calculo y diseño de vigas

8/17/2019 calculo y diseño de vigas

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República Bolivariana de Venezuela.Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño.

Sede BarcelonaEscuela de Ingeniera !ivil.

Bac"iller# Pro$esor#%uis &ernandez Ing. 'ntonio (riarte!.I. )*.+*,.,-

Barcelona/ 'nzo0tegui.1ueves )2 de 3ovie4bre del )5,*.


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6ISE78 6E VI9'S ' &%E:I83 !83 'RM'6UR' 6E !8MPRESI83

Existen dos razones fundamentales por las cuales, en una viga sometida a flexión se puederequerir un diseño que, a más de la armadura de tracción tradicional, se utilice armadurasometida a compresión:

• Porque existe un limitante máximo de tipo arquitectónico, constructivo o funcional

que impide que la viga aumente sus dimensiones.

• Porque, por aspectos constructivos o de diseño, ya existe armadura de compresión y

se desea aprovechar su existencia oligatoria para disminuir el armado de tracción.

!as especificaciones de los códigos imponen criterios de diseño que permiten que, a pesar de incrementar el armado de las vigas, se mantengan los niveles de ductilidad que sonexigidos para las vigas que solamente requieren armadura de tracción.

"uando la viga no resiste solicitaciones s#smicas, la cuant#a de armado a tracción máximaadmisile se define mediante la siguiente expresión:

$ónde:

r : cuant#a de armado a tracción

r : cuant#a alanceada a tracción cuando no existe armadura de compresión

r %: cuant#a de armado a compresión

"uando la viga resiste solicitaciones s#smicas, la cuant#a de armado a tracción se definemediante la siguiente expresión:

Para secciones rectangulares, las cuant#as de armado anotadas anteriormente se calculancon las siguientes expresiones:


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El criterio ásico detrás de las expresiones que definen la cuant#a máxima es el de que la presencia de la armadura de compresión hace camiar la magnitud de la cuant#a alanceada, que puede ser calculada con la siguiente expresión:

!a expresión anterior presupone que el momento en que el acero de tracción ha alcanzadola deformación de fluencia &e s ; e e


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• /e calcula el momento flector que es capaz de resistir la sección de hormigón

armado cuando utiliza la cuant#a máxima permitida por los códigos &+- o - dela cuant#a alanceada, seg)n el caso'.

• /e calcula la parte de momento flector solicitante que no alcanza a ser resistida por

la cuant#a de armado definida anteriormente, y que dee ser resistida con armadurade tracción adicional y con armadura de compresión.

• /e calcula una primera aproximación del acero adicional de tracción y el acero de

compresión requeridos para resistir la parte del momento flector solicitante que no puede ser resistida por la cuant#a de armado máxima definida por los códigos.

• /e calcula el momento flector real que resiste el armado propuesto.

• 0terativamente se corrige el armado de tracción y compresión hasta otener el

diseño más económico.

E1EMP%8 +.,#

$iseñar la viga rectangular de la figura que está sometida a un momento flector )ltimo 1u2 3+ 45m, si el hormigón tiene una resistencia a la rotura f(c 2 36 7g8cm 3 y el acero tieneun esfuerzo de fluencia 9y 2 3 7g8cm3. !a viga dee ser diseñada para una zonas#smica.

Veri$icaciAn de la 3ecesidad de 'r4adura de !o4presiAn#

/i se supone que el acero de tracción se encuentra en fluencia, se puede utilizar la siguienteexpresión para calcular la armadura requerida para resistir el momento flector solicitante:


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!os datos son:

f(c 2 36 7g8cm3

9y 2 3 7g8cm3

2 ; cm

d 2 cm

f 2 .


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$ado que la cuant#a de armado calculada &.6


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El momento flector )ltimo resistente Mu, es:

Mu, ; )5.-- @D4

!0lculo del Mo4ento &lector Cue debe ser Resistido con la 'r4adura de @racciAn'dicional < con la 'r4adura de !o4presiAn#

El momento flector que falta por ser resistido es:

1u3 2 1u 5 1u6 2 3+. 45m 5 3.++ 45m

Mu) ; 2.) @D4

/e requerirá de más acero de tracción &'s)' añadido al ya calculado, y de acero decompresión &'s' para resistir el momento flector faltante.

!0lculo de la SecciAn de 'cero de @racciAn 'dicional/ del 'cero @otal de @racciAn <del 'cero de !o4presiAn#

/e va a suponer tentativamente que la posición del e*e neutro calculada para la cuant#a dearmado máxima )nicamente con acero de tracción se mantiene luego de añadir el acerofaltante de tracción y el acero de compresión &esta hipótesis es una aproximación pues, por

los condicionamientos de los códigos de diseño, el e*e neutro ascenderá ligeramente y el loque de compresión del hormigón se reducirá, sin emargo se demostrará con estee*emplo que la variación de la posición del e*e neutro tiene un efecto muy pequeño sore eldiseño'.

