µO-CAF -1- 1

Capítulo 2:Guías de onda y líneas de transmisión

En el presente capítulo se va a analizar una solución general de las ecuaciones de Maxwell, en un medio sin fuentes,en el que se permitirá la existencia de variación de las magnitudes

con las tres coordenadas espaciales. Dada la complejidad del problema completo nos

centraremos en problemas que pueden ser descritos sistemas curvilíneos ortogonales con simetría de traslación.

µO-CAF -1- 2

INTRODUCCIÓN (I)

• Definición: medio sin fuentes donde pueden variar las magnitudeselectromagnéticas con tres coordenadas espaciales. Limitaciones:

– Complejidad del problema EM completo– Descripción del problema mediante sistema curvilíneo ortogonal (u1, u2, u3)– Simetría de traslación: u3=cte, planos paralelos entre sí.– Los factores de escala quedan:

• Ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia en un medio homogéneo caracterizado por ε y µ en donde no existen fuentes:

zuuh

uhh ˆˆ;0;1 3

3

2

3

13 ==

∂∂

=∂∂

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=⋅∇

=⋅∇

⋅=×∇

⋅−=×∇

0

0

H

E

EjH

HjE

r

r

rr

rr

ωε

ωµ

Tomando rotacionales en las dos primeras y considerando

las otras dosεµωγ

γ

γ

⋅⋅−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−∆

=−∆

22

2

2

0

0

o

o

o

HH

EErr

rr (1)

µO-CAF -1- 3

INTRODUCCIÓN (II)

• Resolución de las ecuaciones (1) (tomamos la del campo eléctrico)– Separación del campo en componentes longitudinal y transversal:

– Sistema con simetría de traslación

• Aplicando la técnica de separación de variables:

• Las ecuaciones diferenciales han de ser igual a una constante

– constante en la dirección transversal– constante en la dirección longitudinal

022 =−−∆+∆ zoTozT EEEErrrr

γγ

( ) zzEEzEE

EE

EE zzTzz

zoz

ToT ˆˆ0

02

2

2

2

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+∆=⋅∆=∆⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−∆

=−∆ rrr

rr

γ

γ

( ) ( )zZuuFE Ez ⋅= 21, 01 22

2=−

∂∂

+∆

oE

ET

zZ

ZFF

γ (2)

( ) ( ) 22222222

22 ;4 1;3 ococc

E

ET

zZ

ZFF γγγγγγγγ =+⇒−=⇒=

∂∂

=∆

cγγ

222 β−= kkc

(Pozar)

µO-CAF -1- 4

INTRODUCCIÓN (III)

• La solución de la ecuación (3) tiene sólo componentes transversales y (4) longitudinales

• La forma de esta solución puede ser

– Solución A: formada por ondas progresivas y regresivas: componente longitudinal– Solución B: constituye una onda estacionaria.: componente transversal

• El campo en la dirección longitudinal será:

donde se ha considerado sólo la onda progresiva

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )zDzCzZ

zBzAzZ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅−⋅=γγγγ

senhcoshexpexp

( ) ( )( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅−⋅⋅=

⋅−⋅⋅=

zuuFzH

zuuFzE

Hz

Ez

γ

γ

exp,ˆ

exp,ˆ

21

21r

r

µO-CAF -1- 5

CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (I)

• MODOS TEM: transversales electromagnéticos, no hay campo eléctrico ni magnético longitudinal

– las ecuaciones de Maxwell quedan– calculando el rotacional en sentido longitudinal y utilizando la otra ecuación

– Introduciendo esta expresión en el correspondiente rotacional se puede extraer el valor del campo magnético transversal como:

– Los vectores están contenidos en planos perpendiculares a z.– El vector se obtiene a partir de la expresión (5)– No confundir la impedancia del modo TEM que coincide con la intrínseca del

medio y sólo depende de las características del medio con la impedancia característica que depende del material que rellena la línea y de la forma de la misma

0;0 == zz HEvv

( ) ( )zuuFE

EE

oETEM

ToTz

T⋅−⋅=

=⋅−∆

γ

γ

exp,

0

21

2

rv

vv

εµη ==

×= TEM

TEM

TT Z

ZEzH ;ˆr

r

HErr

,Hr

(5)

tt

tt

EjHHjErr

rr

⋅⋅=×∇

⋅⋅−=×∇

εωµω

µO-CAF -1- 6

CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (II)

