Download - Capítulo III
-
CAPTULO III
PRIMER TEOREMA DE
ALBERTO CASTIGLIANO
-
1er. TEOREMA DE A. CASTIGLIANO
III - 2
1er TEOREMA DE ALBERTO CASTIGLIANO
Calcula.- Deformaciones en Seccin de elemento
La deflexin del punto de aplicacin de la carga medida a lo largo de la lnea de
accin de , puede expresarse como la derivada parcial de la energa de deformacin
con respecto a la carga .
La deflexin se obtiene directamente cuando la carga esta aplicada en el punto
donde se va obtener .
Si la carga i no est ubicada en el punto donde se quiere obtener aplicaremos una
carga ficticia en el punto de anlisis de luego se deriva respecto de .
Luego haciendo , se obtiene la deflexin en la direccin deseada.
El teorema tambin es vlido cuando se trata de hallar giros, en cuyo caso se aplicar.
ngulos de torsin:
Pi
i
i
Pi
(Ficticia)Qi
i
i
-
ING. RONALD SANTANA TAPIA
III - 3
PROBLEMAS DE APLICACIN
PROBLEMA N 01
Hallar la deflexin vertical del extremo libre de la viga en cantilver mostrado en al
figura.
Considerar solo efectos de flexin (EI=constante)
SOLUCIN:
Tramo AB: ( )
P
A BL
x
L
P
A B B
+ B|
-
1er. TEOREMA DE A. CASTIGLIANO
III - 4
PROBLEMA N 02
Hallar (EI=cte)
SOLUCIN:
Tramo AB: ( )
( )
(
)
LA B
W
x
L
Q (Ficticia)
A B
W
-
ING. RONALD SANTANA TAPIA
III - 5
PROBLEMA N 03
Hallar del sistema mostrado en la figura.
SOLUCIN:
Tramo AB: ( )
Tramo BC: ( )
( )
( )
( )
P
A
B Ca a
xP
A
B C2EI
EI
a a
xP
BC
2EIPa
-
1er. TEOREMA DE A. CASTIGLIANO
III - 6
PROBLEMA N 04
Hallar la flecha al centro de la luz de la viga simplemente apoyada solicitada con
carga uniformemente repartida: (EI = constante)
SOLUCIN:
Tramo AC: (
)
(
) (
)
(
)(
)
( )
( )
(
)
B
W
AC
L
x Q (Ficticia)
B
W
AC
WL2
Q2
+WL
2
Q
2+
LC
-
ING. RONALD SANTANA TAPIA
III - 7
PROBLEMA N 05
Determinar el giro en el extremo libre de la viga en voladizo mostrado en la figura
Considerar solo efectos de flexin. (EI = constante)
SOLUCIN:
Tramo AB: ( )
L BA
W
x
AA
(Ficticia)M A
L
BA
W
-
1er. TEOREMA DE A. CASTIGLIANO
III - 8
PROBLEMA N 06
En la estructura mostrada determinar el desplazamiento horizontal del nudo A y la
fuerza horizontal H que anula este desplazamiento. Considerar solo el efecto de la
deformacin por flexin EI.
SOLUCIN
Tramo AB: ( )
( )
Tramo CB: ( )
( ) (
)
[
( )]
[
( ) (
) ]
( )
( ) (
)
r
37
rr
P
B
CA
r37
rr
P
B
CA
d =rds
d
d =rds
d
4P/5
3P/5
37
3P/103P/10
H+4P/5H
-
ING. RONALD SANTANA TAPIA
III - 9
( )
Clculo del desplazamiento ( )
( )
Clculo de H que anula este desplazamiento:
( )
( )
( )
PROBLEMA N 07
El anillo de la figura est fabricado con un perfil de acero cuya seccin es m-n. si al
ser construido hay un error de longitud, por defecto, de 0.05m. Hallar la fuerza
necesaria F para unir los extremos libres y poder soldarlos.
( )
F F
3m.
0.05m
1 1
2
3
4
m
n
8
12
3/8
3/8
SECCIN: m - n
-
1er. TEOREMA DE A. CASTIGLIANO
III - 10
SOLUCIN
Analizando media estructura
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
*
+
3
F1
3
d =rds
MFsen
Fcos
F
d
1
rCos
+
-
ING. RONALD SANTANA TAPIA
III - 11
Datos:
(
)
(
(
)
)
PROBLEMA N 08
Para el sistema mostrado en la figura, calcular el desplazamiento vertical del nudo
D. Considerar solo efectos de flexin:
5 m.
P=6 ton.
12 ton.
12
A
CD
B
-
1er. TEOREMA DE A. CASTIGLIANO
III - 12
SOLUCIN
1. Reacciones
( ) ( ) ( )
( )
2. EFECTOS EN LAS BARRAS
Tramo AC: ( )
Tramo DC: ( )
Tramo DC: ( )
( )
5 m.
x
x
xP=6 ton.
