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CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLÓGICO INDUSTRIAL Y DE SERVICIOS N° 12

A L G E B R A

G U I A D E L A L U M N O

ÁLGEBRA

1° S E M E S T R E

M.C. Oscar Villalpando Barragán Ing. Francisco J. Conchas Herrera

A G O S T O 2 0 1 6 - E N E R O 2 0 1 7

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A L G E B R A

1. Lenguaje algebraico, lenguaje común y notación algebraica

2. Grados de un término, monomio y polinomio

3. Valoración numérica de funciones y signos de operación.

4. Suma y resta de expresiones algebraicas

5. Multiplicación y división de expresiones algebraicas

6. Productos notables

7. Factorización

8. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.

9. Solución de problemas usando ecuaciones de primer grado con una incógnita

10. Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

11. Solución de problemas usando ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

12. Solución de problemas usando ecuaciones de primer grado con tres incógnitas

13. Ecuaciones de segundo grado completas e incompletas con una incógnita.

14. Solución de problemas usando ecuaciones de segundo grado completas.

15. Solución de problemas usando ecuaciones de segundo grado incompletas

16. Graficación de funciones

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1. Lenguaje algebraico, lenguaje común y notación algebraica

Cuestionario de diagnóstico No. 1 (15 minutos)

Contesta con tus propias palabras las siguientes preguntas.

1.- ¿Que entiendes por lenguaje algebraico?

2.- ¿Cómo escribirías matemáticamente El cuadrado de la diferencia del doble de un número y el cubo de otro?

3.- ¿Cómo escribirías usando un enunciado ?

4.- ¿Qué ventajas y desventajas tiene usar expresiones matemáticas por sobre el lenguaje que usas a diario?

5.- ¿Qué entiendes por coeficiente, variable, constante y exponente?

Conversión del lenguaje común a algebraico y viceversa

Para poder cambiar el lenguaje común, es decir el que utiliza palabras y con el que nos comunicamos con otros seres

humanos a diario, en otro más breve, manipulable y con el cual no necesitamos de palabras y por lo tanto de idiomas,

primero debemos identificar las operaciones aritméticas básicas y las palabras afines a ellos.

Signo de operación Palabras afines o sinónimos.

+ Suma, mas, mayor, agregar, adición, acumula, …

- Resta, diferencia, menos, menor, sustracción, …

X Por, veces, multiplicación, factor, producto, coeficiente, doble, triple, …

÷ División, entre, cociente, razón, fracción, medio, cuarto, tercera parte, semisuma, semi…

^ Exponente, potencia, elevado a, cuadrado, cubo,…

√ Raíz.

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Una diferencia entre el lenguaje común y el algebraico es que el lenguaje común se lee en la mayoría de los casos de

izquierda a derecha, mientras que el algebraico se lee desde “afuera” o desde las operaciones que afectan a la mayoría

de los elementos, en forma posterior se va particularizando en cada uno de los elementos. En igualdad de condiciones

de operaciones, nos referiremos primero al elemento a la izquierda y después el de la derecha.

Ejemplo: Convierte el siguiente enunciado en una expresión algebraica.

La suma del triple de un número más el doble de otro número distinto al cuadrado.

Procedimiento: Empezaremos a analizar y construir la expresión por partes, tomando los diferentes elementos del

enunciado.

Parte del enunciado Explicación Lenguaje algebraico

La suma significa que van a sumarse, al menos dos elementos _________ + _________

del triple de un número el triple es una multiplicación por 3 de una variable 3x + _____

más el doble de otro número distinto al cuadrado

Después del signo + se indica una multiplicación de 2 por otra variable elevada al cuadrado.

3x + 2y2

Ejemplo.- Convierta en lenguaje común la siguiente expresión algebraica.

Para realizar este procedimiento iniciaremos desde “afuera”, es decir desde la operación que describe o afecta a todos

los elementos de la expresión (cuadrado), después continuaremos con la descripción de lo que se encuentra dentro del

paréntesis (resta) y por último describiremos de izquierda a derecha los elementos que se restan.

Lenguaje algebraico Explicación Lenguaje común

El cuadrado afecta a todos los elementos El cuadrado

Dentro existe una resta de la diferencia

Describimos el elemento de la derecha Del doble de un número

Describimos el último elemento Y el cubo de otro número distinto.

Al conjuntar el enunciado nos queda:

El cuadrado de la diferencia del doble de un número y el cubo de otro número distinto.

Al hablar de lenguaje común existen varios sinónimos o formas más breves para hacer el enunciado como:

El cuadrado de la resta del doble de un número y el cubo de otro número distinto. (Usando un sinónimo)

El cuadrado de la diferencia del doble de un número y el cubo de otro. (Simplificando el enunciado)

Cualquiera de las respuestas anteriores es correcta, aunque existen muchas otras, la última por su brevedad es la más

usual.

Cuando se adquiere cierta habilidad ya no será necesario hacer tablas u otro tipo de ayudas, ya que el proceso se vuelve

algo mental y automático, para ello se debe ejercitar con la realización de diversos ejercicios.

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TAREA 1.- Observa los videos 1, 2, 3 y 4, y anota en este recuadro el ejercicio del video 2 y tres del video 4.

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Actividad extra clase 1.- Convierte las siguientes expresiones algebraicas en lenguaje común y viceversa en las

siguientes tablas.

Expresión Algebraica

Lenguaje común

2x3+xy

√

√

√

Lenguaje común Expresión Algebraica

La raíz cuadrada de la diferencia del triple de un número al cuadrado y el doble de otro elevado al cubo.

La semisuma del cuadrado de un número y el triple de otro.

El cociente de la suma del cuadrado de un número más dos entre la diferencia de otro número y tres.

El cociente del cuadrado de la diferencia de dos números entre su suma.

El triple del cuadrado de un número más el cuádruple del mismo al cubo.

El producto de la raíz cuadrada del doble de un número por la raíz cúbica del triple de otro.

Nota: Una vez resueltas las tablas en forma individual, se intercambiarán las guías con otro compañero para su revisión y

observaciones constructivas. (Coevaluación)

Notación algebraica

Expresión algebraica (definición).- Un grupo de números y letras combinadas entre sí mediante una o más operaciones

fundamentales recibe el nombre de expresión algebraica.

Ejemplos: 8x + 6ab, 5x +16x2, 16a2bx3 - 1/2

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Elementos de una expresión algebraica:

Números.- Dentro de una expresión algebraica la parte numérica es la primera que se escribe al inicio, cada número

tiene su signo positivo o negativo respectivo, el cual se escribe antes de él. En caso de ser el inicio de una expresión, si

no se coloca ningún signo se asume que el signo es positivo.

Constantes.- Las cantidades constantes están representadas por las primeras letras del abecedario y nos indican valores

que por lo general no cambian, como son: el valor de π (3.1415…), la aceleración de la gravedad (9.81), el número de

patas que tiene un arácnido, etc. Estas letras o literales se colocan después de los números y antes de las variables.

Variables.- Estos elementos se representan con las últimas letras del abecedario en matemáticas como: u, v, w, x, y, z,

aunque en algunas ciencias pueden usarse letras que recuerden el parámetro que representan, así en física se usa la v

para la velocidad, t para el tiempo, d para la distancia, etc. Las variables se colocan a la derecha o al final de cada

término.

Exponente o potencia.- Para no repetir en una expresión un mismo elemento varias veces, se utiliza el exponente o

potencia, este indica el número de veces que se debe multiplicar el elemento o base que se eleva, por ejemplo

podríamos escribir 6aabbbxxxx, pero es mejor anotarlo como 6a2b3x4

Ejemplo:

-26abx2

El elemento numérico o coeficiente es el número -26 y se coloca al inicio.

Las letras a y b son constantes y se colocan después de la parte numérica y antes de la(s) variable(s) y el 2 corresponde al

exponente de la variable.

Término (definición).- A la combinación de números y letras combinados mediante la operación de multiplicación o

división recibe el nombre de término. Por definición los términos no implican el uso de sumas o restas, en una expresión

algebraica estos signos separan a los grupos de número y letras, o sea términos.

Ejemplos: 8x, 6ab, 16x2, 16a2bx3

Monomio (definición).- Una expresión algebraica que contiene solamente multiplicaciones de números reales y

potencias enteras positivas de variables se llama monomio.

Ejemplos: 12ax, -6x3, 8acxy, -9cv

Binomio (definición).- Una expresión algebraica que contiene exactamente dos términos o monomios se denomina

binomio.

Ejemplos: 2ac + 3xy, b2 - 4ac, a2 – b2, +87x2 – 23cd

Trinomio (definición).- Una expresión algebraica que contiene exactamente tres términos o monomios se denomina

binomio.

Ejemplos: 2ac + 3xy -2x, b2 - 4ac + 16, a2 + b2 + c2, +87x2 – 23cd + 2y

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Polinomios (definición).- Por lo general cuando una expresión contiene varios monomios se le denomina polinomio,

aunque para el caso de los binomios y trinomios es mejor usar estos nombres y no el de polinomios, este es

especialmente útil para casos de expresiones con más de tres términos.

Actividad en el aula: Escribe de forma correcta, en base a las indicaciones anteriores las siguientes expresiones

algebraicas, observe la fila de ejemplo:

Elementos de la expresión algebraica en desorden

Elementos ordenados de la expresión algebraica

aaaxxb2yyy

-acy2xbbbaaaa

axy2xfyyf

- 8xxaaayy3 -24a3x2y2

TAREA 2.- Observa el video 5 y anota una expresión algebraica que inventes y señala con flechas cada uno de las

partes que se mencionan en el video.

Actividad extra clase 2.- Coloca en cada uno de los cuadros de la tabla siguiente lo que se solicita en cada encabezado,

utilice las primeras filas como ejemplos:

Expresión algebraica

Escriba la palabra monomio,

binomio, trinomio o polinomio

Escriba las partes numéricas de la

expresión.

Escriba las literales que representan

constantes en la expresión

Escriba las literales que representan

variables en la expresión

-2ac + 4cx binomio -2, 4 a, c x

9xy + 6ax -3c

-16ac2xy3

12 + 6c - 9dx + y

6x – 9ay + 24y3

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2. Grados de un término, monomio y polinomio

Grados de una expresión algebraica. El grado o potencia que tiene un término o expresión algebraica se puede obtener

en base a dos formas: Absoluta y relativa.

Grado en forma absoluta. – Para obtenerlo se suma los exponentes o potencias de la parte literal del término, para un

polinomio se toma el valor máximo que se obtuvo de un término.

Nota: Cuando no aparece un exponente en forma explícita o visible, este se considera como 1.

Ejemplo: Obtenga el grado en forma absoluta del monomio -16xy3.

Sumando los exponentes tenemos 1 + 3 = 4, es decir el grado absoluto es 4 o también se dice que la expresión es de

Cuarto grado.

Grado en forma relativa. – Para obtenerlo se debe indicar cuál es la variable a considerar. El exponente o potencia de la

variable considerada será el grado del término, para un polinomio se toma el valor máximo que se obtuvo de cualquier

término de la expresión.

Nota: Cuando no aparece un exponente en forma explícita o visible, este se considera como 1.

Ejemplo: Obtenga el grado en forma relativa del binomio -16xy3 + 4x2 respecto a la variable x.

El exponente mayor de la variable x está en el segundo término y es igual a 2, por lo que se dice que el grado relativo es

2 o también se dice que la expresión es de segundo grado respecto a x.