@a*o esta hipótesis el momento flector faltante deerá ser resistido )nicamente por el acerode tracción adicional y el acero de compresión.


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$ado que el acero de tracción está en fluencia, la sección adicional aproximada de acero es:

$onde:

1u3 2 >.3; 45m 2 >3; 7g5cm

f 2 . cm

$e donde:

's) ; +.+ c4)

Por condiciones de ductilidad, el armado complementario de tracción que se acaa decalcular dee ser máximo el - del armado de compresión &en zonas no s#smicas ser#a el+- del armado de compresión', por lo que:

=s3 A . =s(

!a condición más económica se produce con la igualdad:

=s3 2 . =s(

$e donde:

's ; F.2F c4)

El acero de compresión total es:

=s 2 =s6 B =s3 2 6.;6 cm3 B .; cm3

's ; ,F.2* c4)


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!0lculo del Mo4ento &lector Ulti4o Resistente para el 'r4ado Propuesto#

=s 2 6?.> cm

3

=s( 2 ?.>? cm3

!a fuerza de tracción del acero, que se encuentra en fluencia, es:

4 2 =s . 9y 2 &6?.> cm3' &3 7g8cm3'

@ ; -F5 Gg

4entativamente se puede suponer que el acero de compresión tamiCn ha entrado enfluencia &e s D e y', lo que posteriormente deerá ser verificado, y corregido en caso de ser

necesario. En este caso el esfuerzo en el acero de compresión es el esfuerzo de fluencia.

fs( 2 9y

$s ; +)55 Gg=c4)

!a fuerza de compresión !s del acero es:

"s 2 =(s . fs 2 &?.>? cm3' &3 7g8cm3'

!s ; 2+*2 Gg

Por equilirio de fuerzas horizontales, la fuerza de compresión en el hormigón es:

"c 2 4 5 "s 2 +?;; 7g 5 ;>> 7g

!c ; +,F-+ Gg

!a altura a del loque de compresión es:


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a ; -.F) c4

!a posición del e*e neutro queda definida como:

c ; H.)5 c4

!a deformación unitaria en el acero de compresión e s puede otenerse por seme*anza detriángulos, de donde:

e s ; 5.55,5+

En vista de que la deformación unitaria en el acero de compresión &.6;' es inferior ala deformación unitaria de fluencia &.3', la capa de compresión no ha entrado enfluencia y su esfuerzo dee ser corregido mediante la siguiente expresión:

fs( 2 Es . e s

!a primera corrección ser#a:

fs( 2 &36 7g8cm3' &.6;' 2 ),H5 Gg=c4)

"s 2 =(s . fs 2 &?.>? cm3' &36


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fs( 2 Es . e s 2 &36 7g8cm3' &.6>6


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66 ; 3>+? 333 66,? ,6;3

63 ;+ 3>63 333? 3>?< 336 66,? ,6;3

6 ;> 3> 33; 3> 3> 3>


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En vista de que el momento flector resistente es ligeramente mayor que el momento flector solicitante &hay un exceso de .;6+++ 45m', se puede efectuar un pequeño a*uste dedisminución de acero de tracción y acero de compresión:

$ 1u 2 ;6+++ 7g5cm

6 's ; 5.)) c4)

6 's ; 5.++ c4)

!as secciones de acero de tracción y compresión corregidas son:

=s 2 6?.> cm3 5 .33 cm3

's ; ,F.+ c4)

=s( 2 ?.>? cm3 5 . cm3

's ; F.)+ c4)

Por la rapidez de la convergencia de este proceso &en la primera corrección de armadura seañadieron .; cm3 al acero de tracción y ?.>? cm3 al acero de compresión en esta segundacorrección se quitaron solamente .33 cm3 del acero de tracción y . cm3 del acero decompresión, lo que representa aproximadamente la veinteva parte de la primera corrección

de la armadura de tracción', no es necesario repetir el cálculo detallado.Se escogen * varillas de )) 44 a tracciAn J,H.55 c4 )K/ < ) varillas de )5 44 L , varillade ,2 44 a co4presiAn JF.)H c4)K.


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/i se está realizando un procesamiento manual de la información, el diseño puedesuspenderse tan pronto se realiza el cálculo del acero adicional de tracción y el acero decompresión, evitándose todo el proceso de !0lculo del Mo4ento &lector Ulti4oResistente para el 'r4ado Propuesto, sin cometerse errores de trascendencia.