• MODOS TM: transversales magnéticos, no existe componente longitudinal del campo magnético por lo que también se les llama modos E:

• La componente longitudinal es de la forma:

• Tomando las expresiones de los rotacionales, multiplicando por jwε la primera y tomando la segunda– Ecuación diferencial completa cuya solución homogénea es el modo TEM. – La solución para modos TM:

– está contenido en planos perpendiculares a z– Se puede definir una impedancia del modo como – Las componentes transversales se obtienen a partir de

0=zHv

( ) ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=−∆

⋅−⋅⋅=

0:,

exp,ˆ2

21

21

EcETE

Ez

FFuuFcon

zuuFzE

γ

γ

r

zTToTz EjHHrrr

×∇=−∆ ωεγ 2

TT

zTc

T

zTc

zTo

T

EzjHEE

zEjEjHrr

r

rr

×=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

∇=

×∇−=×∇−

=

ˆˆ

2

222

γωε

γγ

γωε

γγωε

Hv

ωεγ

jHEzZT

TTM =

×= r

ˆ

zEr

µO-CAF -1- 7

CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (III)

• MODOS TE: transversales eléctricos, no existe componente longitudinal del campo eléctrico por lo que también se les llama modos H:

• La componente longitudinal es de la forma:

• Tomando las expresiones de los rotacionales, multiplicando por jwε la primera y tomando la segunda– Ecuación diferencial completa cuya solución homogénea es el modo TEM– La solución para modos TM:

– está contenido en planos perpendiculares a z– Se puede definir una impedancia del modo como – Las componentes transversales se obtienen a partir de

0=zEr

( ) ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=−∆

⋅−⋅⋅=

0:,

exp,ˆ2

21

21

HcHTH

Hz

FFuuFcon

zuuFzH

γ

γ

r

zTToTz HjEErrr

×∇−=−∆ ωµγ 2

TT

zTc

T

zTc

T

Ezj

HHH

HjErr

r

rr

×=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

∇=

×∇=

ˆ

2

2

ωµγ

γγγωµ

Er

γωµj

HEzZT

TTE =

×= r

ˆ

zHr

µO-CAF -1- 8

CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (IV)

• Cuando no se satisface ninguna de las condiciones anteriores la solución se forma por superposición de los casos anteriores. La técnica de separación de variables deja de ser válida cuando la sección no es un cilindro recto.

• Las condiciones de contorno laterales definen la variación de los modos.• Las condiciones en planos z=cte determinan cuántos y cuáles son los modos. • La constante de propagación viene determinada

– Por las características del medio: modos TEM – Por las características del medio y las condiciones de contorno

• La constante de propagación es una función compleja de ω: – Constante de atenuación describe cómo varían las amplitudes de los campos– Constante de fase la forma cómo varía la fase del campo– Longitud de onda: distancia entre dos puntos de igual fase:– Velocidad de fase: velocidad con que se desplazan los planos de fase constante– Dos situaciones:

• Modo no se propaga• Modo se propaga

µεωγγ jo ==22co γγγ −=

( ) ( ) ( )ωβωαωγ j+=

( ) ( )( )

πω

ωωβπωλ

2

2 fv==

( ) ( )ωβωα ≥

( ) ( )ωβωα ≤

µO-CAF -1- 9

CONDICIONES DE CONTORNO LATERALES (I)

• Determinan cuántos y cuáles modos son necesarios considerar para obtener la solución completa.

