muestra masa m brazo l soporte s h centro c

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1 ENSAYO DE IMPACTO - PÉNDULO DE CHARPY I. Introducción La resistencia al choque es una medida de la tenacidad de un material, la que se define como la capacidad de absorción de energía en la zona plástica antes de aparecer la fractura súbita. El instrumento usado para obtener los valores de esta energía es el péndulo de Charpy. Este dispone de una masa M montada en el extremo del brazo, de longitud l, que pivota en el centro C (figura 1). El ensayo de tenacidad consiste en golpear una probeta apoyada en S con la masa del péndulo que ha sido abandonada en caída libre desde una altura prefijada H. La energía absorbida Ea, por la probeta para producir su fractura es la medida de la tenacidad del material en las condiciones del ensayo. Figura 1. muestra masa M brazo l soporte S H centro C

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Page 1: muestra masa M brazo l soporte S H centro C

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ENSAYO DE IMPACTO - PÉNDULO DE CHARPY

I. Introducción

La resistencia al choque es una medida de la tenacidad de un material, la que sedefine como la capacidad de absorción de energía en la zona plástica antes deaparecer la fractura súbita.

El instrumento usado para obtener los valores de esta energía es el péndulo deCharpy. Este dispone de una masa M montada en el extremo del brazo, delongitud l, que pivota en el centro C (figura 1). El ensayo de tenacidad consiste engolpear una probeta apoyada en S con la masa del péndulo que ha sido abandonadaen caída libre desde una altura prefijada H. La energía absorbida Ea, por la probetapara producir su fractura es la medida de la tenacidad del material en lascondiciones del ensayo.

Figura 1.

muestra

masa M

brazo l

soporte S

H

centro C

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2

Existen distintos tipos de diseños de péndulos de Charpy para distintos grupos de

materiales (plásticos, metales, etc). El que disponemos en nuestro laboratorio está diseñado para plásticos y el ángulo máximo desde el cuál se puede realizar el ensayo es de 139 0.

Las probetas para los ensayos de tenacidad deben cumplir las dimensiones establecidas según normas ISO , en nuestro caso estudiaremos probetas en forma de paralelepípedos cuyas dimensiones son las sgtes: a= 1cm , b=1cm , h= 8 cm.

El comportamiento dúctil o frágil de un material depende de las condiciones del

ensayo bajo las cuales se realiza, teniendo influencia parámetros tales como, las dimensiones de la probeta, la temperatura, velocidad de aplicación de la carga y las dimensiones de la entalla. A lo largo de la práctica estudiaremos la influencia que tienen estos tres últimos parámetros en la respuesta al impacto de los materiales, demostrándose de esta forma la importancia que tiene especificar las condiciones bajo las cuales se realizan los ensayos de impacto, para poder comparar los resultados ya sea entre materiales de distinta o de igual naturaleza.

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II. Materiales a los cuales se les realizara el ensayo y elementos que se deben

reflejar en el informe de la práctica. 1.Forma de las curvas Fuerza vs Tiempo .

Inicialmente se les realizará el ensayo a las probetas sin entalla de los sgtes materiales : nylon, metacrilato, PVC, y madera. Para esta primera prueba el ángulo de carga será para todos los casos de 1200. Nota : El análisis se realizará cualitativamente , observando las diferencias de las gráficas para los distintos materiales, distinguiéndose claramente por la forma de la curva Fuerza vs Tiempo cuales son los materiales que han fracturado y los que no han fracturado para estas condiciones del ensayo. También se especificará en cada caso el tipo de rotura observada en cada probeta de acuerdo a la sgte clasificación: Tipos de Rotura

Rotura Completa: Rotura en la cual la probeta se separa en dos o más piezas. Rotura Bisagra: Rotura incompleta de forma que las dos partes de la probeta

están unidas solamente por una fina lámina periférica en forma de una bisagra sin rigidez residual.

Rotura Parcial: Rotura incompleta que no corresponde a la definición de rotura bisagra.

Sin rotura: Casos en que no aparece rotura y la probeta está solamente torcida y deformada , con posibilidad de zonas o líneas blanquecinas debidas a la tensión del golpe.

2.Influencia de la energía de impacto.

Se tomarán tres probetas de PVC sin entalla y se les realizará el ensayo para diferentes ángulos de carga 800 , 1100 y 1390 . Especificando como influye la energía de impacto en la deformación del material.

