capítulo iii

CAPTULO III

PRIMER TEOREMA DE

ALBERTO CASTIGLIANO

1er. TEOREMA DE A. CASTIGLIANO

III - 2

1er TEOREMA DE ALBERTO CASTIGLIANO

Calcula.- Deformaciones en Seccin de elemento

La deflexin del punto de aplicacin de la carga medida a lo largo de la lnea de

accin de , puede expresarse como la derivada parcial de la energa de deformacin

con respecto a la carga .

La deflexin se obtiene directamente cuando la carga esta aplicada en el punto

donde se va obtener .

Si la carga i no est ubicada en el punto donde se quiere obtener aplicaremos una

carga ficticia en el punto de anlisis de luego se deriva respecto de .

Luego haciendo , se obtiene la deflexin en la direccin deseada.

El teorema tambin es vlido cuando se trata de hallar giros, en cuyo caso se aplicar.

ngulos de torsin:

Pi

i

i

Pi

(Ficticia)Qi

i

i

ING. RONALD SANTANA TAPIA

III - 3

PROBLEMAS DE APLICACIN

PROBLEMA N 01

Hallar la deflexin vertical del extremo libre de la viga en cantilver mostrado en al

figura.

Considerar solo efectos de flexin (EI=constante)

SOLUCIN:

Tramo AB: ( )

P

A BL

x

L

P

A B B

+ B|


III - 4

PROBLEMA N 02

Hallar (EI=cte)

SOLUCIN:

Tramo AB: ( )

( )

(

)

LA B

W

x

L

Q (Ficticia)

A B

W


III - 5

PROBLEMA N 03

Hallar del sistema mostrado en la figura.

SOLUCIN:

Tramo AB: ( )

Tramo BC: ( )

( )

( )

( )

P

A

B Ca a

xP

A

B C2EI

EI

a a

xP

BC

2EIPa


III - 6

PROBLEMA N 04

Hallar la flecha al centro de la luz de la viga simplemente apoyada solicitada con

carga uniformemente repartida: (EI = constante)

SOLUCIN:

Tramo AC: (

)

(

) (

)

(

)(

)

( )

( )

(

)

B

W

AC

L

x Q (Ficticia)

B

W

AC

WL2

Q2

+WL

2

Q

2+

LC


III - 7

PROBLEMA N 05

Determinar el giro en el extremo libre de la viga en voladizo mostrado en la figura

Considerar solo efectos de flexin. (EI = constante)

SOLUCIN:

Tramo AB: ( )

L BA

W

x

AA

(Ficticia)M A

L

BA

W


III - 8

PROBLEMA N 06

En la estructura mostrada determinar el desplazamiento horizontal del nudo A y la

fuerza horizontal H que anula este desplazamiento. Considerar solo el efecto de la

deformacin por flexin EI.

SOLUCIN

Tramo AB: ( )

( )

Tramo CB: ( )

( ) (

)

[

( )]

[

( ) (

) ]

( )

( ) (

)

r

37

rr

P

B

CA

r37

rr

P

B

CA

d =rds

d

d =rds

d

4P/5

3P/5

37

3P/103P/10

H+4P/5H


III - 9

( )

Clculo del desplazamiento ( )

( )

Clculo de H que anula este desplazamiento:

( )

( )

( )

PROBLEMA N 07

El anillo de la figura est fabricado con un perfil de acero cuya seccin es m-n. si al

ser construido hay un error de longitud, por defecto, de 0.05m. Hallar la fuerza

necesaria F para unir los extremos libres y poder soldarlos.

( )

F F

3m.

0.05m

1 1

2

3

4

m

n

8

12

3/8

3/8

SECCIN: m - n


III - 10

SOLUCIN

Analizando media estructura

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

(

)

*

+

3

F1

3

d =rds

MFsen

Fcos

F

d

1

rCos

+


III - 11

Datos:

(

)

(

(

)

)

PROBLEMA N 08

Para el sistema mostrado en la figura, calcular el desplazamiento vertical del nudo

D. Considerar solo efectos de flexin:

5 m.

