cap 3 maquina primitiva a-b

7/24/2019 Cap 3 Maquina Primitiva a-b

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Prof. Ing. Tomas Palma


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Introduccin

Es una maquina que suministra energa elctrica a los circuitos del rotor por medio de

un conmutador y unas escobillas.

Mientras las escobillas se deslizan de un segmento del conmutador al siguiente, la

disposicin de los circuitos del rotor mantiene una distribucin de corriente en la

superficie del rotor, fija en el espacio respecto al estator. Por este modo al suministrar

al mecanismo del conmutador y las escobillas una corriente constante se genera uncampo magntico estacionario en la estructura del rotor.


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Devanado de anillos deslizantes

Los devanados de anillos deslizantes del rotor, se pueden representar en la forma quese indica en la Fig. 1. Los dos ejes se designan ary br, simbolizando a los ejes a yb

del rotor de la mquina. Como los devanados son del rotor, estn dibujados dentro del

circulo. El eje aforma un ngulo con el eje den el sistema de ejes fijos d-q. Cuando

el rotor gira, los ejes ary bry el devanado de anillos deslizantes giran con l.


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Figura 1. Esquema de dos devanados de anillos deslizantes del rotor, en cuadratura.

ar

br

i ar

ibr

d

q


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Las corrientes superficiales de los devanados directo y de cuadratura del rotor para una

mquina de n pares de polos:

= / (1)

=

/ (2)

Siendo y

cos las respectivas vueltas por metro en un ngulo . Estas

ecuaciones son independientes de la posicin de la velocidad angular del rotor.

Para la dependencia del ngulo variable que es formado por el eje fijo d y el eje mvila, en sentido anti horario:

=

/ (3)

=

/ (4)


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Cuando el ngulo es variable, cuando el rotor gira a una velocidad angular constante

, =

, y = 0 , donde 0 es la posicin inicial de los ejes a-b en

el instante t=0. Suponiendo que 0 = 0y sustituyendo:

=

/ (5)

=

/ (6)

Aplicando la ley circuital de Ampere, hallamos los campos magnticos en el entrehierro

debido a las corrientes de los devanados a-b del rotor:

=

(7)

=

(8)

Donde aes el radio del rotor y g()la longitud del entrehierro, que tiene un periodo de

/n radianes. Si = , dichos campos de entrehierro giraran en sentido contrario al

horario, con una frecuencia angular de /.


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Distribuciones D-Qsuperficiales de

corriente, giratorias, en el rotorSuponiendo que los dos devanados del rotor, d-q, se excitan mediante corrientes

sinusoidales con la siguiente relacin de fase:

= 2

(9)

= 2

(10)

Donde y

son valores eficaces de las corrientes, es la frecuencia en radianes de

las corrientes de excitacin y es un ngulo arbitrario de fase.


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Sustituyendo dichas corrientes d-q en las ecuaciones (1) y (2), las distribuciones de

corriente en la superficie tendrn la forma:

=

(11)

=

(12)

Al combinar las ecuaciones (11) y (12), la corriente total en la superficie d-q en lasuperficie del rotor, viene dada por:

=

+

(13)


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Si hacemos que los factores de distribucin sean iguales. Haciendo: =

= , la ecuacin

(13) se convierte:

=

(14)

El primer termino representa una distribucin giratoria de corriente alrededor del rotor, en sentido

anti horario y a una frecuencia angular de / .

El segundo termino es una distribucin giratoria anloga, en sentido horario y a la misma

frecuencia angular del primer termino.


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Distribuciones superficiales

equivalentes de rotorA-B

yD-Q

En el rotor d-q, los devanados se alimentan a travs de un conmutador y escobillas, las

distribuciones que son fijas en el espacio respecto al estator vienen dadas por:

=

(15)

= (16)

Los devanados a-b del rotor se alimentan por medio de anillos deslizantes, cuyas

distribuciones resultantes vienen dadas por:

= (17)

=

(18)


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En la Fig. 2 se representan esquemticamente los devanados de rotor a-by d-qy sus

respectivos sistemas de ejes.

Figura 2. Devanados del rotor en los sistemas de ejes a-by d-q.

r

ar

b

r

iar

idr

ibr

iqr

d /dt

d

q


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Determinaremos las corrientes que deben circular por los devanados d-q, para

establecer la misma distribucin de corrientes en la superficie del rotor, que la

establecida por las corrientes en los devanados a-b. Hallaremos los valores de e

en

funcin de e

. Sumando las ecuaciones (15) y (16), se obtiene:

=

(19)

Anlogamente, la corriente total en la superficie del rotor, resultante de e

, se

obtiene sumando las ecuaciones (17) y (18):

=

(20)

Mediante transformaciones en la ecuacin (20) obtenemos:

=

(21)


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Comparando las ecuaciones (19) y (21), para hacer que las distribuciones de corrientes

y

sean idnticas:

=

(22)

=

(23)

Considerando que los factores de distribucin de los devanados del rotor son idnticos,

as como los devanados del estator tambin estn igualmente constituidos. Para los

factores de distribucin del rotor:

=

=

=

.

