digital las intensidades se discretizan en niveles de gris. Cuando las intensidades son muy pequeñas se hace necesario la amplifica-caóa de la señal, para reducir el ruido de lectura. Se usan para ello intensificado-res de alta ganancia(24) q u e n egan a hacer detectables los fotones individuales. La detección de intensidades es entonces discreta.

12

2.3 Detección poissoniana. 2.3.1 Estadística poissoniana.

Cuando se realiza una detección discreta, se debe tener en cuenta que el nú­mero de fotocuentas detectadas en el pixel (i,j) es una variable aleatoria con distribución de probabilidad poissoniana. Es decir, la probabilidad de detectar n fotocuentas en un experimento para una detección ideal, y para una señal de intensidad W ¡ j , viene dado

por(28)

Si se tiene en cuenta el ruido en la detección. CTy = W ¡ j + o r ^ . Donde el término a r 2 es la varianza del ruido de detección. Se ha supuesto que los pixeles son idénticos y presentan, por tanto, el mismo ruido.

2.3.2 Centro ide poissoniano.

La aleatoreidad de la detección introduce un ruido, denominado cuántico, que impide la detección del centroide real con una única medición. El centroide defi­nido en (2.5) se evalúa experimentalmente mediante el siguiente estimador(30)

(2.8) n!

con varianza (29) 0 i j 2 = W i j

NN' N Y n. x. ¿—t ij i T n.x

i i (2.9) NN' N

N' (2.10)

13

de fotocuentas en el pixel ( i j ) .

tiene una varianza que depende de las varianzas del núme-ro de h M c m i i s en los pixeles. Usando la ley de propagación de e r rores^ ^ se h » . - e < 2 9 )

Var ( X c ) = 1 Jcl + íaj) ( 2 .11 ) f NN

NN' NN' I y N N ' ( x f - 2 ( x ) X ¡ :

f = - ^ ^ (2 .12 ) NN"

donde a es la desviación típica del ruido de detección en un pixel, a es la r x anchura de la imagen de la señal detectada, y (x) es la coordenada x del centro del de tec tor .

2.4 Detección intensificada. Cuando se requiere detección de fotones individuales, el cociente señal-ruido

de los detectores es muy bajo. Para mejorarlo se hace uso de intensificadores que amplifican la señal y aumentan dicho cociente. En este caso, la detección se denomina detección intensificada ™)

El modelo más sencillo de detección intensificada consiste en suponer que el intensificador no cambia la forma de la imagen sino que únicamente produce un ensanchamiento de la misma. La relación entre la anchura de la imagen sin intensificar. a x , y la anchura de la imagen después de la intensificación, Oq , rieme dada por

a 0 = c x + a i n t ( 2 .13 )

14

es el ensanchamiento característico del intensificador.

Unicamente resta sustituir c x por C en (2.11)

ij \ j I

(2 .14 )

Este modelo es muy sencillo y tiene limitaciones. En particular, el modelo no es aplicable a intensificadores que usan tecnología de placas de micro-canal o MCP

complicada que un simple ensanchamiento de la señal. Estas distorsiones adicionales son más importantes cuando las dimensiones de los canales MCP son del orden, o mayores que los pixeles del CCD. En particular se comprobará en el apartado (4.2) que no funciona para la situación extrema de la detección binaria. Un modelo para este tipo de detección será desarrollado en el siguiente apartado.

2.5 Detección binaria.

2.5.1 Estadística binaria .

Se entiende por detección binaria aquella en la que sólo es posible detectar cero o una cuenta. Esto ocurre en la práctica cuando las detecciones de cualquier número, n>l , de fotones incidentes sobre un pixel, son indistiguibles entre sí, y se interpretan como detecciones de una única cuenta.

La binarización cambia la distribución de probabilidad de detectar n fotocuen­tas. dejando invariable únicamente la de cero cuentas. La distribución de probabilidad binaria de detectar n cuentas, P b j j (n) , es una distribución de B e n o u l l i ^ 3 2 )

( m i c r o - c h a n n e l - p l a t e s ) ( 3 0 ) . La distorsión introducida por estos aparatos es más

15

Pjj(0) = Py(O) = e"WiJ

P-jd) = X Pij(n) = 1 - P-j(O) = 1 - e (2 . 1 5 ) n=l

Pf,(n) = O n>l

Cuando las intensidades son bajas, podemos desarrollar las exponenciales y quedarnos sólo con los primeros términos 3)

2 ' 3 P j ( 0 ) - 1 - W y + - J L - - J L

P b ( l ) = W -^JL + ^ÍL (2 -16) 1 J 1 J 2 6

P*(n) = 0 n>l

El número medio de cuentas W y , que se puede calcular a partir (2.15), obteniéndose(33)

w u = I n p ! > ) • PijU) • 1 - e " W i j ( 2 - 1 7 ) 11=1

y en bajo número de fotones

2 3

wíj- w i j - - f - + - f ~ (2-18) Puesto que la detección binaria es un proceso de Bernoulli, la varianza del es-

del número de cuentas en el pixel (i,j) es(32)

16

Var (2 .19 )

2.5.2 C e n t r o i d e b i n a r i o .

El centroide binario se define como

NN' N

Ywb .^ Y w b 7 í-d lj 1 ¿—i 1 1

x b = ^ = J c o n

NN' N W7-

N* w M Y W D

(2 .20 )