/i el diseño se está realizando con computadora, conviene refinar la determinación delarmado con un proceso similar al propuesto en el prolema anterior.

6ISE78 6E VI9'S ?UE (' 6ISP83E3 6E 'RM'6UR' 6E !8MPRESI3#

/e puede utilizar el siguiente procedimiento:

• /e calcula la armadura de tracción necesaria si )nicamente existiera acero de

tracción.

• /e calcula el momento flector real que resiste el armado propuesto.

• 0terativamente se corrige el armado de tracción hasta otener el diseño máseconómico.

E1EMP%8 +.)#


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$iseñar la viga rectangular de la figura que está sometida a un momento flector )ltimo 1u2 > 45m, si el hormigón tiene una resistencia a la rotura f(c 2 36 7g8cm 3 y el acero tieneun esfuerzo de fluencia 9y 2 3 7g8cm 3. Por armado de estrios la viga dispone de ;varillas de 6? mm en la zona de compresión. !a viga dee ser diseñada para una zonas#smica.

!0lculo de la 'r4adura ReCuerida sin Incluir el E$ecto de la 'r4adura de

!o4presiAn#

/i se supone que el acero de tracción se encuentra en fluencia, y que no existe armadura decompresión, la sección transversal de la armadura de tracción se puede calcular con lasiguiente expresión:

!os datos son:

f(c 2 36 7g8cm3

9y 2 3 7g8cm3

2 ; cm

d 2 > cm


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f 2 . 45m 2 > 7g5cm

El acero de tracción requerido es:

's ; ),.+ c4)

!a armadura de compresión es:

's ; J).*+ c4)K ; -.2) c4)

!0lculo del Mo4ento &lector Ulti4o Resistente para el 'r4ado Propuesto#

=s 2 36.; cm3

=s( 2 +.>3 cm3

!a fuerza de tracción del acero, que se encuentra en fluencia, es:

4 2 =s . 9y 2 &36.; cm3' &3 7g8cm3'

@ ; H5552 Gg

/e puede suponer que el acero de compresión tamiCn ha entrado en fluencia &e s D e y'. Eneste caso el esfuerzo en el acero de compresión es el esfuerzo de fluencia.

fs( 2 9y

$s ; +)55 Gg=c4)

!a fuerza de compresión !s del acero es:


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"s 2 =(s . fs 2 &+.>3 cm3' &3 7g8cm3'

!s ; )55+ Gg

!a fuerza de compresión en el hormigón es:

"c 2 4 5 "s 2 7g 5 ;3 7g

!c ; *F55) Gg

!a altura a del loque de compresión es:

a ; H.)F c4

!a posición del e*e neutro queda definida como:

c ; ,5.H) c4

!a deformación unitaria en el acero de compresión e s es:

e s ; 5.55,*)

En vista de que la deformación unitaria en el acero de compresión &.6;3' es inferior ala deformación unitaria de fluencia &.3', el esfuerzo del acero de compresión se corrigecon la siguiente expresión:

fs( 2 Es . e s

!a primera corrección ser#a:

fs( 2 &36 7g8cm3' &.6;3' 2 )FH Gg=c4)

"s 2 =(s . fs 2 &+.>3 cm3' &3?;< 7g8cm3' 2 ),2 Gg

"c 2 4 5 "s 2 7g 5 36>;; 7g 2 2F- Gg


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!a segunda corrección ser#a:

fs( 2 Es . e s 2 &36 7g8cm3' &.6>3' 2 2+ Gg=c4)

"s 2 =(s . fs 2 &+.>3 cm3' &;;> 7g8cm3' 2 )*2* Gg

"c 2 4 5 "s 2 7g 5 3>; 7g 2 2+-, Gg

/e puede utilizar una ho*a electrónica para preparar una tala de cálculo de convergencia:

IteraciAn $s !s !c a c e s

JGg=c4)K JGgK JGgK Jc4K Jc4K

6 3?;< 36>;; >?;+; 6,3

3 ;;> 3>; >;+6 6,; 63,63 ,66

; ;6?3 33 >+>3 6,; 63,;? ,6>

;3? 3++ >3< 6, 63,3< ,6;

;33 3>? >;? 6,+ 63,;3 ,6;


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> ;3;; 3>;3 >;+ 6,> 63,;6 ,6;?

+ ;33< 3>< >;6+ >;?< 6,+ 63,;6 ,6;?

< ;3; 3>6 >;6 >;


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6 's ; 5.2* c4)

/e corrige la sección de acero de tracción:

=s 2 36.; cm3 5 .> cm3

's ; )5.-F c4)

's ; -.2) c4)

=l igual que en el e*emplo anterior, no es necesario repetir el cálculo detallado.