Actividad en el aula: Coloca en cada uno de los cuadros de la tabla siguiente lo que se solicita en cada encabezado.


Escriba el grado en forma absoluta de la expresión.

Escriba el grado en forma relativa respecto de x en la

expresión.

Escriba el grado en forma relativa respecto de y en la

expresión.

6x2y3

3x + 5y

7ax – 2xy + a

-9xy + 8x3y2 – 4x

12ay – 15x2y + 3b

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TAREA 3.- Observa el video 5b y anota en este recuadro los ejemplos sobre los grados de monomios que se

mencionan en el mismo.

Actividad extra clase 3.- Coloca en cada uno de los cuadros de la tabla siguiente lo que se solicita en cada encabezado.


Escriba el grado en forma absoluta de la expresión.

Escriba el grado en forma relativa respecto de x en la

expresión.

Escriba el grado en forma relativa respecto de y en la

expresión.

-2ac + 4cx

9xy + 6ax -3c

-16ac2xy3

12 + 6c - 9dx + y

6x – 9ay + 24y3

3. Valoración numérica y signos de operación

Signos. Los signos usados en álgebra se clasifican en: Signos de operación, Signos de relación y signos de agrupación.

Signos de operación.- Estos son iguales a los utilizados en aritmética, pero en álgebra se aplican no solo a los números

sino también a las literales (letras). Las operaciones básicas son: suma (+), resta (-), multiplicación (*,·, () o escribir en

forma consecutiva los elementos sin espacios) y división (/, ÷), en forma adicional se enuncian las operaciones de

potenciación (x^2 ó x2 )y radicación ( √ ).

Signos de relación.- estos nos indican cual elemento o miembro es mayor (>), menor (<), igual (=), diferente (<>, ≠ ) o

una combinación de algunos de los primeros (≥, ≤),en el presente curso usaremos principalmente el símbolo de

igualdad.

Signos de agrupación.- se utilizan para indicar el orden en que se deben realizar las operaciones, esto es especialmente

útil en el uso de calculadoras electrónicas y expresiones escritas como una línea de división. Los símbolos más usados

son paréntesis curvos o simplemente paréntesis (), los paréntesis rectos o corchetes [], los paréntesis de llave {}.

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Ejemplo. La expresión

la podemos escribir como (2*x^2+16*x)/(6*y-3) los paréntesis obligan a la calculadora a

realizar primero todas las operaciones del numerador y del denominador antes de hacer la división.

Valoración de funciones algebraicas. La valoración de funciones consiste en sustituir en el lugar que ocupa cada variable

o literal constante su valor, con lo cual reducimos el trabajo a un conjunto de operaciones aritméticas, obteniendo como

resultado final un número.

Para realizar estas operaciones en forma correcta debemos considerar si las realizaremos en una calculadora científica o

computadora, en una calculadora normal o a mano. En cualquier caso debemos recordar el orden en que se deben

realizar las operaciones en orden descendente.

Paréntesis (), operaciones de potenciación (x^2 ó x2) y radicación ( √ ), multiplicación (*) y división (/, ÷) y finalmente

las sumas (+) y restas (-).

Ejemplos.- Encuentre el valor de las siguientes funciones, dados los valores indicados.

6x – 9ay + 24y3 para x=2, a=4 y y=3.

Solución.- sustituimos cada literal por su valor. 6(2) – 9(4)(3) + 24(3)3

Realizamos ahora las operaciones en orden iniciando con la potencia. 6(2) – 9(4)(3) + 24(27)

Continuamos con las multiplicaciones. 12 – 108 + 648

Por último hacemos las sumas y restas 552

Para este caso pudimos escribir en la calculadora científica todas las operaciones de una sola vez y el resultado hubiera

sido el mismo, es decir: 6*2-9*4*3+24*3^3 = 552.

Ejemplo 2. Encuentre el valor de las siguientes funciones, dados los valores indicados.

para x=2, a=4 y y=3.

Solución.- sustituimos cada literal por su valor.

Realizamos ahora las operaciones en orden iniciando con la potencia.

Continuamos con las multiplicaciones.

Hacemos las sumas y restas del numerador y denominador

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Podemos dejarlo como fracción o transformarlo a decimal depende de lo solicitado 1.08333…

Si deseamos escribirlo en una calculadora científica sería: (2*2+3^2)/(8+4) = 1.08333… en este caso los paréntesis se

colocan antes de indicar las operaciones del numerador y el denominador para “obligar” a que las operaciones

superiores e inferiores se realicen antes de hacer la división.

Actividad en el aula: Encuentra el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes.

Expresión algebraica Valores de literales Resultado (incluir forma decimal)

5a2b a=3, b=1

√ b=4 y x=3

(x-3y)(x-7) x=4 y y =-3

x=2 y y=3

TAREA 4.- Observa los videos 6 y 7, y anota en este recuadro los ejercicios mostrados en los mismos.

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Actividad extra clase 4: Encuentra el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes.

Expresión algebraica Valores de literales Resultado (incluir forma decimal)

2a2bc3 a=2, b=3 y c=1

√ b=8 y x=2

a=1, b=2, x=3 y y=4

(x-3y)(x-7) x=3 y y =-1

X3-3x2+5x+7 x=-1

a=2 y b=1

√ a=9 y b =4

4. Suma y resta de expresiones algebraicas



1.- ¿En una suma algebraica puedes sumar una “x” con una “y”, si o no y porque?

2.- ¿Qué sucede con los exponentes de una misma literal cuando se multiplican?

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3.- ¿Qué sucede con los exponentes de una misma literal cuando se dividen?

4.- ¿Qué entiendes por producto notable?

5.- ¿Qué entiendes por factorización?

La suma y resta de dos o más expresiones algebraicas resultando en una sola consiste en sumar o restar los términos

semejantes, es decir los términos que tengan las mismas literales (constantes y variables), así como las potencias de

cada uno de ellos, en caso de que difieran, aunque sea por una literal, no se “unen”, sino que se escriben en forma

consecutiva.

Buscando ejemplificar en forma simple esta operación podemos pensar en el caso de que dos granjeros unan sus

diferentes animales en un solo espacio, así tenemos que se sumarán los animales, pero respetando su clase.

2 caballos, 8 vacas, 6 borregos, 12 cabras, 32 gallinas se reunirán a 12 vacas, 8 borregos, 14 cabras, 8 patos.

Para facilitar la suma se sugiere acomodar los elementos a reunir.

(2 caballos) + (8 vacas + 12 vacas) + (6 borregos + 8 borregos) + (12 cabras + 14 cabras) + (32 gallinas) + (8 patos)

(2 caballos) + (20 vacas) + (14 borregos) + (26 cabras) + (32 gallinas) + (8 patos)

Para hacer la suma o resta de expresiones algebraicas se siguen pasos similares: primero se sugiere acomodar los

términos siguiendo un criterio, por lo general en orden descendente del valor del exponente de la variable principal, en

seguida se acomodan los términos semejantes unos arriba de otros para posteriormente sumarlos o restarlos.

Ejemplo 1:

Realice la siguiente suma de expresiones algebraicas. (12+6x+14x2+x3) + (8x+12x2+8x3)

Ordenando los términos en orden de potencia descendente x3 +14x2 +6x +12

8x3 +12x2 +8x

Sumando los términos semejantes 9x3 +26x2 +14x +12

Resultado: 9x3 +26x2 +14x +12

Las sumas o restas pueden incluir número positivos, negativos, fracciónales, etc., pero el procedimiento general es el

mismo, ahora realizaremos un ejemplo con una mayor variedad de números.

Ejemplo 2:

Realice la siguiente suma de expresiones algebraicas. (¾ - ¼x - ½x2+ x3) + (½x + ¾x2+ ¼x3)

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Ordenando los términos en orden de potencia descendente x3 -½x2 -¼x +¾

¼x3 +¾x2 +½x

Sumando los términos semejantes 5/4 x3 +¼x2 +¼x +¾

Resultado: 5/4 x3 +¼x2 +¼x +¾

Para el caso de la resta se debe proceder de la misma manera, pero haciendo la sustracción mentalmente o cambiando

todos los signos de la expresión a restar.

Ejemplo 3:

Realice la siguiente resta de expresiones algebraicas. (12b - ¼ab - 6a2+ 2ab2) - (2b + ¾a2+ ¼ab2+3b2)

Ordenando los términos en orden de potencia descendente -6a2 +2ab2 -¼ab +12b

¾a2 + ¼ab2 +2b +3b2

Sumando los términos semejantes -27/4 a2 +7/4ab2 -¼ab +10b -3b2

Resultado: -27/4 a2 +7/4ab2 -¼ab +10b -3b2

TAREA 5.- Observa el video 8 y 9 y anota en este recuadro los ejercicios mostrados en los mismos.

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Actividad en el aula: Resuelve las siguientes sumas y restas de expresiones algebraicas.

Expresión 1 Expresión 2 Suma = Exp.1 + Exp. 2 Resta = Exp.1 - Exp. 2

6x + 3y +16 -y – 2x - 4

2b + 6c – a + 4b -5c -3b + 8a – 3c

-8x2 + 5x – 3y -6x2 – 7x + 9y

2/5x + 3/4y ½x – 4/6y

Actividad extra clase 5: Resuelve las siguientes sumas y restas de expresiones algebraicas colocadas en las primeras

columnas, colocando en las últimas columnas de la tabla las respuestas solicitadas.

Expresión 1 Expresión 2 Suma = Exp.1 + Exp. 2 Resta = Exp.1 - Exp. 2

3x + 2y +16 -5y – x - 9

2a2b + 5ab2-7ab 4ab2 –ab -6a2b

7x2 – 10xy -9y2 4y2 - 6xy + 2x2

2bc2 + 6b - ¾c2 ½bc2 - 2c2 + ½b

¾x2 – ½xy -¼y2 y2 - ¾xy + ¼x2

7x2 – 10xy -9y2 4y2 - 6xy + 2x2

5. Multiplicación y división de expresiones algebraicas

Multiplicación de monomios. Para realizar esta operación necesitamos recordar la lay de los signos (+)(-) = (-)(+) = (-) y

(+)(+) = (-)(-) = (+), así como el significado y orden de la notación de números y literales mencionada con anterioridad.

A continuación desglosaremos la multiplicación de algunos monomios y de ahí deduciremos algunas reglas a utilizar para

hacer de la multiplicación un proceso más automático.

Ejemplo 1.

Realice la multiplicación de ( 8b2x3 ) por (6b3x2).

Desarrollaremos los monomios anteriores ( 8bbxxx) (6bbbxx),

En seguida reuniremos los elementos comunes (8*6)(bb bbb)(xxx xx) = (48)(b5)(x5) = 48 b5x5

Por lo anterior podemos deducir que cuando se multiplican variables o constantes elevadas a una cierta potencia,

equivale a sumar sus exponentes. Los coeficientes se multiplican respetando la ley de los signos.

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Multiplicación de polinomios.- La multiplicación de polinomios es similar a las multiplicaciones algebraicas, donde se

ordenan los números, se multiplica cada uno de ellos por los elementos del otro factor y se finaliza sumando los

números de cada columna.

Como ejemplo de la multiplicación aritmética realizaremos el desglose del producto de 54 * 12.

Decenas Unidades.

5 4

* 1 2

2*5=10 2*4=8

1*5 =5 1*4=4

Equivale a …

Centenas Decenas Unidades.

