Universidad Nacional de La Plata Facultad de Ciencias ExactasANALISIS MATEMATICO II (CiBEx - Fsica Medica)

(2013 Segundo Semestre)

GUIA Nro. 5: INTEGRACION DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

En esta gua vamos a considerar la integral definida de una funcion de dos variables sobre una region en elplano y la integral definida de una funcion de tres variables sobre una region en el espacio. Estas integralesse conocen como integrales dobles y triples, respectivamente. Tambien vamos a considerar la integral de unafuncion de varias variables sobre una curva en el plano o el espacio, y sobre un superficie en el espacio.Estasintegrales se conocen como integrales de lnea e integrales de superficie, respectivamente.

La idea es similar a la de integral definida de una funcion de una variable, ba F (x)dx. Cuando F (x) 0,

esta integral representa el area bajo la curva y = F (x). Pero recordemos que la integral puede definirse sinrecurrir al concepto de area, mediante sumas de Riemann. Comenzamos por dividir el intervalo [a, b] en nsubintervalos que, por simplicidad, los tomaremos de igual ancho x = ban . Se numeran los subintervaloscon i = 1, 2, , n y elegimos un valor de x en cada subintervalo (xi ). Ver Figura ??.

Figura 1: Suma de Riemann para una funcion de una variable

Entonces formamos la n-esima suma de Riemann

Sn =ni=1

F (xi )x

y tomamos el lmite de esta suma cuando n para obtener la integral definida de F desde a hasta b:

baF (x) dx = lm

n

ni=1

F (xi )x

En el apendice figura un breve repaso de tecnicas de integracion en una variable y una tabla con primitivastpicas.

5-1

1. Integrales dobles

En esta seccion vamos a trabajar con integrales DEFINIDAS, para funciones de dos variables sobre regionesplanas, llamadas integrales dobles. Realizaremos el calculo de estas integrales sobre una region dada en elplano y el resultado sera un NUMERO.

1.1. Integral doble en un rectangulo

Pensemos en una funcion de dos variables f : R R2 R, cuyo dominio es un rectangulo cerrado Rcon lados paralelos a los ejes coordenados. El rectangulo R puede describirse en terminos de dos intervaloscerrados [a, b] y [c, d], que representan a sus lados a lo largo de los ejes x e y, respectivamente. Esto es,

R = {(x, y) R2 : a x b, c y d}

o R = [a, b] [c, d]. (Dibuje el rectangulo R en el plano xy) .Supongamos por ahora que f(x, y) 0 en R, de manera que su grafica es una superficie en R3 que esta arribadel rectangulo R. Entonces podemos ver que se forma una region S, que supondremos solida, en R3 con: queel rectangulo R (como piso), los cuatro planos verticales x = a, x = b, y = c, e y = d (como paredes), yla superficie de la grafica de f (como techo). Nuestro objetivo es hallar el volumen del solido S. As comoen una variable, se comenzo el estudio de integrales aproximando el area bajo la curva y = F (x) de unafuncion F (x) 0, en dos variables aproximaremos el volumen bajo la superficie z = f(x, y).Como encaramos la aproximacion? El primer paso es dividir el rectangulo R en subrectangulos. Para ellodividiremos primero los intervalos [a, b] y [c, d] en subintervalos. Por ejemplo, para subdividir el intervalo[a, b], consideramos una particion de [a, b] formada por n subintervalos numerados con i = 1, 2, , n, delmismo ancho x = ban . Procedemos de manera similar para subdividir el intervalo [c, d], considerando unaparticion de [c, d] formada por m subintervalos numerados con j = 1, ,m, del mismo ancho y = dcm .Ver Figura ??. Luego R queda dividido en nm subrectangulos, que llamaremos Rij . cual es el area de cadasubrectangulo?

Figura 2: Subdivision del rectangulo R en n m subrectangulos de area A = xy cada uno

Tomemos un punto de muestra cualquiera, que llamaremos (xij , yij), en cada subrectangulo Rij y aprox-

imemos la parte del solido S que esta arriba de Rij con un paraleleppedo (o columna) de base Rij yaltura f(xi , y

j ). Que volumen tiene esta columna? Sabemos calcularlo? El volumen de cada columna

esta dado por f(xij , yij) A.

5-2

Si realizamos este procedimiento de aproximacion para los nm subrectangulos y sumamos los volumenes detodas las columnas, obtendremos una aproximacion del volumen total del solido S:

Snm =ni=1

mj=1

f(xij , yij)A

Esta suma se llama suma doble de Riemann (comparar con la suma de Riemann para una funcion de unavariable).

EJEMPLO 1: Estimar el volumen del solido que se encuentra arriba del rectangulo R = [0, 2][1, 1]y debajo del paraboloide elptico z = 16x22y2. Dividir R en cuatro subrectangulos iguales y elegirel punto de muestra como la esquina superior derecha de cada subrectangulo Rij .

El primer paso para la aproximacion es subdividir el rectangulo R. Para ello dividimos primero cadauno de los intervalos [0, 2] y [1, 1], en dos subintervalos del mismo ancho. R queda as subdivididoen 4 subrectangulos: R11, R12, R21 y R22, con area A = 1 cada uno. Elegimos como punto demuestra la esquina superior derecha de cada Rij, esto es: (x11, y11) = (0, 1), (x12, y12) = (0, 2),(x21, y21) = (1, 1), (x22, y22) = (1, 2). Calculamos la correspondiente suma de Riemann para la funcionf(x, y) = 16 x2 2y2 (que resulta positiva sobre R):

S22 =2i=1

2j=1

f(xij , yij)A

= f(1, 0)A+ f(1, 1)A+ f(2, 0)A+ f(2, 1)A

= 15 + 13 + 12 + 8 = 48

Con 4 subrectangulos, la aproximacion al volumen del solido es V 48. Al aumentar el numerode subdivisiones considerando n y m cada vez mas grandes, la aproximacion mejorara. Pruebe conn = m = 4 Que aproximacion al volumen del solido obtuvo? Si el valor exacto del volumen esV = 52,mejoro la aproximacion?En este ejemplo, si tenemos en cuenta la simetra de la funcion, f(x, y) = f(x,y) para todo (x, y) R2, observamos que el volumen del solido sobre R = [0, 2] [1, 1] es 2 veces el volumen del solidosobre [0, 2] [0, 1]. Podramos haber trabajado entonces sobre el rectangulo mas pequeno y luego hacerV[0,2][1,1] = 2V[0,2][0,1]. Utilice este resultado y aproxime el volumen pedido, calculando la sumade Riemann para f sobre [0, 2] [0, 1] con 4 subrectangulos. Compare con la aproximacion obtenidapreviamente.

En general, cuando f(x, y) 0 sobre R, podemos expresar el volumen del solido que se encuentra bajo lagrafica de f y arriba del rectangulo R como:

V = lmn,m

ni=1

mj=1

f(xij , yij) A

Esta expresion induce la siguiente definicion de integral doble sobre un rectangulo:

5-3

DEFINICION:La integral doble de f sobre el rectangulo R es

Rf(x, y) dA = lm

n,m

ni=1

mj=1

f(xij , yij) A

si el lmite existe.

Se puede demostrar que el lmite de la definicion anterior existe si f es una funcion continua en R. Elresulatdo es un numero real. La definicion es aplicable para funciones positivas y negativas. Cuando f espositiva la podemos interpretar como un volumen: vemos que si f(x, y) 0 en R, el volumen V del solidoque se encuentra arriba del rectangulo R y debajo de la superficie z = f(x, y) podemos escribirlo como lasiguiente integral doble:

V =

Rf(x, y) dA

Integrales iteradas

Sabemos por lo visto en Analisis I, que evaluar integrales de una variable directamente de la definicion dadaen base a sumas de Riemann es una tarea muy difcil, sin embargo el Teorema Fundamental del Calculo(TFC) proporciona un metodo mas simple para evaluar integrales. El calculo de integrales dobles a partirde su definicion es incluso mas difcil, pero veremos en esta seccion una forma practica para calcularlas.

Supongamos que f(x, y) es una funcion continua de dos variables, definida en el rectangulo R = [a, b] [c, d].Pensemos ahora en la siguiente integral

dc f(x, y)dy. Que significa? Esto quiere decir que la variable x queda

fija mientras f(x, y) se integra con respecto a y, desde y = c hasta y = d. Observemos que dc f(x, y)dy

da una expresion que depende de x. Si ahora integramos esta con respecto a x, desde x = a hasta x = b,obtenemos b

a

[ dcf(x, y) dy

]dx

que se conoce como integral iterada (iterar significa repetir, volver a hacer un proceso: en este caso laiteracion consiste en integrar una vez y luego volver a integrar otra vez mas). En general, la escribiremos:

ba

dcf(x, y) dy dx =

ba

[ dcf(x, y) dy

]dx

donde queda indicado que primero integramos con respecto a y, desde c hasta d, y luego con respecto a x,desde a hasta b.

De manera similar, tenemos la integral iterada

dc

baf(x, y)dxdy =

dc

[ baf(x, y)dx

]dy

indicando que primero integramos con respecto a x, desde a hasta b, y luego integramos la expresion resul-tante con respecto a y, desde c hasta d.

5-4

EJEMPLO 2: Evaluar las siguientes integrales iteradas: (a) 20

31 x

2y dy dx; (b) 31

20 x

2y dx dy

(a) Primero hacemos 31 x

2 y dy, o sea que la variable x queda fija mientras x2y se integra con respectoa y, desde y = 1 hasta y = 3: 3

1x2y dy =

[x2

y2

2

]y=3y=1

= x2(

32

2

) x2

(12

2

)= 4 x2

Ahora integramos esta expresion con respecto a x, desde x = 0 hasta x = 2: 20

4 x2 dx =[4x3

3

]x=2x=0

= 4(

23

3

) 4

(03

3

)= 4

83

=323

(b) En este caso, primero hacemos 20 x

2ydx: 31

20x2y dx dy =

31

[ 20x2y dx

]dy =

31

[x3

3y

]x=2x=0

dy

= 31

(83y

)dy =

[83y2

2

]31

=323

Podemos notar que en el ejemplo previo obtuvimos la misma respuesta al integrar primero con respecto ay o primero con respecto a x. En general, resulta que las dos integrales iteradas son iguales, es decir que elorden de integracion no altera el resultado. El siguiente teorema da un metodo para evaluar una integraldoble expresandola como integral iterada (en cualquier orden):

TEOREMA DE FUBINI:Si f : R R2 R es una funcion continua en el rectangulo R = {(x, y) R2 : a x b, c y d},entonces

Rf(x, y) dA =

ba

dcf(x, y) dy dx =

dc

baf(x, y) dx dy

En general el Teorema de Fubini se cumple si suponemos que f esta acotada en R, es discontinua solo enun numero finito de curvas suaves, y existen las integrales iteradas.

El Teorema de Fubini dice entonces que una integral doble sobre un rectangulo puede calcularse medianteintegrales iteradas, esto es, integrando con respecto a una variable a la vez y ademas en cualquier orden deintegracion, lo que es muy conveniente como veremos en los ejemplos.

5-5

EJEMPLO 3: Calcular la integral doble

R(1 + 6xy2) dA, donde R = [0, 2] [1, 1]

Para calcular la integral sobre el rectangulo R utilizaremos el teorema de Fubini y como podemos elegirel orden de las integrales iteradas, haremos:

20

[ 11

(1 + 6xy2)dy]dx =

20

[y + 6x

y3

3

]11

dx

= 20

[(1 + 6x) (1 2x)] dx

= 20

(2 + 4x) dx =[2x+ 4

x2

2

]20

= 12

Calcular la otra integral iterada, y verificar que se obtiene el mismo resultado.