3.Influencia del radio de la entalla.

Se tomarán dos probetas de PVC con entallas de igual profundidad pero que difieren en el ancho de la entalla.

Se determinará la energía absorbida por cada una de las probetas en la fractura. Explicar los resultados.

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4.Influencia de la temperatura. a) Nylon Realizar el ensayo para una probeta de nylon sin entalla siguiendo estos pasos:

sumergir la probeta en un recipiente con nitrógeno líquido. cuando el nitrógeno líquido deje de burbujear sacar la probeta con unas pinzas y

colocarla en el sitio correspondiente para realizar el impacto. Es importante que antes de sacar la probeta el péndulo esté listo para realizar el ensayo y que no se pierda tiempo para asegurar de esta forma que el ensayo se realizará a una temperatura lo suficientemente baja .

los resultados se compararán con el de la probeta de nylon que se realizó a temperatura ambiente en el apartado 1), y se dará una explicación a las diferencias o semejanzas observadas.

b) Hierro

Realizar el ensayo para una probeta de hierro con entalla a temperatura ambiente. Realizar el ensayo para una probeta de hierro con una entalla igual a la anterior,

pero a una temperatura inferior , siguiendo los mismos pasos que con el nylon. Comparar los resultados obtenidos y dar una explicación a las diferencias o

semejanzas observadas.

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III. Realización de la práctica

Seguir los pasos que se detallan a continuación En el ordenador:

1. Doble click en el icono UP9002 98 que se encuentra en el escritorio del ordenador. 2. Seleccionar el modo de ejecución Adquisición y Tratamiento de Datos y

posteriormente pulsar INICIAR. 3. Aparecerán tres ventanas Control del ensayo, Análisis de Datos y Lecturas

Directas. 4. En la ventana Lecturas Directas el usuario debe poner a cero las lecturas tanto de

ángulo como de fuerza a través de los pulsadores de la ventana. En el péndulo:

5. Para subir la ventanilla de cristal (1) debemos primeramente liberar la bisagra (2) que se encuentra en el marco derecho (haciéndola girar hacia fuera). Ver figura 2.

Figura 2. 1

23

4

5

zoom

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6

6. Subir la ventanilla y sin soltarla, volver a mover la bisagra (haciéndola girar hacia

dentro), para mantener fija la ventanilla de cristal. 7. En el péndulo Charpy girar en sentido antihorario la palanca (3), para de esta forma

elegir el ángulo desde el cuál se realizará el impacto. Una vez seleccionado el ángulo , girar la palanca en sentido horario para fijarlo.

8. Presionar el freno (4) y simultáneamente sin soltar el freno , subir el péndulo (sujetándolo por la parte inferior de la masa (5), nunca por el brazo) a una altura superior a la del ángulo elegido y una vez sobrepasada esa altura, dejar de presionar el freno (4) para que el péndulo se quede fijo a la altura deseada y no caiga. En el ordenador podemos observar que en la ventana Lecturas Directas aparecerá reflejado el valor del ángulo seleccionado.

A PARTIR DE ESE MOMENTO PROHIBIDO TOCAR EL FRENO (4) HASTA QUE SE INDIQUE NUEVAMENTE EN EL GUION.

9. Colocar la muestra a la cual se le realizará el estudio en el soporte S, asegurándose que se encuentre centrada y en el caso que tenga entalla colocarla de forma que el impacto se realice en la cara opuesta a la cara de la entalla.

10. Sujetar la ventanilla y simultáneamente liberar la bisagra para bajar la ventanilla. A PARTIR DE ESE MOMENTO NADIE PUEDE ESTAR EN LA ZONA QUE SE SEÑALA COMO PROHIBIDA HASTA QUE FINALICE LA CORRESPONDIENTE MEDIDA.

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En el ordenador:

11. En la ventana Control del ensayo , poner el nombre del fichero del ensayo. 12. En esa misma ventana ir a Ensayo y presionar Disparar Adquisición.

En el péndulo: ASEGURANDOSE QUE NADIE SE ENCUENTRA EN LA ZONA PROHIBIDA

13. Presionar el freno (4) , y quedarán de forma automática registrados en la ventana Análisis de Datos los resultados del ensayo.