1 0 8

5 4

6 4 8

Del ejemplo anterior podemos deducir que los pasos a seguir para realizar la multiplicación de polinomios será:

Ordenar los términos de acurdo a un criterio, por lo general descendente del exponente de la variable principal.

Multiplicar cada término por TODOS los términos de la otra expresión algebraica.

Acomodar y sumar los términos comunes de cada multiplicación del paso anterior.

Ejemplo 1. Realice la siguiente multiplicación de las expresiones (2 +3x – 2x2) (3x2 +6x)

-2x2 +3x +2 * 3x2 +6x

-12x3 +18x2 +12x -6x4 +9x3 +6x2

-6 x4 -3 x3 + 24 x2 + 12x

Ejemplo 2. Realiza la siguiente multiplicación (2 +3x – 2x2) (3x2 +6x)

Se realiza similar a la anterior nada más que esta en forma horizontal, los términos de un factor van a multiplicar a todos

los términos del factor contrario como se muestra a continuación.

( – 2x2 + 3x + 2) (3x2 + 6x) = -6x4 + 9x3 + 6x2

( – 2x2 + 3x + 2) (3x2 + 6x) = -6x4 + 9x3 + 6x2 - 12x3 + 18x2 + 12x

Como último paso reducimos términos semejantes y los ordenamos del exponente mayor al menor.

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-6x4 + 9x3 - 12x3 + 6x2 + 18x2 + 12x

-6x4 - 3x3 + 24x2 + 12x

Actividad en el aula: Resuelve las siguientes multiplicaciones de expresiones algebraicas colocadas en las primeras

columnas, colocando en la última columna de la tabla la respuesta solicitada.

Expresión 1 Expresión 2 Multiplicación = Exp.1 * Exp. 2

3x + 16 – x - 9

2a2 + 5a-7 +4 –a

-9y2 4y2 - 6xy + 2x2

2bc + ¾ ½b

¾x2 – ½xy -¼y2 - ¾x

7x2 – 10xy -9y2 4y2 - 6xy

TAREA 6.- Observa el video 10 y 11 y anota en este recuadro los ejercicios mostrados en los mismos.

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Actividad extra clase 6. Resuelve en casa las siguientes multiplicaciones y anota en el cuadro a la derecha la respuesta,

en clases posteriores se revisarán, socializarán y corregirán los resultados.

Expresión Resultado

1.- ( 3x3 – x2 )( -2x )

2.- ( ½a – 2/3a2 )( 3/5a2 )

3.- ( x + 3 )( x + 1 )

4.- ( x + 5 )( x – 2 )

5.- ( x – 4 )( x – 6 )

6.- ( 7x – 3 )( 2x + 4 )

7.- ( 4x + 6y )( 3x – 2y )

División de monomios. Para realizar la división de monomios, es decir las expresiones algebraicas más sencillas, se

desarrollarán las expresiones en el numerador y denominador para entender el porqué se hacen ciertas operaciones.

Ejemplo 1. Realice la división siguiente

:

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Solución. Desarrollando el numerador y denominador tenemos…

Agrupando los elementos que se encuentran tanto en el numerador como en el denominador

Como el numerador u denominador del segundo factor son iguales, podemos sustituir por 1.

Regresando a la notación con exponentes tenemos:

En forma breve podemos concluir que al dividir una misma literal es equivalente a restar sus exponentes.

=

División de un polinomio entre un monomio.- Cuando se tiene un polinomio entre un monomio, se repiten las acciones

para cada término.

Ejemplo 2. Realice la siguiente división: (x2y – 2xy2 + 4x) / x

Solución. Descomponiendo el numerador en tres términos.

Restando los exponentes de cada término tenemos… =

Recordando que cualquier variable o constante elevado a la potencia 0 es igual a 1 y que cuando se tiene un exponente

igual a 1 no se anota, nos queda el resultado siguiente.

División de polinomios.- Para realizar esta operación, haremos una analogía o similitud con la división aritmética,

después de lo cual recuperaremos los pasos a realizar, mismos que serán fáciles de recordar al paso del tiempo.

La división de 850 entre 25. Iniciando tomamos el número 8 para dividirlo entre el 25 y no nos alcanza, por lo que

tomamos el siguiente elemento para formar el 85 y al dividirlo toca a 3, este se multiplica por el 25 y nos da 75, esta

cantidad se resta del 85 resultando 10, bajando la siguiente cifra resulta 100 entre 25 nos toca de a 4, después de hacer

la nueva resta nos da 0. El resultado nos lo indica en la parte superior.

3 4

2 5 8 5 0

7 5

1 0 0

1 0 0

0

Del ejemplo anterior podemos deducir que los pasos a seguir para realizar la división de polinomios será:

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Ordenar los términos de acurdo a un criterio descendente del exponente de la variable principal tanto en el

dividendo como el divisor.

Dividir el primer término del dividendo entre el primero del divisor y colocando en la parte superior el resultado.

Multiplicar el término del cociente por el divisor y lo colocamos debajo del dividendo para realizar la resta.

Repetiremos las acciones hasta terminar con un residuo indivisible o cero.

Ejemplo 1. Realice la división de las siguientes expresiones algebraicas (x2 + 4x + 3) / (x + 1)

x +3

x +1 x2 +4x +3

x +3

x +1 x2 +4x +3

x2 +x

x +3

x +1 x2 +4x +3

x2 +x

0 +3x +3

x +3

x +1 x2 +4x +3

x2 +x

0 +3x +3

3x +3

0

Ejemplo 2.- Resuelve la siguiente división de polinomios. (28x2 – 30y2 -11xy) / (4x-5y)

La x2 se divide entre la x, el

resultado es de x y se coloca

en la parte superior.

La x se multiplica por x+1 y

el resultado se coloca en la

parte inferior.

+

+

Se restan los dos términos y

se baja el tercer término.

Se repiten las operaciones

de división, multiplicación y

resta.

+

22

7x +6y

4x -5y 28x2 -11xy -30y2

28x2 -35xy

0 +24xy -30y2

+24xy -30y2

0

Actividad en el aula: Resuelve las siguientes divisiones de expresiones algebraicas colocadas en las primeras columnas,

colocando en la última columna de la tabla la respuesta solicitada.


48x3y2 / 6x2y

60x5y – 5 a2x4 ÷ -5x3

10x2y – 5 x3y4+ 8xy3 ÷ 2xy

x2 + 7x + 12 ÷ x + 3

x2 + 3x – 10 ÷ x – 2

23

TAREA 7.- Observa el video 12 y 13, y anota en este recuadro los ejercicios mostrados en los mismos.

Actividad extra clase 7. Resuelve en casa las siguientes divisiones y anota en el cuadro a la derecha la respuesta, en

clases posteriores se revisarán, socializarán y corregirán los resultados.


1.- 12x5 / 4x3

2.- 36x2y / 9xy

4.- 3x2y3 – 15 a2x4 ÷ -3x2

24

6.- a2 + 2a - 3 ÷ a + 3

7.- m2 - 11m + 30 ÷ m - 6

8.-14x2 – 12 + 22x ÷ 7x - 3

6. Productos notables

Es un conjunto de reglas o “recetas” que se pueden utilizar en ciertas multiplicaciones de expresiones algebraicas,

principalmente binomios, resolviéndolas de manera mental y rápidamente. En caso de no recordar la regla o receta, se

puede efectuar la multiplicación de forma tradicional, con ello el resultado será el mismo.

1.- Suma de un binomio al cuadrado. Para deducir la regla a aplicar realizaremos una multiplicación normal y de ahí

obtendremos la regla.

a + b * a + b

+ab + b2 a2 +ab

a2 +2ab +b2 De lo anterior podemos deducir…

El primer término está al cuadrado.

Dos veces el producto del primer término por el segundo.

El segundo término está al cuadrado.

La regla será: “La suma de un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primer término más el doble producto del

primero por el segundo más el cuadrado del segundo término”.

Ejemplo 1.- Resuelva el siguiente binomio al cuadrado. (2x + 3)2

25

Solución.- El cuadrado del primer término (2x)2 = 4x2

más el doble producto del primero por el segundo +2(2x)(3) = + 12x

más el cuadrado del segundo término (3)2 = + 9

Resultado: 4x2 + 12x +9

Actividad en el aula: Resuelve los siguientes productos notables indicados en la primera columna, en cada una de las

columnas el término indicado en el título.

Suma de binomio al cuadrado.

El cuadrado del primer término

Más el doble producto del primero por el segundo

Más el cuadrado del segundo término

(3x + 16)2

RESULTADO

(2a2 + 5)2

RESULTADO

(9y2+x)2

RESULTADO

(2c + ¾)2

RESULTADO

(¾x2 + ½y)2

RESULTADO

TAREA 8.- Observa el video 14 y anota en este recuadro el algoritmo con los 2 ejercicios CON SIGNO POSITIVO

mostrado en el mismo.

26

Actividad extra clase 8. Resuelve en casa los siguientes productos notables de la suma del cuadrado de un binomio y

anota en el cuadro a la derecha la respuesta, en clases posteriores se revisarán, socializarán y corregirán los resultados.



Más el doble producto del primero por el segundo


1.- ( 6a + b )2

RESULTADO

2.- ( x + 3y )2

RESULTADO

3.- ( 4x + 5y )2

RESULTADO

4.- ( 8m + 9n )2

RESULTADO

5.- ( m4 + n2 )2

RESULTADO

6.- ( 4x3 + 6y5 )2

RESULTADO

7.- ( 7a2b + 5xy2 )2

RESULTADO

8.- (

)

RESULTADO

27

2.- Suma de un binomio al cuadrado. Para deducir la regla cuando el signo del segundo término es negativo repetiremos

los procedimientos antes usados para la suma.

a - b * a - b

-ab + b2 a2 -ab

a2 -2ab +b2 De lo anterior podemos deducir…

El primer término está al cuadrado (no cambia)

MENOS dos veces el producto del primer término por el segundo (conserva el signo del segundo término)

El segundo término está al cuadrado (no cambia)

La regla será: “La resta de un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primer término MENOS el doble producto

del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término”.

Ejemplo 1.- Resuelva el siguiente binomio al cuadrado. (½x2 - 4)2

Solución.- El cuadrado del primer término (½x2)2 = ¼x4

Menos el doble producto del primero por el segundo +2(½x2)(-4) = - 4x2

Más el cuadrado del segundo término (-4)2 = + 16

Resultado: ¼x4 - 4x2 + 16

Actividad en el aula: Resuelve los siguientes productos notables indicados en la primera columna, en cada una de las




Menos el doble producto del primero por el segundo


(7x - 16)2

RESULTADO

(5a2 - 5)2

RESULTADO

(7y2- t)2

RESULTADO

(2r - ¾)2

RESULTADO

28

(¾x2 - ½y)2

RESULTADO

(10x2 - 5x)2

RESULTADO

TAREA 9.- Observa el video 14 y anota en este recuadro los 2 ejercicios CON SIGNO NEGATIVO mostrados en el

mismo.

.