P=6 ton.

12 ton.

12

A

CD

B


III - 12

SOLUCIN

1. Reacciones

( ) ( ) ( )

( )

2. EFECTOS EN LAS BARRAS

Tramo AC: ( )

Tramo DC: ( )

Tramo DC: ( )

( )

5 m.

x

x

xP=6 ton.

12 ton.

12

A

CD

B

RARB

+

+

+


III - 13

3. Clculo del:

PROBLEMA N 15

Hallar ( )

a

2a

B C

w


III - 14

SOLUCIN

1. De la esttica:

( ) ( )

2. Clculo de

Tramo AB: ( )

( )

( )

d =ads

d

a

V =P-wac

2a

B C P=wa

V =P-waA

HA

x

w

YX


III - 15

Tramo BC: ( )

( )

( )( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

(

)

Como:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)


III - 16

PROBLEMA N 10

Considerando solo efectos de flexin calcular el desplazamiento horizontal del

apoyo mvil. (EI = Constante)

SOLUCIN

1. De la esttica:

( )( )

( )

Tramo AB: ( )

A

B C

w

a

a 2a

A

B C

w

a

a 2a

(Ficticia) Q

AV

Q

CV

A

B C

w

a 2a

Q

x

Y

(2/3wa - Q/3)


III - 17

(

)

Pero:

( )

(

) (

)

dsdy

dx


III - 18

Tramo BC: ( )

(

) ( )(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

A

BC

w Q

x

(4/3wa + Q/3)


III - 19

PROBLEMA N 11

Calcular el valor de la carga P para que los extremos A y D sufran el mismo

descenso vertical

SOLUCIN

Tramo AB: ( )

Tramo DC: ( )

Tramo BC: ( )

1m 1m

1m

300 kg

P

B

A

C D

E

2m

1 m 1 m

1 m

Q=300 kg

P

B

A

C D

E

2 m

x

x


III - 20

Tramo CE: ( )

( )

( )

PROBLEMA N 12

Hallar

Q

xB C

Q

x

M =(P-Q)f

M =Qf

P+Q

C

E

1m.

1m.

2m.

5000 kg.

A

B

C


III - 21

SOLUCIN

Sabemos:

( )

1. Reacciones

( ) ( ) ( )

2. Equilibrio de nudos

Nudo B:

( )

Q

(Q+5000)

V = V =Q+2500C A

5000 kg.

VA

A

B

C


III - 22

( )

Nudo C:

( )

3. Efectos axiales ( )

(+): Traccin (-): Compresin

Y

X5000

NAB

NBC

X

Y

XQ+5000

NAC

Q+2500

2500


III - 23

( )

( )

( )

TOTAL

( )

PROBLEMA N 13

Hallar

1m.

1m.

2m.

Q

2+50

002

2500

250Q2

Q

(Q+5000)

V = V =Q+2500C A

5000 kg.

VA

A

B

C

60 45

EI= 8

EA= 8

BARRA RGIDA

P2L/3L/3

E, A, L

A B

C D

E, A, L


III - 24

SOLUCIN

D.C.L. (Barra)

(

)

En el sistema tipo armadura

( )

Nudo: B

( )

P2L/3 L/3

A B

L

Q

60 45

B

C D

Q

X

Y

X

NBC

Q

45

NBD

60


III - 25

(

)

(

)

( ):

(

) (

)

( )

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )


III - 26

PROBLEMA N 14

Para la estructura reticular plano, se pide calcular el desplazamiento horizontal del

Nudo 4 (Apoyo mvil)

,

SOLUCIN

Reacciones

( ) ( ) ( )

1. Clculo de las fuerzas axiales en las barras

Nudo:

1

2

4

3

5 6

3m 3m 3m

3m

18 ton.6 ton.

1

2

4

3

5 6

Q Q

18 ton.6 ton.