Sustituyendo en las ecuaciones (22) y (23):

=

=

(24)


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La relacin de corrientes a-b y d-qen la ecuacin (24) se pueden expresar en forma

matricial:

= ,

(25)

Donde:

=

(26)

=

(27)

,

, a-bexpresa la transformacin de coordenadas de corriente del rotor d-q, a partir

de las coordenadas de corriente del rotor a-b, transformacin dada por:

, =

(28)


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Anlogamente si las corrientes vienen expresadas en el sistema de referencia d-qy se

desea obtener sus equivalentes en el sistema a-b, se pueden hallar a partir de la

ecuacin:

= ,

(29)

Donde , es la inversa de ,

y vale:

, = ,

=

(30)

Escribiendo las ecuaciones (9) y (10), que especifican las corrientes en los devanados

directo y de cuadratura del rotor en forma matricial:

=

=

2

2

(31)


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Aplicando la ecuacin (29) para hallar las corrientes equivalentes del rotor a-b:

=

= 2

(32)

El cual, desarrollando el producto de matrices y empleando las identidades

trigonomtricas al producto de seno y coseno de dos ngulos, obtenemos:

= +

(33)

=

+

(34)

Para simplificar el anlisis en las ecuaciones anteriores, suponemos que la excitacin d-

q esta compensada, es decir: = = y reemplazando en (33) y (34), las

ecuaciones de bobina a-bse reducen a:

= 2

= 2 (35)


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En ngulo , representado en la Fig. 2, define la rotacin entre los dos sistemas de

coordenadas. Suponiendo hacer girar al sistema de coordenadas a-b en el sentido

angular positivo con una frecuencia angular constante de /n rad/s, condicin que se

expresa as.

=

(36)

Donde es un ngulo de fase constante, que define el emplazamiento angular de los

dos sistemas de coordenadas en el instante t=0. Sustituyendo (36) en (39), se obtienenlas corrientes de este sistema giratorio de referencia a-b, dando:

= 2

= 2 (37)

Con y como ngulos de fase constante. Las ecuaciones (37) demuestran que lascorrientes en las bobinas ay ben este sistema giratorio de coordenadas, no dependen

del tiempo, sino que son corrientes continuas y constantes.

Averiguar que sucede si se sustituye =

= y (36) en las ecuaciones (33) y (34).


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Ecuaciones y parmetros de la

mquina A-BEn la Fig. 3 se ha representado la maquina primitiva d-q completa, de cuatro

devanados.

Figura 3. Mquina primitiva d-qcon cuatro devanados.

r

rT

idr

vdr+ vd

s+

ids

iqr

iqs +

vqs

+vq

r

d

q


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Las ecuaciones de equilibrio de las puertas elctricas de la maquina d-q, en forma de

una matriz:

=

(38)

Donde se ha definido:

=

(39)

=

(40)


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Para la matriz de impedancia tenemos:

=

0

0

0

0

(41)

Matriz que es resultado de considerar devanados idnticos en el estator e idnticos en elrotor (aunque puedan ser de diferentes de los del estator en general).


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En la Fig. 4 se representa la maquina primitiva a-b, de cuatro devanados, idntica a la d-q,

con una excepcin importante: Los devanados del rotor en la mquina a-b se excitan

mediante anillos deslizantes.

Figura 4. Mquina Primitiva completa, a-b, con cuatro devanados.

r

rT

ar

br

bs

as

iar

var +

vas+

ias

ibr

ibs +

vbs

+vb

r


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Mediante la ecuacin (29), transformamos un grupo de corrientes d-qdel rotor, en otro

equivalente de corrientes a-b. Las corrientes del estator son idnticas en las dos

maquinas y por tanto, la siguiente ecuacin matricial sirve para transformar las cuatro

corrientes d-qen las corrientes equivalentes a-b:

= ,

(42)

Donde:

=

(43)

, =

1 00 1

0 00 0

0 0

0 0

(44)

E

se define en (40)


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La matriz dada en (44) se llama matriz completa de transformacin d-qa a-b, tambin

se le llama matriz de transformacin de estacionario a giratorio. Se observa que la

matriz , dada en la ecuacin (30) es solo una parte de matriz completa de

transformacin.