(2 .21 )

y el estimador del centroide binario es

NN' N T-< b ' r - i D

x b = ^ i = J NN' N I % 2».

c o n n b = i y n b

1 N ' ^ 1J i

( 2 .22 )

(2 .23 )

Debido a la modificación de la distribución de fotones detectados, el centroide binario no tiene porque coincidir con el centroide poissoniano, por tanto existe un error sistemático dado por

17

NN' NN' b — IJ

c c NN' NN' (2 .24 ) y w . . y w . . ¿-d ij ¿-t ij

I J

Aplicando la ley de propagación de errores, a la expresión (2.20), empleando (2.19). y tomando como origen de coordenadas el centroide real se obtiene(34)

Var ¿

NN'

/NN' \I P i j d ) »J

(2 .25 )

2.6 Corrección del error sistemático debido a la binarización. 2.6.1 Introducción.

En condiciones de baja luminosidad, la intensidad recibida por el pixel, W ¡j, b

está relacionada con la intensidad medida, W . , mediante la fórmula

Wij = - ln ( l - WbJ= Wbj+^Í-

y por tanto N' N' N ' b 2 w . = iYw. .« i_y W.. + - J — y w . .

( 2 .26 )

(2 .27 )

El estimador de en detección poissoniana es(^5)

W 2 = n.in.. - l) (2 .28 )

18

la detección es binaria, el estimador de W . tiene una forma similar, b

Sin embargo, dado que n sólo puede ser 0 o 1, este estimador se anula siempre

W 2 / v .. = n n.. - 1 = 0

(2 .29 )

Por tanto no es posible estimar el segundo sumatorio de la ecuación (2.27) que permitiría obtener una buena estimación del centroide empleando datos binarios.

2.6 .2 Autocorrelación.

La función de autocorrelación(35) discreta de una función fj se define como

N" j

(2 .30 )

a la variable % se le denomina retardo.

La autocorrelación de la intensidad W jj para un valor i fijo y para un retardo n u l o

j (2 .31 )

coincide con la cantidad que queremos estimar.

Experimentalmente la autocorrelación se es t ima^ ^)

N' —y,n.n. . c>0 N J J+5

j

ti'

— T n i n . - l) ^=0 (2 .32 )

19

A nosotros nos interesa estimar la correlación para retardo cero, pero el esti­

m a d o r

N '

n . . -1 (2.33)

siempre ( 3 5 )

P a n compensar este sesgo, en este trabajo se propone un método senci l lo que

consiste en hacer la siguiente aproximación

G ( 2 )(0) = G ( 2 )(Y) (2.34)

donde Y es la dimensión del pixel según el eje y. Un método similar fué propuesto

por H o f m a n n ( 3 6 ) pm e\a del agujero central de la autocorrelación, que

aparece en la reconstrucción de imágenes de alta resolución.

2.6.3 E s t i m a d o r e s de corrección.

Vamos ahora a construir un estimador aproximado de W.. De la ecuación

(2.34) se deduce que

( 2 - 3 5 )

j j

E l segundo miembro de (2.35) se puede estimar con (2.32). Si tenemos en cuen­

ta que (2.35) tiene dos ecuaciones diferentes, y que la correlación es una función

simétrica, al pasar a estimadores podemos ut i l i zar el promedio de los dos estimado­

res que resultan con el f in de reducir el ruido. Se obtiene de esta forma el estima­

dor aprox imado

N ' N '

L Y W b * = J _ Y n b n b , n + n b . N' i )

(2.36)

20

Las I 27) y (2.36) nos llevan al siguiente estimador de W j

N '

W , C = - L I

N j »?i+7l(»Vi)+n!'(i-ü (2.37)

L a aproximación que hemos hecho para obtener la ecuación (2 .37) es

equiva lente a

w b * . ^ l W i Q + i ) + W i ( i - i ) , ij ij 2

Otras dos aproximaciones similares son

( W ( i + l h + W ( U 2

w b - W b i j i j

w

(2.38)

(2.39)

(2.40)

que nos l levan a los siguientes estimadores

N '

N' ;

N '

1 N" 6 J

n U + ^ ( n f i + l ^ + n f i - i ) i + n i ( j + l ) + n ? ( j - l ) )

(2.41)

(2.42)

Cualquiera de los tres, (2.37), (2.41), o (2.42) se puede ut i l i zar para conseguir

una estimación correg ida del centroide

N

N (2.43)

21

c o n error s istemático dado por

N N

x£ - X c = 1 1

N N

i

(2.44)

En cuanto al error estadístico, aplicando la ley de propagación de errores se

llega a que para el estimador que presenta la correción mayor ( la correspondien­

te a la expresión (2.37) como veremos en el apartado 4.3) se tiene

Var (W? ) -X [ l +^(w¡h + 1 , + Wj , . ^WÍ j [ l - WbJ (2.45)

N N '

Var fe) = i -

N \(2.46)

2.6.4 M e j o r a .

Para de f in i r cuanti tat ivamente la cal idad de la corrección, ut i l i zamos un pará­

metro que denominamos mejora.

Se define la mejora de una corrección dada como el tanto por ciento del error

sistemático que se corrige con ella, cuando se toma como referencia para el error

sistemático el centroide poissoniano, que es la mejor determinación posible.