EJEMPLO 4: Calcular

R y sen(xy)dA, donde R = {(x, y) : 1 x 2, 0 y pi}

Si primero integramos con respecto a x, obtenemos Ry sen(xy) dA =

pi0

21y sen(xy) dx dy

= pi0

[ cos(xy)]x=2x=1 dy

= pi0

[ cos(2y) + cos y] dy

=[1

2sen(2y) + sen y

]pi0

= 0

Notar que la primera integral requiere dar una primitiva para una funcion del tipo k sen(kx). Encambio la otra integral iterada, con la integracion de y sen(xy) con respecto a y, esto es, se necesitauna primitiva para una funcion de la forma: polinomio (en y) por funcion trigonometrica, que requiereintegracion por partes. Claramente en este ejemplo conviene la primera integral iterada!

EJEMPLO 5: Calcular el volumen del solido en el primer octante acotado por los planos coordenados,el plano x = 3 y el cilindro parabolico z = 4 y2. Esboce el grafico del solido.

El volumen puede obtenerse como la integral doble de la funcion f(x, y) = 4 y2, que resulta positivasobre el rectangulo [0, 3] [0, 2]. En el primer octante z 0, luego se debe tener 4 y2 0, esto es

5-6

|y| 2. Si primero integramos con respecto a x, obtenemos R

(4 y2) dA = 20

30

(4 y2) dx dy

= 20

[(4 y2)x]x=3

x=0dy

= 20

(4 y2)3 dy = 3 20

(4 y2) dy

= 3[4y y

3

3

]20

= 16

Evalue la otra integral iterada. Da lo mismo? Cual le parece mas facil de resolver?

1.2. Integral doble en una region plana general

En el caso de integrales definidas en una variable la region de integracion es un intervalo, pero en dosvariables la situacion es mas rica y hay mayor variedad de regiones para considerar. Hasta ahora estudiamosintegrales dobles sobre rectangulos; en esta seccion definiremos la integral doble sobre una region D masgeneral. Supongamos que D es una region acotada, es decir que existe una region rectangular R tal queD R. Definimos entonces una nueva funcion F , con dominio R, de la siguiente forma:

F (x, y) =

{f(x, y) si (x, y) D0 si (x, y) RD

Entonces, si la integral doble de F sobre R existe (notar que es una integral sobre un rectangulo), definimosla integral de f sobre D como:

Df(x, y)dA =

RF (x, y)dA

donde la segunda es una integral sobre un rectangulo que ya sabemos calcular. Por otra parte, la definiciones natural (razonable) ya que F (x, y) = 0 cuando (x, y) se encuentra fuera de D y por lo tanto no aportanada a la integral. Notemos que no importa el rectangulo R que consideremos, el unico requisito es quecontenga a D.

Nos preguntamos, que pasa cuando f(x, y) 0? La integral doble D f(x, y) dA es el volumen delsolido que se encuentra arriba de D y debajo de la grafica de f? Es facil darse cuenta que s. Observemosque f(x, y) 0 implica que F (x, y) 0 tambien, y la R F (x, y) dA (integral sobre un rectangulo) esentonces el volumen del solido que se encuentra arriba de R y debajo de la grafica de F , pero ambos solidostienen el mismo volumen!

En general, es posible que F tenga discontinuidades en los puntos de la frontera de D (cuando esto noocurrira?, como sera f en ese caso?). Sin embargo, si f es continua en D y ademas la frontera de Des una curva bien comportada, se puede demostrar que la integral doble de F sobre R existe y por lotanto

D f(x, y) dA existe. Estudiaremos a continuacion, regiones de integracion D que tienen este buen

comportamiento: las clasificaremos en regiones de tipo I y regiones de tipo II. Hay regiones del plano queson de ambos tipos (muy bien comportadas), y otras que no son de ninguno de estos tipos...veremosque hacer en este caso.

5-7

Regiones planas de tipo I y tipo II

Una region es de tipo I si se encuentra entre las graficas de dos funciones continuas de la variable x,esto es:

DI = {(x, y) : a x b, g1(x) y g2(x)}donde g1 y g2 son funciones continuas de x en [a, b].Ver Figura ??.

Por ejemplo, la region del plano xy limitada por las curvas y = x, y = x2 y las rectas verticales x = 3y x = 4, es una region de tipo I, en que intervalo de x? Un crculo de radio 1 centrado en el origen,es una region de tipo I en el intervalo [1, 1]. Cuales son las funciones g1(x) y g2(x)? La regionencerrada entre dos crculos concentricos centrados en el origen con radios 1 y 2, respectivamente, noes una region de tipo I; por que? La region encerrada entre el eje x y la funcion g(x) = [x] (funcionparte entera) en el intervalo [1, 3], no es de tipo I, pero s es union de dos regiones de tipo I, cualesson? Dibujelas.

Figura 3: Algunos ejemplos de regiones de tipo I

Supongamos entonces que D es una region de tipo I, como encaramos en este caso el calculo de laintegral doble sobre la region D? Siguiendo la definicion, eligiremos un rectangulo R que contenga aD (existira?) y luego definimos F , que coincidira con f en D y se anulara fuera de D. Aplicandofinalmente la definicion:

Df(x, y) dA =

RF (x, y) dA

Si aplicamos el Teorema de Fubini en la ultima integral (explique porque podemos hacerlo), tenemos: RF (x, y) dA =

ba

dcF (x, y) dydx

Si tenemos en cuenta que F (x, y) = 0 si y < g1(x) o y > g2(x) (por que?), podemos escribir: dcF (x, y) dy =

g2(x)g1(x)

F (x, y) dy = g2(x)g1(x)

f(x, y) dy

donde hemos tenido en cuenta que F (x, y) = f(x, y) en D, o sea cuando g1(x) y g2(x). O seaque finalmente podemos escribir una integral doble sobre una region D de tipo I, como una integraliterada:

PROPIEDAD:Sea f : DI R2 R una funcion continua en una region DI de tipo I,

DI = {(x, y) : a x b, g1(x) y g2(x)}

5-8

donde g1 y g2 son funciones continuas en [a, b], entonces DI

f(x, y) dA = ba

g2(x)g1(x)

f(x, y) dy dx

Una region es de tipo II si se encuentra entre las graficas de dos funciones continuas de la variable y,esto es:

DII = {(x, y) : c y d, h1(y) x h2(y)}donde h1 y h2 son funciones continuas en [c, d]. Ver Figura ??.

Figura 4: Algunos ejemplos de regiones de tipo II

Procediendo de manera similar a lo que hicimos con las regiones de tipo I, se puede demostrar paralas regiones de tipo II un resultado semejante:

PROPIEDAD:Sea f : DII R2 R una funcion continua en una region DII de tipo II,

DII = {(x, y) : c y d, h1(y) x h2(y)}

donde h1 y h2 son funciones continuas en [c, d], entonces DII

f(x, y) dA = dc

h2(y)h1(y)

f(x, y) dx dy

EJEMPLO 6: Hallar

D(x3y + cosx)dA, donde D es el triangulo en el plano xy con vertices

(0, 0), (pi2 , 0) y (pi2 ,

pi2 ).

Observemos que el triangulo D es una region de tipo I:

D = DI = {(x, y) : 0 x pi2 , 0 y x}

y tambien es una region de tipo II:

D = DII = {(x, y) : 0 y pi2 , y x pi

2}

5-9

Entonces, podemos calcular la integral doble integrando primero con respecto a y (D = DI como regionde tipo I) o primero con respecto a x (D = DII como region de tipo II). Para ilustrar el procedimiento,lo haremos de las dos formas:

(a) Consideremos D = DI : D

(x3y + cosx) dA = pi/20

x0

(x3y + cosx)dy dx

= pi/20

[x3y2

2+ (cosx)y

]x0

dx = pi/20

(x5

2+ x cosx

)dx

=[x6

12

]pi/20

+ pi/20

(x cosx) dx =pi6

(12) (64)+ [x senx+ cosx]pi/20

=pi6

768+pi

2 1

Notar que en el calculo anterior, necesitamos aplicar integracion por partes para hallar una primitivade x cosx.

(b) Consideremos ahora D = DII : D

(x3y + cosx) dA = pi/20

pi/2y

(x3y + cosx)dx dy

= pi/20

[x4 y

4+ senx

]pi/2y

dy = pi/20

(pi4 y

244+ 1 y

5

4 sen y

)dy

=[pi4y2

27+ y y

6

24+ cos y

]pi/20

=pi6

(8) (64)+pi

2 pi

6

(24) (64)+ 0 1

=pi6

768+pi

2 1

Como era de esperar, considerando a D de tipo I o de tipo II, llegamos al mismo resultado. En cuantoal grado de dificultad de los calculos, si bien fue semejante en ambos casos, notemos que cuandoconsideramos D = DI fue necesario aplicar integracion por partes.

Este ejemplo nos muestra la conveniencia de observar un poco las integrales antes de decidir el orden de lasintegrales iteradas. Esta observacion comprende tanto la region a integrar, como el integrando. Notar, porejemplo, que la

x dA sobre un crculo D centrado en el origen, da 0 por simetra.

Recordemos que cuando f(x, y) 0 sobre la region D, la integral doble es el volumen del solido que esta porarriba de la region D y por debajo de la grafica de f . En los dos ejemplos siguientes usaremos integral doblepara calcular el volumen de un solido.

EJEMPLO 7: Determinar el volumen del solido acotado por arriba por el cilindro parabolico z = x2

y por debajo por la region del plano xy encerrada por la parabola y = 2 x2 y la recta y = x.Veamos primero que tipo de region es D: si observamos la Figura ?? nos damos cuenta que D esuna region de tipo I, pero no es una region de tipo II, explique por que?. Necesitamos los puntosde interseccion entre la recta y = x y la parabola y = 2 x2 para poder definir a la region D.As vemos que, reemplazando y = x en la ecuacion de la parabola, queda x = 2 x2, que tiene 2

5-10

Figura 5: Region del plano encerrada por la parabola y = 2 x2 y la recta y = x

soluciones, x = 1 y x = 2. Como y = x, los puntos de interseccion son (1, 1) y (2,2). EntoncesD = {(x, y) : 2 x 1, x y 2 x2}, y evaluamos las siguientes integrales iteradas:

V = 12

[ 2x2x

x2 dy

]dx

= 12

[x2((2 x2) x)] dx = 1

2(2x2 x4 x3) dx

= 2x3

3 x

5

5 x

4

4

]12

=315 17

4 2

EJEMPLO 8: Halle el volumen del tetraedro limitado por los planosx+ 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 y z = 0. Ver Figura ??.

Figura 6: (a) Tetraedro en el primer octante (b) Region de integracion D en el plano xy

Comenzamos haciendo una representacion grafica del solido en R3. La base del tetraedro es un triangu-lo en el plano xy, cuales son las rectas que lo limitan? Son las rectas del plano xy determinadas cuandolos planos de las paredes y el plano del techo cortan el plano del piso, esto es, i) el plano xzcorta al xy en el eje y, o sea en la recta x = 0, ii) el plano x = 2y, corta al xy en la recta x = 2y, iii)el plano x + 2y + z = 2 corta al xy en la recta x + 2y = 2. O sea que D es el triangulo limitado porlas rectas x = 2y, x+ 2y = 2 y x = 0. Vemos que el solido se encuentra por arriba del triangulo D ypor debajo del plano z = 2 x 2y.