Actividad extra clase 9. Resuelve en casa los siguientes productos notables de la resta del cuadrado de un binomio y




Menos el doble producto del primero por el segundo


1.- ( 7y - x )2

RESULTADO

2.- ( m - 4y )2

RESULTADO

3.- ( 6x - 3y )2

RESULTADO

29

4.- ( 5a - 8b )2

RESULTADO

5.- ( 7m - 2n )2

RESULTADO

6.- ( x3 – y5 )2

RESULTADO

7.- ( 6x5 - 4y4 )2

RESULTADO

8.- (

)

RESULTADO

3.- Binomios conjugados.- Se denomina binomios conjugados a la combinación de una suma de binomio y una resta del

mismo binomio. Para deducir la regla realizaremos las mismas operaciones de los casos anteriores.

a + b * a - b

-ab - b2 a2 +ab

a2 - b2 De lo anterior podemos deducir…


Menos el segundo término está al cuadrado (desaparece el segundo término y cambia el signo del último)

La regla será: “El producto de binomios conjugados es igual al cuadrado del primer término MENOS el cuadrado del

segundo término”.

Ejemplo 3.- Resuelva el siguiente producto de binomios conjugados. (7x2 + 4y) (7x2 – 4y)

Solución.- El cuadrado del primer término (7x2)2 = 49x4

Menos el cuadrado del segundo término -(4)2 = - 16

Resultado: 49x4 - 16

Actividad en el aula: Resuelve los siguientes productos de binomios conjugados indicados en la primera columna,

colocando en cada una de las columnas el término indicado en el título.

30

Producto de binomios conjugados.

El cuadrado del primer término Menos el cuadrado del segundo término

(3x + 15) (3x - 15)

RESULTADO

(2c2 + 5) (2c2 - 5)

RESULTADO

(9y2+ t) (9y2- t)

RESULTADO

(2c + ¾)(2c - ¾)

RESULTADO

(¾x2 + ½z) (¾x2 - ½z)

RESULTADO

(7x2 + 3x) (7x2 - 3x)

RESULTADO

TAREA 10.- Observa el video 15 y anota en este recuadro los ejercicios mostrados en el mismo con el algoritmo.

31

Actividad extra clase 10. Resuelve en casa los siguientes productos notables de los binomios jugados y anota en el

cuadro a la derecha la respuesta, en clases posteriores se revisarán, socializarán y corregirán los resultados.


El cuadrado del primer término Menos el cuadrado del segundo término

1.- ( m + n )( m – n)

RESULTADO

2.- ( a + x )( a – x)

RESULTADO

3.- ( m - 9 )( m + 9)

RESULTADO

4.- ( 3x + 7 )( 3x – 7)

RESULTADO

5.- ( x - 6 )( x + 6)

RESULTADO

6.- ( 2a + 8 )( 2a – 8)

RESULTADO

32

7.- ( 4m - 5n )( 4m + 5n)

RESULTADO

8.- ( 7x + 3y )( 7x – 3y)

RESULTADO

9.- ( x3 – y5 ) ( x3 + y5 )

RESULTADO

10.- (6x4 – 8y2) (6x4 + 8y2)

RESULTADO

4.- Producto de binomios con término común.- Se denomina binomios con término común a los del tipo (x+a) (x+b)

donde el primer término es igual en ambos binomios y tiene coeficiente igual a uno. Para deducir la regla realizaremos

las mismas operaciones de los casos anteriores.

x + a * x + b

+bx + ab x2 +ax

x2 +(a+b)x - ab De lo anterior podemos deducir…


Más la suma de los segundos términos por el primero. (el signo depende de la suma de los segundos términos)

Más o menos el producto de los segundos términos (el signo depende de la ley de signos)

La regla será: “El producto de binomios con término común es igual al cuadrado del primer término más el producto

del primer término por la suma de los segundos términos más el producto de los segundos términos”.

Ejemplo 4.- Resuelva el siguiente producto de binomios con término común. (x2 + 4) (x2 + 3)

Solución.- El cuadrado del primer término (x2)2 = x4

Más el producto del primer término por la suma de los segundos términos (x2)(+4+3) = +7x2

Más o menos el producto de los segundos términos +(4*3) = +12

Resultado: x4 +7x2 + 12

Actividad en el aula: Resuelve los siguientes productos de binomios con término común, colocando en cada una de las


33

Producto de binomios con término común.


Más o menos el producto del termino común por la suma de los términos no

comunes

Más o menos el producto de los términos no comunes

(x + 5) (x - 10)

RESULTADO

(c2 - 15) (c2 - 5)

RESULTADO

(y2+ t) (y2- 2t)

RESULTADO

(c + ¾)(c - ½)

RESULTADO

(x2 + ½z) (x2 - 4z)

RESULTADO

(x2 + 3x) (x2 - 6x)

RESULTADO


34

Actividad extra clase 11 . Resuelve en casa los siguientes productos notables de los binomios con un término común y




Más el producto del primer término por la suma de los segundos términos

Más o menos el producto de los segundos términos

1.- ( m + 5 )( m + 8 )

RESULTADO

2.- ( a + 6 )( a – 3 )

RESULTADO

3.- ( x - 9 )( x + 4 )

RESULTADO

4.- ( x + 7 )( x – 10 )

RESULTADO

5.- ( x – 12 )( x – 20 )

RESULTADO

6.- ( a + 8 )( a + 2 )

RESULTADO

7.- ( m + 11 )( m + 15 )

RESULTADO

8.- ( x – 3 )( x – 13 )

RESULTADO

9.- ( x – 4 ) ( x – 7 )

RESULTADO

10.- ( x – 5 ) ( x + 18 )

RESULTADO

35

5.- Producto de un binomio al cubo.- para elevar un binomio al cubo, primero elevamos al cuadrado el binomio y

después el producto se vuelve a multiplicar por el binomio nuevamente.

a + b * a + b

+ab + b2 a2 +ab

a2 +2ab +b2 * a + b

+a2b +2ab2 + b3 a3 +2a2b +ab2

a3 +3a2b +3ab2 +b3

De lo anterior podemos deducir…

El primer término está elevado al cubo.

Más el triple del producto del cuadrado del primero por el segundo.

Más el triple del producto del primero por el cuadrado del segundo.

Más el cubo del segundo término.

La regla será: “Un binomio elevado al cubo es igual al cubo del primer término más el triple producto del cuadrado del

primer término por el segundo más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo más el cubo del

segundo término”.

Ejemplo 5.- Resuelva el siguiente producto de binomios con término común. (x2 + 2)3

Solución.- El cubo del primer término (x2)3 = x6

Más el triple producto del cuadrado del primer término por segundo 3(x2)2(2) = +6x4

Más el triple producto del primer término por el cuadrado segundo 3(x2) (2) 2 = +12x2

El cubo del segundo término (2)3 = 8

Resultado: x6 + 6x4 +12x2 + 8

Actividad en el aula: Resuelve los siguientes productos notables de suma de binomios al cubo, colocando en cada una

de las columnas el término indicado en el título.

Suma de binomios al cubo.

El cubo del primer término

Más el triple producto del cuadrado del primer término por segundo

Más el triple producto del primer término por el

cuadrado segundo

El cubo del segundo término

(x + 5)3

RESULTADO

36

(c2 + 15)3

RESULTADO

(y2+ t)3

RESULTADO

(c + ½)3

RESULTADO

(x2 + ½z)3

RESULTADO


37

Actividad extra clase 12. Resuelve en casa los siguientes productos notables de la suma de un binomio al cubo y anota

en el cuadro a la derecha la respuesta, en clases posteriores se revisarán, socializarán y corregirán los resultados.


El cubo del primer término

Más el triple producto del cuadrado del primer término por segundo

Más el triple producto del primer término por el

cuadrado segundo

El cubo del segundo término

1.- ( a + b )3

RESULTADO

2.- ( 6a + b )3

RESULTADO

3.- ( x + 3y )3

RESULTADO

4.- ( 4x + 5y )3

RESULTADO

5.- ( 2a + 7b )3

RESULTADO

6.- ( 8m + 9n )3

RESULTADO

7.- ( m4 + n2 )3

RESULTADO

8.- ( 4x3 + 6y5 )3

RESULTADO

9.- ( m + n )3

RESULTADO

10.- ( 7x + 5y )3

RESULTADO

38

7. Factorización.

La factorización es el conjunto de operaciones que se realizan para encontrar las expresiones algebraicas, las cuales al

multiplicarse (factores) dan como resultado la expresión original.

1.- Factorización de un trinomio cuadrado perfecto. (Caso 1. Todos los términos positivos)- Estos trinomios son el

resultado de la suma de un binomio al cuadrado. El primer paso que debemos hacer es verificar que se trate

efectivamente de un trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo.- Factoriza la siguiente expresión 9x2+24x +16

Las operaciones sugeridas son:

Obtener la raíz cuadrada del primer término √ = 3x

Obtener la raíz cuadrada del tercer término √ = 4

Verificar el segundo término con el doble producto de los dos términos anteriores

2(3x)(4) = +24x sí es igual al segundo término, por lo tanto es un trinomio cuadrado perfecto.

Una vez verificado lo anterior, escribimos la respuesta = (3x+4)2

Actividad en el aula: Resuelve las siguientes factorización de trinomios cuadrados perfectos, colocando en cada una de

las columnas el término indicado en el título.

Trinomio a factorizar. Raíz cuadrada del

primer término Raíz cuadrada del

tercer término El doble producto de las dos

columnas anteriores

¿Es igual la columna anterior al segundo

término?

25x2+70x+49 √ √ 2(5x)(7)=70x Sí

RESULTADO (5x+7)2

c2 +30c+225

RESULTADO

4y2+12yt+9t2

RESULTADO

c2 +c+¼

RESULTADO

4x2 +2xz+¼z2

RESULTADO

39

TAREA 13.- Observa los video 19 y 20, y anota en este recuadro los ejercicios CON SIGNO POSITIVO mostrados en los

mismos con el recordatorio.

Actividad extra clase 13. Resuelve en casa los siguientes factorizaciones siguientes sobre trinomios cuadrados perfectos

(donde el primer término es positivo) y anota en el cuadro a la derecha la respuesta, en clases posteriores se revisarán,

socializarán y corregirán los resultados.

Trinomio a factorizar Raíz cuadrada del

primer término Raíz cuadrada del

tercer término El doble producto de las dos

columnas anteriores

¿La columna anterior es igual al segundo

término?

1) m2 + 6m + 9

RESULTADO

2) x2 + 18x + 81

RESULTADO

40

3) 36a2 + 12ab + b2

RESULTADO

4) 49x2 + 154x + 121

RESULTADO

5) 4x2 + 12xy + 9y2

RESULTADO

6) 16a2 + 72ab + 81b2

RESULTADO

7) 9x2 + 6x + 1

RESULTADO

8) 16a2 + 40ab + 25b2

RESULTADO

2.- Factorización de un trinomio cuadrado perfecto. (Caso 1. Segundo término es negativo)- Estos trinomios son el

resultado de la RESTA de un binomio al cuadrado. Los pasos son similares al anterior, pero la segunda raíz será de signo

negativo.

Ejemplo.- Factoriza la siguiente expresión 36x2-96x +64



Obtener la raíz cuadrada del tercer término √ (usar signo negativo) = - 8

Verificar el segundo término con el doble producto de los dos términos anteriores

2(6x)(-8) = -96x. Sí es igual al segundo término, por lo tanto es un trinomio cuadrado perfecto.

Una vez verificado lo anterior, escribimos la respuesta = (6x - 8)2


las columnas el término indicado en el título, utilice las primeras filas como ejemplos.

41

Trinomio a factorizar. Raíz cuadrada del

primer término

Raíz cuadrada del tercer término

(signo negativo)

El doble producto de las dos columnas anteriores

¿La columna anterior es igual al segundo término?