• Casos más comunes– Región limitada por un conductor perfecto sin discontinuidades.– Características de buen conductor– Parte de la superficie límite se encuentra en el infinito– Discontinuidades en el medio (línea microstrip)

• Condiciones de conductor perfecto:– La región de contorno es un conductor perfecto:

– Modos TE: la segunda condición la cumplen automáticamente• De la primera se deriva:

n

τ

] ( )] ]⎩⎨⎧

=

=×⇒=+×⇒=×

00ˆ

0ˆ0ˆz

CTCzTC E

EnEEnEn

rrrr

] ( )] ( ) ( )] ( )]

( ) 0ˆˆˆˆ

0ˆ0ˆˆˆˆˆˆˆ

2 =∂∂

=∂∂

⇒⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

⋅=⋅

=⋅⇒=⋅−⋅=××=×

nF

nHnHn

nHHn

HnHnzznHzHnEn

Hzzz

cT

CTCTTCTCT

ττγ

γr

rrrrr

(6)

µO-CAF -1- 10

CONDICIONES DE CONTORNO LATERALES (II)

• Condiciones de conductor perfecto:– Modos TM:

• La condición Ez=0 supone C es una línea de Ezcte, su gradiente es normal• Tomando la segunda condición de (6): tiene dirección normal

– Modos TEM:• Las condiciones coinciden con el planteamiento de

un problema estático.• Los campos transversales coinciden con los campos estáticos entre conductores

• El campo TEM coincide con la solución de un problema electrostático• En una región limitada por un recinto simplemente conexo no puede haber modos TEM• En una región multiplemente conexa:• El número de modos TEM independientes es el número de partes de la frontera

menos 1. • La corriente que fluye viene dada por la ley de Ampere• En cada punto de la línea se puede definir unívocamente un voltaje y una corriente

TEr

] 0;0ˆ =×∇=×TETCT FEn

rr

( )⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

⋅∇=⋅∇

Φ−∇=

ED

yxF TETrr

r

ε

, ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=Φ

=Φ∆

cteyxyx

C

T

,0,

( ) 0, =Φ∆ yxT

∫ ⋅=Φ−Φ=2

12112 ldEVrr

C1

C2

∫ ⋅=C

ldHIrr

µO-CAF -1- 11

CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (I)

• Teorema de Green:– Sea un campo vectorial definido a partir de un potencial como: – Cálculo de la divergencia– Teorema de Green para dos dimensiones

• Condiciones de contorno de conductor perfecto

• Ambas integrales son positivas luego tiene que cumplirse– la constante de propagación es real si ω< ωc luego no se propaga y el modo está al corte– la constante de propagación es imaginaria si ω> ωc , el modo no está al corte y se

propaga• La propagación es de tipo paso alto con

( ) ( )yxFyxFA ,,* ∇⋅=r

( ) ( ) ( ) ( )yxFyxFyxFyxFA ,,,, ** ∆⋅+∇⋅∇=∇r

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ ⋅∇⋅=∆⋅+∇⋅∇⇒⋅=∇CSCS

ldyxFyxFyxFyxFyxFyxFldAAtt

rrrr,,,,,, ***

∫∫ ⋅∂∂⋅=∆⋅+∇⋅∇

CS TTT ldnFFFFFF

t

r***

⇒⋅=∆⎪⎭

⎪⎬

⎫

=∂∂

=FF

nFTE

FTM

cT

C

H

E2

0:)(

0:)(γ ∫∫ ⋅⋅⋅−=∇⋅∇

tt ScS TT dsFFFF *2* γ

02 <cγ

µεπγ

2

2c

cf−

=

µO-CAF -1- 12

CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (II)

• En función del valor de la frecuencia de corte se puede poner:

– El signo + corresponde a f>fC.– El signo - corresponde a f<fc

• Representación de la constante de propagación: diagrama de dispersión

• Existe un número infinito de soluciones (autofunciones) cada una correspondiéndose con un valor de (autovalores). El menor de dicho autovalor corresponde a un modo TE

2

2

2

22

2

1;1

;1ffZ

ff

Zff c

TMc

TEc

o −⋅±=

−

±=−⋅±= ηηγγ

Así ZTE , por debajo del corte, será inductivo y ZTM capacitivo.