Mejora = 100 c c

V e el

(2.47)

22

3 .1 Descripción de la simulación.

B priaaer paso en el proceso de simulación es el cálculo de la intensidad lum i -

aoaa qme recibe cada pixel . Para ello se necesita conocer la distribución de inten­

sidad de la luz que incide sobre el detector. La distribución de intensidad que se

preseata de manera más general es la distribución de A i r y ( 3 7 ) S in embargo esta

distribución se suele sust i tuir por una distribución gaussiana, que es mucho más

fácil de computar y reproduce la de A i r y hasta el pr imer mínimo. Puesto que el

máximo centra l contiene el 8 4 % de la energía total' l a aproximación es

bastante buena.

Se considera un detector intensif icado de 20X20 pixeles, idénticos y de iguales

dimensiones en ambos ejes. Se consideran, además', señales b id imensionales de

distribución de intensidad gaussianas, y normalizadas a un número de fotones da­

do. Puesto que el detector es intensif icado, tratamos el caso de detección discreta.

3.2 Simulación de detección discreta.

Para reproducir la detección discreta hay que simular cuentas con estadística

poissoniana en cada p ixe l . Se emplea el generador de poissonianos P O I D E V , que

aparece en Numer ica l R e c i p e s ^ ^ .

Los resultados de la generación de cuentas de todos los pixeles se guardan en

una matr i z b id imens ional que representa la simulación de una detección poisso­

niana sin ru ido de detección. Las cuentas de ruido se s imularon como un conjunto

de var iables aleatorias i . i . d . ( independientes e idénticamente d i s t r i b u i d a s ^ ) ) con

el mismo valor medio para todos los pixeles y con distribución de probab i l idad

poissoniana en cada uno de e l los (40)

?.? Cálculo de los datos a p a r t i r de la simulación.

Coa la detección simulada se calcula el centroide de la misma forma que se ha­

ría coa datos reales. Se obtienen 10^ centroides para cada señal y se calcula su va­

har aaedk) y su desviación típica, datos que se compararan con los que proporciona

24

la teoría-

rea l i zaron simulaciones para intensidades comprendidas entre 2 y 1024

4 - » t - — « y para ru ido entre 0 y 5'5 cuentas de ru ido por detección. Cuando la

detección es binaria, el número de fotones que se detectan no coincide con el que

ae selecciona para la señal (hay pérdida de fotones). Tampoco co inc iden cuando

resoltados se representan en función del número de fotones de la señal, y no de

los fotones detectados. Lo hacemos así porque el número de fotones de señal es un

parámetro independiente del p e r f i l de intensidad de la luz inc idente sobre el

detector, cosa que no ocurre con los fotones detectados.

Los resultados obtenidos de forma teórica en los apartados anteriores se con­

trastan con los obtenidos mediante la simulación del experimento. E l proceso de

simulación, previamente comprobado, (ver referencias 29, 41) reproduce las con­

diciones habituales en un experimento de estas características.

3.4 Efecto del movimiento del centroide.

Las real izaciones se efectuaron considerando una distribución de intens idad

incidente sobre el detector con centro en un punto f i jo , que no cambia de una

realización a otra. Aunque en situaciones reales el centroide está en mov imien to ,

este fenómeno no añade comple j idad al problema. E l único efecto que tiene es

añadir la varianza del movimiento a la varianza del centroide f i jo . Si l lamamos X^.

al estimador del centroide f i j o , x m al del centroide en movimiento y V M a la va­

rianza de mov imiento del centroide real, la relación entre las tres magnitudes es

Esta relación se verificó con la simulación, como puede verse en la f igura 3.1

ea la que se representa la ecuación (3.1), junto con los valores obtenidos de la s i -

aaalaciÓB de detección poissoniana.

en el caso de corrección, ya que ésta no es perfecta. Sin embargo, los

(3.1)

25

Se asó urna, disuibación de p r o b a b i l i d a d gaussiana para s i m u l a r la posición de l

te l a distribución de in tens idad de la luz i n c i d en t e .

3

Q

1 0 ~ I 1—1—i—r-r-

1 7

0 .1 _ l I ' ' ' I

1 0 1 0 0 N (fotones/detección)

1 0 0 0

F i gu ra 3.1 Detección po issoniana s in r u i d o . Efecto de l m o v i m i e n t o del c en t ro ide . Desviación típica de l c en t ro ide de la imagen en función del número de fo tones . La teoría se representa

med iante la línea c o n t i n u a , y los resultados de la simulación mediante círculos. A n c h u r a de l y

p e r f i l de i n t e n s i d a d i n c i d en t e a =2.6 p ixe les . V M = 1 p i x e l .

3. 5 E r r o r s istemático r e l a t i v o en función del d e s p l a z a m i e n t o

del p e r f i l .

D e b i d o al tamaño f i n i t o de los detec tores , e l p e r f i l de i n t e n s i d a d su f re r ecor t es

que p r o d u c e n u n e r r o r sistemático en el cálculo de l c e n t r o i d e . E n las f i g u r a s 3 .2 .a ,

b, c se r e p r e s e n t a e l e r r o r sistemático r e l a t i v o en función de l d e s p l a z a m i e n t o d e l

p e r f i l , y para los tres t i pos de c en t r o i de ( p o i s s o n i a n o , b i n a r i o y c o r r e g i d o ) . Cada

una de las gráficas co r r esponde a una anchura de p e r f i l d i f e r e n t e .

