cap 2 - parte 2 - movimiento rectilíneo uniformemente variado

Introducción a la Física Universitaria Cinemática de la partícula

18

2.6 ACELERACIÓN MEDIA

Podemos cambiar la velocidad de un auto, pisando el acelerador o el freno, para aumentar o disminuir su

rapidez. También la podemos cambiar girando el timón, es decir cambiándole la dirección y sentido. Si el

movimiento se restringe a una línea recta, la dirección queda fija, pero todavía se puede cambiar la rapidez

y el sentido de la velocidad. La aceleración es un concepto que se introduce para medir qué tan rápido

cambia la velocidad de una partícula en el tiempo.

Supongamos que una partícula se mueve sobre una línea recta, y que en un instante t1 tiene velocidad v1, y

que en un instante posterior t2 tiene velocidad v2, ambos medidos respecto a algún SR, luego se define la

aceleración media de la partícula en este intervalo, como el cociente del cambio de velocidad y el intervalo

de tiempo usado:

12

12

tt

vv

t

vam

Considerando el intervalo de tiempo como positivo, es decir sin considerar cuentas regresivas, observamos

que la aceleración media tiene el mismo signo que el cambio de velocidad. Sin embargo, hacemos hincapié

en que el signo de la aceleración media no significa que la partícula aumente o disminuya su rapidez.

Un análisis cuidadoso de la ecuación anterior muestra que:

a) Si v1, v2 y am tienen el mismo signo, entonces la partícula aumenta su rapidez.

b) Si v1 y v2 tienen el mismo signo, pero difieren en signo de am, entonces la partícula disminuye su

rapidez.

c) Si v1 y v2 tienen signos opuestos, podemos decir que inicialmente la partícula disminuye su rapidez,

y que posteriormente empezó a aumentar su rapidez. Esto debido a que, en algún instante la

velocidad debió ser cero, es decir la partícula debió detenerse para cambiar de sentido.

La aceleración media la representamos por un vector cuyo sentido lo indica su signo: a la derecha si este es

positivo y a la izquierda si es negativo (considerando un eje positivo a la derecha). Por ejemplo, sea un

móvil que se encuentra en la posición 5 m, con una velocidad de –2 m/s, y que luego de 1 s se encuentra


19

en la posición –8 m, con una velocidad de –1 m/s, representamos la aceleración media como se muestra

en la figura:

2( 1 m / s) ( 2 m / s)1 m / s

1 sm

va

t

En este ejemplo podemos decir que la partícula disminuye su rapidez. Se cumple la regla (b): la aceleración

media resulta positiva, mientras que las velocidades son negativas. En un gráfico de este tipo, podemos

distinguir los vectores aceleración de los vectores velocidad teniendo en cuenta las unidades de las

etiquetas.

X(m)

0 5 10 -5 -8

am = 1 m/s2 –2 m/s

–1 m/s


20

2.7 MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN CONSTANTE

Un móvil describe un movimiento rectilíneo con

aceleración constante, cuando este se mueve en línea

recta y su aceleración media es la misma para cualquier

intervalo de tiempo que se considere. En este caso, es

conveniente definir la aceleración para todo instante del

movimiento, mediante la ecuación:

cteaa m

Nótese que mientras la aceleración media se define en un

intervalo de tiempo, la aceleración se define en todo instante. En el ejemplo anterior, si el movimiento

fuese de este tipo, la aceleración sería 1 m/s2, para todo tiempo entre 0 s y 1 s.

Una característica importante de este movimiento es que la velocidad de la partícula, cambia a la misma

tasa durante todo el movimiento. Por ejemplo, supongamos que un cuerpo rueda por un desliza por un

plano inclinado, y registramos en una tabla la velocidad en cada segundo:

Tiempo

transcurrido

Rapidez

medida

1,0 s 5,2 m/s

2,0 s 10,4 m/s

3,0 s 15,6 m/s

Notamos que la velocidad del cuerpo cambia 5,2 m/s en cada segundo, por lo tanto, con gran

aproximación podemos asumir que este es un movimiento con aceleración constante y que esta

aceleración (en módulo) es igual a 5,2 m/s2 en cualquier instante. Esta aceleración la calculamos, por

ejemplo, a partir de la aceleración media del primer tramo.

Determinaremos ahora, la velocidad de una partícula que se mueve con aceleración constante, para

cualquier instante de tiempo. Con este fin, supongamos que la aceleración del móvil es a, y que

Arreglo experimental para la medición de la

posición de un móvil con MRUV usando un sonar.

Laboratorio de Física de la PUCP


21

inicialmente, este tiene velocidad v0, punto en el cual tomamos nuestro origen temporal 0T .

Supongamos también, que en un tiempo posterior tT , la partícula tiene velocidad final vf.

Gráficamente:

La aceleración media para este tramo es:

0

0

t

vva

f

m

0x fx O

a T = t T = 0 v0 vf

X


22

Despejando la velocidad final y usando el hecho de que la aceleración es constante e igual a la aceleración

media, obtenemos la ecuación:

atvv f 0

Para tener una mejor idea de este movimiento graficamos la aceleración y la velocidad de la partícula

como funciones del tiempo (gráficos a–t y v–t).