2cγ

µO-CAF -1- 13

CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (III)

• Conclusiones: – Si se traza una recta ω=cte se verán inmediatamente los modos que se propagan.– También se puede obtener la velocidad de fase, que depende de la frecuencia

(dispersión) y es siempre mayor que la velocidad de la luz en el medio.– Si la frecuencia es menor que la frecuencia correspondiente al menor no existe

ningún modo que se propague constituyendo dicha fc la frecuencia de corte absoluto.– El modo de menor fc se denomina modo dominante y el resto modos superiores.– En los sistemas capaces de soportar modos TEM no existe frecuencia de corte absoluta

• Medio con pérdidas (se supone que no hay pérdidas magnéticas):– La constante de propagación será: – La permitividad se modifica como:– Luego queda:

– Frecuencia de corte: valor de f que hace α=β

2cγ

( ) ( ) ( )ωβωαωγ j+=''' εεε j−=

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−⋅−=−

⋅=⇒−−⋅−=−=+=

2222

2222222

'

''2'''

ccco jj

γµεωβα

µεωαβγεεµωγγβαγ

'2

2

µεπγ c

cf−

= εεη

εε

ηεεγγ '1;

'1;'1 2

2

2

22

2

⋅−⋅=

⋅−

=⋅−⋅=ffZ

ff

Zff c

TMc

TEc

o

µO-CAF -1- 14

• Las constantes de atenuación y fase quedan entonces:

• En el caso que las pérdidas sean pequeñas:– La constante de fase coincide con la obtenida despreciando las pérdidas– La constante de atenuación vale:

• Para modos TEM, considerando resulta:

CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (IV)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅+−⋅−+−⋅−−⋅=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅+−⋅−+−⋅−⋅=

2222222

2222222

''''21

''''21

µεωγµεωγµεωβ

µεωγµεωγµεωα

cc

ccd

''' εε <<

δβµεω

εε

βµεωα tg

2'

'''

2' 22

⋅⋅

=⋅⋅

=d

''' εε <<

δµεω

εεµεω

α tg2

''''

2'

⋅⋅

=⋅⋅

=d

µO-CAF -1- 15

ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (I)

Condiciones de contorno para conductor perfecto

byaxETM

byy

H

axx

H

nHTE

z

z

z

z

,0;,0en 0 :

,0en 0

,0en 00 :

===

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==∂∂

==∂∂

⇒=∂∂

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−

=−∂∂⋅+

∂∂⋅

⇒=222

22

2

2

2

0)()(),(

cyx

c

kk

XYyYX

xXY

yYxXyxFγ

γ

( )( )

( )

( )zyb

nsenxa

mQsenzETM

zyb

nxa

mPzHTE

bnk

amk

CA

ykDyCsenkyxYxkBxAsenkyxX

mnmnz

mnmnz

yxyy

xx

γππ

γππ

ππ

−⋅⋅⋅=

−⋅⋅⋅=

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

==⇒

⎭⎬⎫

+=+=

expˆ:

expcoscosˆ :

;

0

cos),(cos),(

,

,

r

r

Aplicando separación de variables y las condiciones de contorno para despejarlas constantes, resulta:

222

22

220

, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

−

−=

bn

am

kk c

cnm

ππµεωγγ

γ

µO-CAF -1- 16

ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (II)

Distribución de campo Distribución de corriente

Ubicación de modos

µεafc 2

110 =

Modo dominante TE10( )

( )

( )zxa

PH

H

zxa

senPaH

EE

zxa

PajE

z

y

x

zx

y

1010,

10,

1010,

10,10,

1010,

expcos

0

exp

0

expcos

γπ

γππγ

γππωµ

−⋅=

=

−⋅⋅=

==

−⋅−=

Banda X: a=22.86 mm, b=10.16mm

µO-CAF -1- 17

ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (III)

µO-CAF -1- 18

ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (IV)

µO-CAF -1- 19

GUÍA ESTRANGULADA

• Ancho de banda de la guía rectangularestá limitado a una octava.• Los “raíles” disminuyen la frecuencia de corte del fundamental.• La capacidad de transmitir potencia decrece• Posibilidad de adaptar impedancias

µO-CAF -1- 20

GUÍAS CIRCULARES (I)

Utilización de coordenadas cilíndricas.Condiciones de contorno para conductor perfecto

( ) ( ) ( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⋅+−∂∂⋅+

∂∂

=∂∂

−⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

∂∂

−=−∂∂⋅+

∂∂

=−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂⋅

∂∂

⋅=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

=∂∂

=

=

0

1

1

011

,0:

0:

2222

22

22

2

2

222

2

22

22

2

2

RkRR

RR

kPP

PP

RR

RR

FFF

PRFETM

HTE

cc

c

arz

ar

z

φ

φ

ργρ

ρρ

ρ

φ

φργ

ρρ

ρρ

γφρρ

ρρρ

φρφρρ

Las soluciones de ambas ecuaciones son del tipo:

zr

φ

)cos()()( φφφ φφ kBkAsenP +=

)()()( ργργρ cncn DYCJR +=

Modos TE Modos TM

( ) )()cos()(),( ργφφφρ cnH JnBnAsenF += ( ) )()cos()(),( ρφφφρ cnE kJnBnAsenF +=

µO-CAF -1- 21

GUÍAS CIRCULARES (II)

( )

µεπγγγ

ργρ

apf

ap

ap

JH

nmnmc

nmnmnmc

cnar

z

2

00'

,2'20

'

,

'

=⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⇒=

=⇒=∂∂

=

9.9706.7063.0542

8.5365.3311.8411

10.1747.0163.8320

p’n3p’

n2p’n1n

Modos TE Modos TM

0)(0),( =⇒= akJaE cnz φ

220

220 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=−=

apk nm

cnm γγγµεπa

pf nmcmn 2

=

11.6208.4175.1352

10.1747.0163.8321

8.6545.5202.4050

pn3pn2pn1n

Distribución de modos

µO-CAF -1- 22

GUÍAS CIRCULARES (III)

µO-CAF -1- 23

GUÍAS CIRCULARES (IV)

µO-CAF -1- 24

GUÍA DIELÉCTRICA

• Guía de permitividad εr2 sobre dieléctricode permitividad εr1. Todo sobre plancha Metálica.• Los campos quedan confinados en el dieléctrico de mayor permitividad.• Soporta modos TE y TM.• Ventaja: poco peso, reducidas dimensiones• Problema: grandes pérdidas en empalmes yen dobleces.

µO-CAF -1- 25

CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN

• Dos características importantes como sistemas de transmisión:– Capacidad de propagarse a cualquier frecuencia– Constancia de velocidad de fase en ausencia de dispersión

• Retomando la expresión– Vo no depende de los puntos elegidos– La magnitud V(z) define de forma unívoca el potencial entre los dos conductores

• Ambos conductores están recorridos por corrientes iguales en sentido contrario

• Se puede definir una impedancia característica– η depende del medio– k depende de la geometría de la línea– Resultado independiente de z

• El concepto de línea de transmisión se asocia a cualquier sistema transmitiendo un modo TEM.

• Permite introducir los sistemas funcionando como circuitos con las constantes R, L y C cuando las dimensiones sean pequeñas.

( ) ( )zVzVldEV o ⋅−==⋅=Φ−Φ= ∫ γexp2

12112rr

C1 C2

( )zIldHI oC

⋅−⋅=⋅= ∫ γexprr

kldH

ldE

IVZ

C

o ⋅=⋅

⋅

==∫

∫ηrr

rr2

1

µO-CAF -1- 26

CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN (II)

• Consideremos un cuadripolo simétrico

• Introduciendo las ecuaciones de propagación en las del cuadripolo

• Formando la red en T:

( )( )⎩

⎨⎧

−⋅=−⋅=

=−⇒⎭⎬⎫

+=+=

lIIlVV

bcaaIcVIbIaVV

o

o

γγ

expexp

112

122

221

221

I1 I2

V1 V2

( )( )

( )( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

=

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−

+=

laZ

lc

lZb

bcal

bcal

o

o

o

oo

o

o

γ

γγ

γ

γ

cosh

senhsenh

exp

exp2

2

caz

czz

caz

bca

=

==

=

=−

22

21112

11

12

1211 zz − 1211 zz −

12z

µO-CAF -1- 27

CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN (III)

• Introduciendo los valores:

• En el caso en que l sea muy pequeña:

( )( )l

lZZo

oo γ

γsenh

1cosh −=

( )( )l

lZZo

oo γ

γsenh

1cosh −=

( )o

o

ZlY γsenh

=

( )2lZZ o

oγ

=

( )o

o

ZlY γ

=

( )2lZZ o

oγ

= εµωγ

εµη

⋅⋅−=

⋅=⋅=

2o

o kkZ

( )δεεεεεωωε

ωµtg1''''