Se o b s e r v a c o m o los er rores de l c e n t r o i d e c o r r e g i d o y p o i s s o n i a n o t i e n d e n a

c o n v e r g e r a l a u m e n t a r l a a n c h u r a de l p e r f i l .

26

0.5

0.4

• 0.3 "

0.2

0.1 -

0 10 2 3 4 5 6 7 8 9

Desplazamiento (pixeles)

F i g u r a 3.2.a E r r o r sistemático r e l a t i v o del cen t ro ide en función de l d e sp l a zamien to de l p e r f i l respecto a l c en t r o d e l de t ec to r . A n c h u r a de l p e r f i l de i n t e n s i d a d i n c i d e n t e o s = 0 . 8 6 p i x e l e s .

S in r u i d o . Las líneas representan los valores teóricos y los puntos los resu l tados ob t en idos por simulación. Detección po i sson iana (línea a trazos y c írculos) . Detección b i n a r i a ( l ínea

punteada y cuadrados ) . Corrección de la detección b i n a r i a ( l ínea c o n t i n u a y r ombos ) .

o >

0.5

0.4

a 0.3

o 0.2

0.1

o 10 2 3 4 5 6 7 8 9

Desplazamiento (pixeles)

F i g u r a 3.2.b E r r o r sistemático r e l a t i v o de l cen t ro ide en función de l desp l a zamien to de l p e r f i l respecto a l c en t r o d e l de t ec to r . A n c h u r a de l p e r f i l de i n t e n s i d a d i n c i d e n t e o s = 2 . 6 p ixe l es . S in

raido. Las líneas representan los valores teóricos y los puntos los resu l tados ob t en idos por lación. Detección po i s son iana (línea a trazos y c írculos) . Detección b i n a r i a ( l ínea

y cuadrados ) . Corrección de la detección b i n a r i a ( l ínea c o n t i n u a y r o m b o s ) .

27

z —

0.3

0.2

0.1

i _

2 3 4 5 6 7 8 9 10 Desplazamiento (pixeles)

F i g u r a 3.2.c E r r o r sistemático r e l a t i v o de l cent ro ide en función de l d e sp l a zamien to d e l p e r f i l respecto a l c en t r o de l de t ec to r . A n c h u r a de l p e r f i l de i n t ens idad i n c i d e n t e o s = 6 . 0 p i xe l e s . S in

r u i d o . Las líneas representan los va lores teóricos y los puntos los resu l tados ob t en idos por simulación. Detección po i sson iana (línea a trazos y círculos) . Detección b i n a r i a ( l ínea punteada y cuadrados ) . Corrección de la detección b ina r i a ( l ínea c o n t i n u a y r o m b o s ) .

28

4 .1 De tecc ión p o i s s o n i a n a .

C u a t e e l d e t e c t o r r e c i b e una i n t e n s i d a d m u y ba j a , y se d e t e c t a n f o t o n e s

i n d i v i d u a l m e n t e , e s t amos en e l caso de de tecc ión d i s c r e t a . En u n a de tecc ión

perfecta l a estadística de l número de fo tones detec tados en un p i x e l debe segu i r

• n a distribución de p r o b a b i l i d a d po i s son iana (detección p o i s s o n i a n a ) . Este t i p o de

detección ya ha s ido e xhaus t i v amen t e es tud iada . En las re f e renc ias ( 2 ) , ( 29 ) y (41 )

se e n c u e n t r a n e x p r e s i o n e s teóricas que d e s c r i b e n l o s e r ro r es estadíst icos en l a

m e d ida de l c e n t r o i d e de una imagen . D i c h o s e r rores estadísticos v i e n e n dados por

la fórmula ( 2 .11 ) .

Para c o m p r o b a r l a relación (2 .11 ) se simuló u n e x p e r i m e n t o de detección p o i ­

sson iana . U t i l i z a m o s d i s t r i b u c i o n e s gaussianas para el p e r f i l de i n t e n s i d a d de la

lu z i n c i d e n t e sobre e l de t ec to r . A p a r t i r de la simulación se o b t i e n e n va l o r es de la

desviación típica de l c e n t r o i d e que se c omparan con los teóricos dados por ( 2 . 1 1 ) .

L a comparación se real izó en función de la anchura de l p e r f i l de la i n t e n s i d a d de

la l u z i n c i d e n t e ( ca rac t e r i zada por su desviación típica a s ) , e l número t o ta l de f o to ­

nes, y e l r u i d o de detección.

