capítulo 3: procesamiento de las imágenes - elai.upm.es · si se aplica la siguiente máscara de...

1

Capítulo 3: Procesamiento de las imágenes

� Procesamiento� Mejorar su calidad, SNR, o realzar

alguna característica

� Teoría de la Señal & Heurístico

� Muestreo y cuantificación� Resolución espacial

1. Característica más pequeña a capturar

2. Campo de visión

� Depende del sistema de iluminación

Superficie iluminada

cuasi uniforme

Focos luminoso

Campo de visión

Teorema del muestreo� Teorema de Shanon

� La frecuencia de

muestreo debe ser al menos el doble del ancho

de banda de la señal.

� Las imágenes se

descomponen en

frecuencias verticales y

horizontales.

Teorema del muestreo� Teorema de Shanon

� Alta frecuencia-> bordes,

ruido.

� Baja frecuencia-> áreas

homogéneas

� El detalle más pequeño

deberá de tener un entorno de 2x2

010

20

3040

5060

70

0

10

20

30

40

50

60

70

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

Componente 2 en el eje k

0

20

40

60

80

0

20

40

60

800

500

1000

1500

2000


2

Ejemplo 3.1Para la inspección de la pasta de papel se ha conseguido, según un modelo de simulación, una iluminación uniforme a contraluz de 200 mm x 275 mm (en una relación próxima a los ¾) y el defecto más pequeño a detectar tiene un área de 1 mm2. Con el objeto de reducir las aberraciones ópticas, se ha cerrado el diafragma con un elevado número F. Con ello y tras el análisis radiométrico se ha demostrado que si se emplea una cámara WATEC 902 con una lente de 16 mm, la pasta de papel debe de estar alrededor de los 700 mm en vertical. Determinar

si es correcta la elección realizada

Ejemplo 3.1Según el fabricante de la cámara, ésta tiene para el estándar CCIR 582 filas por 752 columnas y el tamaño del píxel es 8.3µm por 8.6µm. Tomando como propósito un entorno de 3x3 píxeles para el defecto de 1mm2, el factor de magnificación ponderado será:

0253.010

106.8103.896

662 =

⋅⋅⋅⋅=

−

−−

MM

mmM

YmmM

X 2.255106.8752

6.190103.8582 33

=⋅⋅

==⋅⋅

=−−

mmM

fZ 632==

492 9.8 510 12.78.3 8.6

582 752

m mdx m dy m

µ µµ µ

⋅ ⋅= = = =

Tecnologías de vídeo

3

Cuantificación� Potencias de 2

Cuantificación� RGB, HSV,Lab

Distancia entre píxeles

� Relaciones entre píxeles

� Conectividad: N4(p), N8(p)

( ) ( ) ( )22, tysxqpDe −+−=

( ) ( )tysxqpDm −+−=,

( ) ( )tysxqpDt −−= ,max,

4

Distancia entre píxeles ( ) ( ) ( )22, tysxqpDe −+−=

( ) ( )tysxqpDm −+−=,

( ) ( )tysxqpDt −−= ,max,

Teoría de la Señal(1/3)

� Imágenes: señales 2D

� Procesamiento lineal: convolución entre señal y sistema

� Secuencia de ponderación

� Extensión a 2D (máscara de convolución):

{ } { } { } { } { }kkkkk gxxgy ** ==

{ } { },...,,,,..., 21012 gggggg k −−=

∑∑∞

−∞=

−

∞

−∞=

− ==n

nnk

n

nnkk gxxgy

∑=

=n

k

kg0

1

∑∑−= −=

−−=1

1

1

1

,,,

m n

nmnlmklk gxy

+++−+

+−

+−−−−

−

−

−−−−

1,1,11,1

1,,1,

1,1,11,1

1,10,11,1

1,00,01,0

1,10,11,1

lklklk

lklklk

lklklk

xxx

xxx

xxx

ggg

ggg

ggg

Ejemplo 3.2

� Dada la ecuación en diferencia:

obtener la secuencia de ponderación y

determinar la salida ante una entrada en escalón.

214

1

2

1

4

1−− ++= kkkk xxxy

5

Extensión del ejemplo a 2D

Ejemplo 3.2

214

1

2

1

4

1−− ++= kkkk xxxy

{ } { }4

1121=kg

...