Se escogen ) varillas de )* 44 L varillas de )) 44 a tracciAn J),.)) c4 )K/ <

varillas de )F 44 a co4presiAn J-.2) c4)

K Cue


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Fesulta muy )til tener una aplicación de este tipo que permite, de un modo fácil yrelativamente rápido, dimensionar o comproar vigas de hormigón armado.En general, en las estructuras de hormigón hay que estar muy atentos al análisis gloal de laestructura sin emargo no es inusual que nos encontremos con la necesidad de evaluar puntualmente un elemento sometido a flexión: cargaderos, viguetas, vuelosG y es ah#

dónde le sacaremos utilidad a esta aplicación.

En general, en toda la tala, las casillas en las que el usuario dee introducir datos o elegir entre una lista desplegale tienen fondo lanco con recuadrado grueso. El resto de la talase encuentra protegida. !as fórmulas o variales calculadas por el programa se presentancon fondo verde o naran*a.

Hay que tener en cuenta que en la pestaña Prontuario de Iigas se han empleado lasunidades del sistema internacional, es decir 7J8ml &KiloneLtons por metro lineal' sinemargo en la segunda pestaña, Iigas en flexión simple, se han utilizado las unidades

17/, es decir mM4n &metros M 4onelada' y 7g8cm3Esto sucede por que la segunda parte se realizó hace ya alg)n tiempo cuando el sistema17/ era muy utilizado &anterior a la aparición del "4E'

Para aclarar el tema de las unidades, a continuación presento algunas equivalencias entreamos sistemas:

• 6 Kn8ml 2 6 4n8ml 2 6. Kg8ml &cargas lineales sore vigas'

• 6 mM7n 2 6 mM4n &momentos aplicados sore una sección'

• 6 Kg8cm3 2 6 J8mm3 &tensión soportada por la sección'

N sin más dilación pasemos a explicar cómo funciona la aplicación:

Pestaña Prontuario de Vigas#/e muestran un total de > tipos diferentes de vigas, de uno o varios vanos, apoyadas,empotradas, vuelosGEn la parte superior, el usuario solo dee introducir las cargas, la luz de la viga y definir enla casilla desplegale el tipo que corresponda.


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Para cada uno de los tipos de viga, existe un gráfico con el diagrama de momentos flectores&magenta', cortante &azul' y flecha &ro*o', as# como sus valores máximos &se indica en elesquema de la viga las secciones cr#ticas para cada solicitación'

El programa calcula el 1omento y "ortante máximos &mayorados' para cada tipo de viga./eg)n el tipo de elegido estas solicitaciones se utilizarán posteriormente para eldimensionamiento de la sección transversal.

/e puede elegir un tipo de I0O= OEJF0"=, cuando nuestro tipo no se corresponda conninguno de los aqu# especificados en ese caso hará que inroducir directamente los valores

de 1K y IK &sin mayorar', que haremos calculado manualmente.


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Pestaña !o4probaciAn Vigas#

=l principio identificamos la ora, el elemento calculado y los autores del proyecto."omo vemos, hemos otenido de la anterior pestaña las solicitaciones 1cd &momentoflector mayorado' y Icd &Esfuerzo cortante mayorado'.

=qu# deemos introducir el ancho de la viga &', el canto &h' y el recurimiento de laarmadura principal &d(' tamiCn hay que elegir el tipo de acero &@5s ó @5s'.Para el tipo de hormigón solo se permite emplear H=53

"omo criterio de dimensionamiento utilizaremos el momento reducido Q. "uanto más nosacerquemos al valor ,33 más optimizada está la sección son admisiles valores entre el?- y el 63- de este valor. /eg)n esto, el programa nos informa si deemos aumentar oreducir la sección transversal.


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4ras definir la escuadr#a de la viga pasamos a dimensionar las armaduras longitudinales.El programa nos pide una cuant#a =s &armadura activa' en cm3 para llegar a ella podemossumar varios redondos de 3 diámetros diferentes. "uanto más se acerque el resultado al6-, mayor será la optimización del acero.!a aplicación tamiCn nos confirma si cumplimos las cuant#as m#nimas, tanto geomCtrica


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como mecánica y si el armado cae en una )nica fila &que la armadura no quepa en una)nica fila no es prolemático si aumentamos ligeramente el recurimiento d(, puesto queesta disposición reduce ligeramente el razo mecánico d'

En cuanto a la armadura comprimida =(s, el programa nos avisa si es necesaria o deemos

simplemente disponer una armadura de monta*e.

Para la armadura transversal la tala nos confirma si la sección es correcta y calcula laseparación entre estrios seg)n el diámetro que eli*amos


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9inalmente se presentan los resultados, gráficamente, en un esquema de la viga.


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calculo y diseño de vigas

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