Se u t i l i z a r o n tres va lo res de CTS d i f e r e n t e s . E l menor v a l o r c o r r e s p o n d e a una

distr ibución e s t r e cha , que tan sólo p e r m i t e una resolución ba ja , y por t an t o no r e ­

p resen ta u n caso práct ico. L a distribución más ancha p r esen ta e l p r o b l e m a de u n

r e c o r t e de l o s b o r d e s d e l p e r f i l de l a i n t e n s i d a d . L a a n c h u r a i n t e r m e d i a r e ­

p r esen ta u n caso ó p t i m o ^ ^ ) donde la resolución es a l t a y e l de t ec to r t i ene u n ta ­

maño s u f i c i e n t e p a r a e v i t a r r e co r t e s y es po r t a n t o r e p r e s e n t a t i v a de las anchuras

c on las que se t raba ja e x p e r i m e n t a l m e n t e . Se c u b r e de esta f o r m a todo e l p o s i b l e

espectro de va l o r es de a s , desde los muy pequeños, a los muy grandes. Los r e su l t a ­

dos o b t e n i d o s por simulación de detección p o i s s o n i a n a se r ep resen tan en la f i g u r a

30

c

4 .1 . donde se mues t ra la desviación típica del c en t r o i de de la i m a g e n . También se

representan en e l l a las curvas teóricas ob t en idas de (2 .11) . L a representación se

hace en función del número t o t a l de fo tones , para tres va lores de C s , y c o n s i d e r a n ­

do que no hay r u i d o de detección. Se aprec ia una buena c o n c o r d a n c i a entre los va-

lotes teóricos, y los ob t en idos por simulación de detección po i s s on i ana . Se observa

también que el e r r o r estadístico d i s m i n u y e a l aumenta r el número de f o t ones , y a l

disminuir el v a l o r de a s .

10 P

U) a <o

o '5.

c o o ra

(D

O

0.1

0.01

" Og=6.0 pixeles

| i a =2.6 pixeles

O s =0.86 pixeles

i i i

1000 10 100

N (fotones/detección)

Figura 4 .1 Detección poissoniana sin ruido. Desviación típica del centroide en función del número de fotones, para varias anchuras de perf i l de intensidad de luz incidente. Dependencia

con la anchura del perf i l de intensidad de luz incidente. Las líneas representan los valores teóricos, y los puntos los obtenidos por simulación.

E n p r e s enc i a de r u i d o , e l e r r o r estadístico de l c e n t r o i d e también queda b i e n

mode l i z ado por la expresión (2.11) , ta l como se puede observar en las f i gu ras 4.2.a

y 4 .2.b. En 4.2.a se representan las desv iac iones típicas de l c e n t r o i d e (teóricas y

o b t e n i d a s po r s imulac ión) en función de l número t o t a l de f o t ones , y pa ra un r u i d o

de 4 f o tones por detección y desviación típica a r = 0 . 1 fo tones/p ixe l . Este va lo r de a r

es a a a co ta s u p e r i o r para de tec tores i n t e n s i f i c a d o s ^ ^ .

31

10 100 1000 N (fotones/detección)

F i gu ra 4.2.a Detección po isson iana. Desviación típica del centro ide en función de l número de f o tones , para var ias anchuras de p e r f i l de in t ens idad de lu z inc iden t e . R u i d o de detección

4 fotones/detección, o~ r=0.1 fo tones/p ixe l . Las líneas representan los va lores teóricos, y los

puntos los obten idos por simulación.

u X

o >£"

c ?2 o ¡o

' > 09 —

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

1— 1 1 1 1 ' 1 ' 1 ¡— • -*• 6 -<r — o o o O

i Oj=6 .0 p i x e l e s —

O s =2.6 p i x e l e s ;

•

• o 3 - - ¡ I f —a n -Q 9 —

-

-0 n .

-i

o s = 0 . 8 6 p i x e l e s

1 , 1 , 1 , 1 ! I

-

1

Ruido (fotones/detección)

F i gu ra 4.2.b Detección po isson iana . Desviación típica del centro ide en función de l número de f o t ones , para var ias anchuras de p e r f i l de in t ens idad de luz i n c i d e n t e . 50 fo tones de señal.

Las líneas representan los valores teóricos, y los puntos los ob ten idos por simulación.

32

En la figura 4.2.b se representa la desviación típica del centroide en función

del ruido, para na número de fotones incidentes fi jo. Se observa que el error esta­

díst ico crece al aumentar el ruido, y que dicho crecimiento es más rápido para

perfiles de iaiensidad estrechos.

4.2. Detecc ión binaria.

En este apartado estudiamos, los errores sistemáticos y estadísticos que apare­

cen en la medida del centroide cuando la detección es binaria. Los centroides cal­

culados a partir de las imágenes binarias, simuladas, se comparan con las expre­

siones teóricas ( 2 . 1 4 ) y (2.25). Consideramos en todos los casos crs=2.6 pixeles. Para

el cálculo de los errores estadísticos teóricos se supone el centroide del perfil de

intensidad incidente en el centro del detector. Sin embargo, para los errores siste­

máticos hay que desplazarlo a cierta distancia del centro, ya que este error se anu­

la cuando el centroide del perfil de intensidad incidente se sitúa en el centro del

detector. Para evitar esto se usa un perfil de intensidad para la luz incidente cen­

trado a 2 pixeles del centro del detector. El error sistemático se debe a que el cen­

troide binario no coincide, en general, con el centroide del perfil de la intensidad

de la luz incidente sobre el detector, sino que se sitúa entre este último y el centro

del detector. El efecto se hace más acusado al aumentar el número de fotones.