81x2-72x+16 √ √ 2(9x)(4)=72x Sí

RESULTADO (9x-4)2

4c2 -36c+81

RESULTADO

9y2-30yt+25t2

RESULTADO

c2/4 –c/4+1/16

RESULTADO

x2/25 –xz/5+¼z2

RESULTADO

TAREA 14.- Observa los video 19 y 20, y anota en este recuadro los ejercicios CON SIGNO NEGATIVO mostrados en los

mismos.

42

Actividad extra clase 14. Resuelve en casa los siguientes factorizaciones siguientes sobre trinomios cuadrados perfectos

(donde el segundo término es negativo) y anota en el cuadro a la derecha la respuesta, en clases posteriores se

revisarán, socializarán y corregirán los resultados.

Trinomio a factorizar Raíz cuadrada del primer término

Raíz cuadrada del tercer término

(signo negativo)

El doble producto de las dos columnas anteriores

¿La columna anterior es igual al segundo

término?

1) a2 - 6a + 9

RESULTADO

2) x2 - 14x + 49

RESULTADO

3) 81 - 18a + a2

RESULTADO

4) 4a2 – 12ab + 9b2

RESULTADO

5) 16a2x2 – 8ax + 1

RESULTADO

6) x4 - 2x2 + 1

RESULTADO

7) a6 – 2a3b3 + b6

RESULTADO

43

3.- Factorización de una diferencia de cuadrados. - Estos binomios son el resultado de la multiplicación de binomios

conjugados. Es el caso más sencillo de factorizar, ya que solo se obtienen las raíces cuadradas de los dos términos y se

hace la combinación de signos en los segundos términos de los factores.

NOTA: Al obtener la raíz cuadrada del segundo término NO SE TOMA EN CUENTA EL SIGNO NEGATIVO.

Ejemplo.- Factoriza la siguiente expresión 121x2- 144



Obtener la raíz cuadrada del tercer término √ (no usar signo negativo) = 12

La respuesta es = (11x + 12) (11x - 12)


las columnas el término indicado en el título, utilice las primeras filas como ejemplos.


Raíz cuadrada del primer término

Raíz cuadrada del segundo término

(SIN signo negativo)

RESPUESTA

25x2- 16 √ √ (5x+4)(5x-4)

36c2 - 81

49y2- 25t2

c2/25 – 1/9

x2/16 – ¼z2

TAREA 15.- Observa los videos 21 y 22, y anota en este recuadro los ejercicios mostrados en los mismos.

44

Actividad extra clase 15. Resuelve en casa los siguientes factorizaciones siguientes sobre diferencia de cuadrados y




Raíz cuadrada del segundo término

(SIN signo negativo)

RESPUESTA

1) x6- 36

2) 4x10- 16y4

3) x2- 25y2

4) 144x4- 81y6

5) 121x10- 49y6

6) 625x6- 324y8

7) x4/49 – y4/81

8) 9/x6 - 16/ y8

4.- Factorización de un trinomio cuadrado NO perfecto. – Cuando un trinomio cuadrado no cumple con la condición de

ser perfecto, podemos intentar descomponerlo en dos binomios con término común. En ambos binomios el primer

término es la raíz cuadrada del trinomio original y los segundos términos serán aquellos que sumados sean el coeficiente

del segundo término del trinomio y su producto sea igual al tercer término de trinomio original.

45

Ejemplo.- Factoriza la siguiente expresión x2+9x+18


Obtener la raíz cuadrada del primer término √ = x

Obtener dos números que sumados nos den = 9 6+3=9

Comprobar que los números anteriores si se multiplican nos den = 18 6*3=18

NOTA: Si cumple la comprobación la factorización esta correcta, si NO se cumple la condición

anterior debemos buscar otra pareja de números.

La respuesta es = (x + 6) (x + 3)

Actividad en el aula: Resuelve las siguientes factorización de trinomios cuadrados NO perfectos, colocando en cada una

de las columnas el término indicado en el título.



Dos números que sumados nos el coeficiente del segundo término.

Dos números que multiplicados nos da el tercer término.

x2- 2x - 24

RESULTADO

c2 +12c+27

RESULTADO

y2+yt- 20t2

RESULTADO

c2 + 8c – 20

RESULTADO

x2 + 12xz+32z2

RESULTADO

NOTA: Este método es útil cuando trabajamos con números enteros o fracciones fáciles de sumar y multiplicar, para

otros casos es recomendable usar la fórmula general para ecuaciones cuadráticas.

46

TAREA 16.- Observa los video 23 y 24, y anota en este recuadro los ejercicios mostrados en los mismos.

Actividad extra clase 16. Resuelve en casa los siguientes factorizaciones sobre trinomios con término común y anota en

el cuadro a la derecha la respuesta, en clases posteriores se revisarán, socializarán y corregirán los resultados.



Dos números que sumados nos el coeficiente del segundo término.

Dos números que multiplicados nos da el tercer término.

1) x2 + 3x - 10

RESULTADO

2) x2 - 5x + 6

RESULTADO

47

3) x2 - 9x + 20

RESULTADO

4) a2 – 6a – 40

RESULTADO

5) x2 – 5x – 36

RESULTADO

6) a2 + 13a + 30

RESULTADO

7) m2 + m – 132

RESULTADO

5.- Factorización de un polinomio cúbico perfecto. (Caso 1. Todos los términos son positivos)- Estos polinomios de

cuatro términos son el resultado de la suma de un binomio al cubo.

Ejemplo.- Factoriza la siguiente expresión 27x3 +54x2+36x +8



Obtener la raíz cuadrada del cuarto término √ = 2

Comprobar el segundo y tercer término con los dos términos anteriores

o Para el segundo factor multiplicar el triple producto del cuadrado del primer término por

el segundo 3(3x)2(2) = 54x2

o Para el tercer factor multiplicar el triple producto del primer término por el cuadrado del

segundo 3(3x)(2)2 = 36x

NOTA: Si cumple la comprobación la factorización esta correcta, si NO se cumple la condición

anterior debemos buscar otra pareja de números.

La respuesta es = (3x + 2)3

Actividad en el aula: Factoriza los siguientes polinomios cúbicos colocando en cada una de las columnas el término

indicado en el título.

48

Polinomio a factorizar Raíz cúbica del primer término

Raíz cúbica del cuarto término

Comprobación

El triple producto del cuadrado de la primera columna por la segunda

El triple producto de la primera columna por el cuadrado de la segunda

1) x3 + 3x2 + 3x + 1

RESULTADO

2) x3 + 15x2 + 75x + 125

RESULTADO

3) x3 - 6x2 + 12x – 8

RESULTADO

4) x3 - 9x2 + 27x – 27

RESULTADO

5) 125x3 + 75x2 + 15x + 1

RESULTADO

TAREA 17.- Observa el video 25b, y anota en este recuadro los ejercicios mostrados en el mismo.

49

Actividad extra clase 17. Factoriza los siguientes polinomios cúbicos colocando en cada una de las columnas el término

indicado en el título.

Polinomio a factorizar Raíz cuadrada

del primer término

Raíz cuadrada del cuarto término

Comprobación

El triple producto del cuadrado del primer

término por el segundo

El triple producto del primer término por el cuadrado del segundo

1) 27x3 + 162x2 + 324x + 216

RESULTADO

2) 27a3 – 243a

2b + 729ab

2 – 729b

3

RESULTADO

3) 64x3+240x2y+300xy2 + 125y3

RESULTADO

4) 8a3 – 36a2b + 54ab2 – 27b3

RESULTADO

5) 216x3+216x2y+72xy2 + 8y3

RESULTADO

8. Ecuaciones de primer grado con una incógnita



1.- ¿Que entiendes por ecuación?

2.- ¿Qué entiendes por grado de una ecuación?

50

3.- ¿Qué entiendes por un sistema de ecuaciones 2x2?

4.- ¿Qué entiendes por un sistema de ecuaciones 3x3?

5.- ¿Qué métodos conoces para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas?

Las ecuaciones son declaraciones matemáticas que establecen que una expresión es igual a otra, para separarlas se usa

el símbolo de igualdad (=), a cada expresión de un lado del símbolo igual se le denomina miembro. Al referirse al

miembro de la izquierda o el primer miembro se refiere a la expresión que está a la izquierda del símbolo igual (=), de la

misma forma el miembro de la derecha o segundo miembro es la expresión que se encuentra después del símbolo igual.

Ejemplo:

2x+6x = 9x+14 Primer miembro o

Miembro de la izquierda Segundo miembro o

Miembro de la derecha

Operaciones válidas en ecuaciones.- Si a cada uno de los miembros de la ecuación se multiplica o divide por el mismo

número, la condición de igualdad se conserva, de la misma forma si se le suma o resta un mismo número a cada

miembro de la ecuación, también se conserva la igualdad. Lo anterior lo podemos demostrar usando números.

Ejemplos:

2+6 = 9-1 Multiplicando por 2 Multiplicando por 2

2(2+6) = 2(9-1)

16 16

2+6 = 9-1 Sumando 2 Sumando 2

2+(2+6) = 2+(9-1)

10 10

51

Con los ejemplos anteriores podemos comprobar que las cuatro operaciones básicas NO afectan a las ecuaciones,

mientras se realice la misma operación en ambos miembros.

Solución de ecuaciones.- Se le denomina solución de una ecuación al conjunto de pasos que se realizan para conocer el

valor que tiene una variable, por lo general, se busca que todos los términos que contenga a la variable estén el

miembro de la derecha, mientras que los números o constantes se encuentren en el miembro de la derecha. Al final del

proceso se debe tener el miembro de la derecha LA VARIABLE SOLA, mientras que en el miembro de la derecha se deben

tener un valor, el cual puede o no contener constantes.

Ejemplo.- Encuentre el valor que tiene la variable x en la siguiente ecuación: 2x + 6 = 3x + 3

Solución: Restaremos de ambos miembros el número 6. 2x + 6 -6 = 3x + 3 -6

Realizando las operaciones indicadas. 2x = 3x -3

Restando en ambos miembros -3x. 2x -3x = 3x -3 -3x

Realizando las operaciones indicadas. -x = -3

Multiplicando por -1 ambos miembros. x = 3

Comprobación.- Para saber si el resultado es correcto se sustituye en la ecuación original en lugar de la variable x, su

valor (3), se efectúan las operaciones y nos debe dar el mismo número de ambos en ambos miembros.

Sustituyendo x por 3. 2(3) + 6 = 3(3) + 3

Realizando las multiplicaciones 6 + 6 = 9 + 3

Realizando las sumas 12 = 12 Respuesta correcta.

Actividad en el aula: Encuentra el valor de la incógnita de las ecuaciones de primer grado.

y – 5 = 3y – 25 5x + 6 = 10x + 5

52

x – (2x + 1) = 8 – (3x + 3) x + 3(x – 1) = 6 – 4(2x + 3)

TAREA 18: Observa los videos 29 y 32, y anota los ejercicios que aparecen en los mismos.

53

Actividad extra clase 18: Encuentra el valor de la incógnita de las ecuaciones de primer grado.