Dado que la aceleración es constante en todo instante, la curva correspondiente es una recta horizontal

que pasa por el valor de la aceleración a. Por otro lado, la ecuación anterior nos da una relación lineal

entre la velocidad y el tiempo, por lo que la curva de velocidad es una línea recta con pendiente igual a la

aceleración a, y ordenada en el origen v0.

En el gráfico a–t vemos que el área bajo la curva de aceleración es simplemente el producto de la

aceleración por el intervalo de tiempo at, y de la ecuación anterior vemos que esto a su vez es igual al

cambio de velocidad. Es decir, concluimos que el área bajo la curva de aceleración resulta ser igual al

cambio de velocidad de la partícula. Si la aceleración es negativa, es decir cae por debajo del eje t, el área

la tomamos con signo negativo, para que siga representando el cambio de velocidad.

Ahora determinaremos la ley de movimiento para una partícula que se mueve con aceleración constante.

Para esto, suponemos que cuando la partícula se mueve con velocidad v0, esta se encuentra en la posición

inicial x0, y cuando alcanza su velocidad final vf, esta se encuentra en la posición final xf. Recordemos

también, que cuando se analizó el movimiento de una partícula con velocidad constante, se mostró que el


23

área bajo la curva de velocidad, en el gráfico v–t, representaba el desplazamiento. Pues bien, este es un

resultado válido en general. Por lo tanto, considerando, la gráfica anterior tenemos:

))((2

1)( 00 tattvxxxArea f

En el último término, el primer sumando representa el área del rectángulo sombreado, mientras que el

segundo término representa el área del triángulo sombreado. Notemos que el cateto vertical del triángulo

mide at, pues la recta tiene pendiente a. Despejando la posición tenemos:

2

002

1attvxx f

Esta es la ley de movimiento para el movimiento rectilíneo con

aceleración constante. Está ecuación predice una dependencia

cuadrática de la posición con el tiempo. Si realizamos una gráfica de

la posición en función del tiempo (gráfico x–t) obtenemos una

parábola, que corta al eje vertical en la posición inicial x0, y que

resulta cóncava hacia arriba (se curva hacia arriba) si la aceleración

es positiva y cóncava hacia abajo (se curva hacia abajo) si la

aceleración es negativa.

Otra característica importante de este gráfico, es que la

pendiente de la recta tangente en un punto de la parábola,

correspondiente a un tiempo t, resulta ser la velocidad v en

ese instante. Por ejemplo, la pendiente de la recta tangente

a 0t es la velocidad inicial v0.

Usando esta característica se pueden determinar las

coordenadas del vértice de la parábola. Dado que en este

instante la recta tangente es horizontal, entonces sólo se

debe resolver v(t) = 0. Una vez que se halla el tiempo, este

se reemplaza en la ley de movimiento para hallar la coordenada en el eje x.

Ejemplo

Gráficas x-t, v-t y a-t obtenidas usando el

arreglo experimental mostrado anteriormente.


24

Sea una partícula que parte a t = 0 s de la posición inicial −2 m con una velocidad inicial de 1 m/s. Si

además se conoce que la aceleración de la partícula para todo tiempo es −1 m/s2, entonces se pide hallar la

ley de movimiento x(t), la ley de velocidad v(t) y sus gráficas correspondientes.

SOLUCION

Para hallar x(t) y v(t) usamos directamente las fórmulas correspondientes y reemplazamos los datos.

21( ) 2

2

( ) 1

x t t t

v t t

Para graficar la ley de movimiento x(t) podemos completar cuadrados o proceder como sigue:

Como la aceleración es negativa entonces es una parábola cóncava hacia abajo.

La coordenada en t del vértice de la parábola se halla haciendo v(t) = 0, de donde t = 1 s.

Reemplazando este valor de t en x(t) tenemos la coordenada en x del vértice. Resulta: −1,5

Un punto de paso es la condición inicial: para t = 0 s tenemos que x = −2

En las siguientes figuras se muestran los gráficos x(t) y v(t):

Regla de signos

Finalmente se debe recordar que, tanto la velocidad como la aceleración, tienen signo. Dado un SR,

representamos estas cantidades por vectores que tienen cierto sentido dependiendo del signo.

Usualmente se escoge un SR con un eje de coordenadas positivo hacia la derecha, y correspondientemente

x(m) v(m/s)

t(s)

t(s)

O

O 1

−1,5 −2 1

1


25

las cantidades positivas se representan como vectores que apuntan a la derecha y las negativas como

vectores que apuntan a la izquierda.

Además, debido a que la velocidad y la aceleración se han definido para todo instante del movimiento,

podemos dar las siguientes reglas, para determinar en qué instantes la partícula aumenta o disminuye su

rapidez:

a) Si la velocidad y la aceleración tienen el mismo signo, entonces la partícula aumenta su rapidez.

b) Si la velocidad y la aceleración tienen signo contrario, entonces la partícula disminuye su rapidez.

