centro de masa - unizar.es
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Centro de Masa
Sรณlido Rรญgido
Centro de Masa
El centro de masa de un sistema de partรญculas es un punto en el cual
parecerรญa estar concentrada toda la masa del sistema.
En un sistema formado por partรญculas discretas el centro de masa se calcula
mediante la siguiente fรณrmula:
M
m
m
m ii
i
ii
CM
==rr
r
m1
m2
mn
mi
r1
r2 ri
rn
rCM
x
y
z
?==
i
ii
CMm
m rr
m1
m2
mn
mi
r1
r2 ri
rn
rCM
x
y
z
M
m
m
m ii
i
ii
CM
==rr
r
r1 r2
ri
rn x
y
z
Centro de masa de un objeto extendido
rCM
x
y
z
ri
Dmi
El centro de masa de un objeto
extendido se calcula mediante la
integral:
= dmM
CM rr1
El centro de masa de cualquier objeto
simรฉtrico se ubica sobre el eje de
simetrรญa y sobre cualquier plano de
simetrรญa.
Movimiento de un sistema de partรญculas
Si se deriva respecto al tiempo el centro de masa de un sistema de partรญcula se
obtiene la velocidad del centro de masa:
M
m
dt
dm
Mdt
d
ii
CM
ii
CMCM
=
==
vv
rrv
1
El momento total del sistema es:
=== totiiiCM mM ppvv
La aceleraciรณn del centro de masa es:
=== iii
iCM
CM mMdt
dm
Mdt
da
vva
11
De la segunada ley de Newton:
== iiiCM mM Faa
dt
dM tot
CMext
paF ==
Tomando en cuenta la 3era. Ley de Newton:
El centro de masa se mueve como una partรญcula imaginaria de masa M
bajo la influencia de la fuerza externa resultante sobre el sistema.
๐=1
๐
๐น๐ = ๐น๐ =๐1๐1 +๐2๐2 +๐3๐3 +โฏ = ๐๐?
๐=1
๐
๐๐๐๐ = ๐ ิฆ๐๐ถ๐
xmxiiCM M
=1
๐๐๐ฅ๐ = ๐๐ฅ๐ถ๐
xmxiiCM M
=1
O bien
Entonces
๐๐
๐๐ฅ๐๐๐ก
=๐๐v๐ = ๐๐๐ฅ๐ถ๐๐๐ก
= ๐v๐ถ๐
๐๐
๐v๐๐๐ก
=๐๐a๐ = ๐๐v๐ถ๐๐๐ก
= ๐a๐ถ๐
โข Cuando una fuerza actรบa sobre un sistema de partรญculas, este se comporta de forma que el centro de
masas se mueve como si toda la masa del sistema de partรญculas estuviese concentrada en รฉl
Un objeto lanzado puede moverse de
manera compleja, pero su centro de masas
describe una parรกbola
M
vmv
dt
rdm
M
1
dt
rd
M
rmr i
gigi
gi
ii
โโ
โโโโ
==
=
M
ama
dt
vdm
M
1
dt
vd ig
ig ii
โโ
โโ
==
aMFamFF Gext
ii
ext
ii iโโโ
===โโ
โข Para un sistema de partรญculas m1, m2, ..., mi , cada una de ellas
estarรญa sometida a fuerzas ejercidas por las demรกs, por lo que
se denominan fuerzas internas y fuerzas del exterior del
sistema Fext
i
โF int
i
โ
amFFF iext
i
int
ii iโโโโ
=+=Por la 2ยช ley de Newton
Por el principio de acciรณn y reacciรณn 0F inti=
โ
x
y
z m1
m2
m3
m4
G
โข El centro de masas es un punto G que se comporta como una partรญcula material, en la que se concentra
toda la masa del sistema, tal que su vector de posiciรณn cumple que: rgโ
M
rmrrmrM i
gigi
i
โโโโ
== ( M = mi )
M
xmx ii
g
=
M
ymy ii
g
=
M
zmz ii
g
=
En los sistemas continuos y homogรฉneos, el centro
de masas coincide con el centro de simetrรญa del
sistema
r1
โ
rg
โ
r4
โ
r2
โ
r3
โ
=
i
i
i
ii
CMm
rm
r
m1
m2
m3m4
m5
m6
y
xr1
r4
r6
๐ ๐ถ๐ =ฯ๐=1๐ ๐๐๐ฅ๐ฯ๐=1๐ ๐๐
๐ ๐ถ๐ =1
๐๐
๐=1
๐
๐๐๐ฅ๐
๐ซ๐ถ๐ =1
๐เถฑ๐ซ๐๐
1 Centro de masas Definiciรณn:
=
i
i
i
i
i
m
rm
r
CM
===
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
m
zm
zm
ym
ym
xm
x CMCMCM
Coord. cartesianas:
Objetos continuos:
===
dm
zdmz
dm
ydmy
dm
xdmx CMCMCM
Objetos discretos:
CM
ext
R MaF =)(
CM
Si la FR que actรบa sobre el
sistema es igual 0,
entonces el Centro de Masa
del Sistema se mueve con
v= cte, o estรก en reposo
00
sistema
( )M
rm
m
rm
tr i
ii
i
i
i
ii
CM
==
cteVCM = ctePsist =0=ext
RFhttps://phet.colorado.edu/sims/collision-lab/collision-lab_en.html
Ejemplo. Se tienen 3 masas iguales en los
vรฉrtices de un triรกngulo rectรกngulo. Calcular el vector
C.M.