'''2 jj

lk

jk

Y

lkjZ−⋅=−=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+=

⋅⋅=Carácter inductivo

Capacidad más conductancia

µO-CAF -1- 28

CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN (IV)

• El circuito equivalente queda:

• Simplificaciones adicionales:– A: Líneas de muy alta impedancia: carácter inductivo– B: Líneas de muy baja impedancia: carácter capacitivo– C: Pérdidas en los conductores

LCjZG

CLZ

oo

o

⋅+⋅=

=

ωγ2Gl Cl

2lL

2lL

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⋅=

=

⋅=

o

o

o

ZC

ZG

ZL

ηε

ηωεη

µ

'

''

Expresiones sin pérdidas en los conductores y con bajas pérdidas

en el dieléctrico

Ll

A

Cl

B

Gl Cl2lL 2

lL2lR

2lR

C

βααωγ jLCjZ

RZG

CLZ

cdo

o

o

++=⋅+⋅

+⋅=

=

22

µO-CAF -1- 29

LÍNEA COAXIAL (I)

• Dos formas de resolución: a partir del problema electrostático o a partir de la ecuación de Helmholtz.• Problema electrostático:

• El cable coaxial es capaz de soportar modos superiores TE o TM⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

==

==

⇒=⋅=⇒=⇒==

abKL

abK

G

abKZa

b

KK

abC

ln2

ln

''2''

ln22

ln'

ln

'20

πµµ

πεωωε

πηη

πεπε

µO-CAF -1- 30

LÍNEA COAXIAL (II)

• Es necesario conocer los valores de la función potencial Φ(ρ,φ)• Ecuaciones a considerar:

0),(1),(12

2

2 =∂Φ∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

Φ∂∂∂

φφρ

ρρφρρ

ρρ

)()(),( φρφρ PR=Φ

2

21φρ

ρρ

ρd

PdPd

dRR

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

022

2

=+ Pkd

Pdφφ

02 =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

φρρ

ρρ k

ddR

R

abbV

ddR

lnln),(0 0 ρφρ

ρρ

ρ=Φ⇒=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

ρρ

φρφρ ˆln

),(),( 0

abVe t =Φ−∇=

φπρ

φρφρ ˆ2

),(ˆ1),( 0IezZ

hTEM

=×=

• Soluciones:

)cos()()( φφφ φφ kBkAsenP +=

πη

2ln

0

00

abI

VZ ==

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TECNOLOGÍAS PLANAS

• Características: – Coste económico. Chapa barata y proceso de fabricación sencillo mediante fotograbado.– Reducido peso que los hace ligeros.– Dimensiones reducidas– Permiten la integración de circuitos MIC y MMIC– Están formados por materiales metálicos y dieléctricos.

• Opciones tecnológicas: – Línea stripline (triplaca)– Línea microstrip– Línea coplanar– Línea de ranura

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LÍNEA STRIPLINE: INTRODUCCIÓN

• Se puede considerar derivada de la coaxial.• Proceso de construcción: superposición de

placas• Recinto doblemente conexo: modos TEM• También soporta modos TE y TM que

conviene eliminar– Tornillos entre los planos de masa– Separación entre planos menor de λ/4

• Análisis: – Expresiones semiempíricas– Ábacos y curvas– Aproximación electrostática.

• Formulación:

µεβϖ 1

==pv rrpv

εγεεµϖϖβ 000 === CvCLC

CLZ

p

10 ===

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LÍNEA STRIPLINE: FORMULACIÓN

Impedancia característicabW

bZer 441.0

300 +=

επ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<−

>−=

35.0)35.0(

35.00

2

bWforbW

bWfor

bW

bWe

Anchura de la línea⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−−

<=

1206.085.0

120

0

0

Zforx

ZforxbW

r

r

ε

ε 441.030

0

−=Z

xrεπ

Atenuación en los conductores( )

( )( )( )

( )

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⋅

++=

−−+

⋅+−

+=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

<−⋅⋅

=

−

tW

Wt

tWbB

ttb

tbtb

tbWA

mNpZB

bZR

ZAtb

ZR

rs

rors

c

ππ

π

ε

επ

ε

α

4ln21414.05.0

7.05.01

2ln121

/12016.0

12030107.2

00

0

3

para

para

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LÍNEA STRIPLINE: ÁBACOS

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LÍNEA MICROSTRIP: INTRODUCCIÓN

• Proceso de construcción: placa fotograbada• Recinto NO doblemente conexo: no soporta

modos TEM sino cuasi TEM que son una superposición híbrida de modos TE y TM que conviene eliminar.