Por ejemplo, sea una partícula que se encuentra inicialmente en la posición 2 m, con una velocidad de 10

m/s, y cuyo movimiento es con aceleración constante igual a –1 m/s2. Luego de 12 s, la velocidad y

posición de la partícula serán:

0

2 2

0 0

10 ( 1)(12) 2 m/s

1 12 10(12) ( 1)(12) 50 m

2 2

f f

f f

v v at v

x x v t at x

Nótese que en el cálculo anterior no se llevó cuenta de las unidades en el paso intermedio, pero si se

colocaron al dar los resultados. Gráficamente representamos estos dos instantes como sigue:

Dado que la aceleración es constante en todo el trayecto, dibujamos el vector aceleración en un punto

cualquiera. Por otro lado, los vectores velocidad, los dibujamos en los instantes que les corresponden.

Vemos del gráfico anterior que la aceleración es negativa durante todo el movimiento. Además el cálculo

muestra que después de 12 s, la partícula tiene velocidad negativa, luego en este instante la partícula esta

10 m/s –2 m/s

t = 0 s t = 12s

–1 m/s2

2 50 O x(m)


26

aumentando su rapidez. En contraste, inicialmente su velocidad era positiva y por tanto en este instante se

encontraba disminuyendo su rapidez.


27

2.8 CONSISTENCIA DIMENSIONAL DE LAS ECUACIONES

Podríamos fácilmente encontrar el volumen que ocupa un libro multiplicando sus tres lados, largo, ancho y

alto. Por ejemplo, un libro cuyo largo es 27 cm., ancho 20 cm. y alto 4 cm. ocupa un volumen de 2160 cm3.

Observa las unidades del volumen, son centímetros al cubo. Esto se debe a que el volumen se obtiene

multiplicando tres longitudes. Por esta razón, las dimensiones del volumen son 3L , donde L representa

dimensión de longitud. ¿Qué dimensiones tiene el área de un terreno? ¿En qué unidades se puede

expresar el área de un terreno?

Podemos expresar las dimensiones de otras magnitudes derivadas en función de tres magnitudes

fundamentales, longitud (L), masa (M) y tiempo (T). Por ejemplo, la velocidad tiene dimensiones de

longitud dividida entre tiempo, L/T. La suma algebraica (suma o resta) de dos magnitudes físicas sólo tiene

sentido si ambas tienen las mismas dimensiones. Por ejemplo, no podemos sumar velocidad con

aceleración. Consideremos la siguiente ecuación:

SRQP

Las dimensiones de P, Q, R y S deben ser las mismas. ¿Por qué? Además, antes de realizar las operaciones

de suma y resta para encontrar el valor de P, debemos asegurarnos que Q, R y S tengan las mismas

unidades. ¿Por qué?

El análisis dimensional nos permite, a veces, detectar errores en fórmulas o ecuaciones. Por ejemplo, un alumno escribe la siguiente fórmula para la posición de una partícula en función del tiempo:

attvxx oof2

1

¿Cuál es el error en esta fórmula?

Las posiciones inicial y final tienen dimensiones de longitud, la velocidad por el tiempo también tiene

dimensiones de longitud. La suma de la posición inicial con el producto de la velocidad inicial por el tiempo

es correcta. El factor ½ del último término no tiene dimensiones (es solo un número). El producto de la

aceleración por el tiempo tiene dimensiones de L/T. En otras palabras, haciendo el análisis dimensional

tenemos:


28

2

/ 2

( / )( ) ( / )( )

/

f o ox x v t at

L L L T T L T T

L L L L T

No podemos sumar el último término por tener diferentes dimensiones. La fórmula es incorrecta. La

coherencia de las dimensiones es una condición necesaria para que la ecuación sea correcta pero, no es

suficiente. Por ejemplo, ¿cuál es el error en la siguiente fórmula?

2

2

1attvxx fof

¿Es la fórmula anterior dimensionalmente correcta?


29

PROBLEMAS RESUELTOS

1. En la sección anterior hemos dado dos ecuaciones básicas para el movimiento con aceleración

constante. Sin embargo, existen otras dos relaciones que son de mucha utilidad en la solución de

problemas. En este primer problema demostraremos estas relaciones, usando la misma notación que

en la sección anterior.

a) Demostrar la siguiente relación (nótese que no aparece la aceleración):

tvv

xxf

f )2

(0

0

b) Demostrar la siguiente relación (nótese que no aparece el tiempo):

)(2 0

2

0

2 xxavv ff

SOLUCIÓN

a) Partimos de la ley de movimiento. Pasamos a restar la posición inicial y factorizamos el tiempo en

el segundo miembro, luego tenemos:

tatvxx f )2

1( 00

En la ecuación anterior, podemos reemplazar el factor at por el cambio de velocidad.

tvvvxx ff ))(2

1( 000

Simplificando la expresión en el segundo miembro:


30

tvv

xxf

f )2

(0

0

b) En este caso despejamos el tiempo de la ecuación que nos da la velocidad para todo tiempo.