12 ton.
12
A
CD
B
RARB
+
+
+
-
ING. RONALD SANTANA TAPIA
III - 13
3. Clculo del:
PROBLEMA N 15
Hallar ( )
a
2a
B C
w
-
1er. TEOREMA DE A. CASTIGLIANO
III - 14
SOLUCIN
1. De la esttica:
( ) ( )
2. Clculo de
Tramo AB: ( )
( )
( )
d =ads
d
a
V =P-wac
2a
B C P=wa
V =P-waA
HA
x
w
YX
-
ING. RONALD SANTANA TAPIA
III - 15
Tramo BC: ( )
( )
( )( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
(
)
Como:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
-
1er. TEOREMA DE A. CASTIGLIANO
III - 16
PROBLEMA N 10
Considerando solo efectos de flexin calcular el desplazamiento horizontal del
apoyo mvil. (EI = Constante)
SOLUCIN
1. De la esttica:
( )( )
( )
Tramo AB: ( )
A
B C
w
a
a 2a
A
B C
w
a
a 2a
(Ficticia) Q
AV
Q
CV
A
B C
w
a 2a
Q
x
Y
(2/3wa - Q/3)
-
ING. RONALD SANTANA TAPIA
III - 17
(
)
Pero:
( )
(
) (
)
dsdy
dx
-
1er. TEOREMA DE A. CASTIGLIANO
III - 18
Tramo BC: ( )
(
) ( )(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
A
BC
w Q
x
(4/3wa + Q/3)
-
ING. RONALD SANTANA TAPIA
III - 19
PROBLEMA N 11
Calcular el valor de la carga P para que los extremos A y D sufran el mismo
descenso vertical
SOLUCIN
Tramo AB: ( )
Tramo DC: ( )
Tramo BC: ( )
1m 1m
1m
300 kg
P
B
A
C D
E
2m
1 m 1 m
1 m
Q=300 kg
P
B
A
C D
E
2 m
x
x
-
1er. TEOREMA DE A. CASTIGLIANO
III - 20
Tramo CE: ( )
( )
( )
PROBLEMA N 12
Hallar
Q
xB C
Q
x
M =(P-Q)f
M =Qf
P+Q
C
E
1m.
1m.
2m.
5000 kg.
A
B
C
-
ING. RONALD SANTANA TAPIA
III - 21
SOLUCIN
Sabemos:
( )
1. Reacciones
( ) ( ) ( )
2. Equilibrio de nudos
Nudo B:
( )
Q
(Q+5000)
V = V =Q+2500C A
5000 kg.
VA
A
B
C
-
1er. TEOREMA DE A. CASTIGLIANO
III - 22
( )
Nudo C:
( )
3. Efectos axiales ( )
(+): Traccin (-): Compresin
Y
X5000
NAB
NBC
X
Y
XQ+5000
NAC
Q+2500
2500
-
ING. RONALD SANTANA TAPIA
III - 23
( )
( )
( )
TOTAL
( )
PROBLEMA N 13
Hallar
1m.
1m.
2m.
Q
2+50
002
2500
250Q2
Q
(Q+5000)
V = V =Q+2500C A
5000 kg.
VA
A
B
C
60 45
EI= 8
EA= 8
BARRA RGIDA
P2L/3L/3
E, A, L
A B
C D
E, A, L
-
1er. TEOREMA DE A. CASTIGLIANO
III - 24
SOLUCIN
D.C.L. (Barra)
(
)
En el sistema tipo armadura
( )
Nudo: B
( )
P2L/3 L/3
A B
L
Q
60 45
B
C D
Q
X
Y
X
NBC
Q
45
NBD
60
-
ING. RONALD SANTANA TAPIA
III - 25
(
)
(
)
( ):
(
) (
)
( )
(
) (
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
-
1er. TEOREMA DE A. CASTIGLIANO
III - 26
PROBLEMA N 14
Para la estructura reticular plano, se pide calcular el desplazamiento horizontal del
Nudo 4 (Apoyo mvil)
,
SOLUCIN
Reacciones
( ) ( ) ( )
1. Clculo de las fuerzas axiales en las barras
Nudo:
1
2
4
3
5 6
3m 3m 3m
3m
18 ton.6 ton.
1
2
4
3
5 6
Q Q
18 ton.6 ton.