D = {(x, y) : 0 x 1, x2 y 1 x

2}

5-11

Si ahora integramos nos queda:

V =

D(2 x 2y)dA =

10

1x2

x2

(2 x 2y) dy dx

= 10

[2y xy y2]y=1x2

y=x2

dx

= 10

[2 x x

(1 x

2

)(

1 x2

)2 x+ x22

+x2

4

]dx

= 10

(x2 2x+ 1) dx =[x3

3 x2 + x

]10

=13

Como ya hemos mencionado, en algunos casos puede ser conveniente invertir el orden de la integracion;por ejemplo, cuando la integral es muy difcil e intentamos ver si en el orden inverso la dificultad esmenor. Como invertir el orden de integracion? Mostraremos un ejemplo simple:

EJEMPLO 9: Graficar la region de integracion para la integral 20

2xx2

(4x+ 2) dy dx

Escribir una integral equivalente con el orden de integracion inverso.

La region de integracion es D = DI = {(x, y) : 0 x 2, x2 y 2x}. Al trazar el grafico de laregion D, vemos que D esta limitada por las curvas y = x2 e y = 2x entre x = 0 y x = 2.Para encontrar los lmites de integracion en el orden inverso, es decir cuando integramos primerorespecto de x y luego respecto de y (esto es, D = DII), podemos hacer lo siguiente: imaginamos unarecta horizontal que atraviese la region de izquierda a derecha. Notamos que la recta entra enx = y2 y sale en x =

y. Luego hacemos que y vare desde y = 0 hasta y = 4. La integral entonces

queda: 40

yy2

(4x+ 2) dx dy

El valor comun de estas dos integrales es 8. Hacer las dos integrales como ejercicio.

Propiedades de las integrales dobles

Sean f y g funciones de dos variables y supongamos que existen las integrales dobles

D f(x, y)dA y D g(x, y)dA, donde D es una region plana general. Entonces se cumple:

1.

D [f(x, y) + g(x, y)] dA =

D f(x, y)dA+

D g(x, y)dA

2.

D cf(x, y) dA = c

D f(x, y) dA, donde c R es una constante.3. Si f(x, y) g(x, y) para todo (x, y) D:

Df(x, y) dA

Dg(x, y)dA

5-12

4. Si D = D1 D2, donde D1 y D2 no se intersecan salvo quizas en sus fronteras, entonces Df(x, y) dA =

D1

f(x, y) dA+

D2

f(x, y) dA

5. Si integramos la funcion constante f(x, y) = 1 sobre una region D, obtenemos el area de D. D

1 dA = A(D)

6. Si m f(x, y) M para todo (x, y) D, entonces

mA(D)

Df(x, y) dA M A(D)

1.3. Integral doble en coordenadas polares

Supongamos que se pretende calcularD xy dA, donde D es la porcion, en el primer cuadrante, de la corona

circular de radio interior 2 y radio exterior 5. Algunas regiones del plano, como esta D, son descriptas masfacilmente usando coordenadas polares en lugar de coordenadas cartesianas (repasar lo visto en la Gua 1 Seccion 8.1). Por otro lado, una funcion de dos variables definida para puntos P del plano puede tambientener una expresion mas simple si se escriben x e y en terminos de r y . En uno u otro caso, conviene operaren coordenadas polares. Veamos entonces como se calcula una integral doble en este sistema de coordenadas.

Empezamos por recordar la nocion del denominado rectangulo polar o sector de corona circular, visto enel Ejercicio 10 de la Gua 1:

R = {(r, ) : a r b, }cuya area esta dada por

A(R) = 12

(b2 a2)( ).Como ejemplo, el sector de corona circular entre los radios 2 y 3, y entre los angulos pi3 y

pi6 es el conjunto

{(r, ) : 2 r 3, pi6 pi3 }; notar que, en coordenadas cartesianas, esta misma region se escribe{(x, y) : 4 x2 + y2 9, 1

3 yx

3} (grafique e indique si se trata de una region de tipo I, o de tipo II,

o de tipos I y II a la vez, o ni I ni II).Una funcion f de dos variables puede darse en terminos de las coordenadas polares, a traves de la composi-cion:

f (x(r, ), y(r, )) = f(r cos , r sen ).

Como ejemplo, la funcion que indica la distancia de un punto al origen, f(x, y) =x2 + y2, resulta simple-

mente f(r cos , r sen ) =

(r cos )2 + (r sen )2 = r.

Con estos ingredientes, aplicamos la idea de sumas de Riemann al calculo de una integral definida de unafuncion de dos variables, sobre una region del plano con forma de rectangulo polar.Para ello, dividimos la region R en nm subrectangulos polares dando una subdivision del radio en ntramos iguales de largo r = ban , y una subdivision del angulo en m partes cada una de las cuales subtiende

5-13

Figura 7: Subdivision del sector de corona circular determinado por r [a, b], [, ].

un arco de = m . Cual es el area de cada subsector de corona circular Rij , entre ri y ri + r, y entrej y j + ? Ver Figura ??.

Aplicando la expresion dada mas arriba para el area de un sector de corona, tenemosAij = 12 [(ri + r)

2 r2i ] [(j + ) j ] = 12 [2ri r + (r)2] .Dado que r es muy pequeno (tomando n suficientemente grande), se puede despreciar el termino cuadratico,y resulta

Aij = ri r

Observar que es razonable que aparezca el factor ri, pues para r y fijos, los subsectoresRij mas alejadosdel origen tienen area mayor.Dentro de cada subsector Rij , elegimos un punto de muestra, que estara caracterizado por un radio rij yun angulo ij . Luego, la suma de Riemann doble en coordenadas polares queda

Snm =ni=1

mj=1

f(rij cos ij , r

ij sen

ij) r

ij r

que, en el lmite para n y m tendiendo a +, da la integral buscada.

DEFINICION:La integral doble de f en coordenadas polares sobre el sector de corona circular R (denotado por Rxy cuandose expresa en coordenadas cartesianas, y por Rr cuando se expresa en coordenadas polares), es

Rxyf(x, y) dA =

Rr

f(x(r, ), y(r, )) r dr d = lmn,m

ni=1

mj=1

f(rij cos ij , r

ij sen

ij) r

ij r

si el lmite existe.

OBSERVACION: Notamos que, al integrar en coordenadas polares, aparece un factor r que multiplica alos diferenciales dr y d para formar el elemento de area: dA = r dr d. Se puede demostrar (mire en la bibli-ografa) que ese factor esta directamente relacionado con el Jacobiano de la transformacion de coordenadas

5-14

cartesianas (x, y) a coordenadas polares (r, ):

J(r, ) (x, y)(r, )

=

xr

x

yr

y

= cos r sen sen r cos

= rPara ser precisos, el factor que aparece al sustituir las variables es el valor absoluto del Jacobiano:|J(r, )| = r.(No se debe olvidar el valor absoluto, ya que eso asegura que el elemento de area sea positivo!!)

NOTA ADICIONAL: El factor |J | no resulta tan sorprendente, si recordamos que para una funcionde una variable, la tecnica de sustitucion dice que

ba f(x) dx =

u(b)u(a) f(x(u))x

(u) du. Esto es, cuando se

escribe x en terminos de u, aparece un factor x(u) = dxdu , que es el analogo a J(r, ) =xr

y x yr (en

valor absoluto). Recordar ademas que la sustitucion implica redefinir el intervalo de integracion.Se puede probar un resultado mas general, la llamada transformacion (o cambio) de coordenadas, de (x, y)a (u, v), para funciones de dos variables, que permite calcular una integral doble como

Rxy

f(x, y) dx dy =

Ruv

f(x(u, v), y(u, v))(x, y)(u, v)

du dvdonde se incluye el valor absoluto del Jacobiano de la transformacion: |J(u, v)| = |xuyv xvyu|, y se tieneen cuenta la redefinicion de la region de integracion de modo que (u, v) Ruv. En ciertas ocasiones estatransformacion facilita los calculos, ya sea porque simplifica la funcion a integrar, o porque resulta massencilla la region de integracion, o por ambos motivos! Busque algun ejemplo en la bibliografa y estudielo.

Por ultimo, en coordenadas polares es aplicable la nocion de integrales iteradas, y tambien se puede definirla integral doble para regiones polares generales en el plano. En este caso, hablamos de regiones polares detipos I o II, cuando se dan entre valores fijos del radio o del angulo, respectivamente. Como definira estasregiones? Como seran los graficos tpicos?

En el siguiente ejemplo resumimos los pasos a seguir para calcular una integral doble usando coordenadaspolares.

EJEMPLO 10: CalcularD xy dA donde D es la porcion, en el primer cuadrante, de la corona

circular de radio interior 2 y radio exterior 5.

1) Expresamos la region de integracion en coordenadas polares, usando que x = r cos , y = r sen :4 x2 + y2 25 implica 4 r2 25, luego r [2, 5]; mientras que x > 0, y > 0 implican (0, pi2 ). Luego Rr = [2, 5] [0, pi2 ] que es un rectangulo polar.

2) Expresamos la funcion a integrar, en coordenadas polares (sustituyendo x por r cos e y porr sen ):f(x, y) = xy implica f(x = r cos , y = r sen ) = r cos r sen = r2 sen cos .

3) Armamos la integral, agregando el Jacobiano r:D xy dA =

pi/20

52 r

2 sen cos (r dr d) =( pi/2

0 sen cos d) ( 5

2 r3 dr

).

Complete el calculo y compruebe que el resultado de la integral es 6098 .

5-15

En el ultimo paso resuelto en el ejemplo, observe que usamos la propiedad de factorizacion: dado que elintegrando es un producto de la forma g(r)h() y los lmites de integracion son fijos, se pueden hallar las dosintegrales por separado. Esta propiedad NO se puede aplicar, por ejemplo, si el integrando es de la formaln(r3 ) o los lmites son variables.

EJEMPLO 11: Hallar el volumen del solido delimitado por la superficie conica z =x2 + y2 y la

superficie esferica z =

1 x2 y2.

El solido S en este ejemplo tiene la forma de un cucurucho con una bocha de helado (grafique).Notamos que la coordenada z de los puntos del solido satisface

x2 + y2 z

1 x2 y2, lo

que indica que el techo de S es una parte de la superficie de la esfera, la cual puede verse como lagrafica de la funcion de dos variables t(x, y) =

1 x2 y2, mientras que el piso de S no es z = 0

en este ejemplo (como vimos en la mayora de los ejemplos anteriores de calculo de volumen), sinoque es una parte de la superficie del cono, la cual puede verse como la grafica de la funcion de dosvariables p(x, y) =

x2 + y2. El volumen se expresa, por lo tanto, como

V (S) =

D[t(x, y) p(x, y)] dA =

D

[1 x2 y2

x2 + y2

]dA

Nos falta determinar la region de integracion D. Sospechamos (por el dibujo realizado) que se trata deun crculo. La frontera de la region de integracion D es, de hecho, la proyeccion sobre el plano xy de lacurva interseccion C entre las superficies del cono y la esfera. Resolvamos esta interseccion igualando

las expresiones para z:x2 + y2 =

1 x2 y2, de donde se obtiene x2 + y2 = 12 con z =

12 (esto

es, la curva interseccion C tambien se puede ver como la interseccion de una superficie cilndrica conun plano horizontal). Proyectando en el plano xy, deducimos que la ecuacion x2+y2 = 12 es la fronterade la region de integracion, esto es, D = {(x, y) : 0 x2 + y2 12}.Vemos que tanto la funcion a integrar t(x, y) p(x, y) como la region de integracion D se describen

muy facilmente si trabajamos en coordenadas polares. Efectivamente, se tiene

V (S) =

Dr

[

1 r2 r](r dr d)

donde Dr = {(r, ) : 0 r

12 , 0 2pi}. la solucion finalmente es V (S) = pi(43

22 ) (que

resulta una cantidad positiva).