Tenemos:

a

vvt

f 0

Reemplazando esta ecuación en la ley de movimiento, y expandiendo el segundo miembro:

2

2 2 2

0 0 0 0

1( ) ( )

2

(2 2 ) ( 2 )

2

f o f o

f o o

f f f

v v v vx x v a

a a

v v v v v v v

a

Simplificando y despejando el cuadrado de la velocidad final

)(2 0

2

0

2 xxavv ff

2. Un automóvil se mueve sobre una pista plana y recta, con una velocidad de 10 m/s. De pronto el

conductor decide pisar el acelerador, causando en el auto una aceleración constante durante un

tiempo total de 10 s. Si en el quinto segundo su velocímetro marca 20 m/s, se pide

a) Determinar la aceleración del automóvil.

b) Determinar la velocidad al cabo de los 10 s.

c) Determinar la distancia total recorrida por el auto.

d) Si en el instante t = 10 s, el conductor decide pisar pisa el freno, causando que el automóvil

disminuya su rapidez a razón de 6 m/s2, determinar la distancia que recorre el auto desde ese

instante hasta que se detiene.


31

SOLUCIÓN

a) Consideramos como origen temporal, t = 0 s, el instante en que el conductor pisa el acelerador, y un

eje positivo a la derecha. Luego, tenemos v0 = 10 m/s. Al cabo de cinco segundos, es decir t = 5 s,

tenemos vf = 20 m/s. Usando estos datos podemos calcular directamente la aceleración:

2

0 20 10 (5) 2 m/sfv v at a a

Nótese que siempre hacemos los cálculos intermedios sin llevar las unidades. Para esto debemos

tener todas las cantidades fundamentales en unidades consistentes. Por ejemplo, aquí siempre

usamos el metro para la longitud, y el segundo para el tiempo.

b) Utilizando la misma ecuación y el valor obtenido para la aceleración:

10 2(10) 30 m/sf fv v

c) Escogemos como punto de referencia (origen de coordenadas) el lugar en que el conductor pisa el

acelerador. Luego, para determinar la distancia total recorrida hasta t = 10 s, primero calculamos el

desplazamiento del auto hasta ese instante. Para esto, usamos la ley de movimiento:

2 2

0 0

1 10 10(10) (10) 200 m

2 2f fx x v t at x x x

Si el movimiento siempre fue en el mismo sentido durante los diez segundos de la trayectoria,

entonces podemos afirmar que la distancia fue 200 m. Ahora bien, en un movimiento en línea recta,

para que una partícula cambie su sentido, es necesario que esta se detenga. Luego, veamos si el auto

se detuvo en algún instante de su recorrido:

10 2 0 5 sv t t (no se detuvo)


32

d) Tomemos ahora como origen temporal y punto de referencia el instante y lugar en que el conductor

pisa el freno. Esto debido a que a partir de este punto la aceleración es distinta a la del tramo

anterior. Tomando un eje positivo a la derecha, se tiene v0 = 30 m/s y a = –6 m/s2. Se puede mostrar

que el desplazamiento del auto hasta que se detiene, nuevamente nos da la distancia:

2 2 2 2

0 02 ( ) 0 30 2( 6)( 0) 0 75 mf f f fv v a x x x x x

3. Un conductor que viaja a velocidad constante de 15 m/s pasa por un cruce de escolares cuyo límite de

velocidad es de 10 m/s. En ese momento, un policía en su motocicleta que está detenido en el cruce,

arranca con aceleración constante de 3 m/s2, en persecución del infractor.

a) ¿Cuánto tiempo pasa antes de que el policía alcance al infractor?

b) ¿A qué velocidad va el policía en ese instante?

SOLUCIÓN

a) Tomamos como origen de coordenadas el cruce y como origen temporal el instante en que parte

el policía. Tomamos también un eje positivo a la derecha como se muestra en la figura. Luego, para

ambos móviles se tiene x0 = 0. Sea xP, la posición del policía, y xC, la posición del conductor para un

instante cualquiera t.

El policía se mueve con aceleración constante por lo que su ley de movimiento resulta:


33

2

002

1attvxxP

2)3(2

1)(00 ttxP

2

2

3txP

El conductor se mueve con velocidad constante, y por tanto su ley de movimiento es:

vtxxC 0

txC 150

txC 15

En el instante en que el policía alcanza al conductor, la posición de ambos es la misma. Luego

igualando sus coordenadas y despejando t, tenemos:

21(3) 15 10 s

2t t t

b) La velocidad del policía la obtenemos usando:

0 (3)(10) 30 30 m/sf o P Pv v at v v


34

4. Un automóvil está detenido frente a un semáforo. Luego que se enciende la luz verde, arranca con una

velocidad que varía de acuerdo con el gráfico de la figura. Después de transcurridos 10s, ¿cuál es la

distancia que habrá recorrido el auto?

SOLUCIÓN

Este es un gráfico v–t, y por tanto el área sombreada, representa el desplazamiento del móvil. En este

caso particular, este desplazamiento resulta igual a la distancia, luego hallando el área tenemos:

10 20/ 2 100 md d

5. El siguiente gráfico corresponde a un móvil que se desplaza en línea recta. Si en un SR con eje positivo

a la derecha, el móvil partió de la posición x = 6 m, se pide determinar la posición del móvil para t = 6 s.