d
h
a
y
x
d
h
a
y
x
yโ
xโ
y
x
rCM
z rM
rdmCM = 1
para una distribuciรณn continua de masa:
Dmi
r
y
x
m
m
x
-x
y
-y ๐ฅ๐ถ๐ =๐๐ฅ +๐(โ๐ฅ)
2๐= 0
=
i
i
i
i
i
m
xm
xCM
=
i
i
i
i
i
m
ym
yCM
๐ฆ๐ถ๐ =๐๐ฆ +๐(โ๐ฆ)
2๐= 0
๐ฅ๐ถ๐ = 0
๐ฆ๐ถ๐ = 0
j2i5,1r1
โโโ+=
โข Se toman los tres cuadrilรกteros marcados, se calcula su centro de simetrรญa mediante el corte de sus
diagonales y se concentra en dichos puntos la masa de cada placa, que se expresa en funciรณn de la
densidad superficial de masa
j5,0i5,3r2
โโโ+=
j5,3i5,3r3
โโโ+=
๐ ๐ถ๐ =1
๐๐
๐=1
3
๐๐ ิฆ๐๐ =
=๐1 1,5 ฦผ๐+2 ฦผ๐ +๐2 3,5 ฦผ๐+0,5 ฦผ๐ +๐3 3,5 ฦผ๐+3,5 ฦผ๐
๐1+๐2+๐3
No tengo m1, m2 ni m3โฆโฆ.
La densidad es lo que me permite
transformar las masas en โposicionesโ
๐ =๐
๐ฟ=๐๐
๐๐ฅ
๐ =๐
๐ด=๐๐
๐๐ด
๐ฟ =๐
๐=๐๐
๐๐
m1 = S1 = 12 j2i5,1r1
โโโ+=
m2 = S2 =
m3 = S3 =
j5,0i5,3r2
โโโ+=
j5,3i5,3r3
โโโ+=
๐ ๐ถ๐ =๐1 1,5 ฦผ๐+2 ฦผ๐ +๐2 3,5 ฦผ๐+0,5 ฦผ๐ +๐3 3,5 ฦผ๐+3,5 ฦผ๐
๐1+๐2+๐3
๐ ๐ถ๐ =12๐ 1,5 ฦผ๐+2 ฦผ๐ +๐ 3,5 ฦผ๐+0,5 ฦผ๐ +๐ 3,5 ฦผ๐+3,5 ฦผ๐
14๐
๐ ๐ถ๐ =25๐ ฦผ๐ + 28 ๐ ฦผ๐
14๐=
25 ฦผ๐ + 28 ฦผ๐
14
๐ ๐ถ๐ = 1,8 ฦผ๐ + 2 ฦผ๐
m1 = S1 = 12 j2i5,1r1
โโโ+=
m2 = S2 =
m3 = S3 =
j5,0i5,3r2
โโโ+=
j5,3i5,3r3
โโโ+=
๐ ๐ถ๐ =๐1 1,5 ฦผ๐+2 ฦผ๐ +๐2 3,5 ฦผ๐+0,5 ฦผ๐ +๐3 3,5 ฦผ๐+3,5 ฦผ๐
๐1+๐2+๐3
๐ ๐ถ๐ =12๐ 1,5 ฦผ๐+2 ฦผ๐ +๐ 3,5 ฦผ๐+0,5 ฦผ๐ +๐ 3,5 ฦผ๐+3,5 ฦผ๐
14๐
๐ ๐ถ๐ =25๐ ฦผ๐ + 28 ๐ ฦผ๐
14๐=
25 ฦผ๐ + 28 ฦผ๐
14
๐ ๐ถ๐ = 1,8 ฦผ๐ + 2 ฦผ๐
Objetos continuos:
===
dm
zdmz
dm
ydmy
dm
xdmx CMCMCM
y
x
yโ
xโ
Objetos continuos:
===
dm
zdmz
dm
ydmy
dm
xdmx CMCMCM
y
x๐ =
๐
๐ฟ=๐๐
๐๐ฅ
๐ = ๐๐ฟ
๐๐ = ๐๐๐
๐ฅCM =๐๐ ๐ฅ
๐๐๐ฆCM =
๐๐ ๐ฆ
๐๐
y
x
๐๐ = ๐๐๐
๐๐ = ๐๐ = ๐ ๐๐๐ = ๐ ๐
๐
๐ฅCM =๐๐ ๐ฅ
๐๐๐ฆCM =
๐๐ ๐ฆ
๐๐
y
x
๐๐ = ๐๐๐
๐๐ = ๐๐ = ๐ ๐๐๐ = ๐ ๐
๐
๐ฅCM =๐๐ ๐ฅ
๐๐๐ฆCM =
๐๐ ๐ฆ
๐๐
y
x
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/problemas/solido/cm/cm.html
Centro de masas
Objetos continuos:
Objetos discretos:Ej.