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Transformaciones de Trifsica a

BifsicaEn las maquinas primitivas a-b y d-q, se han situado los devanados del rotor y estator

en dos ejes separados 90. La Fig. 5 representa dos devanados idnticos del estatorsobre los ejes ay bde la maquina a-b.

Figura 5. Grupo de devanados del estator, en dos fases, en los ejesay b.

bs

as

ias

Kas

ib

s

Kbs


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Al circular corriente por dichos devanados , se establecen lminas de corriente,

distribuidas sinusoidalmente sobre la superficie interior del estator, laminas que, para

un devanado de npares de polos, vienen dadas por:

=

/

=

/ (45)

Para dos devanados idnticos del estator, tendramos:

=

= (46)

La maquina primitiva a-b tienen dos circuitos en el estator y otros dos circuitos,

alimentados mediante anillos deslizantes, en el rotor, cada uno de los cuales se llama

fase. La maquina a-b tiene un estator de 2 fases y un rotor tambin de 2 fases. Las

maquinas polifsicas mas corrientes tienen devanados de tres fases en vez de tener los

dos.


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En la Fig. 6 se ha representado un estator de tres fases, con tres devanados idnticos en

los ejes , y .

Figura 6. Grupo de devanados del estator, en tres fases en los ejes, y .

s

is

Ks

K

s

is

s

s

K

sis

2 /3

2 /3

2 /3


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Cada devanado establece una distribucin sinusoidal de corriente de npares de polos, a lo

largo de sus ejes respectivos. No obstante, cada una de las distribuciones esta a 2/3

radianes, o 120, de las otras dos, en vez de los /2 radianesdel devanado de 2 fases. Por

tanto, las laminas de corriente establecidas por las corrientes en los tres devanados,

representados en la Fig. 6 vendrn dadas, respectivamente por:

=

/

=

3

/

=

3

/ (47)

Para devanados idnticos, los factores de distribucin son idnticos:

=

= =

(48)

La distribucin total de corriente en la superficie debida a los devanados del estator

trifsico, se halla sumando las distribuciones individuales. De este modo obtenemos la

distribucin total en el estator trifsico.

=

(49)


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Sustituyendo las ecuaciones (47), la distribucin total se expresa de la forma:

=

3

3

3

3

(50)

En forma anloga, la distribucin total de corriente en la superficie, establecida por los

devanados de los ejes ay b, viene dada por:

=

(51)

Sustituyendo las ecuaciones (45), tenemos:

=

(52)

Por conveniencia suponemos que los devanados de la maquina a-b tienen factores de

distribucin iguales a los trifsicos:

=

(53)


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Comparando las ecuaciones (50) y (52), podemos hacer =

, con tal de que las

corrientes a-bse elijan de tal forma que:

3

=

3

3

3

=

3

3

(54)

Sustituyendo los valores de sen (2/3)y cos (2/3)se transforma la ecuacin (54) en

forma matricial:

= ,

(55)

Donde:

=

(56)


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=

(57)

, =

3

1

0 3

3

(58)

La ecuacin (58) es la matriz de transformacin de trifsica a bifsica. La ecuacin (55)transforma las corrientes trifsicas en un conjunto equivalente de corrientes bifsicas.

Tambin se aplica para las variables respectivas de tensin de puerta. Si tenemos un

conjunto trifsico de tensiones de estator ,

, aplicado a los tres devanados de la

Fig. 6.


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El conjunto equivalente de tensiones bifsicas vendr dado por:

= ,

(59)

Donde:

=

(60)

=

(61)

Y la ecuacin (55) define la matriz de transformacin.


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El conjunto de devanados -- sobre el rotor de la mquina obtiene un conjunto

equivalente de devanados a-bdel rotor, cada uno de los cuales es idntico con los tres

devanados idnticos --del rotor.

La Fig. 7a, muestra la maquina trifsica completa con tres devanados en el rotor de

anillos deslizantes, cada uno con un factor de distribucin , y tres devanados en el

estator con un factor de distribucin cada uno. En la Fig. 7b, se representa la

mquina bifasica a-b equivalente que tienen los mismos factores de distribucion

para el rotor y para el estator.


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(a) (b)

Figura 7. (a) Mquina trifsica completa, simtrica. (b) Modelo a-bde la mquina bifsica

simtrica equivalente.

r

a

r

br

as

bs

s

r

K s K s

K s

K r K rK r

Ks

Kr

s

r

s

r

Ks

K

r

cap 3 maquina primitiva a-b

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