En este ejemplo podramos haber utilizado una simetra del problema: el volumen total de S es igual a 4veces el volumen del solido contenido en el primer octante. Este calculo alternativo corresponde a la regionde integracion dada por un cuarto de crculo, solo en el primer cuadrante, o sea el mismo intervalo para rpero con [0, pi2 ].Es muy util analizar las simetras de un problema, si las tiene, dado que muchas veces nos puede facilitarla respuesta, sin hacer ningun calulo!. Por ejemplo,

D x dA sobre un crculo D centrado en el origen da

0, por simetra (sin cuentas). Para convencerse, piense en las sumas de Riemann para esta integral: cadaelemento de area dA (un subrectangulo polar) se multiplica por el valor de muestra x en ese subrectangulo;pero hay tantos valores de x positivos como negativos, de modo que se cancelan.

5-16

1.4. Aplicaciones de las integrales dobles

Discutimos en esta seccion algunas aplicaciones fsicas de las integrales dobles.

Valor promedio de una funcion de dos variables

Si x1, x2, , xn son n numeros, su promedio esta definido por [xi]prom = (x1+x2+ +xn)/n = 1nn

i=1 xi(por ejemplo: la altura promedio de los alumnos del curso). Este concepto nos lleva a definir el valor promediode una funcion de una variable F en el intervalo [a, b] como

Fprom =1

b a baF (x)dx

donde ba es la longitud del intervalo de integracion (como n era el numero de elementos en el caso discretodado). Ejemplo: Densidad promedio de una varilla metalica.

Asimismo para funciones de dos variables, f : D R2 R, decimos que el valor promedio de f sobre D es:

fprom =1

A(D)

Df(x, y)dA

donde A(D) es el area de D. Teniendo en cuenta que A(D) =

D dA, podemos escribir el valor promediocomo:

fprom =

D f(x, y) dA

D dA

Ejemplo: Temperatura promedio de una placa bidimensional.

EJEMPLO 12: Hallar el valor promedio de f(x, y) = x sen2(xy) en D = [0, pi] [0, pi]

Primero calculamos Df(x, y)dA =

pi0

pi0x sen2(xy)dydx

= pi0

[ pi0x

1 cos(2xy)2

dy

]dx =

pi0

[xy

2 sen(2xy)

4

]y=piy=0

dx

= pi0

[pix

2 sen(2pix)

4

]dx =

[pix2

4+

cos(2pix)8pi

]x=pix=0

=pi3

4+

cos(2pi2) 18pi

El valor promedio es

fprom =

D f(x, y) dA

D dA=pi3/4 + [cos(2pi2) 1]/8pi

pi2=pi

4+

cos(2pi2) 18pi3

' 0,7839

5-17

Calculo de la masa total y coordenadas del centro de masa de una placa

En Analisis I, aplicando integrales de una variable pudimos calcular momentos y tambien el centro de masade una placa delgada o lamina de densidad constante. Ahora, el calculo con integrales dobles, nos permiteconsiderar una lamina con densidad variable. Supongamos que la lamina ocupa una region D del plano xy ysu densidad superficial en un punto (x, y) D esta dada por (x, y), donde (x, y) es una funcion continua.Se demuestra que la masa total de la lamina es:

m =

D(x, y)dA

en kg, si esta dada en kg/m2.

Podemos tambien encontrar el centro de masa de una lamina con densidad (x, y) en una region D. Lascoordenadas (xCM , yCM ) del centro de masa son:

xCM =1m

Dx (x, y) dA

yCM =1m

Dy (x, y) dA

(en m) donde m es la masa total de la lamina.

EJEMPLO 13: Hallar el centro de masa del rectangulo [0, 1] [0, 1] si la densidad de masa es(x, y) = ex+y

Calculemos primero la masa total:

m =

Dex+y dA =

10

10ex+y dx dy =

10

[ex+y

]10dy

= 10

(e1+y ey)dy = [e1+y ey]10

= e2 2e+ 1 = (e 1)2 w 2,9525

Ahora calcularemos la integral:

Dxex+ydA =

10

10xex+ydxdy =

10

[xex+y ex+y]1

0dy

= 10

[e1+y e1+y + ey] dy

= 10ey dy = e 1

de modo que:

xCM =e 1

(e 1)2 =1

e 1 w 0,5820

Se pueden intercambiar los papeles de y y x en todos estos calculos, por lo que yCM = 1e1 igual quexCM .

5-18

EJERCICIOS:

1. Evalue las siguientes integrales iteradas:

a) 11 10 (x

4y + y2) dy dx

b) pi/20

10 (y cosx+ 2) dy dx

c) 10

10 (xye

x+y) dy dx

d) 01 21 (x ln y) dy dx

2. Evalue las integrales del ejercicio anterior integrando primero respecto de x y despues respecto de y.

3. Calcule las siguientes integrales dobles, donde R = [0, 2] [1, 0]:a)

R(x2y2 + x) dy dx

b)

R(|y| cos(pi4x)) dy dx4. Halle el volumen del solido acotado por la grafica de f(x, y) = 1 + 2x+ 3y, el rectangulo [1, 2] [0, 1]

en el plano xy y los planos verticales x = 1, x = 2, y = 0, y = 1.

5. Repita el ejercicio anterior para f(x, y) = x4 + y2 y el rectangulo [1, 1] [3,2]6. Trace el solido cuyo volumen esta dado por la integral

10

10 (4 x 2y)dxdy

7. Halle el volumen del solido limitado por el paraboloide elptico z = 1 + (x1)2 + 4y2, los planos x = 3e y = 2, y los planos coordenados.

8. Evalue la integral iterada:

a) 10

x20 (x+ 2y) dy dx

b) 21

2y xy dx dy

c) pi/20

cos 0 e

sen dr d

9. Evalue la integral doble:

a)

D x3y2 dA, D = {(x, y) : 0 x 2,x y x}

b)

D(x+ y) dA, D es la region limitada por las curvas y =x, y = x2

c)

D y3 dA, D es la region triangular con vertices (0, 2), (1, 1) y (3, 2)

10. Halle el volumen del solido dado:

a) Debajo del paraboloide z = x2 + y2 y arriba de la region limitada por y = x2 , x = y2

b) Limitado por el cilindro y2 + z2 = 4 y los planos x = 2y, x = 0, z = 0, en el primer octante.

c) Limitado por los planos x = 0, y = 0, z = 0, x+ y + z = 1

11. En los siguientes ejercicios, trace la region de integracion y cambie el orden de la integracion:

a) 10

x0 f(x, y) dy dx

b) 21

lnx0 f(x, y) dy dx

c) 10

2yy2 f(x, y) dx dy

5-19

12. Evalue la integral 10

33y e

x2dx dy invirtiendo el orden de integracion.

13. Calcule el volumen del solido encerrado entre el paraboloide z = 4 x2 y2 y el plano z = 0.

14. Determine el area de la region encerrada por curva r2 = 4 cos(2)

15. Calcule el volumen del solido que esta arriba del disco x2+y2 4 y debajo del paraboloide z = 3x2+3y2

16. Halle el volumen del solido que se encuentra debajo del paraboloide z = x2 + y2, arriba del plano xyy dentro del cilindro x2 + y2 = 2x

17. Encuentre la masa y el centro de masa de la lamina que ocupa la region D = {(x, y) : 1 x 1, 0 y 1} y tiene funcion de densidad (x, y) = x2.

18. Halle el promedio de f(x, y) = y sen(xy) sobre D = [0, pi] [0, pi]

19. Halle el promedio de f(x, y) = ex+y sobre el triangulo con vertices (0, 0), (0, 1) y (1, 0)

5-20

2. Integrales triples

En esta seccion vamos a estudiar integrales DEFINIDAS para funciones de tres variables sobre regionessolidas, llamadas integrales triples. Realizaremos el calculo de estas integrales sobre una region dada en elespacio y el resultado sera un NUMERO.

2.1. Integral triple en una caja

As como comenzamos el estudio de integrales dobles, integrando funciones de dos variables definidas sobreun rectangulo, para estudiar integrales triples comenzaremos integrando funciones de tres variables condominio en una caja o prisma rectangular B con caras paralelas a los planos coordenados.

Una caja rectangular B puede describirse en terminos de tres intervalos cerrados [a, b], [c, d] y [s, t], querepresentan a sus aristas a lo largo de los ejes x, y, z, respectivamente. Esto es,

B = {(x, y, z) R3 : a x b, c y d, s z t}

o B = [a, b] [c, d] [s, t](Dibuje la caja B en R3).Para definir la integral triple usamos la idea de sumas de Riemann. Para ello, el primer paso es dividir B encajas mas pequenas. De manera semejante a lo que hicimos para integrales dobles, dividimos los intervalos[a, b], [c, d] y [s, t], respectivamente, en n subintervalos de ancho x, m subintervalos de ancho y y lsubintervalos de ancho z. Luego B queda dividido en nml cajas mas pequenas, que denominamos Bijk.Cual es el volumen V de cada caja pequena?

Tomamos un punto de muestra cualquiera, que llamamos (xijk, yijk, z

ijk), en cada Bijk y formamos la

suma triple de Riemann:

Snml =ni=1

mj=1

lk=1

f(xijk, yijk, z

ijk) V

Por analoga con la definicion de integral doble, definimos la integral triple como el lmite de las sumas deRiemann:

DEFINICION:La integral triple de f sobre la caja B es

Bf(x, y, z) dV = lm

n,m,l

ni=1

mj=1

lk=1

f(xijk, yijk, z

ijk) V

si el lmite existe.

Se puede demostrar que el lmite de la definicion anterior existe si f es una funcion continua en B, y elresultado es un numero real.

Del mismo modo que para las integrales dobles, las integrales triples pueden expresarse en forma deintegrales iteradas, lo que brinda un metodo practico para calcularlas:

5-21

TEOREMA DE FUBINI:Si f : B R3 R es una funcion continua en la cajaB = {(x, y, z) R3 : a x b, c y d, r z s},entonces:

Bf(x, y, z) dV =

ts

dc

baf(x, y, z) dx dy dz

La integral iterada del teorema de Fubini indica que integramos primero con respecto a la variable x, desde ahasta b, (manteniendo fijas y y z), luego integramos la expresion que queda, con respecto a y, desde c hastad, (manteniendo z fija), y por ultimo integramos con respecto a z, desde s hasta t. Hay otros cinco posiblesordenes en los que podemos integrar, y todos dan el mismo valor. Por ejemplo, si integramos primero conrespecto a z (desde s hasta t), luego con respecto a x (desde a hasta b) y finalmente con respecto a y (desdec hasta d), tenemos:

Bf(x, y, z) dV =

dc

[ ba

( tsf(x, y, z) dz

)dx

]dy

En general el Teorema de Fubini se cumple si suponemos que f esta acotada en B, es discontinua solo enun numero finito de superficies suaves, y existen las integrales iteradas.

As vemos que al igual que la integral doble, la integral triple puede calcularse integrando con respecto a unavariable a la vez en cualquier orden de integracion, lo que muchas veces es muy conveniente, como veremosen los siguientes ejemplos:

EJEMPLO 14: Evaluar

B(2x+ 3y + z) dV , donde B = [1, 2] [1, 1] [0, 1]

Comenzamos graficando la region solida B. Notar que, en este ejemplo, cualquier orden en el querealicemos las integrales iteradas demandara, en principio, un trabajo similar. Por lo tanto eligiremosuno cualquiera de los ordenes posibles:

B(2x+ 3y + z) dV =

11

[ 21

( 10

(2x+ 3y + z) dz)dx

]dy

= 11

21

[(2x+ 3y) z +

z2

2

]z=1z=0

dx dy

= 11

21

(2x+ 3y +

12

)dx dy =

11

[x2 +

(3y +

12

)x

]x=2x=1

dy

= 11

(3y +

72

)dy =

[3y2

2+

72y

]y=1y=1

= (32

+72

) (32 7

2) = 7

EJEMPLO 15: Calcular la integral triple

B f(x, y, z) dV , donde f(x, y, z) = y exy y

B = [0, 1] [0, 1] [0, 1].