En el ordenador:

14. Realizar el análisis de cada uno de los ensayos de acuerdo a lo que se pide en el apartado II .

PARA COMENZAR OTRO ENSAYO NUNCA FORZAR LAS OSCILACIONES DEL PÉNDULO PARA FRENARLO, DEJAR QUE SE AMORTIGÜEN LIBREMENTE LAS OSCILACIONES. ***************************************************************

Procesamiento de datos de la práctica del péndulo de Charpy

1. En la ventana Análisis de Datos ir a Fichero - Seleccionar plantilla (informe6.xls) y pulsar ABRIR.

2. Nuevamente en Fichero - Almacenar informe de ensayo, escribir el nombre del fichero que se guardará con extensión .xls y pulsar GUARDAR.

3. Abrir el Microsoft Excel y cargar el fichero donde aparecerán la curva Fuerza vs Tiempo y los resultados del ensayo

Fuerza máxima (Newton) Energía de impacto (Julios) Velocidad de impacto (m/s) Energía Absorbida (Julios) Ángulo inicial (grados) Ángulo final (grados)

4. Eliminar las líneas que están en blanco e imprimir los resultados.

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Laboratorio de Propiedades Mecánicas

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Estudio de composites con el programa MATTER

El programa MATTER

El programa MATTER es una enciclopedia de física de materiales. En este programa

se muestran muchos de los aspectos de la física de materiales de forma gráfica.

También incluye animaciones y simulaciones, que facilitan su comprensión. Además,

el programa propone cuestiones y problemas para que el alumno los resuelva. La

forma de manejar el programa es similar a cualquier navegador de internet. Mediante

el ratón se accede a distintas páginas con diferentes contenidos. El programa también

cuenta con un diccionario científico para indicar la definición de algunos términos.

Todo el programa está en inglés por lo que si algún alumn@ tiene dificultades con este

idioma, conviene que vaya acompañado de un diccionario inglés-español.

En esta práctica estudiaremos los capítulos dedicados a los compuestos. El objetivo

es utilizar el programa para comprender qué es lo que se define como compuesto, y

conocer algunas de sus propiedades mecánicas.

NOTA: Como ya se ha indicado, el programa tiene un temario muy amplio y puede ser

de gran ayuda para el estudio de la física de los materiales, por lo que se anima a los

alumnos a utilizarlo para estudiar cualquier asignatura en las que el programa sea útil.

Para ello no tienen mas que indicarle al profesor del laboratorio cuando quieren utilizar

el programa.

Realización de la práctica.

1-Estudiar los capítulos de propiedades mecánicas de los composites, pasando por

todas sus páginas, realizando los ejercicios y explorando sus posibilidades. Al final

deberá entregarse un resumen con la solución a las cuestiones que plantea el

programa (que aparecen con una letra “Q” en rojo) y que no se resuelven.

2- Si se realiza un resumen de la teoría estudiada con MATTER incidiendo en los

aspectos que le han resultado más interesantes, se valorará positivamente.

3-Si se utiliza alguna de las simulaciones que presenta el programa para realizar algún

cálculo o estudio, se valorará positivamente.

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Laboratorio de propiedades mecánicas. Ensayos de Tensión-Deformación

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ENSAYOS DE TENSIÓN-DEFORMACIÓN

Para la realización de ensayos de tensión-deformación se utilizará una máquina estática

conectada a un ordenador externo.

Antes de comenzar el ensayo es necesario que la máquina se encuentre en la posición 1

(posición de puesta en marcha).

Encender el ordenador y pinchar en el icono panel de control para acceder al programa

SCM3000 95, que es el sistema diseñado para la ejecución automática de ensayos sobre

máquinas estáticas.

La pantalla aparecerá dividida en 5 paneles:

En el panel Tipo de control seleccionamos Manual .

Posición

Control motor y movimiento Paneles Tipo de control

Mordazas

Parada deemergencia

Movimiento manual de las mordazas

Puesta en marcha

En servicio(verde)

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Laboratorio de propiedades mecánicas. Ensayos de Tensión-Deformación

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En el panel denominado Paneles seleccionamos General. Al activar este control

podemos configurar algunos parámetros:

o En Configuración movimiento podemos seleccionar como queremos que se mueva

la mordaza superior:

- Movimiento de la mordaza hacia arriba.

- Movimiento de la mordaza hacia abajo.