125.05.025.0

75.05.025.0

25.0

7

0

2

7

0

1

2

0

0

=++==

=+==

==

∑

∑

∑

=−

=−

=−

n

nnk

n

nnk

n

nnk

gxy

gxy

gxy

K xk xk-1 xk-2 yk

0 1 0 0 0.25

1 0 1 0 0. 5

2 0 0 1 0.25

Resolución en MATLAB

>> g= [1;2;1]./4;>> x=ones(10,1);

>> y=conv(x,g);>>stem(y(1:10));


� Combinación lineal

� Resultados

� Imagen(K,L)

� Máscara(M,N)

� (K+M-1)(L+N-1)

� (K,L)

� (K-M+1)(L-N+1)

1,11,11,11,10,1,1

1,11,11,11,10,1,1

1,01,1,01,0,0,

1

1

1

1

,,,

−+−−−−

−−++−−+−+

−+−

−= −=

−−

⋅+⋅+⋅

+⋅+⋅+⋅

+⋅+⋅+⋅== ∑∑

gxgxgx

gxgxgx

gxgxgxgxy

lklklk

lklklk

lklklk

m n

nmnlmklk

6

Ejercicio 1

� Dada la siguiente imagen, calcular para el píxel marcado el resultado de la convolución

con las dos máscaras de Prewitt.

•

10101011

10101011

10101011

10101011 1 1 1 1 0 1

0 0 0 1 0 1

1 1 1 1 0 1

x y

−

− − − − −

∂ ∂

∂ ∂

Ejemplo 3.4

� Determinar el resultado de la convolución discreta 2D para el filtro FIR binomial {1,2,1}

y su traspuesta.

( )

=

121

242

121

1

2

1

*121


>> g= [1;2;1]./4;>> conv2(g,g’)


� Correlación

� Búsqueda de patrones

∑ ∑∞

−∞=

∞

−∞=++=

m n

nmnlmklk gxy ,,,

1

1.5

2

2.5

3

1

1.5

2

2.5

30.05

0.1

0.15

0.2

0.25

7

Ejemplo 3.3

� Determinar la imagen de salida cuando ésta es procesada por un filtro binomial de 3 x 3.

0 0 0 0 0

1 2 10 200 200 200 01

* 2 4 20 200 0 200 016

1 2 10 200 200 200 0

0 0 0 0 0

Ejemplo 3.3

0 0 0 0 0

1 2 10 200 200 200 01

* 2 4 20 200 0 200 016

1 2 10 200 200 200 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 12.5 37.5 50 37.5 12.5 0

0 37.5 100 125 100 37.5 0

0 50 125 150 125 50 0

0 37.5 100 125 100 37.5 0

0 12.5 37.5 50 37.5 12.5 0

0 0 0 0 0 0 0

Ejercicio 2

� Si se aplica la siguiente máscara de

convolución, , como un vector fila a la imagen de la figura, ¿Cuál sería el

resultados?¿Y si se aplica como un vector columna?

{ } { }1 0 1ng = −

8

Ejercicio 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 -255 -255 0 0 255 255 0 0

0 0 -255 -255 0 0 255 255 0 0

0 0 -255 -255 0 0 255 255 0 0

0 0 -255 -255 0 0 255 255 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 -255 -255 -255 -255 0 0 0

0 0 0 -255 -255 -255 -255 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 255 255 255 255 0 0 0

0 0 0 255 255 255 255 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

{ } { }1 0 1ng = −

Respuesta en frecuencia(1/2)

� Respuesta en frecuencia normalizada

� Secuencia de ponderación

( ) ∑∞

−∞=

−=n

nj

negG ωω 1,...,2,1,00

2

−==∑=

⋅⋅

−

KkegGN

n

nK

kj

nk

π

1,...,2,1,01 1

0

2

−== ∑−

=

⋅⋅

NneGK

gK

k

nK

kj

kn

π

Ejemplo 3.6

� Determinar la respuesta en frecuencia de un sistema discreto cuya secuencia de ponderación es {1/4, 1/2, 1/4}.

( ) ωωωω 22

0 4

1

2

1

4

1 jjnj

n eeegG −−− ++==∑

ωωωω G(ωωωω) ( )ωG ( )( )ωGarg

0 1 1 0

π/64 0.99-j0.049 0.999 -2.81º

2π/64 0.99-j0.097 0.997 -5.62º

... ... ... ...

63π/64 -0.0006-j0.00003 0.0006 -178º

9

Ejemplo 3.6Resolución en MATLAB

>> [G,W] = freqz ([1/4,1/2,1/4], 1,128);

>> plot(W,abs(G));

>> plot(W,angle(G).*(180/pi));

firdemo

Ejercicio 3

� Demostrar que el filtro FIR, cuya secuencia de ponderación es ,

corresponde a un filtro paso banda.