5-22

En este ejemplo tambien elegimos uno cualquiera de los ordenes de integracion posibles: Byexy dV =

10

10

10yexy dx dy dz =

10

10

[y

(exy

y

)]x=1x=0

dy dz

= 10

10

(1 ey) dy dz = 10

[y + ey

]y=1y=0

dz

= 10

e1 dz =[e1z

]z=1z=0

=1e

Como ejercicio, calcule alguna de las otras integrales iteradas (por ejemplo: 10

10

10 ye

xy dz dy dx),verifique que se obtiene el mismo resultado y compare la dificultad de los calculos involucrados en cadaorden elegido. Observe que, dado que f no depende de z, si hacemos primero la integral con respectoa z desde 0 a 1, eso da [z]10 = 1; y luego queda por calcular la integral doble de la funcion de dosvariables, yexy sobre el rectangulo [0, 1] [0, 1].Teniendo en cuenta que f(x, y, z) = f(x,y, z), podra decir, sin hacer calculos, cuanto vale laintegral de la funcion dada si B = [1, 0] [1, 0] [0, 1]? Y si B = [1, 1] [1, 1] [0, 1]? (Pienseen las sumas de Riemann)

EJEMPLO 16: Integrar f(x, y, z) = zex+y sobre B = [0, 1] [0, 1] [0, 1]

Bzex+y dV =

10

10

10zex+y dz dy dx

= 10

10

[(z2

2

)ex+y

]z=1z=0

dy dx

= 10

10

ex+y

2dy dx =

10

[ex+y

2

]y=1y=0

dx

= 10

ex+1 ex2

dx =[ex(e 1)

2

]x=1x=0

=(e 1)2

2

Notar que como integramos sobre un rectangulo, los lmites de las integrales iteradas son numeros(constantes fijas) y ademas la funcion f se puede escribir f(x, y, z) = ex ey z. Por lo tanto, en esteejemplo, la integral triple tambien se podra haber calculado de la siguiente forma:

Bzex+y dV =

10

10

10zexey dx dy dz

=( 1

0ex dx

)( 10ey dy

)( 10z dz

)= (e 1) (e 1) 1

2

Podemos aprovechar esta propiedad de factorizacion cuando el integrando es un producto de la formaf1(x) f2(y) f3(z) y ademas la region de integracion es una caja [a, b] [c, d] [s, t].CUIDADO: Notar que esta propiedad NO es aplicable en el caso general (por ejemplo, si la funciones f(x, y, z) = cos(zex+y)).

5-23

2.2. Integral triple en una region solida general

Definiremos la integral triple sobre una region solida acotada E R3, siguiendo una idea muy similar a laque empleamos en integrales dobles. Consideramos una caja B tal que E B. A continuacion definimosuna nueva funcion F : B R3 R de modo que coincida con f : E R3 R en E y que sea 0 en lospuntos de B que no estan en E. Definimos entonces la integral triple de f sobre E:

Ef(x, y, z) dV =

BF (x, y, z) dV

Esta integral existe si f es una funcion continua en E y la frontera de E es una superficie suave.

OBSERVACION: las propiedades que vimos para integrales dobles se extienden facilmente a integralestriples.

A continuacion, clasificaremos las regiones de integracion E en regiones de tipo 1, 2 y 3. Destaquemos quehabra solidos que son de los tres tipos, y otros que no son de ninguno de estos tipos. Veamos como se procedeen estos casos.

Regiones solidas de tipos 1, 2 y 3

Una region solida es de tipo 1 si se encuentra entre las graficas de dos funciones continuas de lasvariables x e y, esto es:

E1 = {(x, y, z) : (x, y) Dxy, u1(x, y) z u2(x, y)}

donde Dxy es la proyeccion de E1 sobre el plano xy, como se muestra en la Figura ??. Notar quela frontera superior del solido E es la superficie con ecuacion z = u2(x, y), mientras que la fronterainferior es la superficie z = u1(x, y).

Figura 8: Algunos ejemplos de regiones solidas de tipo 1

Por ejemplo, la region del primer octante limitada por los planos x = 0, y = 0, z = 0, x+y+z = 1, esuna region de tipo 1, cual es su proyeccion Dxy sobre el plano xy? Un esfera solida de radio 1 centradaen el origen, es una region de tipo 1 en el crculo del plano xy dado por, x2 + y2 1. Cuales son las

5-24

funciones u1(x, y) y u2(x, y)? La region solida encerrada entre dos esferas concentricas centradas en elorigen con radios 1 y 2, respectivamente, no es una region de tipo 1 (por que?).

La integral triple sobre una region de tipo 1 se escribe como una integral iterada, de la siguiente forma: E1

f(x, y, z) dV =

Dxy

[ u2(x,y)u1(x,y)

f(x, y, z) dz

]dA

Ahora bien, la proyeccion Dxy sobre el plano xy es una region plana que a su vez puede ser de tipoI o II. Entonces el solido E1 podra describirse como:

EI1 = {(x, y, z) : a x b, g1(x) y g2(x), u1(x, y) z u2(x, y)}

o

EII1 = {(x, y, z) : c y d, h1(y) x h2(y), u1(x, y) z u2(x, y)}segun Dxy sea una region plana de tipo I o de tipo II, respectivamente; la integral triple podra entoncesescribirse como:

EI1

f(x, y, z) dV = ba

g2(x)g1(x)

u2(x,y)u1(x,y)

f(x, y, z) dz dy dx

o

EII1

f(x, y, z) dV = dc

h2(y)h1(y)

u2(x,y)u1(x,y)

f(x, y, z) dz dx dy

De manera semejante, una region solida E es de tipo 2 si se encuentra entre las graficas de dos funcionescontinuas de las variables y y z, esto es:

E2 = {(x, y, z) : (y, z) Dyz, v1(y, z) x v2(y, z)}

donde Dyz es la proyeccion de E sobre el plano yz, como se muestra en la Figura ??a.

Figura 9: Regiones solidas (a) de tipo 2 (b) de tipo 3

5-25

La integral triple sobre una region de tipo 2 se escribe como una integral iterada, de la siguiente forma: E2

f(x, y, z) dV =

Dyz

[ v2(y,z)v1(y,z)

f(x, y, z) dx

]dA

Notemos que E2 es un solido proyectable sobre el plano yz y analogamente a lo que pasaba con elsolido de tipo 1, su proyeccion puede ser, a su vez, I o II, lo que conducira a una descripcion EI2 o E

II2 ,

respectivamente.

De manera analoga, una region solida E es de tipo 3 si se encuentra entre las graficas de dos funcionescontinuas de las variables x y z, esto es:

E3 = {(x, y, z) : (x, z) Dxz, w1(x, z) y w2(x, z)}

donde Dxz es la proyeccion de E sobre el plano xz, como se muestra en la Figura ??b.

La integral triple sobre una region de tipo 3 se escribe como una integral iterada, de la siguiente forma: E3

f(x, y, z) dV =

Dxz

[ w2(x,z)w1(x,z)

f(x, y, z) dy

]dA

Notemos que E3 es un solido proyectable sobre el plano xz y analogamente a lo que pasaba con lossolidos de tipo 1 y 2, su proyeccion puede ser, a su vez, I o II, lo que conducira a una descripcion EI3o EII3 , respectivamente.

Veamos ahora algunos ejemplos de evaluacion de integrales triples. Cuando planteamos la integral triple, esconveniente trazar dos diagramas: i) uno de la region solida E, que es la region de integracion, y ii) otrode la proyeccion de E sobre alguno de los planos coordenados (el que sea mas conveniente). Observandolos graficos, determinamos si E es un solido de tipo 1, 2 o 3; y si su proyeccion sobre el plano coordenadoelegido es a su vez una region plana de tipo I o II. Puede ocurrir tambien, que E no sea de ninguno de lostres tipos; en ese caso sera necesario subdividir el solido en otros de un tipo dado.

EJEMPLO 17: Evaluar

E x2 cos z dV , donde E es la region encerrada entre los planos x = 0,

y = 0, x+ y = 1, z = 0, z = pi2 , utilizando dos ordenes de integracion diferentes.

Figura 10: a) Solido E limitado por los planos: x = 0, y = 0, x+ y = 1, z = 0, z = pi2b) Proyeccion de E sobre el plano xy

5-26

Tracemos primero los dos diagramas: i) la region solida E; ii) su proyeccion sobre el plano coordenadoque sea mas conveniente para integrar.i) Los tres planos verticales (x = 0; y = 0; x+ y = 1) y los dos horizontales (z = 0; z = pi2 ), encierranal cortarse entre s al solido E que tiene forma de prisma recto con base triangular, como se ve en laFigura ??a. Vemos que el piso del solido esta en el plano z = 0; y el techo esta en z = pi2ii) Proyectamos sobre el plano xy: los planos verticales, al cortar al plano xy determinan una regiontriangular plana de vertices (0, 0); (1, 0); (0, 1), como se ve en la Figura ??b

El solido E es entonces una region solida de tipo 1, y su proyeccion Dxy sobre el plano xy es unaregion plana triangular (de tipos I y II a la vez).

Calculemos la integral triple de dos formas:

(a) El triangulo en el plano xy lo describimos como una region plana de tipo I:

EI1 = {(x, y, z) : 0 x 1, 0 y (1 x), 0 z pi

2}

(b) El triangulo en el plano xy lo describimos como una region plana de tipo II:

EII1 = {(x, y, z) : 0 y 1, 0 x (1 y), 0 z pi

2}

(a) De esta forma, la integral triple se calcula en el siguiente orden: EI1

x2 cos z dV = 10

1x0

pi2

0x2 cos z dz dy dx =

10

1x0

[x2 sen z

]z=pi2

z=0dy dx

= 10

1x0

x2 dy dx = 10

[x2 y

]y=1xy=0

dx

= 10

x2(1 x) dx =[x3

3 x

4

4

]10

=112

(b) Considerando al solido como EII1 , el calculo de la integral triple se realiza en el siguiente orden: EII1

x2 cos z dV = 10

1y0

pi2

0x2 cos z dz dx dy

= 10

1y0

x2 dx dy = 10

[x3

3

]x=1yx=0

dy

= 10

(1 y)33

dy = [

(1 y)412

]10

=112

Asimismo, tambien podramos haber proyectado sobre el plano xz o sobre el plano yz. Calcule nueva-mente la integral triple, proyectando ahora sobre yz. Encontro alguna ventaja al realizar los calculosde esta manera?