8x – 4 + 3x = 7x + x + 14 8x + 9 – 12x = 4x – 12 – 5x

15x +(-6x + 5) – 2 – (-x + 3) = -(7x + 23) –x +(3- 2x) 3x +[-5x –(x + 3)] = 8x +(-5x – 9)

5(x – 1) + 16(2x + 3) = 3(2x – 7) – x 2(3x + 3)- 4(5x – 3) = 1(x – 3x) -1(x + 5x)

54

9. Solución de problemas usando ecuaciones de primer grado con una incógnita

Interpretación algebraica de enunciados.- Los problemas algebraicos por lo general no están expresados como una

ecuación, sino como un problema o enunciado, el cual debemos entender y convertir en una ecuación. No existen reglas

únicas para realizar esto, solo repasar las acciones de conversión de lenguaje común en algebraico.

A continuación se exponen varios ejemplos con sus explicaciones para aclarar el proceso de interpretación y solución de

los distintos problemas.

Ejemplo 1.- La suma de las edades de Ana y Bertha es de 84 años y Bertha es 8 años menor que Ana, encuentra sus

edades.

X = edad de Ana

X – 8 = edad de Bertha, se le restan 8 años de debido a que es menor que Ana

X + (X – 8) = 84 Porque el problema dice que la suma de edades es de 84 años.

X + X = 84 + 8 Sumando 8 a cada miembro tenemos que..

2X = 92 Realizando las sumas.

X = 92/ 2 Dividiendo entre 2 ambos miembros.

X = 46 Solución. La edad de Ana (x) es de 46 años.

La edad de Bertha X – 8 = 46 – 8 = 38 años.

Ejemplo 2.- La suma de los pesos de dos caballos es de 540 y su diferencia es de 52, encuentra el peso de cada caballo.

X = peso mayor

X – 52 = peso menor, se le restan 52 kilos porque es la diferencia

X + (X – 52) = 540 Porque el enunciado dice que la suma de los pesos es de 540 kg.

2X = 592 Sumando a cada miembro 52 tenemos que …

X = 592/2 Dividiendo entre 2 ambos miembros

X = 296 Solución, el caballo más pesado (x) pesa 296 kg.

El peso del caballo más ligero es X – 52 = 296 – 52 = 244 Kg.

Ejemplo 3.- Tres cajas contienen 575 manzanas, la primera caja tiene 10 manzanas más que la segunda y 15 más que la tercera, cuantas manzanas hay en cada caja.

X = primera caja

X – 10 = segunda caja Para que cumpla que la primera tiene 10 más que la segunda.

X – 15 = tercera caja Para que cumpla que la primera tiene 15 más que la tercera.

(X) +( X – 10) +( X – 15) = 575 Porque la suma de todas las cajas son 575 manzanas.

3X-25+25 = 575+25 Realizando las sumas y sumando 25 en cada miembro.

X = 600/3 Dividiendo entre tres cada miembro.

X = 200 La primera caja tiene 200 manzanas,

La segunda X – 10 = 200 – 10 = 190 manzanas

*La tercera X – 15 = 200 – 15 = 185 manzanas

55

Actividad en el aula: Resuelve los siguientes problemas que involucran una ecuación con una sola variable, colocando en

cada una de las columnas lo indicado en el título.

1.- La edad de Jesús es el doble que la de Luis y ambas edades suman 30 años, qué edad tiene cada uno.

Edad de Jesús = Edad de Luis =

2.- Un hacendado ha comprado el doble de vacas que de toros, por cada vaca pago $70 y por cada toro $85, si el

importe total fue de $2700, ¿cuantas vacas y toros compró?..

Costo vacas = Costo toros =

3.- Compre una revista, una pelota y una camiseta por $350, la pelota costo el triple que la revista, y la camiseta el doble de lo que costó la pelota, encuentra el costo de cada artículo.

Costo revista = Costo pelota = Costo camiseta =

TAREA 19: Observa los videos 30 y 31, y anota en este recuadro UNO de los ejercicios mostrados en cada video.

56

Actividad extra clase 19: Resuelve en casa los siguientes problemas, colocando en los espacios el resultado que se

solicita, en clases posteriores se revisarán, socializarán y corregirán los resultados.

1.- La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8, encuentra el valor de ambos números.

Número mayor= Número menor=

2.- La suma de las edades de Raúl y Felipe es de 36 años y Raúl es 6 años mayor que Felipe.

Edad de Raúl= Edad de Felipe=

3.- Tres cajas contienen 200 canicas, la primera excede a la segunda con 32 y a la tercera con 65, que cantidad de canicas tiene cada caja.

Primera caja = Segunda caja = Tercera caja =

4.- La edad de Pedro es el triple que la de Juan y ambas suman 48 años, ¿qué edad tiene cada uno?

Edad de Pedro= Edad de Juan=

5.- Compre una gorra, un pants y unos tenis, los tenis costaron el triple que la gorra y los pants costaron el doble que la gorra, cual es el precio de cada artículo, si pague $720.

Gorra = Pants = Tenis =

57

6.- Fernando compro el triple de plumas que de lápices y le cobraron $144 en total, cuantas plumas y lápices compro si

cada pluma costo $5 y cada lápiz $3.

Numero de plumas= Numero de lápices=

10. Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

Para resolver problemas que contienen dos incógnitas, se necesita no una sino dos ecuaciones, a estas se les denomina

sistema de ecuaciones, las cuales debemos unir en una sola, existen varios métodos para resolver estos sistemas como

son: sumas y restas, sustitución, determinantes o matrices. Para nuestro caso usaremos el primer método mencionado.

Método de sumas y restas. - Este método consiste en lograr que los coeficientes de cualquiera de las variables de

ambas ecuaciones sean iguales, si son del mismo signo usaremos una resta, si tienen signos distintos usaremos la suma.

Al realizar la suma o resta logramos que una de las variables desaparezca y tendremos una ecuación con una incógnita,

las cuales resolvimos ampliamente en el tema anterior.

Ejemplo.- Encuentre el valor de “x” y “y” en el siguiente sistema de ecuaciones. 2x + 3y = 22, x + 4y = 26.

x +4y = 26 Para lograr que el coeficiente de la x sea igual al de la sig. Ecuación la multiplicamos por 2

2x +3y = 22

2x +8y = 52 Le cambiamos de signo a una ecuación para realizar la operación de suma y resta

2x +3y = 22

2x +8y = 52

-2x -3y = -22

0 +5y = 30 Restando las dos ecuaciones nos resulta.

y = 6 Dividiendo entre 5 cada miembro. Solución y=6.

x +4(6) = 26 Sustituyendo “y” en la primera ecuación para obtener el valor de “x”.

x +24 = 26

x = 2

58

Actividad en el aula: Encuentra el valor de las incógnitas de las ecuaciones de primer grado.

6x – 5y = -9 4x + 3y = 13

7x – 15y = 1 -x – 6y = 8

3x – 4y = 41 11x + 6y = 47

9x + 11y = -14 6x – 5y = -34

TAREA 20: Observa los videos 43 y 45, y anota en los recuadros los ejercicios mostrados en los mismos.

Video 43

59

Video 45

Actividad extra clase 20: Encuentra el valor de las incógnitas de las ecuaciones de primer grado.

3x – 2y = -2 5x + 8y = -60

x + 6y = 27 7x – 3y = 9

11. Solución de problemas usando ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

Existe otra variedad de problemas que requieren el uso de dos variables y por lo tanto dos ecuaciones. Es una costumbre

el “nombrar” a las ecuaciones con números sucesivos rodeados por un círculo si se escribe a mano o entre paréntesis si

se hace en computadora. (Ejemplo (1), (2), etc.) . Las variables que más se usan son “x” y ”y”, aunque podemos usar las

iniciales de los objetos o sujetos con fines didácticos.

A continuación se exponen varios ejemplos con sus explicaciones para aclarar el proceso de interpretación y solución de

los distintos problemas.

60

Ejemplo 1.- Se tiene $120 en 33 monedas de $5 y $2, cuantas monedas hay de cada denominación.

x = número de monedas de $5, y = número de monedas de $2

El total de las monedas es de 33 x + y =33 (1)

El total del dinero es de $120 5x + 2y = 120 (2)

Eliminamos la variable “y” 2(x + y = 33)

1(5x + 2y = 120)

2x + 2y = 66

5x + 2y = 120

Cambiamos de signo a una ecuación -2x – 2y = -66

5x + 2y = 120

3x = 54

X = 18 monedas de $5

Sustituimos “x” en la ecuación (1) 18 + y = 33

y = 15 monedas de $2

Ejemplo 2.- En un cine 10 entradas de adulto y 9 de niño cuestan $512, y 17 de niño y 15 de adulto $831, encuentra el

precio de cada entrada.

10 entradas de adulto y 9 de niño cuestan $512 10x + 9y = 525 (1)

17 de niño y 15 de adulto $831 15x + 17y = 875 (2)

Eliminamos la variable “x” 15(10x + 9y = 525)

10(15x + 17y = 875)

150x + 135y = 7875

150x + 170y = 8750

Cambiamos de signo a una ec. -150x -135y = -7875

150x + 170y = 8750

35y = 875

y = $25 boleto de niño

Sustituimos “y” en (1) 10x + 9(25) = 525

10x + 225 = 525

10x = 300

x = $30 boleto de adulto

61

Ejemplo 3.- Hace 8 años la edad de Carlos era el triple que la de Daniel, y dentro de 4 años la edad de Daniel será 5/9 que la de Carlos, que edad actual tienen cada uno.

x = edad de Carlos, y = edad de Daniel

Hace 8 años la edad de Carlos (x-8) era (=) el triple que la de Daniel [3(y-8)] x – 8 = 3(y – 8) (1)

Dentro de 4 años la edad de Daniel (y+4) será (=) 5/9 que la de Carlos [5/9(x+4)] y + 4 = 5/9(x+4) (2)

x – 8 = 3(y – 8) (1)

y + 4 = 5/9(x+4) (2)

Eliminamos paréntesis x – 8 = 3y – 24

9y + 36 = 5x + 20

Ordenamos las ecuaciones x – 3y = -16 (a)

-5x + 9y = -16 (b)

Eliminamos la variable “x” 5(x – 3y = -16)

1(-5x + 9y = -16)

5x -15y = -80

-5x + 9y = -16

-6y = -96

y = 16 años edad de Carlos

Sustituimos “y “en la ecuación (1) x – 8 = 3(16 – 8)

x – 8 = 3(8)

x = 32 años edad de Daniel

Actividad en el aula: Resuelva los siguientes problemas que involucran dos ecuaciones con dos variables, colocando en

cada uno de los espacios los elementos que se solicitan.

1.- Benito pago $99 por 3 paletas y 5 nieves, y Paul pago $100 por 4 nieves y 5 paletas, cuánto cuesta cada producto.

Costo nieve = Costo paleta =

2.- En un cine hay 200 personas entre niños y adultos, los adultos pagaron $40 y los niños $15 por la entrada, la

recaudación fue de $5000, cuantos adultos y niños entraron.

Número de niños = Número de adultos =

62

3.- Se tienen $120 en 33 monedas de $5 y de $2. ¿Cuántas monedas hay de $5 y cantas de $2?

Monedas de $5 = Monedas de $2 =

TAREA 21: Observa los videos 40, 42 y 44, y anota en los recuadros dos de los ejercicios mostrados.

Actividad extra clase 21: Resuelve en casa los siguientes problemas, colocando en los espacios el resultado que se

solicita, en clases posteriores se revisarán, socializarán y corregirán los resultados.

1.- En un cine hay 48 personas entre adultos y niños, cada adulto pago $30 y cada niño $20 por entrada, la recaudación fue de $1,080. ¿Cuántos adultos y cuantos niños hay en el cine?

