Maquinas Eléctricas IIILa Máquina Primitiva

Ing. Tomas Palma García

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍAFACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRICA Y ELECTRÓNICA

1. Características

• El modelo tiene devanadosortogonales entre si.

• No hay movimiento relativo entre losejes de los devanados del estator ydel rotor.

• La parte fija se llama estator

• La parte móvil se llama rotor de radioa

• El entrehierro es no uniforme: gd y gq• Se empleara las coordenadas

cilíndricas: âz = âr x âθ

Ver

2. Vista desarrollada del entrehierro:

• La longitud del entrehierro:

g=gd : (-π/4< θ < π/4) y (3π/4< θ <5π/4)

g=gq: (π/4< θ <3 π/4) y (5 π/4< θ <7 π/4)

• La función de onda cuadrada sepuede expresar por la serie deFourier:

g(θ)=(gq + gd)/2- (gq - gd)/2x4[cos(2θ)-

1/3cos3(2θ)+………]/π

• Considerando el terminofundamental:

g(θ)=g0 - g1cos2θ

• Si: gq = gd , entonces g(θ) esconstante.

3. Campo Magnético generado por devanados estatóricos

• En esta sección se determinara el campo magnético en el entrehierro producidopor el devanado estatórico cuya distribución de corriente es : Ĵq

s (A/m).

• Se considera que la permeabilidad del material del estator y rotor es muy grande

μm→∞, por lo tanto Hm→0

• Sabiendo que las fuentes del campo magnético son las corrientes se utilizara:

• Ĵsq=-Ks

qxisqxcos θ âz

• Ksq: Factor de distribución (# de conductores/m)

• Ksqxcosθ: Distribución cosenoidal

• isq: Corriente que se inyecta al devanado estator eje “q”

• También se tiene una expresión matemática para el entrehierro:

g(θ)=g0-g1cos2θ

4. Devanado cuadratura del estator

Para el devanado de dos polos el ángulo del contorno será π.

Además:

Siendo g(θ) muy pequeño comparado con el radio medio entonces tendracomponente radial Hr; luego:

Hr(θ).g(θ)-Hr(θ+π).g(θ+π)=

; adθ: Diferencial de arco

=2Ksq.a.is

q.senθ

Luego:

2H(θ).g(θ)=2Ksq.a. is

q.senθ

= Ksq.a. is

q.senθ/g(θ) âr

Entonces:

=μ0Ksq.a. is

q.senθ/g(θ) âr

5. Campos Magnéticos del rotor

• El devanado del rotor es del tipoconmutador.

• El conmutador permite tener unadistribución fija de corriente en lasuperficie del rotor por lo tanto elcampo el campo generado por eldevanado del rotor excitado concorriente constante, permanecerá fijoen el espacio respecto al estator,independiente de la posición del rotor.

• Luego la distribución de corrientese puede expresar:

– = Kr’d. ir

d âz para 0<θ<π

– = - Kr’d. ir

d âz para 0<θ<2π

• Función de onda cuadrada

• Kr’d: Factor de distribución (# de

conductores/m)

• Distribución independiente de la posicióndel rotor.

Ver

6. Vista desarrollada del rotor

La distribución se puede expresar en términos de la serie de Fourier:

Considerando solo el termino fundamental:

Haciendo:

Luego utilizando la ley de Ampere se puede determinar el campo magnético creado en elentrehierro por el devanado rotor de eje directo.

7. Parámetros de inducción estacionaria de la máquina “d-q”

• La máquina “d-q” esta conformada por dosdevanados en el estator cuyos ejesmagnéticos están en cuadratura, y dosdevanados en el rotor con ejes magnéticostambién en cuadratura.

• Estos devanados se representan:

• Al inyectar corrientes positivas (por lospuntos) los campos magnéticos resultantesestarán dirigidos en los ejes positivos “d” y“q”.

• Los parámetros de inducción sedeterminaran con el rotor estacionario. (Lpropias, M mutuas)

• Acoplo inductivo para un elemento deinducción línea.