5-27

As como la integral simple L(I) = ba 1 dx, da la longitud del intervalo I = [a, b] R, y la integral

doble A(D) =

D 1 dA, proporciona el area de la region plana D R2, notamos que la integral tripleV (E) =

E 1 dV brinda el volumen del solido E R3 (Piense en las sumas triples de Riemann: en este

caso se esta asignando valor 1 a cada caja pequena de volumen V ). Veamos un ejemplo:

EJEMPLO 18: Calcular el volumen del solido E encerrado por las superficies S1 : z = x2 + 3y2 yS2 : z = 8 x2 y2.El volumen del solido E puede calcularse mediante la integral triple:

V (E) =

E1 dV

Para evaluar esta integral triple, primero hacemos un esbozo de las graficas de las dos superficies quelimitan al solido E. Luego, observando el grafico, determinamos sobre que plano nos conviene proyectarE y hacemos un diagrama de la proyeccion.Notemos que ambas superficies corresponden a paraboloides elpticos de eje z: uno de ellos (S1) seabre hacia arriba en el semiespacio z positivo, con un vertice en el origen, y el otro (S2) se abre haciaabajo desarrollandose por debajo del plano horizontal z = 8, con vertice en (0, 0, 8) (dibuje ambosparaboloides).Ambas superficies se cortan en una curva de R3 que satisface: x2+3y2 = 8x2y2; o sea que la curvainterseccion esta en el cilindro de ecuacion x2 + 2y2 = 4. Vemos, ademas que (dentro del cilindro) lasuperficie S1 esta por debajo de la superficie S2; esto implica que los valores de Z de los puntos queforman el solido E van desde x2 + 3y2 hasta 8 x2 y2 (y no al reves!)Si proyectamos el solido E sobre el plano xy (E1: solido de tipo 1), es equivalente a proyectar elcilindro: obtenemos la elipse de ecuacion x

2

4 +y2

2 = 1 en el plano xy. La elipse encierra una regionplana de tipo I y II; elegimos por ejemplo, considerarla de tipo I, entonces:

EI1 = {(x, y, z) : 2 x 2,

2 x2

2 y

2 x

2

2, x2 + 3y2 z 8 x2 y2}

Ahora ya podemos evaluar la integral triplepara obtener el volumen de E:

V (E) =

EI1

dV = 22

2x22

2x2

2

8x2y2x2+3y2

1. dz dy dx

= 22

2x22

2x2

2

(8 2x2 4y2) dy dx

= 22

[(8 2x2)y 4y

3

3

]y=2x22

y=2x2

2

dx

= 22

[2(8 2x2)2 x2

2 8

3

(2 x

2

2

)3/2]dx

=4

23

22

(4 x2)3/2 dx = 8pi

2

donde para hacer la integral de una variable del ultimo paso se utilizo la sustitucion x = 2 senu (hacerel calculo completo).

5-28

2.3. Integral triple en coordenadas cilndricas y en coordenadas esfericas

COORDENADAS CILINDRICAS:

Supongamos que se pretende calcular

E xyz dV , donde E es el solido formado por los puntos del primeroctante que distan entre 3 y 5 unidades del eje z, y cuya altura va de 1 a 4. Algunas regiones del espacio, comoesta E, son descriptas mas facilmente usando coordenadas cilndricas en lugar de coordenadas cartesianas(repasar lo visto en la Gua 1 Seccion 8.2). Por otro lado, una funcion de tres variables definida parapuntos P del espacio puede tambien tener una expresion mas simple si se escriben x, y, z en terminos der, , z. En uno u otro caso, conviene operar en coordenadas cilndricas. Veamos entonces como se calculauna integral triple en este sistema de coordenadas.

Empezamos por escribir en coordenadas cilndricas el volumen de un solido con forma de caja cilndrica(esto es, entre valores de r, y z constantes).Como ejemplo tenemos el solido: E = {(r, , z) : 3 r 5, 0 pi2 , 1 z 4}. Su volumen esta dadopor: V (E) = [12(5

2 32)pi2 ](4 1), donde el factor entre corchetes es el area de la base, y el otro factor esla altura. Notar que, en coordenadas cartesianas, esta misma region se escribe {(x, y, z) : 9 x2 + y2 25, x 0, y 0, 1 z 4} (grafique e indique si se trata de una region solida de tipo 1, 2 o 3, o de variostipos a la vez, o ninguno).Un elemento de volumen dV con esta forma tiene la base que es un rectangulo polar (o sector de coronacircular) de area dA = r dr d, y tiene altura dz; entonces

dV = r dr d dz

Una funcion f de tres variables puede darse en terminos de las coordenadas cilndricas, a traves de lacomposicion:

f (x(r, , z), y(r, , z), z(r, , z)) = f(r cos , r sen , z).

Como ejemplo, la funcion que indica la distancia de un punto al origen, f(x, y, z) =x2 + y2 + z2, resulta

f(r cos , r sen , z) =

(r cos )2 + (r sen )2 + z2 =r2 + z2.

Con estos ingredientes, aplicamos la idea de sumas de Riemann al calculo de una integral definida de unafuncion de tres variables, sobre una region del espacio con forma de caja cilndrica. Ver Figura ??. Podemosextender las ideas desarrolladas para integrales dobles en coordenadas polares, agregando aqu la coordenadaz apropiadamente.

DEFINICION:La integral triple de f en coordenadas cilndricas sobre el solido E (denotado por Exyz cuando se expresa encoordenadas cartesianas, y por Erz cuando se expresa en coordenadas cilndricas), es

Exyzf(x, y, z) dV =

Erz

f(x(r, , z), y(r, , z), z(r, , z)) r dr d dz =

= lmn,m,l

ni=1

mj=1

lk=1

f(rijk cos ijk, r

ijk sen

ijk, z

ijk) r

ijk rz

5-29

Figura 11: Caja cilndrica determinada por r [a, b], [, ], z [s, t].

si el lmite existe.

OBSERVACION: Notamos que, al integrar en coordenadas cilndricas, aparece un factor r que multiplicaa los diferenciales dr, d y dz para formar el elemento de volumen. Se puede demostrar (mire en la biblio-grafa) que ese factor esta directamente relacionado con el Jacobiano de la transformacion de coordenadascartesianas (x, y, z) a coordenadas cilndricas (r, , z):

J(r, , z) (x, y, z)(r, , z)

=

xr

x

xz

yr

y

yz

zr

z

zz

=

cos r sen 0sen r cos 0

0 0 1

= r

Para ser precisos, el factor que aparece al sustituir las variables es el valor absoluto del Jacobiano:|J(r, , z)| = r.(No se debe olvidar el valor absoluto, ya que eso asegura que el elemento de volumen sea positivo!!)

En coordenadas cilndricas es aplicable la nocion de integrales iteradas. Tambien se puede definir la integraltriple para una region solida general en el espacio.

En el siguiente ejemplo resumimos los pasos a seguir para calcular una integral triple usando coordenadascilndricas.

EJEMPLO 19: Calcular

E xyz dV donde E es la region del primer octante entre las superficiescilndricas x2 + y2 = 9 y x2 + y2 = 25, con altura entre 1 y 4.

1) Expresamos la region de integracion en coordenadas cilndricas, usando que x = r cos , y =r sen , z = z:9 x2 + y2 25 implica 9 r2 25, luego r [3, 5]; mientras que x 0, y 0 implican [0, pi2 ]; por ultimo z [1, 4]. Luego Erz = [3, 5] [0, pi2 ] [1, 4] que es una caja cilndrica.

5-30

2) Expresamos la funcion a integrar, en coordenadas cilndricas (sustituyendo x por r cos e y porr sen , mientras que z permanece igual):f(x, y, z) = xyz implica f(x = r cos , y = r sen , z = z) = r cos r sen z = r2 sen cos z.

3) Armamos la integral, agregando el Jacobiano r (en valor absoluto):E xyz dV =

41

pi/20

53 r

2 sen cos z (r dr d dz) =( pi/2

0 sen cos d) ( 5

3 r3 dr

) ( 41 z dz

).

Complete el calculo.

Veamos el calculo de un volumen usando integrales triples en coordenadas cilndricas.

EJEMPLO 20: Hallar el volumen del solido E delimitado por la superficie conica S1 : z =x2 + y2

y la superficie esferica S2 : z =

1 x2 y2, usando coordenadas cilndricas (ver Ejemplo 11).

Sabemos que V (E) =

E 1 dV , esto es, el volumen del solido E puede calcularse mediante la integraltriple de la funcion constante f(x, y, z) = 1, que en cualquier otro sistema de coordenadas que no seael cartesiano, sigue siendo la misma funcion constante de valor 1.Escribamos la region de integracion en terminos de r, , z. Tenemos S1 : z = r (recordemos que elcono en cilndricas tiene una expresion sencilla), y S2 : z =

1 r2. La interseccion entre ambas

superficies se obtiene igualando los valores de z, luego r =

1 r2, o sea la curva interseccion es lacircunferencia de radio r =

22 , a la altura z =

22 .

Luego

Erz = {(r, , z) : 0 r

22, 0 2pi, r z

1 r2}

Realizando la primera integral iterada con respecto a z, queda aun por resolver una integral doble,que es la misma que la dada al final del Ejemplo 11. Termine el ejercicio. Compare los planteos yprocedimientos realizados en ambos ejemplos, donde se pide calcular el mismo volumen.

Observamos que el uso de las coordenadas cilndricas para resolver integrales triples, es muy convenientecuando la region de integracion es un solido del tipo 1 y su proyeccion sobre el plano xy es una region planafacilmente expresable en coordenadas polares.

COORDENADAS ESFERICAS:

En algunos problemas, sera conveniente utilizar las coordenadas esfericas: (distancia de un punto al origende coordenadas), (el mismo angulo que en coordenadas polares o cilndricas), y (el angulo entre el semiejez positivo y la direccion del vector

OP ).

Puede probarse que el elemento de volumen se escribe

dV = 2 sen d d d

Calcule el Jacobiano de la transformacion entre coordenadas cartesianas y esfericas, J(, , ) (x,y,z)(,,) .Que diferencia encuentra con la expresion anterior? (concretamente, que ocurre con el signo?)

Una integral triple en coordenadas esfericas se calcula mediante la siguiente expresion: Exyz

f(x, y, z) dV =

Ef( sen cos , sen sen , cos) 2 send d d

5-31

EJEMPLO 21: CalcularE e

(x2+y2+z2)3/2 dV , donde E es la esfera unitaria de ecuacionx2 + y2 + z2 1

Sabemos que la esfera unitaria en coordenadas esfericas se expresa:

0 1 0 2pi 0 piPor otro lado, como la funcion a integrar es e

3en coordenadas esfericas, queda:

Exyze(x

2+y2+z2)3/2 dV =

Ee

3(2 send d d)

Complete el calculo y compruebe que el valor de la integral es: 43pi(e 1)

Como ejercicio, compruebe que el volumen de una esfera de radio a dado, es 43pia3.

2.4. Aplicaciones

Todas las aplicaciones que vimos para integrales dobles en la seccion anterior, se extienden a integralestriples.

Valor promedio de una funcion de tres variables

As como para funciones de dos variables vimos que el valor promedio de F : D R2 R sobre D es:Fprom = 1A(D)

D F (x, y)dA donde A(D) es el area de D, para funciones de tres variables, f : E R3 R,

el valor promedio de f sobre E es:

fprom =1

V (E)

Ef(x, y, z) dV

donde V (E) es el volumen de E. Teniendo en cuenta que V (E) =

E dV , podemos escribir el valorpromedio de f sobre E como:

fprom =

E f(x, y, z) dV

E dV

EJEMPLO 22: La temperatura en los puntos del cubo E = [1, 1] [1, 1] [1, 1] es proporcionalal cuadrado de su distancia al origen.

a) Cual es la temperatura promedio?

b) En que puntos del cubo la temperatura es igual a la temperatura promedio?

a) Llamemos k a la constante de proporcionalidad, de modo que T (x, y, z) = k (x2 + y2 + z2). ComoV (E) = 23 = 8, para calcular la temperatura promedio solo falta evaluar la integral triple:

Ek (x2 + y2 + z2) dV =

11

11

11k(x2 + y2 + z2) dx dy dz =

= k[ 11

11

11

x2 dx dy dz + 11

11

11

y2 dx dy dz + 11

11

11

z2 dx dy dz

]5-32

Como x, y, z entran de manera simetrica en la descripcion del cubo, las tres ultimas integrales soniguales, de modo que:

Ek (x2 + y2 + z2) dV = 3k

11

11

11

z2dx dy dz

= 3k 11z2( 11

11dx dy

)dz

= 8k

donde hemos usado que 11 11 dxdy = 4. Finalmente

Tprom =

E k (x

2 + y2 + z2) dVV (E)

=8k8

= k

b) Supongamos que en un punto (x, y, z) la temperatura es igual a la temperatura promedio, entonces:k (x2 + y2 + z2) = Tprom = k. Por lo tanto, la temperatura es igual a la temperatura promedio en lasuperficie esferica x2 + y2 + z2 = 1, que es interior al cubo E (esta inscripta en el cubo).