Cuántos adultos = Cuantos niños =

63

2.- Compre 5 tacos y un refresco y pague $45 y mi primo compro 2 refrescos y 12 tacos y pago $104. ¿Cuál es el costo del taco y del refresco?

Costo taco = Costo refresco =

3.- La suma de las edades de Beto y Luis es de 27 años y su diferencia de 3 años. ¿Qué edad tiene cada uno si Beto es el mayor?

Edad Beto = Edad Luis =

4.- La diferencia de dos números es de 10 unidades y el doble de su suma es de 80. ¿Encuentra dichos números?

Número mayor = Número menor =

12. Ecuaciones de primer grado con tres incógnitas (sistema 3x3)

Para resolver un sistema como este 3x3 se realiza de la forma siguiente:

1. Se elige una de las tres variables a eliminar 2. Las eliminaciones se realizan primeramente con 2 de las tres ecuaciones, enseguida se trabaja con la tercera

ecuación que no utilizamos con cualquiera de las otras dos para que nos quede un sistema de 2x2 3. De sistema de 2x2 elegimos una variable a eliminar dándonos como resultado el valor de la primera variable 4. La segunda variable la obtenemos sustituyendo el valor de la variable conocida en cualquier ecuación del

sistema 2x2 5. El ultimo valor lo obtenemos sustituyendo los dos valores conocidos en cualquier ecuación del sistema de 3x3 6. Para comprobar los valores resultantes los sustituimos en cualquiera de las otras dos ecuaciones del sistema 3x3

no utilizadas donde obtuvimos el tercer valor

64

Ejemplo 1: Encuentra el valor de las incógnitas de un sistema de ecuaciones 3x3 x + Y + z = 9 (1) 4x + 2y + 3z = 28 (2) 3x + 5y + 2z = 27 (3) 1. Se elige una de las tres variables a eliminar: para este caso la “z” por tener los coeficientes más pequeños, no necesariamente se puede tomar siempre este criterio, se va a eliminar por el método de suma y resta trabajando primeramente con la ecuación (1) y (2). ( x + y + z = 9 ) 3 ( 4x + 2y + 3z = 28 ) 1 3x + 3y + 3z = 27 4x + 2y + 3z = 28 Le cambiamos de signo a una ecuación para eliminar la variable - 3x - 3y - 3z = - 27 4x + 2y + 3z = 28

x - y = 1 (4) 2. Para la siguiente eliminación tenemos que utilizar la ecuación (3) debido a que no hemos trabajado con ella con cualquiera de las otras dos, para este caso la (1) por el mismo método. ( x + y + z = 9 ) 2 ( 3x + 5y + 2z = 27 ) 1 2x + 2y + 2z = 18 3x + 5y - 2z = 27 Le cambiamos de signo a una ecuación para eliminar la variable - 2x - 2y - 2z = - 18 3x + 5y - 2z = 27

x + 3y = 9 (5) 3. Del sistema 2x2 con las ecuaciones (4) y (5) elegimos una variable a eliminar, para este caso nos conviene la “x” por tener el mismo coeficiente x - y = 1 x + 3y = 9 Le cambiamos de signo a una ecuación para eliminar la variable -x + y = -1 x + 3y = 9

4y = 8 y = 2

65

4. La segunda variable la obtenemos sustituyendo el valor de la variable conocida en la ecuación (4) o (5), para este caso en la (4) x - 2 = 1 x = 3 5. El último valor lo obtenemos sustituyendo los dos valores conocidos en cualquier ecuación del sistema de 3x3, para este caso en la ecuación (1) 3 + 2 + z = 9 z = 4 6. Para comprobar los valores resultantes los sustituimos en cualquiera de las otras dos ecuaciones del sistema 3x3 no utilizadas donde obtuvimos el tercer valor, para este caso en la (2) 4(3) + 2(2) + 3(4) = 28 12 + 4 - 12 = 28 28 = 28 Ejemplo 2: el valor de las incógnitas de un sistema de ecuaciones 3x3 2x + 3y + 4z = - 1 (1) x - 2y + z = 5 (2) 3x + 5y - 2z = 14 (3) 1. Se elige una de las tres variables a eliminar, para este caso la “z” por tener los signos cambiados, no necesariamente se puede tomar siempre este criterio, se va a eliminar por el método de suma y resta trabajando primeramente con la ecuación (1) y (2). ( 2x + 3y + 4z = - 1 ) 2 ( x - 2y + z = 5 ) 3 4x + 6y + 8z = - 2 3x - 6y + 3z = 15

7x + 11z = 13 (4) 2. Para la siguiente eliminación tenemos que utilizar la ecuación (3) debido a que no hemos trabajado con ella con cualquiera de las otras dos, para este caso la (2) por el mismo método. ( x - 2y + z = 5 ) 5 ( 3x + 5y - 2z = 14 ) 2 5x - 10y + 5z = 25 6x + 10y - 4z = 28

11x z = 53 (5) 3. Del sistema 2x2 con las ecuaciones (4) y (5) elegimos una variable a eliminar, para este caso nos conviene la “z” por tener el mismo coeficiente

66

(-7x + 11z = 13) 1 (11x + z = 53) 11 7x + 11z = 13 121x + 11z = 583 Le cambiamos de signo a una ecuación para eliminar la variable -7x - 11z = -13 121x + 11z = 583

114x = 570 x = 5 4. La segunda variable la obtenemos sustituyendo el valor de la variable conocida en la ecuación (4) o (5), para este caso en la (4) 11(5) + z = 53 55 + z = 53 z = - 2 5. El último valor lo obtenemos sustituyendo los dos valores conocidos en cualquier ecuación del sistema de 3x3, para este caso en la ecuación (1) 2(5) + 3y + 4(-2) = - 1 10 + 3y - 8 = - 1 3y = - 3 y = - 1 Actividad en clase: Encuentra el valor de las variables del siguiente sistema de ecuaciones 3x3

4x + 2y + 3z = 8

3x + 4y + 2z = -1

2x - y + 5z = 3

X = Y = Z =

67

TAREA 22: Observa los videos 46 y 47, y anota en este recuadro UNO de los ejercicios mostrados en los mismos.

Actividad extra clase 22: En binas resuelve en casa uno de los dos sistemas de ecuaciones 3x3, el cual lo presentaras en

video.

2x + y - 3z = - 1 x = 2x + 3y + z = 1 x =

x - 3y - 2z = -12 y = 6x - 2y - z = -14 y =

3x - 2y - z = - 5 z = 3x + y - z = 1 z =

68

13. Ecuaciones de segundo grado completas e incompletas



1.- ¿Qué entiendes por ecuación de segundo grado?

2.- ¿Cuántos términos tiene una ecuación cuadrática completa?

3.- ¿Cuántos términos tiene una ecuación cuadrática incompleta?

4.- ¿Cuál es la fórmula general para resolver las ecuaciones cuadráticas completas?

Cuando se tienen problemas que contienen una sola variable, pero en alguno de los términos dicha variable se encuentra elevada al cuadrado, los procedimientos para encontrar los valores de la variable varían desde muy sencillos hasta otros que requieren considerablemente más tiempo.

En ecuaciones de segundo grado, también llamadas cuadráticas, la misma variable tiene DOS respuestas o soluciones, las soluciones pueden ser iguales, diferentes o IMAGINARIAS, estas últimas no se analizarán en el presente curso y se ven en los niveles universitarios.

Clasificación de las ecuaciones de segundo grado: Una forma de facilitar la solución de ecuaciones de segundo grado es

la identificación del tipo de ecuación de que se trata. En la siguiente tabla se muestra la clasificación, el tipo de ecuación

y el procedimiento que se sugiere en la columna de la derecha.

Ecuación completa de segundo grado

Factorización o fórmula general

Ecuación completa de segundo grado (sin término independiente) incompleta

Factorizar x(x+1)=0; Igualar a cero cada factor y despejar x. x=0 y x=-1

Ecuación simple de segundo grado incompleta

Despejando x y sacando raíz x =5 y x=-5

69

14. Solución de problemas usando ecuaciones de segundo grado completas

Iniciaremos con los procedimientos para solucionar el tipo más difícil de ecuaciones de segundo grado.

1.- Procedimiento para la solución por factorización:

1. Se trasladan todos los términos al miembro izquierdo de la ecuación y los ordenamos comenzando desde el

término con mayor potencia hasta el término independiente o numérico, con lo que el segundo miembro es

igual a cero.

2. Se factoriza el primer miembro en suma o resta de binomios (lineales).

3. Se iguala cada uno de los factores a cero y se despeja la incógnita.

Ejemplo 1.- Encuentre el valor de dos enteros consecutivos cuyo producto exceda a su suma en 41 unidades.

Procedimiento:

Lenguaje algebraico. (x)(x+1)=(x)+(x+1)+41

Desarrollando el producto indicado

Pasando todos los términos al primer miembro

Realizando sumas y restas y ordenando los términos

Factorizando el primer miembro

Igualando cada factor a cero

Despejando encontramos que las soluciones son: x=7 y x= -6

COMPROBACIÓN: Sustituyendo x=7 y su consecutivo x=8 en la ecuación original

(8)(7)=8+7+41

Realizando operaciones 56=56 Correcto.

Respuesta: los números buscados son 7 y 8

Ejemplo 2.- La diferencia entre el cuadrado de un número positivo y el séxtuplo de dicho número es 16 unidades.

Encuentre el número.

Procedimiento:

Lenguaje algebraico.


Factorizando

Las soluciones son: x=8 y x=-2

Usando x=8 por ser positivo como menciona el enunciado

Realizando operaciones 16=16 Correcto.

Respuesta: el número buscado es 8

70

2.- Procedimiento para la solución usando la fórmula general de la ecuación de segundo grado.

(Usamos este método cuando no es fácil realizar la factorización)

1. Se trasladan todos los términos al miembro izquierdo de la ecuación y los ordenamos comenzando desde el

término de mayor potencia, con lo que el segundo miembro es igual a cero, quedando de la forma:

2. Se sustituyen los valores de a, b y c en la fórmula √

obteniendo los dos valores para la x.

Ejemplo 3.- Encuentre un numero negativo tal que la suma de su cuadrado con el quíntuplo del mismo número sea igual

a 6.



Sustituyendo en la fórmula general de segundo grado

√

√

√

√

Las soluciones son: x=-6 y x=1

Sustituyendo x=-6 para comprobar la solución Correcto

Respuesta: El número buscado es x= -6 porque se pide el negativo.

Ejemplo 4.- Alfonso es dos años mayor que Blanca y la suma de los cuadrados de ambas edades es de 130 años,

encuentra la edad de cada uno.

Planteamiento x=edad de Alfonso x-2=edad de Bertha


Realizando operaciones


Sustituyendo en la fórmula general de segundo grado

√

√

√

√

Las soluciones son: X1=9 y x2=-7

Sustituyendo

Correcto

71

Respuesta: El número buscado es x1=9 para comprobar la solución porque no puede existir una edad negativa y la edad de

Alfonso es de 9 y Bertha 7 años

Actividad en el aula: Resuelve los siguientes problemas con ecuaciones de segundo grado completas, utilice los

primeros problemas como guía.

1.- Sepárese el número 42 en dos partes cuyo producto sea 341.

2.- El área de un triángulo es 42 metros cuadrados. Encuentre la base y la altura si la última excede a la primera en 5 metros.