SOLUCIÓN

Hasta el instante t = 4 s, observamos que la velocidad es positiva, es decir el móvil se estuvo moviendo

hacia la derecha. El desplazamiento total será el área bajo la curva:


35

1 1 14 5/ 2 10 10 mx A x

A partir del instante t = 4s, vemos que la velocidad siempre es negativa, es decir el móvil se empieza a

desplazar hacia la izquierda. El desplazamiento total será el área correspondiente:

2 2 22 6/ 2 6 6 mx A x

Luego, la posición final será:

1 26 10 mfx x x

Preguntas Conceptuales

Responde las siguientes preguntas justificando tus respuestas.

1. Una partícula describe un movimiento rectilíneo con aceleración negativa constante. Si su rapidez

(módulo de la velocidad) está aumentando con el tiempo, entonces la partícula se mueve en la

dirección positiva del eje X. ¿Es correcta esta afirmación?

2. Una partícula describe un movimiento rectilíneo con aceleración constante. Durante cierto intervalo de

tiempo Δt, se observa que el desplazamiento de la partícula es de 5 m y hacia la derecha y que el

espacio total recorrido es de 25 m. Para dicho intervalo de tiempo Δt, ¿cuáles de las siguientes

afirmaciones son verdaderas?

a) La partícula se mueve inicialmente hacia la derecha y luego hacia la izquierda.

b) El tiempo que la partícula emplea en moverse hacia la derecha es mayor que el tiempo que emplea

en moverse hacia la izquierda.


36

3. Si el desplazamiento de una partícula entre dos instantes de tiempo, que se mueve con aceleración

constante, es cero, ¿es correcto afirmar que dicha partícula no se ha movido?

4. En un mismo intervalo de tiempo, un auto acelera de 15 m/s a 20 m/s mientras que un camión acelera

de 36 m/s a 40 m/s. Luego, en ese intervalo de tiempo, ¿es correcta la afirmación de que la aceleración

media del auto es mayor que la del camión?

5. Un móvil se mueve con aceleración constante en línea recta. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son

verdaderas?

a) La distancia recorrida durante el décimo segundo puede ser menor que la recorrida en el noveno

segundo.

b) Si la aceleración tiene sentido contrario a la velocidad inicial, el móvil en algún instante se

detendrá.

6. La magnitud del desplazamiento de una partícula, que se mueve con aceleración constante, entre dos

instantes cualesquiera de tiempo es igual a la distancia total recorrida entre dichos instantes de

tiempo. ¿Qué puede concluir acerca de la aceleración y la velocidad inicial de dicha partícula en dicho

intervalo de tiempo?

7. Un objeto se mueve en la dirección x positiva con aceleración constante. En x = 5 m, su rapidez es de

10 m/s. 2,5 s después, el objeto está en x = 65 m. ¿Cuál es su aceleración?

8. Si una partícula desacelera (disminuye su rapidez), entonces su aceleración necesariamente tiene signo

negativo. ¿Es esto cierto?

9. Dos autos parten del reposo desde un mismo punto cada uno con un MRUV. Si después de 4 s sus

distancias recorridas están en la relación de 1 a 3, entonces sus aceleraciones están en la misma

relación. ¿Es esto cierto?

10. Un tren viaja de la siguiente manera: en los primeros 60 min se desplaza con velocidad v; en los

siguientes 30 min lleva una velocidad de 3v; en los 90 min que le siguen viaja con una velocidad v/2; en

los 120 min finales, se mueve con una velocidad de v/3. ¿Cuál es la velocidad media del tren en el viaje

completo?


37

Ejercicios

1. Un avión estacionado en una pista debe alcanzar una velocidad de 100 m/s para despegar. Si la pista

mide 1000 m, ¿qué aceleración mínima debe llevar en forma constante para poder despegar?

2. Un auto parte del reposo de una ciudad A con dirección a una ciudad B. Su aceleración constante es de

4 m/s2 y la distancia que separa las ciudades es de 20 km. Hallar el tiempo que le toma al auto hacer la

ida y vuelta, si la vuelta es con velocidad constante e igual a la velocidad de llegada a B.

3. Un móvil A va al alcance de un móvil B, partiendo ambos simultáneamente. La velocidad inicial de A es

de 25 m/s y la de B es de 10 m/s, la aceleración de A es de 6 m/s2 y la de B es de 4 m/s2. Si el móvil A

alcanza al móvil B luego de 5 s, hallar la distancia que los separaba inicialmente.

4. Dos autos parten uno al encuentro del otro. El primero sale a las 7:00 a.m. con velocidad constante de

48 km/h. El segundo parte del reposo, con aceleración constante, a las 9:00 a.m. Si se deben encontrar

a la 1:00 p.m., justo en la mitad del camino, ¿con qué aceleración deberá ir el segundo móvil para que

se encuentren a la hora fijada?

5. Un móvil A que tiene una velocidad igual a 30 m/s se encuentra detrás de otro móvil B que tiene una

velocidad de constante de 10 m/s, en la misma dirección y sentido que el primero. Si A empieza a

frenar cuando se encuentra a 100 m detrás de B, ¿cuál es el valor de la desaceleración de A, si se sabe

que cuando A alcanza a B su velocidad es nula?