{ } { }1

1 0 2 0 14

ng = − −

( ) 2 411 2

4

j jG e eω ωω − − = − + − ( ) ( )0 0 1 0

2G G G

ππ

= = − =

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Módulo de la respuesta en frecuencia

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

10

Extensión a imágenes digitales(1/2)

� Respuesta en frecuencia de una máscara de

convolución2 2

, ,

0 0

0,1,2,..., 1 0,1,2,..., 1k lM N

j m j nK L

k l m n

m n

G g e e k K l Lπ π⋅ ⋅

− ⋅ − ⋅

= =

= = − = −∑∑

010

2030

4050

6070

0

20

40

60

800

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Respuesta en frecuencia de filtro binomial

010

2030

4050

6070

0

20

40

60

800

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Respuesta en frecuencia de filtro promedio

Ejemplo 3.7

� Determinar la respuesta frecuencia del filtro

binomial 2D:

2 2 2 42 2

, ,

0 0

2 2 2 2 4

4 4 2 4 4

11 2

16

2 4 2

2

k lj m j m j l j lK L L L

k l m n

j k j k j l j k j lK K L K L

j k j k j l j k j lK K L K L

G g e e e e

e e e e e

e e e e e

π π π π

π π π π π

π π π π π

⋅ ⋅− ⋅ − ⋅ − −

− − − − −

− − − − −

= = + + +

+ + +

+ +

∑∑

{ }

=

121

242

121

16

1,nmg


>> V=fft2(conv2([1 2 1],[1 2 1]'),64,64);

>> surf(abs(V))0

1020

3040

5060

70

0

20

40

60

800

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Respuesta en frecuencia de filtro binomial

fftshift

0

20

40

60

80

0

10

20

30

40

50

60

70

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

20

40

60

80

0

10

20

30

40

50

60

70

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

11

Respuesta en frecuencia(2/2)

� Transformadas discretas de Fourier

� Relación fundamental

1,...,2,1,00

2

−==∑=

⋅−

KkexXN

n

nK

kj

nk

π

1,...,2,1,01 1

0

2

−== ∑−

=

⋅⋅

NneXK

xK

k

nK

kj

kn

π

Ejemplo 3.7

� Dada la respuesta en frecuencia de un filtro

discreto unidimensional de orden 2 (ver ejemplo 3.6):

� y siendo la excitación al sistema,

� calcular la secuencia de salida.

1,...,2,1,04

1

2

1

4

142

−=++=−−

KkeeGk

Kjk

Kj

k

ππ

{ } { },...0,0,0,1,1=kx

Ejemplo 3.7

1,...,2,1,01

2

−=+=−

KkeXk

Kj

k

π

{ } { },...0,0,0,1,1=kx

kKjk

Kjk

Kjk

Kjk

Kjk

Kj

k eeeeeeY

ππππππ 642422

4

1

4

3

4

3

4

1

4

1

2

1

4

11

−−−−−−

+++=

++

+=

{ }

=4

1,

4

3,

4

3,

4

1ky

12

Ejemplo 3.7


>> Xw = fft( [1;1], 64);

>> Gw = fft( [1;2;1]./4, 64);

>> Yw = Xw .* Gw;

>> yk = ifft( Yw )

0.25

0.75

0.75

0.25

0

...

firdemo


� Transformadas de Fourier

� La transformada de Fourier

muestra que una imagen

puede ser construida por la

combinación de armónicos de


horizontales.

� A mayor frecuencia más

transiciones de la luminancia

en menos píxeles, en la

dirección determinada por la

componente

010

2030

4050

6070

0

10

20

30

40

50

60

70

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000


0

20

40

60

80

0

20

40

60

800

500

1000

1500

2000


0

20

40

60

80

0

20

40

60

800

0.5

1

1.5

2

x 104

Componente de alta frecuencia

13


� Transformadas de Fourier

� La transformada de Fourier

muestra que una imagen

puede ser construida por la

combinación de armónicos de


horizontales.

� A mayor frecuencia más

transiciones de la luminancia

en menos píxeles, en la

dirección determinada por la

componente

Ejercicio

� Para la imagen dada, I(x,y), obtener los coeficientes de su transformada discreta de

Fourier que no aparecen en F(I):1 1 1 1

1 1 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

I

=

0 0

0 0 0( )

0 0 0

0 0 0

F I

• •

• = •

•

( ) ( )2 2

4 4, , 0,1, 2,3 0,1, 2,3k lx y

x y

F k l I x y e e k lπ π

− −

= = =∑∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,0 8 0,1 0 1,0 4 4 2,0 0 3,0 4 4F F F j F F j= = = − = = +


� Aplicaciones

� Eliminación del ruido

� Realce de bordes

� Alto coste computacional

� FFT: N log2(N)

� Compresión

14

Extensión a imágenes digitales� Compactación de la información

Cuestiones

� ¿Cómo determinar el proceso de muestro de una

imagen?.¿Y el de cuantificación?.

� El procesamiento lineal de las imágenes digitales.

� Convolución y correlación 2D, conclusiones y

aplicaciones.

� Respuesta en frecuencia de la máscara de

convolución:

� Relaciones entre el espectro de la imagen y el tipo

de escena capturada.

010

121

010

6

1

010

121

010

6

1

0

20

40

60

80

0

20

40

60

800

0.2

0.4

0.6

0.8

1

010

2030

4050

6070

0

20

40

60

80

0

0.5

1

capítulo 3: procesamiento de las imágenes - elai.upm.es · si se aplica la siguiente máscara de...

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