3.- Se instala un tendedero de 2.5 metros de longitud a lo largo de la diagonal de un patio de servicio rectangular, sabiendo que se requieren 3.5 metros de barda para cubrir dos de los lados adyacentes del patio. Calcule las dimensiones del patio.

72

4.- La capacidad de una alberca es de 300 metros cúbicos y puede drenarse con una rapidez de ½ metro cúbico por minuto mayor que la rapidez con que puede llenarse. Calcúlese la rapidez de drenaje si se necesitan veinte minutos más para llenarla que para drenarla.

TAREA 23: Observa los videos 50 y 52, y anota en los recuadros los ejercicios mostrados en los mismos.

73

Actividad extra clase 23: Resuelve en casa los siguientes problemas con ecuaciones de segundo grado completas y anota

en los espacios las respuestas, en clases posteriores se revisarán, socializarán y corregirán los resultados.

1.- Sepárese el número 27 en dos partes cuyo producto sea 162.

2.- Encuentre dos números cuya diferencia sea 9 y cuyo producto sea de 190.

3.- Una sala rectangular cuya longitud excede a su ancho en 3 metros requiere 42 metros cuadrados de alfombra de pared a pared. ¿Cuáles son las dimensiones del cuarto?

74

4.- Un estudiante universitario se encontraba a 11 kilómetros del edificio donde le correspondía tomar su siguiente clase una hora más tarde. Primeramente caminó un kilómetro y luego tomó un autobús cuya velocidad media fue 12 km/hr mayor que su velocidad a pie. Encuéntrese las velocidades con que caminó y viajó en autobús, sabiendo que llegó a tiempo a clase.

5.- Si el radio de un círculo se incrementa en 4 unidades, entonces el área resulta multiplicada por 9. Encuentre el radio original.

15. Solución de problemas usando ecuaciones de segundo grado incompletas

Procedimiento para la solución de ecuaciones de segundo incompletas de la forma (ax2 + c = 0) .

1. Se traslada el término cuadrático que contiene a la variable al miembro izquierdo de la ecuación y al de la

derecha el término independiente.

2. Se divide cada miembro entre el coeficiente del término cuadrático (solo si el coeficiente es diferente de uno)

3. Se saca raíz cuadrada a cada miembro, obteniendo en el primer miembro la variable y en el segundo dos valores:

uno positivo y otro negativo del mismo número.

75

Ejemplo 1.- Encuentre tamaño de un terreno cuadrado si sabemos que si a un lado le quitamos cinco metros y al otro le

agregamos la misma cantidad el área sería de seiscientos metros cuadrados.

Procedimiento:

Lenguaje algebraico. (x+5)(x-5)=600

Realizando las operaciones indicadas. x2 – 25 = 600

Trasladando los términos independientes al miembro de la derecha y realizando operaciones.

x2 = 600 + 25

x2 = 625

Obteniendo raíz cuadrada a cada miembro. x = ± 25

Las soluciones son: x=25 y x= -25

COMPROBACIÓN: Sustituyendo x=25 en la ecuación original

(25+5)(25-5)=600

Realizando operaciones 30*20=600 Correcto.

Respuesta: El tamaño original era 25 m x 25 m.

Actividades en el aula: Resuelve los siguientes problemas que involucran ecuaciones simples de segundo grado,

colocando en cada uno de los espacios los elementos que se solicitan, utilice los primeros problemas como guía.

Enunciado del problema. Ecuación Solución

1.- La cantidad de pastillas de vitaminas en total que tiene una caja de frascos es de 60 pastillas, si sabemos que el número de pastillas por frasco es igual a un número más dos y el número de frascos es igual al mismo número menos dos, determine el número de pastillas por frasco y el número de frascos que contiene la caja.

2.- El área de un triángulo es 26 metros cuadrados. Encuentre la base y la altura si sabemos que la base mide una longitud más cuatro unidades y la altura es la longitud menos cuatro unidades.

3.- La cantidad a pagar por un conjunto de artículos es de 72 pesos, si sabemos que la cantidad de artículos es de un número más tres y su precio es del mismo número menos tres, encuentra cuantos artículos fueron y su precio.

4.- Una persona viaja en una bicicleta una distancia de 12 km., si sabemos que la velocidad es igual a un número más dos unidades y el tiempo que viajó es del mismo número menos 2 horas, determine su velocidad y tiempo de viaje.

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TAREA 24.- Observa el video 48 correspondiente a las ecuaciones cuadráticas sin término independiente y va a

resolver el problema planteado en el mismo ax2 + c = 0.

Actividad extra clase 24. Resuelve en casa los siguientes problemas con ecuaciones simples de segundo grado y anota

en las columnas de la derecha las respuestas, en clases posteriores se revisarán, socializarán y corregirán los resultados.

Enunciado del problema. Ecuación Solución

1.- La cantidad de naranjas en total que tiene una caja de bolsas es de 40, si sabemos que el número de naranjas por bolsa es igual a un número menos tres y el número de bolsas es igual al mismo número más tres, determine el número de naranjas por bolsa y el número de bolsas que contiene la caja.

2.- El área de un terreno rectangular es de 140 metros cuadrados. Encuentre la base y la altura si sabemos que la base mide una longitud más dos metros y la altura es la longitud menos dos metros.

3.- La cantidad a pagar por un conjunto de artículos es de 3500 pesos, si sabemos que la cantidad de artículos es de un número más diez y su precio es del mismo número menos diez, encuentra cuantos artículos fueron y su precio.

4.- Una persona vende varias sandias por un total de $351, , si sabemos que el precio de cada sandía es igual a un número más siete pesos y el número de sandias es del mismo número menos siete, determina el precio por sandía y la cantidad de ellas.

77

Procedimiento para la solución de ecuaciones de segundo incompletas de la forma (ax2 + bx = 0).

1. Se trasladan todos los términos al miembro izquierdo de la ecuación y los ordenamos comenzando desde la

mayor potencia, con lo que el segundo miembro es igual a cero.

2. Se factoriza el primer miembro en un factor y un binomio.

3. Se iguala cada uno de los factores a cero y se despeja la incógnita.

Ejemplo 1.- Encuentre el tamaño de un terreno cuadrado si sabemos que, si le restamos a uno de sus lados 25 metros el

área sería igual a cero.

Procedimiento:

Lenguaje algebraico. (x)(x-25)=0

Igualando cada factor a cero

Despejando encontramos que las soluciones son: x=0 y x= 25

Comprobando, se sustituyendo x=25 en la ecuación original

(25)(25-25)=0

Realizando operaciones 25*0=0 Correcto.

Respuesta: El tamaño original era 25 m x 25 m.

Casos especiales. (Se necesitan unos pasos iniciales adicionales)

Procedimiento para la solución de radicales de segundo orden.

Se traslada al primer miembro la raíz cuadrada y en el segundo miembro se colocan todos los términos

restantes.

Se eleva al cuadrado cada miembro para eliminar la raíz cuadrada.

Continuar con los pasos según alguno de los métodos anteriores.

Ejemplo 2.- Encuéntrese las raíces de la ecuación √ .

Dejando la raíz cuadrada en el primer miembro √

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación.


Realizando las restas indicadas

Despejando la x con una raíz cuadrada a cada miembro √

Sustituyendo x=1 para comprobar la solución √ Correcto

Respuesta: El número buscado es x= 1 y x= -1.

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Actividad en el aula. Resuelve los siguientes problemas que involucran ecuaciones cuadráticas incompletas sin términos

independientes con una variable.

6x2 = 12x 9x2 = 27 x

¼ x2 = ½ x ½ x2 = 5x

TAREA 25.- Observa el video 48 correspondiente a las ecuaciones cuadráticas sin término independiente y va a

resolver el problema planteado en el mismo ax2 + bx = 0

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Actividad extra clase 25. Resuelve en casa los siguientes problemas que involucran ecuaciones cuadráticas incompletas

sin términos independientes con una variable.

8x2 = 64x 7x2 = 21 x

½x2 = ¾ x ¾ x2 = 12x

16. Graficación de funciones

La Graficación de funciones se refiere a colocar en un plano cartesiano un conjunto de puntos por donde pasa una

función o expresión algebraica, para encontrar estos puntos se le asigna a la variable independiente (por lo general x)

una serie de valores, uno a la vez, y se anota el valor que tomó la expresión, se repite este procedimiento para varios

valores, se marcan en el plano cartesiano y por último se unen con una línea continua. Los valores que se le asignan a la

variable son arbitrarios, es decir se les asigna a discreción de quien lo realiza, con el tiempo se desarrolla la capacidad de

discernir el rango propicio (conjunto de valores desde uno mínimo a un valor máximo, por ejemplo -2, 7) con los valores

más convenientes.

80

Ejemplo 1.- Grafique la expresión algebraica x2 - x – 42 del problema 1 para ecuaciones cuadráticas, desde x = -9 hasta x

= 8 y con incrementos de 1.

Solución: Se sustituye el valor inferior (x = -9) en la expresión algebraica en cada lugar donde aparece la variable x.

(-9)2 - (-9) - 42

Se realizan las operaciones indicadas, iniciando desde las potencias, después las multiplicaciones y por último las sumas

y restas.

81 + 9 - 42 = 48

El valor anterior se coloca en la tabla inferior y se repite la operación para cada valor de la lista.

x f(x)

-9 48

-8 30

-7 14

-6 0

-5 -12

-4 -22

-3 -30

-2 -36

-1 -40

0 -42

1 -42

2 -40

3 -36

4 -30

5 -22

6 -12

7 0

8 14

81

Ejercicio 2. Resuelva el problema 1 del tema 11 que dice “Se tienen $120 en 33 monedas de $5 y $2, cuantas monedas hay de cada denominación”, utilizando una solución gráfica.

x + y =33 (1) o despejando y = - x + 33

5x + 2y = 120 (2) o despejando y = - 5x/2 + 60

x y1 y2

0 33 60

1 32 57.5

2 31 55

3 30 52.5

4 29 50

5 28 47.5

6 27 45

7 26 42.5

8 25 40

9 24 37.5

10 23 35

11 22 32.5

12 21 30

13 20 27.5

14 19 25

15 18 22.5

16 17 20

17 16 17.5

18 15 15

19 14 12.5

20 13 10

82

Actividad en el aula: Resuelva los siguientes problemas en forma gráfica, realizando la tabulación y la gráfica en el plano

cartesiano.

1.- Benito pago $99 por 3 paletas y 5 nieves, y Paul pago $100 por 4 nieves y 5 paletas, cuánto cuesta cada producto.

x y1 y2

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2.- La cantidad de pastillas de vitaminas en total que tiene una caja de frascos es de 60 pastillas, si sabemos que el

número de pastillas por frasco es igual a un número más dos y el número de frascos es igual al mismo número menos

dos, determine el número de pastillas por frasco y el número de frascos que contiene la caja.

x f(x)

84

Actividad extra clase 26: Resuelva los siguientes problemas en forma gráfica, realizando la tabulación y la grafica en el

plano cartesiano.

1.- En un cine hay 48 personas entre adultos y niños, cada adulto pago $30 y cada niño $20 por entrada, la recaudación

fue de $1,080. ¿Cuántos adultos y cuantos niños hay en el cine?

x y1 y2

85

2.- El área de un triángulo es 42 metros cuadrados. Encuentre la base y la altura si la última excede a la primera en 5

metros.

x f(x)

centro de bachillerato tecnolÓgico...

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