capítulo 35 - crodzmate3026.files.wordpress.com · para la tercera opción, y así sucesivamente,...
TRANSCRIPT
Capítulo
Técnicas de
conteo
© 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
3 5
5-2 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
Si una tarea consiste de una secuencia de opciones en
las cuales hay p posibilidades para la primera opción, q
posibilidades para la segunda opción, r posibilidades
para la tercera opción, y así sucesivamente, entonces
la tarea se puede realizar de 𝑝 ∙ 𝑞 ∙ 𝑟 ∙ ⋯ formas
diferentes.
La regla de multiplicación y conteo
5-3 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
Para cada una de las dos opciones para el entremés,
un restaurante tiene 4 opciones para el plato principal y
dos opciones para el postre.
¿Cuántas comidas diferentes se pueden formar?
EJEMPLO Contar las posibles opciones
5-4 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
n! (ene-factorial)
Si 𝑛 ≥ 0 es un entero, n! se define como sigue
n! = n(n-1)∙ ⋯ ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
1! = 1
0! = 1
5-5 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
Una permutación es un arreglo ordenado en
el cual se eligen r objetos se seleccionan de n
objetos distintas y no se permite repetición
(objetos no pueden ser seleccionados más de
una vez).
El símbolo nPr representa el número de
permutaciones de r objetos seleccionados de
n objetos.
Permutaciones
5-6 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
Número de permutaciones
El número de formas que se pueden elegir r
objetos distintos de un total de n objetos en los
cuales
• los n objetos son distintos
• se permite la repetición de objetos (objetos
no pueden ser seleccionados más de una
vez).
• el orden importa
está dado por
𝑃𝑟 =𝑛!
𝑛 − 𝑟 !𝑛
5-7 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
En cuántas formas pueden los caballos en una carrera
de 10 caballos terminar primero, segundo y tercero.
EJEMPLO Apuestas
• Los 10 caballos son distintos.
• Si un caballo cruza la línea de llegada, no vuelve a
cruzar.
• En una carrera, orden es importante.
En este caso tenemos una permutación de 10 objetos
que se toman 3 a la vez.
Las diferentes formas en que los primeros 3 caballos
se pueden ordenar es
5-8 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
EJEMPLO Apuestas (cont.)
5-9 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
Combinaciones
Una combinación es a colección, sin tomar en
cuenta orden, de n objetos distintos sin
repetición (objetos no pueden ser
seleccionados más de una vez).
El símbolo nCr representa el número de
combinaciones de n objetos distintos tomados
r a la vez.
5-10 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
Número de combinaciones
El número de formas diferentes de ordenar n
objetos distintos tomando r ≤ n para los
cuales
• los n objetos son distintos
• so se permite la repetición de objetos
(objetos no pueden ser seleccionados más
de una vez).
• el orden no importa
está dado por
𝐶𝑟 =𝑛!
𝑟! 𝑛 − 𝑟 !𝑛
5-11
¿Cuantas muestras aleatorias simples de 4 objetos se
pueden obtener de una población de tamaño 20?
EJEMPLO Muestras aleatorias simples
Los 20 individuos son diferentes.
El orden no importa.
Por lo que, el número de muestras aleatorias simples
de 20 objetos, tomados 4 a la vez, es una combinación
de 20 objetos. En la fórmula con n = 20 y r = 4:
5-12 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
Permutaciones de n objetos donde
los objetos NO son todos iguales
El número de permutaciones de n objetos en
los cuales que 𝑛1 de ellos son de una clase, 𝑛2
de ellos son de otra clase, y … donde 𝑛𝑘 de
ellos son de otra clase
𝑛!
𝑛1! ∙ 𝑛2! ∙ ⋯ ∙ 𝑛𝑘!1
5-13 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
¿De cuántas formas diferentes se pueden arreglar
verticalmente 10 banderas si 5 son de color blanco, 3
son de color azul, y 2 son de color rojo?