Como primer paso se procede a comparar las ecuaciones teóricas ( 2 . 1 4 ) y (2.25)

con los datos obtenidos por simulación de detección binaria. En la figura 4.3 se re­

presenta la desviación típica del centroide de la imagen en función del número de

fotones para el caso en que no hay ruido de detección. Se muestran las dos curvas

teóricas, junto con los datos obtenidos por simulación de detección binaria. El va­

lor OQ de la ecuación ( 2 . 1 4 ) se obtiene mediante ajuste a los datos de la simulación

y vale OQ=2.9 pixeles, valor para el que el ensanchamiento carac ter í s t ico del

3 3

intensificados definido en el apartado 2.4, resulta ser a ¡ n t = 1 . 2 pixeles. Como se

aprecia ea la figura 4.3 la ecuación (2.25) funciona en un rango más amplio que

(2.14).

Nos centraremos ahora en la ecuación (2.25) y compararemos los valores que

proporciona con los datos obtenidos a partir por simulación de detección binaria,

ea función del número de fotones y del ruido de detección. La figura 4.4.a muestra

la desviación típica del centroide (obtenida por simulación y de (2.25)) en función

del número de fotones. Se considera en ella un ruido de 4 fotones por detección y

a r =0.1 fotones/pixel. La figura 4.4.b presenta la dependencia de la desviación

típica del centroide con el ruido, para un número de fotones de señal f i jo . Se

observa que, al igual que para la detección poissoniana, el error estadístico del

centroide disminuye apreciablemente al aumentar el n ú m e r o de fotones y

aumenta ligeramente al crecer el ruido.

1 0 p 1 i 1—i—i—i—P—| 1 i 1 1—i—i—r—r—| 1 1 1 1 — i — I T n

0.01 10 100 1000

N (fotones/detección)

Figura 4.3 Detecc ión binaria sin ruido de detección. Anchura del perfil de intensidad incidente, o $=2.6 pixeles. Comparación de las expresiones teóricas (2.14) (línea continua) y

(2.25) ( l ínea a trazos), de los errores estadísticos con los resultados de la simulación (círculos) .

3 4

100 N (fotones/detección)

1000

Figura 4.4.a Detección binaria sin ruido. Desviación típica del centroide en función del número de fotones. Anchura del perfil de intensidad incidente, o s=2.6 pixeles. Ruido de

detección 4 fotones/detección, or=0.1 fotones/pixel. La línea continua representa los valores

teóricos, y los círculos los obtenidos por simulación.

u X

u él

-o u

—

0.8 r

Ruido 3 4

(fotones/detección)

Figura 4.4.b Detección binaria. Desviación típica del centroide en función del número de fotones de ruido. Anchura del perfil de intensidad incidente c¡ s=2.6 pixeles. 50 fotones de

señal. La línea continua representa los valores teóricos, y los círculos los obtenidos por simulación.

3 5

Los resultados para los errores sistemáticos se muestran en las figuras 4.5.a y

4.5.b.

La gráfica 4.5.a muestra el error sistemático del centroide en función del nú-

atero total de fotones para un ruido de 4 fotones por detección y a r=0.1 fotones/pi-

xel. Se observa que el error sistemático decrece inicialmente al aumentar el nú-

Mero de fotones, hasta que se alcanza un mínimo, y después vuelve a aumentar. Es­

to se debe a que si bien inicialmente la imagen se va defiendo mejor al aumentar

el número de fotones (mientras los efectos de la binarización se mantienen peque­

ños), se acaba llegando a un punto en el que la binarización deforma severamente

la imagen, y el error sistemático vuelve a aumentar.

10 f-T

U X

o u

G

o E

—

1 -

0.1

0.01 1 0 1000 100

N (fotones/detección)

Figura 4.5.a Detección binaria. Error sistemático del centroide en función del número de fotones. Anchura del perfil de intensidad incidente, a s=2.6 pixeles, centroide de la misma

situado a 2 pixeles del centro del detector. Ruido de detección 4 fotones/detección, or=0.1 fo-

tones/pixel. L a línea continua representa los valores teóricos, y los círculos los obtenidos por s imulación.

En la figura 4.5 .b se representa el error sistemático en la determinación del

centroide en función del número de fotones de ruido. Se aprecia como el error

sistemático del centroide aumenta al incrementarse el número de fotones de ruido.

3 6

0.3

1 2 3 4 5 Ruido (fotones/detección)

Figura 4.5.D Detección binaria. Error sistemático del centroide en función del número de fotones de ruido. Anchura del perfil de intensidad incidente c¡ s=2.6 pixeles. 50 fotones de

señal. L a línea continua representa los valores teóricos, y los círculos los obtenidos por simulación.

4.3. Correcc ión .

En el apartado (2.6.5) propusimos tres posibles correcciones del error sistemá­

tico en la medida del centroide binario (fórmulas (2.37), (2.41), y (2.42)). Para dilu­

cidar cual de las tres es la mejor, se simula una detección binaria con un perfil de

intensidad situado a 2 pixeles del centro del detector, y con anchura CTS=2.6 pixeles.

Se calcularon los errores sistemáticos para las tres correcciones del centroide

binario, tomando como referencia la detección poissoniana. Los resultados se

presentan en la figura 4.6, donde se muestra el error s is temát ico de las tres

correcciones y el predicho por la teoría para la estimación (2.37) en función del

número de fotones. Se consideró que no había ruido de detección. Se aprecia que la

cor recc ión correspondiente a la ecuación (2.37) es la que da menores errores

s i s temiücos . por lo que será la empleada en el estudio posterior.