V4V1
-
ING. RONALD SANTANA TAPIA
III - 27
Nudo:
Nudo:
Nudo:
( )
N12
45
N15Q
14
Y
X
N34
45
N64 Q
10
Y
X
N26
45
(10-Q)
6
Y
X
N36
(14-Q)
45
10
Y
XN23
-
1er. TEOREMA DE A. CASTIGLIANO
III - 28
2. Clculo de
(+): Traccin - (-): Compresin - Q = 0 (Ficticia)
( )
TOTAL
( )
-
ING. RONALD SANTANA TAPIA
III - 29
PROBLEMA N 15
Para la estructura bi articulada, determinar el desplazamiento vertical de 3 y horizontal
de 4. Considerar para todas las barras. ( )
SOLUCIN
1. Reacciones
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2. Fuerzas axiales internas:
Nudo:
1
243
5
3m 3m
3m
8 ton.
6
8 ton.
2 43
5
3m
8 ton.6
8 ton.
42
42
42
42
V5V1
P
H1
1 H5
P
N23
Y
X
42
N12
42
-
1er. TEOREMA DE A. CASTIGLIANO
III - 30
Nudo:
( )
( )
( )
Nudo:
*
( ) +
( )
*
( ) +
( )
Nudo:
( )
[
( ) ]
( )
N13
45
(P+Q)
Y
XH1
42
N34
Y
X
P
42
2/2(P+Q)-8 N36
45
-
ING. RONALD SANTANA TAPIA
III - 31
3. Clculo de los desplazamientos
N46
45
Y
X
(P-Q)+42
42
42
N56
1
2 43
5
3m 3m
3m
8 ton.6
8 ton.
2/2
(P+Q
)-8
42
1/2(P-Q)
1/2(P-Q)+42
2/2
(P-Q
)
1/2
(P-Q
)+4
242
42
42
42
42
V5V1
-
1er. TEOREMA DE A. CASTIGLIANO
III - 32
-
ING. RONALD SANTANA TAPIA
III - 33
PROBLEMA N 16
Para la estructura reticulada mostrada en la figura, se pide determinar el
desplazamiento vertical del Nudo 5
SOLUCIN
1. Reacciones
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2. Fuerzas axiales:
Nudo:
( )
1
2
4
3
5
a a
a
Q
2A
2A
AA
A2A
P
2P
1
2
4
3
5
Q
P
2P
V1 V4
H1 H4
-
1er. TEOREMA DE A. CASTIGLIANO
III - 34
Nudo:
Nudo:
Y
X
V4
45 H4
N34
XN23
45
N34N35
2P
Y
Y
X
N12
V1
N15H1
-
ING. RONALD SANTANA TAPIA
III - 35
Nudo:
( )
( )
3. Clculo de
(+): Traccin
(-): Compresin
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
TOTAL (
)
Y
XN23
45
N25N12
P
(14-Q)1
2
4
3
5
a a
a
Q H
V4V1
P-Q2
4
P+Q2
3P+Q2
Q
2A
2A
AA
A2A
P
2P
-
1er. TEOREMA DE A. CASTIGLIANO
III - 36
(
)
PROBLEMA N 16
Hallar el desplazamiento vertical del nudo , del sistema bi -articulado
SOLUCIN
1. Reacciones
( ) ( ) ( )
2. Equilibrio de nudos:
1
2
43
5
1.5m. 1.5m.
2m.
8 ton.
P
8
1
2
43
5
8 ton.
P
8
12 ton
8 ton.H =1
-16/3+P/2V =1
53/3+P/2V =5
-
ING. RONALD SANTANA TAPIA
III - 37
Nudo:
( )
( )
Nudo:
(
)
3. Efectos axiales
(+): Traccin (-): Comprensin
Y
X8
=53
N35N13
P
=53
Y
X8 =53
(20/3-5P/8)
(-16/3 + P/2)
N15
1
2
43
5
1.5m. 1.5m.
2m.
8 ton.
P
(4+3/8P)
8
V =-16/3 + P/21 V =53/3 + P/2
5
H =8 ton.1
12
-
1er. TEOREMA DE A. CASTIGLIANO
III - 38
( )
( )
( )
(
)
TOTAL
( )
PROBLEMA N 18
Para la estructura con elementos bi - articulados (armadura), calcular el
desplazamiento vertical del nudo 4.
Considerar para todos los elementos:
( )
Hallar:
45 6 ton.
1
2 3
5 4
12 ton.
4m. 3m.
3m.
-
ING. RONALD SANTANA TAPIA
III - 39
SOLUCIN
1. Clculo de las fuerzas axiales:
Nudo:
( )
Nudo:
( )
(
)
45 6 ton.
1
2 3
5 4
12 ton.
R5
3 2
R1
3 2
3 2
Y
X45
P
N34
N45
-
1er. TEOREMA DE A. CASTIGLIANO
III - 40
2. Clculo de:
En donde:
(+): Traccin (-): Compresin
( )
( )
(
)
TOTAL
Y
X37
N13
3/4P - 3/4 2
3 2
3 2
P