EJEMPLO Arreglos de Banderas
5-14 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
En la Lotería de Illinois, una urna contiene bolas
enumeradas del 1 a 52. De esta urna, seis bolas se
eligen al azar sin reemplazo. Para una apuesta de $1,
un jugador elige dos grupos de seis números. Para
ganar, los seis números deben coincidir con los
seleccionados de la urna. El orden en que se
seleccionan las bolas no importa. ¿Cuál es la
probabilidad de ganar la lotería?
EJEMPLO Ganar la lotería
5-15 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
EJEMPLO Ganar la lotería (cont.)
• La probabilidad de ganar está dada por el número de
maneras en que un boleto podría ganar dividido por
el tamaño del espacio muestral.
• Cada boleto tiene dos grupos de seis números, por lo
que hay dos posibilidades de ganar por cada boleto.
• El espacio muestral, S, es el número de maneras en
que 6 objetos de los 52 objetos se pueden
seleccionar, sin reemplazo, y sin tener en cuenta el
orden
• Así que N (S) = 𝐶652
5-16
Tenemos dos urnas A y B. En la urna A hay 4 bolas azules, 3
rojas y 3 verdes y en la urna B hay 5 bolas azules, 2 rojas y 3
verdes. Lanzamos una moneda. Si sale cara acudimos a la urna
A y si sale cruz acudimos a la urna B. Calcula la probabilidad de
obtener:
a) cara y bola roja
b) bola azul
c) bola no-azul
Un árbol de decisiones es una herramienta para determinar la
probabilidad de tomar una serie de decisiones cuando cada
decisión es independiente de la otra.
Arboles de decisión
5-17 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
Use el árbol de decisiones
para calcular la probabilidad
de obtener:
a) cara y bola roja
b) bola azul
c) bola no-azul
Arboles de decisión (cont.)
P(bola no-azul) =
5-18
En el juego ¿De Acuerdo o No?, le presentan a un
concursante 26 maletas que contienen cantidades que van
desde $ 0.01 a $ 1,000,000. Las cantidades se distribuyen
en las maletas al azar antes de comenzar. El concursante
deberá escoger una maleta inicial que se separa a un lado
en lo que el juego progresa. ¿Cuál es la probabilidad de que
el concursante elija una maleta con un valor de al menos
100,000 dólares si los premios se desglosan como sigue:
EJEMPLO ¿Cuál regla aplica?
5-19
De acuerdo con una encuesta de enero de 2008, el 14%
de los adultos estadounidenses tienen uno o más
tatuajes, el 50% han perforado sus orejas, y el 65% de
los que tienen uno o más tatuajes también han perforado
sus orejas. ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto
estadounidense seleccionado aleatoriamente tenga uno
o más tatuajes y las orejas agujeradas?
EJEMPLO 2 ¿Cuál regla aplica?
• Este es un evento compuesto ( es un “y”).
• E = "uno o más tatuajes" y
F = "orejas perforadas,"
• Como P (F) = 0.50 y P (F | E) = 0.65, P (F) ≠ P (F | E)
• Los dos eventos no son independientes.
• Hallar P(E y F) con la Regla General de
Multiplicación
5-20 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
5-21 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
El consejo de la ciudad Hazelwood consta de 5 hombres
y 4 mujeres. ¿Cuántos subcomités diferentes se pueden
formar que contengan de 3 hombres y 2 mujeres?
EJEMPLO ¿Cuál técnica de conteo usar?
5-22 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights
reserved
El 17 de febrero de 2008, el Daytona International
Speedway fue sede de la 50 ª edición de la Daytona 500.
Considerado, por muchos, el evento más esperado en la
historia de las carreras, la carrera llevaba
un bolso récord de casi $18.7 millones. Con 43 pilotos en
la carrera, en cuántas maneras diferentes pueden ocurrir
los cuatro primeros clasificados (primero, segundo,
tercero y cuarto lugar)?
EJEMPLO 2 ¿Cuál técnica de conteo usar?
5-23
• En este caso las posiciones representan premios, Por
lo tanto, el orden importa.
• Queremos hallar las formas diferentes de elegir un
grupo de 4 pilotos de los 43.
• Podemos usar la fórmula de permutación.
EJEMPLO 2 ¿Cuál técnica de conteo usar? (cont.)