3 7

: :5

• 0.04 -

N (fotones/detección),

Figura 4.6 Diferencia entre las estimaciones corregidas del centroide y el centroide poissoniano en función del número de fotones. Se presentan los resultados de la simulación

para la correción (2.37) (círculos), la (2.41) (cuadrados), y la (2.42) (rombos). La línea continua es el error sistemático teórico correspondiente a la corrección (2.37). Anchura del

perfil de intensidad incidente o =2.6 pixeles. Sin ruido de detección.

Para comprobar la calidad del método de corrección la del error sistemático del

centroide binario, se obtuvieron valores de la mejora (definida mediante la

expresión (2.47)) obtenida con la corrección del centroide, con y sin ruido, para

dos anchuras de perfil de intensidad incidente. Los resultados se muestran en las

figuras 4.7.a y 4.7.b. En la primera se representa la mejora teórica y la obtenida

experimentalmente en la s imulación, en función del número de fotones y sin

ruido de detección. En la figura 4.7.b se representan los resultados obtenidos para

un ruido de detección de 4 fotones por detección y a r=0.1 fotones/pixel. Se observa

comparando ambas gráficas que la mejora es mayor cuando hay ruido. Este hecho

se debe a que la aproximación (2.38) es exacta para un perfi l de intensidad

uniforme, como la distribución del ruido. Por tanto la presencia de ruido mejora la

aproximación (2.38) para el conjunto de señal y ruido. Esto no significa que el

centroide se determine mejor con ruido que sin él. Hay que recordar que la mejora

de la corrección se define tomando como referencia la detección poissoniana, que

3 8

en presencia de r u i d o de d e t e c c i ó n p r e s e n t a un e r r o r s i s t e m á t i c o que l a

corrección no e l i m i n a .

100 I 1 ' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ' r

0 200 400 600 800 1000 N (fotones/detección)

Figura 4.7.a Mejora de la estimación (2.37) en función del número de fotones, para dos anchuras del perfil de intensidad. Sin ruido de detección. Las líneas representan los valores

teóricos, y los puntos los obtenidos por simulación.

2

100

8 0

60 "

40 -

20 -

i i i i i i i i r ' 1 1 1 1

A \ -- \

— \

D » \ O s = 6 . 0 p i x e l e s

-\ -

: V -

- \~ >3

"**•—• "~"""--- » • ~~ -°" ~ : _

D — - 0"s =2.6 p i x e l e s

— , — . — 1 _ i , , . i , , , 1 , , , 1 . , .

200 400 600 N (fotones/detección)

800 1000

Figura 4.7.b Mejora de la estimación (2.37) en función del número de fotones, para dos oras de perfil de intensidad. Ruido de detección 4 fotones/detección, or=0.1 fotones/pi-

xel. Las líneas representan los valores teóricos, y los puntos los obtenidos por simulación.

3 9

Otro hecho apreciable en las figuras 4.7.a y 4.7.b es que la mejora disminuye al

aumentar el número de fotones. Esto es debido a que la corrección que se aplica es

sólo de segando orden.

Por último se estudia el efecto de la corrección de la binarización en los erro­

res estadíst icos. Al igual que en el caso de binarización, para el cálculo de errores

estadísticos se considera el perfil de la intensidad de la luz incidente centrada en el

centro del detector. Los valores teóricos y simulados se comparan representando

los errores estadísticos en función del número total de fotones y del ruido. Se hace

esto para tres valores de G s y los tres tipos de centroide (poissoniano, binario y

corregido). En la figura 4.8.a se muestra la desviación típica del centroide, tanto la

obtenida experimentalmente en la simulación, como de la teoría (fórmula (2.46)).

La representación se hace en función del número total de fotones, con un ruido de

detección de 4 fotones por detección, a r=0.1 fotones/pixel y considerando una

anchura para un perfil de la intensidad de luz incidente de a s=0.86 pixeles. En las

figuras 4.8.b y 4.8.c se repite el proceso anterior para otras dos anchuras del perfil

de intensidad. Se observa en estas tres gráficas como el error estadístico disminuye

al aumentar de número de fotones.

En las figuras 4.9.a, 4.9.b, y 4.9.c se muestran los resultados del estudio de los

errores estadísticos en función del ruido. En 4.9.a se muestra la desviación típica

del centroide de la imagen en func ión del n ú m e r o de fotones para una

distribución de luz de a s=0.86 pixeles. En las gráficas 4.9.b y 4.9.C se repite el mismo

estudio para dos anchuras diferentes. Se observa que el error estadíst ico crece al

aumentar el ruido de detección, excepto en la figura 4.9.c donde se mantiene

práct icamente constante.

4 0

0.01 10

N

. . . . i i

100 (fotones/detección)

1000

Figura 4.8.a Desviación típica del centroide en función del número de fotones. Anchura del perfil de intensidad o s=0.86 pixeles. Las líneas representan los valores teóricos y los puntos

los obtenidos por simulación. Detección poissoniana (línea continua y círculos). Detección binaria ( l ínea a trazos y cuadrados). Corrección de la detección binaria (línea punteada y

rombos). Ruido de detección 4 fotones/detección, or=0.1 fotones/pixel.

1 o — i — > — | 1 1 1 — i — i — i — ' * i • 1 1 — ' — i — i — < — r - .

0.01 10 100

N (fotones/detección) 1000

Figura 4.8.b Desviación típica del centroide en función del número de fotones. Anchura del perfil de intensidad o$=2.6 pixeles. Las líneas representan los valores teóricos y los puntos

los obtenidos por simulación. Detección poissoniana (línea continua y círculos). Detección ia ( l ínea a trazos y cuadrados). Corrección de la detección binaria (línea punteada y

rombos). Ruido de detección 4 fotones/detección, or=0.1 fotones/pixel.

41

10

Q

1 r

0.1

0.01 100

N (fotones/detección) 1000

Figura 4.8.C. Desviac ión típica del centroide en función del número de fotones. Anchura del perfil de intensidad os=6.0 pixeles. Las líneas representan los valores teóricos y los puntos

los obtenidos por simulación. Detección poissoniana (línea continua y c írculos) . Detección binaria ( l ínea a trazos y cuadrados). Corrección de la detección binaria (línea punteada y

rombos). Ruido de detección 4 fotones/detección, or=0.1 fotones/pixel.

i) X

•d u

a -o

Q

0.8

0.7

0.6

0.5 -

0.4 r

0.1

• a. — a __ —

3 4 Ruido (fotones/detección)

Figura 4.9.a Desviac ión típica del centroide en función del número de fotones. Anchura del perfil de intensidad os=0.86 pixeles. Detección poissoniana (línea continua y c írculos) . Las

Incas representan los valores teóricos y los puntos los obtenidos por simulación. Detección binaria (l ínea a trazos y cuadrados). Corrección de la detección binaria (línea punteada y

rombos). 50 fotones de señal.

4 2

o

c •O

O > U c

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

—. .-9 — <-» 9-, --e—• e- —e

8- - 9-. - - . r i l

1 2 3 4 5 Ruido (fotones/detección,)

Figura 4.9.D Desviación típica del centroide en función del número de fotones de ruido. Anchura del perfil de intensidad os=2.6 pixeles Detección poissoniana (línea continua y

círculos) . Las líneas representan los valores teóricos y los puntos los obtenidos por simulación. Detección binaria (línea a trazos y cuadrados). Corrección de la detección binaria

(línea punteada y rombos). 50 fotones de señal.

X

73

c •O

u i)

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

2 0.3

0.2

0.1

— :3 •_• - e o — —u — — •_" _" n; _• _ d _ • -_m

_L

1 2 3 4 5 Ruido (fotones/detección)

Figura 4.9.C Desviación típica del centroide en función del número de fotones. Anchura del perfil de intensidad o s=6.0 pixeles. Detección poissoniana (línea continua y círculos) . Las

lúeas representan los valores teóricos y los puntos los obtenidos por simulación. Detección binaria (l ínea a trazos y cuadrados). Corrección de la detección binaria (línea punteada y

rombos). 50 fotones de señal.

4 3

* Hemos visto que el cálculo del centroide de una imagen es una técnica con

aplicación en diversos campos, como por ejemplo: sistemas de seguimiento para

comunicaciones por láser, sistemas de navegación para satélites, mejora de la

resolución mediante el recentrado de imágenes, y óptica adaptativa.

* Cuando las condiciones de baja iluminación fuerzan el uso de intensificado-

res, se modifica la estadística de los fotones detectados, pasando de ser una estadís­

tica poissoniana a una binaria.

* La binarización aumenta los errores estadísticos y sistemáticos del centroide,

respecto a la detección poissoniana.

i

* Se ha mostrado que los efectos de la binarización en el cálculo del centroide

no se pueden explicar simplemente mediante el modelo del ensanchamiento de la

imagen, como se ha sugerido en otros trabajos.

* Se ha introducido un modelo teórico para explicar los efectos del uso de

intensificadores en la medida del centroide.

* Se han probado tres expresiones para efectuar estimaciones corregidas del

centroide y se han comparado entre sí mediante simulación. Se ha comprobado

que una de ellas ofrece mejores resultados.

* Se han llevado a cabo una serie de experimentos simulados que han mostrado

la aplicabilidad práctica de la estimación corregida del centroide. Comparando la

teoría con los resultados de la simulación, se ha comprobado el buen comporta­

miento del las expresiones teóricas del error y de la estimación corregida.

* La reducción del error sistemático es más importante para bajas intensida­

des, lo que se corresponde con la situación experimental más interesante.

* Así mismo, para bajas intensidades, la reducción del error sistemático crece

ai aumentar la anchura del perfil de intensidad la luz incidente, pero al aumentar

d aimcro de fotones la tendencia se invierte.

45

* Pira aaa intensidad dada la corrección del error sistemático aumenta con el

raido, asaque ello no implique una mejor determinación del centroide para un

ruido mayor.

" El efecto de la corrección en el error estadístico es mayor (en valor absoluto)

para pequeñas anchuras del perfil de intensidad. Esto ocurre para todas las inten­

sidades de señal y ruido que se consideraron.

* El estudio realizado sobre el comportamiento de la estimación corregida del

centroide muestra que es una técnica útil para mejorar la precisión con que se

determina el centroide de una imagen, en condiciones de baja luminosidad.

46

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