• Proceso de eliminación– Tornillos entre los planos de masa– Separación entre planos menor de λ/4

• Aplicaciones:– Estructuras de transmisión: pocos campos

desbordados, altas permitividades, bajos espesores.

– Estructuras radiantes: gran campo desbordado bajas permitividades, espesores grandes.

• Análisis: – Expresiones semiempíricas– Ábacos y curvas

ep

cvεµεβ

ϖ===

1

eep

kv

εεεµϖϖβ 000 ===

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LÍNEA MICROSTRIP (II)

Modelo con medio homogéneo de permitividad efectiva εe

re εε <<1

Wdrr

e 1211

21

21

+−

++

=εεε

Concepto de permitividad efectiva

( )[ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥+++

≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=1

444.1ln667.0393.1120

14

8ln60

0

dWfordWdW

dWford

WWd

Z

e

r

επ

ε

Impedancia característica

Anchura de línea

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+−−

+−−−

<−=

261.039.0)1ln(2

112ln12

22

82

dWforBBB

dWfore

e

dW

rr

r

A

A

εεε

πr

rr

rr

ZB

ZA

επ

εεεε

0

0

2377

11.023.011

21

60

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−

++

=

Atenuación mNpkk

re

er

re

erd )1(

)1(2tan

)1()1(

2tan 0

−−

=−−

=εεεεδ

εεεεδα mNp

WZRs

c0

=ασ

ϖµ2

0=sR

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LÍNEA MICROSTRIP (III)

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LÍNEA MICROSTRIP (IV)

µO-CAF -1- 39

LÍNEA DE RANURA

• Es la línea dual de la microstrip pero con campos magnéticos• Soporta modos cuasi TEM• La eficiencia es menor que la microstrip• Modificando la separación entre placas se consigue variar la impedancia

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LÍNEA COPLANAR

• Es como una línea slotline pero con un conductor central• El voltaje de la señal es aplicado entre el conductor central y los planos de masa. • Soporta modos cuasi-TEM pares o impares • Constante dieléctrica efectiva: • Menos dispersión que la microstrip en bajas frecuencias• Formulación:

21+

= re

εε

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

<<⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

≤<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

= −

1173.011

2ln4

173.002ln

10

aWforWa

aWaW

aWforWa

Z

e

e

επη

επη

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TABLA COMPARATIVA (I)

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TABLA COMPARATIVA (II)

FácilRegularDifícilDifícilIntegración con otrosElementos

FácilFácilMediaMediaDificultad de Fabricación

PequeñoMedioGrandeGrandeTamaño

BajaBajaAltaMediaCapacidad de Potencia

AltasAltasBajasMediasPérdidas

AltoAltoBajoAltoAncho de Banda

BajaNoMediaNoDispersión

Cuasi-TEMHíbrido TM,TE

TEMTM,TE

TE10TM,TE

TEMTM,TE

Modos: HabitualSecundario

MicrostripStriplineGuía ondaCoaxialCaracterísticas

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BIBLIOGRAFÍA

• Wadell, B.C.: "Transmisión Line Design Handbook", Artech House, 1991.• David M.Pozar: "Microwave Engeneering" Second Edition 1998, John

Wiley&Sons. (capítulo 3)• Robert E. Collin: "Foundations for microwave engineering" New York McGraw-

Hill, 1992. (capítulo 3)• Bahl y Bhartia: "Microwave Solid State Circuit Design", Wiley Interscience,

1988. (capítulo 2)• Harlan Howe: "Stripline Circuit Design"; Microwave Associates Burlington;

Artech House 1974.