- El otro botón no se usa.

o En Variable de Control seleccionamos Posición. En Final de rampa escribir un

valor grande (p.ej. 505mm)

o Activamos el botón Joystick, esto nos da la posibilidad de mover manualmente las

mordazas. Para que se muevan hay que activar previamente el botón Motor.

o Colocamos la muestra en las mordazas. Las mordazas se pueden mover

manualmente utilizando el Joystick o bien automáticamente seleccionando el

movimiento de las mordazas en configuración de movimiento.

Una vez colocada la muestra debemos asegurarnos que el movimiento de la

mordaza es hacia arriba.

Si el último movimiento fue hacia abajo (tanto con el Joystick como

automáticamente) debemos cambiarlo en configuración de movimiento.

o En Sensibilidad de ruptura podemos seleccionar la sensibilidad en tantos por

ciento (%) respecto a la variable fuerza en cada momento. Es decir, si la fuerza

“cae” más allá de un % prefijado del valor actual, se detectará rotura y la máquina

se parará. (Posición habitual 50%)

En la parte inferior izquierda se encuentra el panel con el control del motor y

movimiento. Siempre que queramos que la máquina funcione tendremos que accionar el

botón Motor.

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Laboratorio de propiedades mecánicas. Ensayos de Tensión-Deformación

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En la parte superior derecha hay un panel que nos informa sobre la Posición de las

mordazas y la Fuerza.

En Fuerza pulsar el botón cero para poner la fuerza a cero. La Posición refleja la

distancia entre el transductor y la base, y dependerá del tamaño de la probeta que vamos a

romper.

INICIO DEL ENSAYO

En tipo de control pulsamos control manual.

En el Panel de adquisición aparecerá el nombre del ensayo de manera automática,

podemos cambiarlo escribiendo del recuadro.

Seleccionamos Autoescala y Activar Adquisición.

Posteriormente procedemos con la siguiente secuencia: Activar motor

Iniciar

Marcha

En la pantalla podemos observar cómo va variando la fuerza y la posición y también se va

dibujando la curva Tensión-Deformación.

Cuando se rompa la probeta detener la adquisición y parar el motor.

En el panel superior izquierdo nos aparecerá el gráfico del ensayo realizado. Pulsando el

botón cursores se pueden observar los datos relevantes del gráfico.

Para el análisis y tratamiento de los datos, salir del panel de control y pinchar en el icono

Tratamiento de Datos.

Adquisición

Autoescala

Ensayo Activar Adq

Posición

Transductor

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Laboratorio de propiedades mecánicas. Ensayos de Tensión-Deformación

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TRATAMIENTO DE DATOS

Seleccionar Elementos:

En Gráfico.

Pulsar el botón nuevo ensayo. Abrimos el archivo con el ensayo realizado. Nos

muestra el gráfico de nuestro ensayo con los datos finales.

Si no se ve el gráfico ir a configurar gráfico. Elegir colores (excepto el negro) para

las líneas del gráfico y comprobar que el ancho de trazado tiene seleccionado un

valor distinto de cero.

En el gráfico podemos superponer dos ensayos.

Exportar ensayo. Exporta el ensayo a un fichero ASCII.

En Opciones nos muestra el directorio destino C:\SMC3000 95\Exportar,

así como el Separador de columnas y Separador decimal. Por defecto tiene

; (punto y coma) como separador de columnas y , (coma) como separador

decimal.

Importante: Cuando importemos el archivo hay que comprobar que el

programa de gráfico (Excel, Origin) tenga los mismos signos como

separadores.

En Control de Proceso seleccionamos el archivo origen con extensión .dtg

y abrimos.

Pulsar exportar.

Al exportar convierte el ensayo en un archivo ASCII .

Elementos:

Datos tabulados. Seleccionamos nuestro archivo. Nos muestra una tabla con los datos.

Nota : Realizar el ensayo a una velocidad de 10 mm/min

Restar 250 mm a la columna de posición

Tomar el diámetro de los hilos

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Laboratorio de Propiedades Mecánicas

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Medida de constantes elásticas por medio de ultrasonidos

Introducción

Existen diversas técnicas para medir las constantes elásticas de los sólidos. Una de

estas técnicas consiste en estudiar la velocidad de propagación de ondas acústicas

dentro del sólido (que viene determinada por las constantes elásticas del sólido). La

figura 1 muestra esquemáticamente el método experimental utilizado para realizar las

medidas.