6. A partir del gráfico v–t mostrado, hallar la velocidad inicial v0 del móvil, si se sabe que la distancia total

recorrida es 102 m y el desplazamiento es 6m.

vB(m/s)

t(s)

v0

4

12

T

10

6 8 10

14

-14


38

7. Dado el gráfico vt de un móvil, hallar la posición de este en t = 6 s, si para t = 0 s se hallaba en la

posición x = 20 m.

vB(m/s)

t(s) 4

6

-5


39

8. A partir del siguiente gráfico v–t, hallar la distancia recorrida y el desplazamiento del móvil.

9. A partir del siguiente gráfico v–t, determinar después de qué tiempo el móvil está en el origen, si se

sabe que parte de la posición x = 10 m.

10. A partir del siguiente gráfico v–t, determinar la velocidad media del móvil entre el quinto y décimo

segundo.

vB(m/s)

t(s) 1

5 3

2

3 4 6

vB(m/s)

t(s) 3

T

10

6

vB(m/s)

t(s) 5

4

6 10 11

2


40

11. Una partícula se encuentra en reposo en el origen de coordenadas en el instante t = 0 s. Si su gráfica

a–t es la mostrada en la figura, determinar su gráfica v–t, y su gráfica x–t.


41

Problemas

1. Un móvil triplica su velocidad entre los puntos A y B, recorriendo una distancia de 500 m durante un

tiempo de 10 s. Determinar la distancia recorrida por el móvil, entre el punto de partida y el punto A, si

partió del reposo, manteniendo siempre su aceleración constante.

2. Dos móviles separados cierta distancia d, parten simultáneamente uno al encuentro del otro, el

primero con una velocidad inicial de 10 m/s y con aceleración de 2 m/s2, mientras que el segundo

parte del reposo con una aceleración de 4 m/s2. Si luego de 10 s están separados 200 m, calcular la

distancia d.

3. Un móvil parte del reposo de un punto A, y se dirige hacia un punto B distante 100 km. Si el móvil

acelera a 25 km/h2 durante la primera mitad del camino, y continúa su trayecto con la velocidad

alcanzada en este tramo, ¿a qué hora debió partir, si debe llegar a B a las 8:00 p.m.?

4. Un coche de policía pretende alcanzar un automóvil que viaja en línea recta a 125 km/h. La velocidad

máxima del coche policial es de 190 km/h y se sabe que arranca del reposo variando su velocidad en 8

km/h en cada segundo, hasta que alcanza los 190 km/h, prosiguiendo con velocidad constante.

¿Cuándo alcanzará al automóvil si se pone en marcha al pasar junto a él?

5. Una pelota viaja con aceleración constante a lo largo de un camino recto. Si se conoce que en el

instante t = 1 s, se encontraba en la posición x = –2 m, en el instante t = 5 s, se encontraba en la

posición x = –10 m y en el instante t = 10 s, su velocidad es 12 m/s. (a) ¿Qué aceleración tiene la pelota?

(b) ¿Con qué velocidad inicial se lanzó? (c) ¿En qué posición estaba la pelota inicialmente? (d) ¿En qué

instante se detiene? (e) Hallar la distancia total recorrida.

6. Daniel y Mateo deciden hacer una carrera de persecución. Ambos se encuentran en reposo en el

instante t = 0 s y empiezan a correr desde el mismo punto y al mismo tiempo, pero Daniel acelera a 1

m/s2 y Mateo a 2 m/s2. Además, tanto Mateo como Daniel, al alcanzar su máxima velocidad, dejan de

acelerar y mantienen constante su respectiva velocidad máxima. Si la máxima velocidad de Mateo es 6

m/s y la de Daniel es 9 m/s, se pide:

a) ¿Para qué instante (t ≠ 0) Mateo y Daniel se encuentran en la misma posición?

b) ¿Qué distancia habrá recorrido Mateo en el instante en que ambos se cruzan?

c) ¿En qué instante Mateo tiene la misma velocidad que Daniel?

d) Trazar un diagrama v-t, precisando cuál es la gráfica de cada corredor.


42

7. El movimiento de los autos J y K está representado en el

siguiente diagrama v-t. Si se sabe que las posiciones

iniciales de J y K son −46 m y 146 m, respectivamente,

calcular:

a) La aceleración de J de 0 a 8 s y la aceleración de K

para t > 8 s.

b) La posición de cada uno de los autos para t = 8 s y

para t = 19 s.

c) El instante en que K tiene velocidad cero y cuál es su

posición en ese instante.

d) El instante en que los autos se cruzan por segunda vez y cuál es la posición de K en ese instante.

8. El conductor de un camión que va a 108 km/h observa que 50 m más adelante se encuentra un

automóvil detenido. En ese instante, el conductor del camión frena de modo que el camión adquiere

una desaceleración constante de 2 m/s2. En ese mismo instante, el conductor del automóvil inicia su

movimiento, alejándose del camión con una aceleración constante de 5 m/s2. Considere que t = 0 es el

instante en que el conductor del camión empieza a frenar y que el camión se encuentra en el origen de

coordenadas.

a) Trace las gráficas v-t para el camión y el automóvil.

b) Determine la posición donde el camión y el automóvil chocarán.

c) Hallar la velocidad del camón y del automóvil justo antes de la colisión.

d) ¿Qué distancia habrán recorrido el camión y el automóvil desde el instante en que el camión

empezó a frenar hasta el instante de la colisión.