Calculo de la masa total y coordenadas del centro de masa de un cuerpo

Sea un cuerpo solido que ocupa la region E R3, tal que la densidad de masa en un punto (x, y, z) E,esta dada por la funcion continua (x, y, z). Se demuestra que la masa total del cuerpo es:

m =

E(x, y, z) dV

en kg, si (x, y, z) esta dada en kg/m3 y las longitudes en metros.

Podemos tambien encontrar el centro de masa de un cuerpo solido con densidad (x, y, z) que ocupa unaregion E. Las coordenadas (xCM , yCM , zCM ) del centro de masa son:

xCM =1m

Ex (x, y, z) dV

yCM =1m

Ey (x, y.z) dV

zCM =1m

Ez (x, y, z) dV

(en metros) donde m es la masa total del cuerpo.

EJEMPLO 23: El cubo E = [1, 2][1, 2][1, 2] tiene densidad de masa (x, y, z) = (1+x)yez kg/m3.Hallar la masa total del cubo.

5-33

Tenemos que evaluar la siguiente integral triple, donde E es el cubo dado, eligiendo cualquiera de los6 ordenes de integracion posibles:

m =

E(1 + x)yez dV =

21

21

21

(1 + x)yez dx dy dz

= 21

21

[(x+

x2

2

)yez]x=2x=1

dy dz

= 21

21

52yezdy dz =

21

[54y2ez

]y=2y=1

dz

=[

154ez]z=2z=1

=154e(e 1) ' 17,5 kg

(Notar que en este ejemplo, se puede aprovechar la propiedad de factorizacion: dado que los intervalosde integracion son constantes y el integrando es un producto de la forma f1(x) f2(y) f3(z), se puedenevaluar las tres integrales simples por separado y luego multiplicar dichos resultados).

Pensemos ahora en una region solida E con densidad de masa constante y que ademas es simetrica respectode algun plano. Entonces, el centro de masa esta en ese plano. Por ejemplo, supongamos que la region E essimetrica con respecto al plano yz; si la densidad es constante, el integrando para calcular xCM es impary como E es simetrica, entonces xCM = 0. Por lo tanto el centro de masa esta en el plano yz. (Lo mismoocurrira si la densidad es una funcion simetrica o par en x, como por ejemplo (x, y, z) = x2g(y, z), siendosimetrica la region que ocupa el objeto.) Las simetras de la region y de la funcion a integrar son siempremuy utiles para simplificar los calculos y conviene aprovecharlas. Veamos un ejemplo:

EJEMPLO 24: Hallar el centro de masa de la region semiesferica E definida por la siguiente expresionx2 + y2 + z2 1, z 0, suponiendo densidad (x, y, z) = 2 kg/m3.

Por las simetras de la semiesfera unitaria (con respecto a los planos xz e yz), y por ser la densidadde masa constante, el centro de masa debe estar en el eje z. Efectivamente, xCM = yCM = 0(verifquelo). Calculemos entonces

zCM =1m

Ez(x, y, z) dV

donde m es la masa total de la semiesfera. Calculamos la integral como una region de tipo 2, esto esproyectamos sobre el plano yz:

Ez(x, y, z) dV =

10

1z21z2

1y2z21y2z2

2 z dx dy dz

= 10

2 z

( 1x21x2

1y2z21y2z2

dx dy

)dz

Notemos que 1z21z2

1y2z21y2z2

dx dy

5-34

es una integral doble que representa el area del crculo de radio

1 z2. Por lo que, podemos decir(sin hacer el calculo!) que el valor de dicha integral es: pi (1 z2). Usando este resultado:

Ez(x, y, z) dV = 2

10zpi(1 z2) dz (1)

= 2pi[z2

2 z

4

4

]10

= 2pi

4=pi

2

Como la densidad de masa es constante e igual a 2, la masa total es:

m =

E2 dV = 2V (E) = 2

[12

(43pi

)]=

43pi

(en kg), donde hemos usado que el volumen de la semiesfera unitaria es 12(43pi1

3)

EntonceszCM =

pi/24pi/3

=38

en metros. Luego ~rCM = (0, 0, 38).

EJERCICIOS:

1. Evalue las siguientes integrales iteradas:

a) 10

10

10 (x

2 + y2 + z2) dz dy dx

b) e1

e1

e1

1xyz dx dy dz

c) 10

z0

y0 ze

y2 dx dy dz

2. Evalue las siguientes integrales triples:

a)

E 2x dV , dondeE = {(x, y, z) : 0 y 2, 0 x

4 y2, 0 z y}

b)

E z dV , donde E es la region limitada por el cilindro y2 + z2 = 9 y los planos x = 0, y = 3x

y z = 0 en el primer octante.

c)

E xz dV , donde E es el tetraedro solido con vertices, (0, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0) y (0, 1, 1)

3. Calcule el volumen de la region solida E, en cada uno de los siguientes casos:

a) E es el tetraedro solido encerrado en el primer octante por el plano 6x+ 3y+ 2z = 6 y los planosx = 0, y = 0, z = 0.

b) E es la region encerrada por el cilindro x2 + z2 = 4, entre el plano z = 0 y el plano x+ z = 3.

c) E es la region solida que esta entre el cilindro z = y2 y el plano xy, acotada por los planos x = 0,x = 1, y = 1, y = 1

d) E es la region solida del primer octante que es comun a los interiores de los cilindros x2 + y2 = 1y x2 + z2 = 1.

4. Sea E la region acotada por el paraboloide z = x2 + y2 y el plano z = 2y. Escriba integrales iteradastriples en el orden dz dx dy y dz dy dx, que den el volumen del solido E.

5-35

5. Trace el solido cuyo volumen esta dado por la integral iterada que figura en cada uno de los siguientescasos:

a) 10

1x0

22z0 dy dz dx

b) 20

2y0

4y20 dx dz dy

6. En cada uno de los siguientes casos, describa y grafique la region solida cuyo volumen esta dado porla integral que se menciona y luego calcule el volumen de la region:

a) 2pi0

20

4r20 r dz dr d.

b) pi/20

pi/20

20

2 send d d

7. Utilice coordenadas cilndricas para evaluar las siguientes integrales:

a)

E

x2 + y2 dV , donde E es la region que esta dentro del cilindro x2 + y2 = 16 y entre los

planos z = 5 y z = 4b)

E x2 dV , donde E es el solido que esta dentro del cilindro x2 + y2 = 1, arriba del plano z = 0

y abajo del cono z2 = 4x2 + 4y2

c)

E(x3 + xy2) dV , donde E es el solido del primer octante que esta debajo del paraboloide

z = 1 x2 y2

8. Utilice coordenadas esfericas para evaluar las siguientes integrales:

a)

B(x2 + y2 + z2) dV , donde B es la esfera unitaria de ecuacion: x2 + y2 + z2 1

b)

E z dV , donde E es la region que esta entre las esferas x2 + y2 + z2 = 1 y x2 + y2 + z2 = 4 en

el primer octante.

9. Halle la masa y centro de masa del solido dado E, con funcion de densidad (x, y, z) = y (en g/cm3),si E es el tetraedro limitado por los planos: x = 0, y = 0, z = 0, x+ y + z = 1.

10. Calcule la densidad de masa promedio para el solido E del ejercicio anterior en g/cm3.

11. Considere un cono circular de altura h = 0,3 m y radio de la base a = 0,1 m, hecho en madera dequebracho colorado de densidad constante = 1200 kg/m3. Halle la masa del cono (en kg).

5-36

3. Integrales de lnea

En la Seccion 3 de la Gua 2 hemos visto la manera de calcular la longitud de una curva C en el plano oel espacio. Si ~r(t), con t [a, b], es una parametrizacion de la curva, su longitud esta dada por

LC = ba|~r (t)| dt

Una curva arbitraria puede ser aproximada por una poligonal (ver Figura 11 de la Gua 2), esto es unasucesion de n pequenos segmentos de longitud s = LCn = |~r (t)|t. Para calcular la longitud total de lacurva construimos una suma de Riemann, sumando la longitud de esos segmentos:

n1 s; en el lmite para n

tendiendo a infinito, los segmentos son infinitesimalmente pequenos y miden ds. Escribimos simbolicamente

LC =Cds =

C

1 ds

donde, en la ultima expresion, indicamos que cada termino de la suma de Riemann tiene un valor (o peso)igual a 1 a lo largo de la curva. Podemos imaginar una funcion de dos o tres variables, que asigna el valor 1en cada punto de la curva.Ahora supongamos que la curva traza un camino en una region del plano o del espacio donde esta definidauna funcion no necesariamente igual a 1, ni siquiera constante. Podemos ir sumando el valor f de la funciona medida que se sigue una trayectoria. Sera como en un juego de pacman, en el que se van acumulandolos puntos que se encuentran en distintas ubicaciones (x, y) de la pantalla; cual es (= como se calcula) elpuntaje total acumulado en una partida?Esta discusion nos lleva a la definicion de integral de una funcion escalar de varias variables a lo largo de unatrayectoria, conocida como integral de lnea, de camino, o de curva.

La integral de una funcion f de dos o de tres variables (no necesariamente la funcion constante 1, como enla introduccion) a lo largo de una curva C del plano o del espacio, respectivamente, se denomina integral delnea o de curva o de camino, con respecto a la longitud de arco. Se denota simbolicamente como

Cf ds

y se define formalmente como el lmite de las sumas de Riemann de la funcion f evaluada en puntos de lacurva por la longitud del elemento de arco de la curva, s, que puede expresarse como |~r (t)|dt siendo ~r(t)una parametrizacion de C (recordar Gua 2).

DEFINICION:Sea f(x, y) una funcion escalar de dos variables con dominio D R2, y sea C D una curva en el plano.Sea ~r(t), con t [a, b], una parametrizacion de C. Entonces se define la integral de lnea de f (con respectoa la longitud de arco) a lo largo de C como

Cf ds =

= baf (~r(t)) |~r (t)| dt =

baf (x(t), y(t))

[x(t)]2 + [y(t)]2 dt

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Escriba una definicion analoga para una funcion de tres variables y una curva en el espacio.

Observe que en la definicion se da una receta concreta para hacer la cuenta: la integral de lnea se expresay se calcula como una integral simple en la variable t, que es una integral definida entre t = a y t = b, ypor lo tanto da como resultado un numero.Se puede probar que si f es continua en C y si la curva C es suave (a trozos), entonces la integral de lneaexiste.

Veamos algunos ejemplos tpicos de integral de lnea de una funcion escalar. A partir de estos ejemplos,aprovechamos para mencionar algunas propiedades y caractersticas de este tipo de calculo, as como unainterpretacion geometrica. Continuaremos el estudio de integrales de lnea en la Gua 6, pero aplicado a otrotipo de funciones (los campos vectoriales), que presentan propiedades y caractersticas algo diferentes.

EJEMPLO 25: Determinar el valor deC f ds, donde f(x, y) = xy

4 y C es la porcion en el semiplanoderecho de la circunferencia de radio 4 alrededor del origen.