Mediante un generador de señales producimos un pulso eléctrico. A continuación, un

cristal piezoeléctrico convierte esta señal eléctrica en una señal acústica. Los pulsos

que se utilizan tienen frecuencias superiores al umbral de detección del oído humano

por lo que reciben el nombre de ultrasonidos. El cristal se acopla al sólido que se

desea estudiar, de forma que la señal acústica pasa a propagarse a través del mismo.

Para que la transmisión de la onda sea lo más efectiva posible, se utiliza una sustancia

de acople entre el piezoeléctrico y la muestra. La señal atraviesa el sólido y se refleja

parcialmente en su superficie, volviendo a la posición del piezoeléctrico y generando

una señal eléctrica. Posteriormente el pulso acústico se refleja parcialmente en la

superficie del sólido y se va atenuando a medida que viaja a través del mismo. Estas

señales son recogidas por un equipo de detección que nos permite observar en

pantalla los impulsos correspondientes a los “ecos” del pulso inicial. Para poder

determinar las constantes elásticas es necesario medir la velocidad de propagación

de las ondas longitudinales y transversales.

Figura 1: Esquema del método de medida de constantes elásticas mediante ultrasonidos.

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Laboratorio de Propiedades Mecánicas

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El objetivo de esta práctica es determinar experimentalmente la velocidad del sonido

en sólidos isótropos a temperatura ambiente utilizando está técnica de ultrasonidos.

Posteriormente se utilizarán los datos para calcular las constantes elásticas y las

temperatura de Debye de dichos materiales.

Equipo experimental

1-. Modulo de control

La figura 2 muestra el módulo de control que se utiliza para el experimento. Este

módulo tiene a su vez cuatro submódulos que se muestran en la figura 3.

El submódulo DTM12 (figura 3a) contiene la pantalla para visualizar los pulsos y la

pantalla digital para ver los resultados. También tiene algunos controles para

determinar el espesor de la muestra y las unidades de las medidas.

El submódulo Pulser/Receiver (figura 3b) es el que genera el pulso eléctrico que

utilizamos para producir los ultrasonidos. Además, este submódulo recibe la señal del

piezoeléctrico y la pasa a la pantalla del DTM12. Con este módulo controlamos la

frecuencia de los pulsos, su intensidad, etc. En la parte inferior tiene un conector con

la letra T (y un circulo negro) donde se conecta el piezoeléctrico.

En el submódulo Time Base (figura 3c) controlamos el ritmo de repetición de pulsos.

Por último, el submódulo Gates (figura 3d) nos permite seleccionar que “ecos”

queremos medir y dar algunas indicaciones al equipo sobre su intensidad y anchura.

Para ello, el módulo tiene dos “puertas” que son dos intervalos temporales sobre las

que se miden los pulsos. Las puertas se colocarán sobre los ecos que queremos

medir.

Figura 2. Modulo de control del sistema de medida de constantes elásticas

Page 15: muestra masa M brazo l soporte S H centro C

Laboratorio de Propiedades Mecánicas

3

2-.Piezoeléctricos

Disponemos de dos piezoeléctricos, uno para ondas longitudinales y otro para ondas

transversales (que tiene un punto rojo cerca de la superficie de contacto). Estos

cristales llevan incorporados los sensores necesarios y un cable para su conexión con

el módulo de control.

3. Muestras

Se disponen de muestras de Aluminio, Cobre y Hierro de distintos tamaños y

espesores.

Figura 3. Submódulos del equipo de control

d

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Laboratorio de Propiedades Mecánicas

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Método experimental

1. Conexión del modulo de control

Antes de encender el módulo comprobamos que todos los controles se encuentran en

su posición inicial, que es la que se indica en la figura 3. A continuación conectamos el

piezoeléctrico adecuado (longitudinal o transversal) al submódulo Pulser/Receiver

(conector T con el anillo negro)

2. Acople de la muestra

Lo primero que debemos hacer es medir el espesor de la muestra que vamos a

analizar. Una vez hecho esto, colocamos una película de la sustancia de acople

correspondiente sobre la muestra y situamos el piezoeléctrico sobre la misma. Para

las ondas longitudinales se usa como sustancia de acople el ZG-F y para las

transversales miel. Las muestras a analizar son sólidos policristalinos. Los defectos

como grietas, irregularidades en la superficie o grandes policristales pueden producir

dispersiones de los pulsos ultrasónicos. Por ello las muestras se han preparado

cuidadosamente y deben tratarse de igual manera. Es esencial que la superficie esté

muy limpia y que no se formen burbujas entre el piezoeléctrico y la muestra.