9. Dos partículas, A y B, se mueven a lo largo del eje x. La partícula

A se mueve según la ley x = t2 – 5t + 10, donde x está en m y t en

s. La partícula B parte del reposo y acelera como lo indica la

figura.

a) Trace las gráficas v–t para cada una de las partículas entre t =

0 s y t = 20 s.

b) Halle la distancia recorrida por cada partícula durante los

primeros 20 s.

c) Encuentre la posición inicial de cada partícula si se sabe que

15

t(s)

3

8 19

-8

J

K

10

-3

a(m/s2)

t(s) 15 20 0

2

v(m/s)


43

para t = 12 s, la separación entre ambas partículas era de 50 m. ¿Es la solución única?

10. Un móvil A parte del origen de coordenadas y el gráfico

muestra su velocidad para todo instante de tiempo. La ley

de movimiento de un segundo móvil B es x = –10 + 5t +

2t2, donde x está en metros y t en segundos.

a) Hacer el gráfico v–t para el móvil B.

b) Calcular los instantes de tiempo para los cuales el

móvil A no se mueve.

c) Determinar los instantes de tiempo para los cuales los

móviles A y B tienen la misma posición

d) Cuando la rapidez del móvil A es cero por segunda vez, ¿A qué distancia del origen se encontrará

cada móvil?

11. Un auto y un camión viajan en carriles paralelos y en el mismo sentido a lo largo de una autopista

rectilínea. El camión viaja con rapidez constante de 72 km/h. Inicialmente, el auto también viaja a 72

km/h y su parachoques delantero está 25 m detrás del parachoques posterior del camión. Luego, el

auto acelera a 0,5 m/s2 hasta que su parachoques posterior está 20 m adelante del frente del camión.

A partir de ese instante el auto continúa su viaje manteniendo su rapidez final constante. El auto tiene

una longitud de 4,5 m y el camión de 12 m.

a) ¿Cuánto tiempo mantuvo el auto la aceleración de 0,5 m/s2?

b) ¿Qué distancia recorrerá el auto en ese tiempo?

c) ¿Qué rapidez final tendrá el auto?

d) Considerando t = 0 s cuando el auto empieza a acelerar a 0,5 m/s2, dibuje en un mismo diagrama

las gráficas v-t para ambos móviles.

12. Dos autos viajan en línea recta en el mismo sentido. El que va adelante tiene una rapidez de 25 m/s

(constante) y el otro una rapidez de 30 m/s (constante). Cuando la distancia que separa ambos autos

es de 40 m, el auto de adelante desacelera a -2 m/s2 (constante). Si suponemos que ambos autos

frenan simultáneamente, ¿cuál debe ser la mínima aceleración del auto de atrás para evitar el choque,

si el auto que va delante deja de moverse una vez que se detuvo?

13. Un automóvil que viaja con rapidez constante por una carretera recta, adelanta a una patrulla que viaja

en la misma dirección y sentido con rapidez constante de 60 km/h. Después de 2 s de haber sido

adelantada la patrulla, esta acelera a 2,5 m/s2 hasta que logra alcanzar al automóvil en un tiempo de

vB(m/s)

t(s) 0

20

10 20

-5

30

10


44

22 s, contando desde el instante en que justo el automóvil pasa junto a la patrulla para adelantarla. Si

el automóvil siempre mantuvo su rapidez constante, se pide:

a) Determinar la rapidez del automóvil.

b) Hallar la distancia recorrida por la patrulla desde el instante en que fue adelantada hasta que

alcanzó al automóvil.

c) Calcular la rapidez de la patrulla cuando alcanzó al automóvil.

d) Realizar los diagramas v-t de cada móvil, considerando t = 0 s cuando justo el automóvil pasa junto

a la patrulla para adelantarla.

14. En la siguiente figura se muestra el gráfico v-t de un móvil. Se pide:

a) Hallar en qué instantes el móvil tiene la

misma velocidad que cuando partió.

b) Cuando el móvil se dirige hacia el punto de

partida, hallar la distancia mínima que

separa el móvil del punto de partida.

c) Determinar el valor del instante T, si el

desplazamiento total del móvil es 84 m.

d) Hallar la distancia total recorrida desde el inicio de su movimiento hasta el instante T.

15. Bob Esponja, Patricio y Calamardo salen simultáneamente (t = 0 s) de un punto A y viajan en línea recta

en dirección de un punto B, situado a 300 m de A. Bob y Patricio mantienen velocidades constantes de

8 m/s y 5 m/s respectivamente. Calamardo mantiene inicialmente una aceleración de módulo 0,5 m/s2,

hasta que logra alcanzar a Bob. Cuando lo alcanza, se detiene instantáneamente y regresa al encuentro

de Patricio con aceleración de módulo 0,5 m/s2. Cuando encuentra a Patricio, se detiene

instantáneamente y empieza a caminar junto a Patricio. Usando un eje de coordenadas con origen en

el punto A, se pide:

a) Determinar la ley de movimiento de Calamardo para todo instante de su movimiento.

b) Determinar la distancia total recorrida por Calamardo.

c) Realizar un gráfico v-t de la velocidad de Calamardo durante todo el recorrido.