• Si se tiene dos elementos

•Para la máquina “d-q” se desarrollará las expresionesde los parámetros de inducción, lo cual permiteanalizar al comportamiento de las máquinaseléctricas como un sistema de circuitos acopladas:

• En forma inicial de despreciaran el flujo dedispersión y la saturación.

Ver

• Se inyectan las corrientes:

• Cuyas magnitudes empiezan desde cero. Luego se obtiene las expresiones de acoplo:

Ver

• Entonces la densidad de energía:Um=B2/(2μ0) (J/m3): Energía por unidad de

volumen

• Luego la energía total almacenada en el entrehierro se determinara integrando Um alrededor del entrehierro.

Donde: a: Radio Medio

l: Longitud axial

• Para le modelo de la máquina “d-q”

• Luego se tiene:

• Considerando la máquina “d-q” un sistema lineal, luego:

• La densidad de energía magnética:

• Para, nuestro caso la densidad de energía será en el entrehierro (en cada punto los vectores B y H son paralelos).

• Como se ha considerado queμ0→∞ entonces la intensidad decampo en la estructura delrotor y estator es cero, luegotoda la energía se encuentran enel entrehierro.

• El campo magnético total en elentrehierro será:

• Para una inductancia se tieneque la coenergía magnética:

Si es lineal:

• Desarrollando la integral de lafunción Wm energía magnéticaen el entrehierro luegoigualando Wm

’=Wm, comparandotermino a termino se obtiene:

Las inductancias mutuas de losdevanados en cuadratura son nulos.

• Reemplazando el valor del campomagnético total en el entrehierro:

• Utilizando la aproximación:

8. Ecuaciones de equilibrio de la Máquina “d-q”

• Para los devanados estatóricos:

9. Tensiones Inducidas por Rotación

• La forma general de la ley de Faraday:

• Pero:

• Considerando la espira formada por los lados activos están ubicados en (θ) y(θ+π), la tensión inducida por el movimiento relativo de esta espira dentro delcampo magnético total en el entrehierro B(θ). (B(θ): vector):

• Luego: La tensión inducida en una espira del devanado

• La tensión inducida será positiva si esta tiene un sentido tal que ayude a lacorriente iq

r.

• Para el devanado del rotor condistribución:

• El campo total en el entrehierroproducido por las corrientes quecirculan por los 4 devanados será:

• Si el rotor gira a ωr (rad/ser) cada ladoactiva tendrá una velocidad:

• De igual manera para un devanadoestator directo:

• Luego el campo magnético:

• De igual manera se determina la tensióninducida por rotación en el devanadodebido al campo total en el entrehierro:

• Para determinar la tensión inducida por rotación en todo el devanado el cual tiene una distribución:

• Luego se obtiene:

Diferencial de arco

Numero de lados activos

De un diferencial de arco

Definiendo las inductancias rotacionales: • Se observa que la tensión inducida porrotación del devanado , el cual tieneuna distribución fija e independientede la posición del rotor, es debido a loscampos generados por las corrientese y circulan por los devanados yque están en cuadratura al devanado .

• Para el devanado :

• Las ecuaciones de equilibrio se puedeexpresar en forma matricial:

Imagen

• Para el devanado :

• El signo (-) indica que la corriente inducida ayuda a .

Ecuación de equilibrio mecánico

• Sentidos de referencia:

• El par de origen eléctrico será determinadohaciendo un balance de energía:

PuertasEléctricasEstator - rotor

Puertamecánica

• Además:

• La potencia total:

• Reemplazando (2) en (1):

• Reemplazando

• Y (5) en (4):

• Identificando Términos:

• Perdida Potencia eléctrica:

• Perdida de Potencia• Perdida Potencia mecánica:

• En los campos magnéticos:

• Energía Almacenada• Energía cinética:

• Luego:

Vectores Espaciales

• Se considera que el acoplo magnético del estator como vector espacial:

• Cuyas componentes están en los ejes ortogonales d-q (Modelo de la máquina d-q)

• El vector espacial del flujo concatenado indica la posición con respecto a unareferencia que gira con una velocidad ωλ .

• De igual manera los vectores espaciales de la tensión y corriente del estator.