Una parametrizacion posible para la curva es C : ~r(t) = (4 cos t, 4 sen t), t [pi2 , pi2 ], que le asignasentido antihorario. Los dos ingredientes necesarios para el calculo son: i) la funcion evaluada en lospuntos de la curva, esto es, la cantidad xy4 cuando x = x(t) = 4 cos t, e y = y(t) = 4 sen t; ii) elmodulo del vector tangente a la curva, esto es, la norma de ~r (t) = (4 sen t, 4 cos t). Luego

Cxy4 ds =

pi/2pi/2

[4 cos t (4 sen t)4]

(4 sen t)2 + (4 cos t)2 dt = 46 pi/2pi/2

cos t sen4 t dt

que se resuelve por el metodo de sustitucion, con u = sen t, y daC f ds = 4

6 25 = 1638, 4.

Como ejercicio, calcule la integral de lnea de f(x, y) = xy4:1) utilizando otra parametrizacion para la misma curva C;2) a lo largo del cuarto de circunferencia en el IV cuadrante y del cuarto de circunferencia en el Icuadrante, y luego sume ambos resultados;3) a lo largo de la curva C = C, que corresponde a la misma semicircunferencia pero recorrida ensentido horario.Verifique que, en todos los casos, el resultado no vara.

Se pueden demostrar las siguientes propiedades:

PROPIEDAD 1: La integral de lnea de una funcion escalar no depende de la parametrizacion utilizadapara la curva, siempre que esta sea recorrida una sola vez.

PROPIEDAD 2: La integral de lnea de una funcion escalar a lo largo de una curva formada por dos tramos,es igual a la suma de las integrales de lnea de dicha funcion a lo largo de cada tramo. Simbolicamente,

C1C2

f ds =C1

f ds+C2

f ds

PROPIEDAD 3: La integral de lnea de una funcion escalar es independiente del sentido de recorrido de

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la curva. Simbolicamente, C

f ds =Cf ds

EJEMPLO 26: Calcular la integral de lnea de la funcion f(x, y) = x a lo largo de la curva fronterade un crculo D centrado en el origen.

Por ser C la frontera de una region del plano, se trata de una curva cerrada (el punto inicial y elfinal de la curva coinciden). Es comun usar una notacion especial en estos casos:

Cf ds

y se lo llama circulacion de f a lo largo de C, para indicar explcitamente que C es cerrada. (Veremosmas adelante, que relacion existe entre la integral doble en una region D y la integral de lnea a lolargo de la curva frontera de D...).Suponiendo que el radio del crculo es R (fijo), una parametrizacion de su frontera es C : ~r(t) =(R cos t, R sen t), con t [0, 2pi], recorriendo el borde en sentido antihorario (y, por lo tanto, dejandoal crculo D siempre a la izquierda de la curva; para notar esto, imaginemos que vamos caminando enel sentido de C). Luego

Cx ds =

2pi0

(R cos t) (Rdt) = R2 2pi0

cos t dt = 0

cualquiera sea el radio.

En la Seccion 1 de esta Gua 5, comentamos que la integral dobleD x dA se anula si D es un crculo

centrado en el origen, por simetra.Aqu podemos aplicar la misma propiedad de simetra: la integral de lnea de una funcion impar en x (eindependiente de y, en este caso) a lo largo de una curva simetrica respecto del eje y, da 0 (pensar en lassumas de Riemann: a cada elemento de arco s se lo multiplica por el valor de x, y hay tantos valorespositivos como negativos que se cancelan).

EJEMPLO 27: Evaluar la integral de lnea de una funcion positiva f(x, y) a lo largo de la curva Cque es el segmento de recta sobre el eje x desde el punto A(a, 0) hasta el punto B(b, 0), con a y b fijos.Interpretar graficamente el resultado.

Una parametrizacion (trivial) para la curva dada es C : ~r(t) = t i+ 0 j, con t [a, b]. Luego ~r (t) = i,que tiene modulo 1. Por otro lado, debemos evaluar la funcion en puntos de la curva, que son de laforma P (t, 0); esto da f(x(t), y(t)) = f(t, 0). Luego, definiendo F (x) = f(x, 0), tenemos

Cf ds =

baf(t, 0) 1 dt =

baF (x) dx

La ultima integral simple, siendo F (x) positiva, sabemos que puede interpretarse graficamente como elarea bajo la grafica de dicha funcion de una variable. Por otro lado, si lo que calculamos es la integraldoble de f(x, y) en una region D del plano, obtenemos el volumen del solido encerrado debajo de lagrafica (3D) de dicha funcion de dos variables.

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Nos preguntamos: que interpretacion podemos darle aC f(x, y) ds ? Volviendo (otra vez) a la nocion

de sumas de Riemann, esto es una suma de pequenos intervalos s por el valor de la funcion en algunpunto elegido de dicho segmento. Pensando en la grafica (en el espacio) de la funcion f(x, y), observamosque estamos sumando las areas de rectangulos de base s y altura f . Luego la integral de lnea de f(x, y)(positiva) a lo largo de una curva C del plano xy, da el valor del area de la pared curva que sigue la formade C en la base y tiene altura dada por el valor de f en los puntos de la curva. Ver Figura ??. (Al principiode esta seccion dimos otra interpretacion cuando se trata de la funcion constante 1, como la longitud de lacurva. Ambas interpretaciones son validas:

C 1 ds da el valor numerico LC de la longitud de la curva C,

y tambien da el valor numerico del area de la pared lateral con base C y altura 1: LC 1; solo cambian lasunidades de medida).

Figura 12: Integral de lnea de f(x,y) como area de la pared curva con base C y altura f(x, y).

Imagine un tinglado cuyo techo tiene forma de cilindro parabolico. Las paredes laterales (los lados haciadonde el techo cae) son rectangulares y su area es facil de calcular. Pero la pared del frente y del fondo noson rectangulos: realice un dibujo de la situacion, luego proponga una funcion y una curva adecuadas demodo que la integral de lnea de el area de cada una de estas paredes.

Veamos ahora un ejemplo para una curva en el espacio y una funcion de tres variables.

EJEMPLO 28: HallarC xe

yz ds, donde C es el segmento de recta que une el origen con el punto(1, 2, 3).

El segmento C pertenece a la recta L que pasa por el origen y tiene vector director ~v = (1, 2, 3)(0, 0, 0).Luego un conjunto de ecuaciones parametricas para L es

L :

x = 0 + (1 0)ty = 0 + (2 0)tz = 0 + (3 0)t

, t R

Si queremos describir el segmento C, basta con restringir t al intervalo [0, 1] (revea en las Guas 1 y 2la forma de parametrizar un segmento de recta entre dos puntos dados). El vector ~r (t) cuyo modulonecesitamos, no es mas que ~v, que tiene norma constante igual a

14. Luego

Cxeyz ds =

10

(te2t 3t

)(

14 dt)

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cuyo valor es

14 (e6 1)/12 (compruebelo, integrando por partes).

PARA PENSAR: Analice cuanto vale la integral de lnea de una funcion de dos variables a lo largo deuna curva de nivel de dicha funcion; aplquelo a la funcion f(x, y) = x2 + 2y2, grafique.Y si se trata de una funcion de tres variables, y la curva se encuentra sobre una superficie de nivel?De ejemplos.

Completamos esta seccion definiendo otras integrales que utilizaremos mas adelante.

DEFINICION:Sea f(x, y) una funcion escalar de dos variables con dominio D R2, y sea C D una curva en el plano.Sea ~r(t), con t [a, b], una parametrizacion de C. Entonces se define la integral de lnea de f con respectoa la variable x a lo largo de C como

Cf dx =

= baf (x(t), y(t)) x(t) dt

y la integral de lnea de f con respecto a la variable y a lo largo de C comoCf dy =

= baf (x(t), y(t)) y(t) dt

Escriba una definicion analoga para una funcion de tres variables y una curva en el espacio.

EJEMPLO 29: EvaluarC(xy + ln y) dy, donde C es el arco de la parabola y = x

2 que va desdeA(1, 1) hasta B(3, 9).

En primer lugar, notemos que la funcion a integrar, f(x, y) = xy + ln y, tiene como dominio decontinuidad todo el semiplano superior, sin el eje x; entonces f es continua a lo largo de la curva Cdada, ya que esta no contiene ningun punto P (x, y) con y 0. Luego, podemos asegurar que la integralexiste.Consideremos la parametrizacion trivial para la curva: ~r(t) = (t, t2), t [1, 3]. De esta funcion vecto-rial, necesitaremos en este caso solamente la derivada de su segunda componente, y(t) = 2t. Luego

C(xy + ln y) dy =

31

[tt2 + ln(t2)](2t dt)

Completar la cuenta.Repetir el calculo para la curva C, o sea el arco de parabola que va desde B hasta A. Que observa?

Es importante notar que en el caso de las integrales de lnea con respecto a una variable (y no con respectoa la longitud de arco), el sentido de recorrido de la curva s afecta el resultado. As, por ejemplo, en lugar

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de la Propiedad 3 dada antes, se tiene:La integral de lnea de una funcion escalar con respecto a una variable depende del sentido de recorrido dela curva. Simbolicamente,

Cf dx =

Cf dx ,

C

f dy = Cf dy

Esto se ve claramente en la definicion, donde aparecen los factores x(t) e y(t), cuyo signo se invierte cuandocambia el sentido de recorrido de la curva.

EJEMPLO 30: Se desea calcularC [y dx x dy], donde C es la curva frontera de un rectangulo en

el plano con uno de sus vertices en el origen y el vertice opuesto en (3, 5) (ver Figura ??), recorrida ensentido antihorario. Podemos aclarar que en el caso de curvas cerradas en el plano, si no se especificael sentido del recorrido supondremos que es antihorario (o sea, dejando a la region a su izquierda).

Figura 13: Curva frontera a trozos para el rectangulo

Antes de hacer ningun calculo, conviene analizar que tramos de la curva contribuyen a cada una delas integrales. Empezando por el origen, llamemos C1, C2, C3 y C4 respectivamente, a los lados delrectangulo con sentido antihorario. Ver figura. Tomemos C1 y C3 que son dos tramos horizontales: separametrizan por medio de funciones vectoriales con segunda componente constante, luego y = 0 enambos casos y por lo tanto la integral de lnea de la funcion x respecto de y para los tramos C1 y C3no contribuye.Analogamente ocurre con la integral de lnea de la funcion y respecto de x para los tramos C2 y C4.Tampoco contribuyen

C1y dx pues y = 0, ni

C4

(x) dy pues x = 0.De las 8 integrales de lnea que se deban resolver, solo quedan 2. Termine el ejercicio, sin hacercalculos de integrales!

3.1. Aplicaciones

Sabemos que conociendo la densidad de masa, podemos calcular la masa y el centro de masa de una laminadelgada mediante integrales dobles, o la masa y el centro de masa de un cuerpo solido usando integralestriples. Veremos a continuacion que las integrales de lnea nos permiten calcular la masa total y el centro demasa de un alambre delgado, si conocemos la densidad lineal de masa (masa por unidad de longitud).

Supongamos un alambre que toma la forma de una curva C en el plano y tiene densidad lineal de masa enun punto (x, y) C dada por (x, y), donde (x, y) es una funcion continua. Se demuestra que la masa total

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del alambre es:m =

C(x, y) ds

Tambien puede calcularse el centro de masa de un alambre con densidad (x, y) a lo largo de una curva C,estando dadas sus coordenadas (xCM , yCM ), por:

xCM =1m

Cx (x, y) ds

yCM =1m

Cy (x, y) ds

donde m es la masa total del alambre.

Si el alambre toma la forma de una curva C en el espacio y conocemos su densidad lineal de masa (x, y, z)en cada punto de la curva, mediante integrales de lnea semejantes a las dadas, podemos calcular la masay el centro de masa del alambre tambien en este caso. Escriba las correspondientes ecuaciones, teniendo encuenta que es una funcion de tres variables y C es una curva en el espacio.

EJEMPLO 31: Un arco de metal delgado (alambre), mas denso en la parte inferior que en la superior,se encuentra a lo