16. Garu está huyendo de Pucca y se sube a un vagón propulsado por cohetes. Una catapulta le da al

vagón una velocidad inicial de 10 m/s y enciende automáticamente los cohetes que le dan una

aceleración de 4 m/s2. Pucca llega 3 s después y se sube a otro vagón cuyos cohetes le dan una

10

v (m/s)

t(s) 0

12 18 3 9 15 T

6


45

aceleración de 6 m/s2

y es lanzado por una catapulta que le da una velocidad inicial desconocida. Pucca

alcanza a Garu 5 s después. Considere el origen temporal cuando Garu arranca.

a) Encuentre la velocidad inicial del vagón de Pucca.

b) ¿A qué distancia del punto de partida alcanza Pucca a Garu?

c) Grafique la velocidad en función del tiempo para Pucca y Garu en un solo gráfico.

17. Un auto, de 2,5 m de longitud, es perseguido por un camión de 3,5 m de longitud. Inicialmente, la

parte trasera del auto está a 150 m de la parte delantera del camión, tal como se muestra en la figura.

El camión partió con vo = 54 km/h y cambió su velocidad a una razón de 9 km/h cada segundo, llegando

a alcanzar su velocidad máxima de 162 km/h, para luego continuar con velocidad constante. El auto

partió del reposo y aceleró a razón de 2,4 m/s2. Ambos móviles partieron simultáneamente. Usando el

eje coordenado mostrado en la figura se pide:

a) ¿Después de cuánto tiempo de iniciando el movimiento la parte trasera del camión coincide con la

parte delantera del auto?

b) ¿Después de cuánto tiempo la parte trasera de la camión está, por delante, a 40 m de la parte

delantera del auto?

c) Realizar las gráficas de velocidad versus tiempo para cada uno.

18. En cierto instante inicial (t = 0 s), un automóvil A tiene una velocidad de 20 m/s cuando está 200 m

delante de un segundo automóvil B. En la figura adjunta se dan dos gráficas de movimiento, la de la

izquierda correspondiente al automóvil A y la de la derecha al automóvil B. Usando un eje de

coordenadas con origen en el punto en que se encuentra inicialmente B, se pide determinar

a) Las leyes de movimiento para cada móvil hasta los 20 segundos.

b) En que instantes la distancia entre ambos móviles es igual a 20m.

O X(m) 2,5 m 150 m 3,5 m

aA(m/s2)

t(s)

2

-5

10 20 vB(m/s)

t(s) 0

5

10 20


46


18

Respuestas a los ejercicios

1. 5,0 m/s 2

2. 150 s

3. 100 m

4. 36 km/h2

5. -1,5 m/s 2

6. 2 m/s

7. -5 m

8. 12 m; 0 m

9. 7 s

10. 3,2 m/s

11. ---

Respuestas a los problemas

1. 62,5 m

2. 200 m ó 600 m

3. 5:00 pm

4. 35,18 s

5. a) 2 m/s 2 ; b) -8 m/s;

c) 5 m; d) 4 s; e) 52 m

6.

a) 10,5 s

b) 54 m

c) 6 s

d) ---

7.

a) 21,5 /Ja m s y 21 /Ka m s

b) Para t = 8s; 26 m, 82 m

c) Para t = 19s: 59 m, 54,5 m

d) 16 s; 50 m

e) 22 s; 68 m

8.

a) ---

b) 62,83 m

c) 25,47 m/s y 11,33 m/s

d) 62,83 m y 12,83 m

9.

a) ---

b) 312,5 m y 262,5 m

c) A: 10 m; B: 96 m ó 4 m

10.

a) ---

b) 8 s y 23,3 s

c) 5,21 s

d) 16,67m; 1195,23 m

11.

a) 15,7 s

b) 375,2 m

c) 27,8 m/s


19

d) ---

12. –2,29 m/s2

13.

a) 34,85 m/s

b) 766,7 m

c) 66,67 m/s

d) ---

14.

a) 10,2 s y 19,8 s

b) 69 m

c) 21s

d) 144 m

15.

a) Calamardo:

x(t) = 0,25 t2

t < 32 s

x(t) = 256 - 0,25(t-32)2

32 s < t < 44 s

x(t) = 220 + 5(t - 44) 44 s < t < 60 s

b) 372 m

c) ---

16.

a) 26,6 m/s

b) 208 m

c) ---

17.

a) 10,06 s

b) 12,57 s ó 24,93 s

c) ---

18.

a) Para A:

x(t) = 200+20t+t2 t < 10 s

x(t) = 500+40(t-10)–2,5(t-10)2 t > 10 s

Para B:

x(t) = 0,25 t2 t < 10 s

x(t) = 25 + 5(t-10) t > 10 s

b) 32,2 s y 32,7 s

cap 2 - parte 2 - movimiento rectilíneo uniformemente variado

Documents