3. Ajuste de los controles

Utilizamos los controles 203 y 204 del submódulo Pulser/Receiver hasta que

visualicemos bien los ecos en la pantalla. También podemos cambiar el número de

ecos que vemos con los controles 304 y 305 del submolulo Time Base. Con el control

307 podemos desplazar los ecos para observarlos mejor.

A continuación comprobamos que el submódulo DTM 12 el control 701 indica “mm” el

711 “1-2” y el 712 “Sound path”.

Para colocar las puertas sobre los ecos que queremos utilizar para la medida,

comprobamos primero que el control 408 está en OFF. Veremos dos líneas

horizontales cortas sobre la pantalla que corresponden a las dos puertas. Para

modificar la anchura de la primera puerta, colocamos el control 416 en WIDTH 1. El

módulo DTM12 mostrará en la pantalla digital la anchura de la puerta 1. Para modificar

esta anchura pulsamos el control 410 (RESET) y manteniéndolo pulsado, subimos o

bajamos los controles 401 y 404 (el primero para el ajuste más rápido y el segundo

para el ajuste fino). Cuando tengamos seleccionada la anchura, pasamos el control

416 a la posición START 1 para colocar las puertas sobre los ecos que vamos a medir.

Pulsando 410 (RESET) y moviendo los controles 401 y 404 desplazamos la puerta

horizontalmente hasta situarla sobre el primer eco a medir. Por último fijamos el

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Laboratorio de Propiedades Mecánicas

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umbral para detectar el pulso. Para ello pasamos el control 416 a THRESH 1 y con los

controles 401 y 404 movemos la puerta verticalmente hasta situarla sobre el pulso

como muestra la figura 4.

Se coloca la puerta 2 sobre el segundo pulso que medimos. La forma de hacerlo es

análoga a la colocación e la puerta 1,salvo que en esta ocasión iremos colocando el

control 416 en WIDTH 2, START 2 y THRESHS 2.

Al finalizar pasamos el control 416 a su posición mas a la izquierda (girando en sentido

antihorario hasta el tope).

En el módulo DTM 12, el control 709 no debe lucir. Si así fuera, pulsamos la tecla ONE

SHOT.

4. Lectura de la medida

Presionamos a tecla MAT´L en el submódulo DTM12 y la soltamos. Posteriormente las

únicas teclas iluminadas deberán ser INC y DEC. En la pantalla aparece el espesor de

la muestra (en mm). Con las teclas INC y DEC modificamos este valor hasta que

aparezca en pantalla el espesor de la muestra que estamos midiendo.

Presionamos la tecla MAT’L y manteniéndola presionada podemos leer la velocidad

del sonido en Km/s.

Realización de la práctica

1. Obtener experimentalmente las velocidades de propagación del sónido en las

muestras de aluminio, cobre y hierro. Realizar varias medidas sobre cada muestra

para comprobar su reproducibilidad (con ondas longitudinales y transversales).

2. Calcular las constantes elásticas de las muestras así como el módulo de Young y el

módulo de compresibilidad.

3. A partir de los resultados obtenidos hallar la temperatura de Debye de los distintos

materiales.

Comparar los resultados experimentales con los valores tabulados en la bibliografía.

IMPORTANTE: Al terminar las medidas experimentales, se limpian las muestras

y los piezoeléctricos con acetona.

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Laboratorio de Propiedades Mecánicas

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Apéndice

La relación entre la velocidad del sonido y las constantes elásticas de un sólido viene

dada por las siguientes ecuaciones:

112 Cvl

442 Cvt

Donde lv y tv son las velocidades de propagación de las ondas acústicas lineal y

transversal respectivamente y la densidad del material.

Para un medio isótropo se cumple además 121144 21 CCC

El módulo de Young viene dado por:

4412

441244 23

CC

CCCY

y el módulo de compresión:

4412 3

2CCB

En los medios isótropos, sólo dos componentes del tensor de elasticidad (Cij) son

independientes. Reciben el nombre de coeficientes de Lamé y se nombran como

12C y 44C

Por último la temperatura de Debye de un sólido viene dada por:

333

33

24

9

tlB

D vvVK

Nh