V4V1


III - 27

Nudo:

Nudo:

Nudo:

( )

N12

45

N15Q

14

Y

X

N34

45

N64 Q

10

Y

X

N26

45

(10-Q)

6

Y

X

N36

(14-Q)

45

10

Y

XN23


III - 28

2. Clculo de

(+): Traccin - (-): Compresin - Q = 0 (Ficticia)

( )

TOTAL

( )


III - 29

PROBLEMA N 15

Para la estructura bi articulada, determinar el desplazamiento vertical de 3 y horizontal

de 4. Considerar para todas las barras. ( )

SOLUCIN

1. Reacciones

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

2. Fuerzas axiales internas:

Nudo:

1

243

5

3m 3m

3m

8 ton.

6

8 ton.

2 43

5

3m

8 ton.6

8 ton.

42

42

42

42

V5V1

P

H1

1 H5

P

N23

Y

X

42

N12

42


III - 30

Nudo:

( )

( )

( )

Nudo:

*

( ) +

( )

*

( ) +

( )

Nudo:

( )

[

( ) ]

( )

N13

45

(P+Q)

Y

XH1

42

N34

Y

X

P

42

2/2(P+Q)-8 N36

45


III - 31

3. Clculo de los desplazamientos

N46

45

Y

X

(P-Q)+42

42

42

N56

1

2 43

5

3m 3m

3m

8 ton.6

8 ton.

2/2

(P+Q

)-8

42

1/2(P-Q)

1/2(P-Q)+42

2/2

(P-Q

)

1/2

(P-Q

)+4

242

42

42

42

42

V5V1


III - 32


III - 33

PROBLEMA N 16

Para la estructura reticulada mostrada en la figura, se pide determinar el

desplazamiento vertical del Nudo 5

SOLUCIN

1. Reacciones

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2. Fuerzas axiales:

Nudo:

( )

1

2

4

3

5

a a

a

Q

2A

2A

AA

A2A

P

2P

1

2

4

3

5

Q

P

2P

V1 V4

H1 H4


III - 34

Nudo:

Nudo:

Y

X

V4

45 H4

N34

XN23

45

N34N35

2P

Y

Y

X

N12

V1

N15H1


III - 35

Nudo:

( )

( )

3. Clculo de

(+): Traccin

(-): Compresin

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

TOTAL (

)

Y

XN23

45

N25N12

P

(14-Q)1

2

4

3

5

a a

a

Q H

V4V1

P-Q2

4

P+Q2

3P+Q2

Q

2A

2A

AA

A2A

P

2P


III - 36

(

)

PROBLEMA N 16

Hallar el desplazamiento vertical del nudo , del sistema bi -articulado

SOLUCIN

1. Reacciones

( ) ( ) ( )

2. Equilibrio de nudos:

1

2

43

5

1.5m. 1.5m.

2m.

8 ton.

P

8

1

2

43

5

8 ton.

P

8

12 ton

8 ton.H =1

-16/3+P/2V =1

53/3+P/2V =5


III - 37

Nudo:

( )

( )

Nudo:

(

)

3. Efectos axiales

(+): Traccin (-): Comprensin

Y

X8

=53

N35N13

P

=53

Y

X8 =53

(20/3-5P/8)

(-16/3 + P/2)

N15

1

2

43

5

1.5m. 1.5m.

2m.

8 ton.

P

(4+3/8P)

8

V =-16/3 + P/21 V =53/3 + P/2

5

H =8 ton.1

12


III - 38

( )

( )

( )

(

)

TOTAL

( )

PROBLEMA N 18

Para la estructura con elementos bi - articulados (armadura), calcular el

desplazamiento vertical del nudo 4.

Considerar para todos los elementos:

( )

Hallar:

45 6 ton.

1

2 3

5 4

12 ton.

4m. 3m.

3m.


III - 39

SOLUCIN

1. Clculo de las fuerzas axiales:

Nudo:

( )

Nudo:

( )

(

)

45 6 ton.

1

2 3

5 4

12 ton.

R5

3 2

R1

3 2

3 2

Y

X45

P

N34

N45


III - 40

2. Clculo de:

En donde:

(+): Traccin (-): Compresin

( )

( )

(

)

TOTAL

Y

X37

N13

3/4P - 3/4 2

3 2

3 2

P

capítulo iii

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