Ej.
Objetos continuos:Ej.
Objetos continuos:Ej.
2 m
4 m
3 m
(11,9)
(10,-3)
(-8,2)3 g
5 g
4 g
Simetria
Determinar el centro de masa del sistema mostrado, si se sabe que las masas para cada
elemento son m1 = 4 kg, m2 = 8 kg, m3 = 3 kg, y m4 = 5 kg.
๐ฅ๐๐ =๐1๐ฅ1 +๐2๐ฅ2 +๐3๐ฅ3 +๐4๐ฅ4
๐๐= 28,5 ๐๐
๐ฆ๐๐ =๐1๐ฆ1 +๐2๐ฆ2 +๐3๐ฆ3 +๐4๐ฆ4
๐๐= 46 ๐๐
Se unen dos varillas uniformes y homogรฉneas AB de 40 kg de masa y otra varilla BC
semicircular de 60 kg de masa. Determinar la abscisa del centro de masa del conjunto.
Simetria
y
x
A B C10cm
20cm
y
x
A B C10cm
10cm
30cm
x1 x2
y
x10cm
30cm
x1x2 ๐ฅ๐๐ =
40๐๐ ๐ฅ1 + 60๐๐ ๐ฅ2100 ๐๐
= 22 ๐๐
Homework
RCM ?
Tip: Haciendo 4a = 8,8 m, encontramos que a = 2,2 m.
En la figura se muestra un sistema formado por tres alambres del mismo material y de igual
secciรณn Determinar la ordenada del CG
La estructura mostrada se encuentra en equilibrio. Calcular el valor de la masa mA, si mA=
15 kg. Ademรกs AD = 10 cm, DB = 35 cm, CD = 20 cm, y ฮธ = 37ยฐ
Homework
Simetrias
y
xPlaca (P)
2RR-
Placa Compuesta (C)
y
xDisco (S) =
y
x
๐ =๐1
4๐๐ 2
๐ =๐
๐ด
M1
-m2
๐ =โ๐2
๐๐ 2
MT = M1-m2
๐ฅ๐๐ =๐1๐ฅ1 โ๐2๐ฅ2
๐๐=
๐ฆ๐๐ =๐10 + ๐20
๐๐= 0
=4๐๐ 2๐ ๐ฅ1 โ ๐๐ 2๐ ๐ฅ2
4๐๐ 2๐ โ ๐๐ 2๐=
โ ๐ฅ23
=+๐
3=
๐ฅ๐ถ๐2 = โ๐ ๐ฅ๐ถ๐1 = 0
Consider the triangular region R with vertices (0,0),(0,3),(3,0) and with density function
๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐ฅ๐ฆ. Find the center of mass.
https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Book%3A_Calculus_(OpenStax)/15%3A_Multiple_Integration/15.6%3A_Calculating_Centers_of_Mass_and_Moments_of_Inertia
Consider the triangular region R with vertices (0,0),(0,3),(3,0) and with density function
๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐ฅ๐ฆ. Find the center of mass.
https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Book%3A_Calculus_(OpenStax)/15%3A_Multiple_Integration/15.6%3A_Calculating_Centers_of_Mass_and_Moments_of_Inertia
FIN
Coming next: