8/14/2019 Capitulo08-A05 flexion maximo en vigas calculo

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ESTABILIDAD II CAPITULO VIII: DEFORMACIONES EN LA FLEXIN

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DEFORMACIONES EN LAFLEXIN

8.1 ANALISIS DE DEFORMACIONES

8.1.1 Generalidades

Las piezas flexadas sufren desplazamientos o deflexiones, cuyo control es tan importante paragarantizar el buen comportamiento estructural como la verificacin de la resistencia.

Cuando la estructura presenta deformaciones excesivas, la percepcin de las mismas por partede los usuarios genera en stos una sensacin de alto riesgo. No slo esto es muy significativo sinoque tambin pueden aparecer problemas colaterales tales como fisuracin en tabiques de mampostera

que apoyen sobre la estructura y en cielorrasos.Los elementos de mquinas, debido a grandes deflexiones pueden presentar desgastes prematu-

ros u originar efectos vibratorios inadecuados.El conocimiento de las deformaciones resulta tambin sumamente importante desde el punto

de vista constructivo. En efecto, si se conoce por ejemplo, la flecha mxima que tendr una viga de

hormign armado sometida a las cargas permanentes, cuando se la construye puede contraflecharse elencofrado de manera tal de compensar esa deformacin, de modo que la pieza quede para ese estado

de cargas sin deformacin aparente.

Por otro lado, no es posible conocer las caractersticas dinmicas y vibratorias de un elementoestructural sino se analizan deformaciones. As mismo, y atendiendo a lo que hemos demostrado en el

artculo 3.2, el anlisis de las deflexiones resulta imprescindible para la resolucin esttica de piezasflexadas hiperestticas.

Todo esto ha motivado la existencia de numerosos mtodos de clculo de deformaciones, algu-nos aplicables a cualquier tipo de estructuras y otros solamente a estructuras lineales. A continuacinanalizaremos algunos de estos mtodos.

8.1.2 Lnea elstica

8.1.2.1 Ecuacin

Llamaremos Lnea elstica a la forma que adopta el eje de una viga al producirse la defor-macin de la misma por accin de las cargas exteriores.

Para deducir la ecuacin de la elstica vamos a suponer que las deformaciones son pequeas.Adems solo consideramos las deformaciones debidas a los momentos flectores. (ver art. 7.8)

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El ngulo que forma la tangente a la elstica en un pun-to con respecto a la horizontal, es el mismo que habr girado laseccin recta en dicho punto con respecto a la vertical.

Si consideramos otra seccin ubicada a una distancia dzcon respecto a la anterior, entre ambas habr un giro relativo

d.

ds

d1dds

=

= (8.1)

dzd1dzds =

=

Por ser un ngulo pequeo:

===1

dz

dy

dz

ddz

dytg 2

2

(8.2)

Para los ejes coordenados elegidos vemos que a valores

crecientes de z corresponden valores decrecientes de . Enconsecuencia, en la ecuacin 8.2 debemos afectar al primer tr-mino de un signo menos.

EI

M1

dz

dy2

2

=

= (8.3)

EI

My

(z)= Ecuacin diferencial de la lnea Elstica (8.4)

Cuando la barra es muy flexible y los desplazamientos no son pequeos debe utilizarse para lacurvatura la expresin rigurosa:

23

2

2

2

dzdy1

dz

dy1

+

=

(8.5)

Conocida en cada caso la funcin que define la variacin del momento flector, por integracin

de la ecuacin diferencial 8.4 se determina la correspondiente ecuacin de la lnea elstica, la quepermite obtener el corrimiento mximo o flecha.

En la prctica usualmente se acotan los valores relativos flecha luz (f/L). Cuando las vigas

tienen luces muy grandes y cargas de poca consideracin, son frecuentemente determinantes en eldimensionamiento las condiciones relativas a las flechas.

5001a3001lf max=

(8.6)

Fig. 8.2

cc

d

c

dz

dy

dsP

z

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Para la deduccin de la ecuacin de la elstica, en algunas circunstancias resulta mas prcticopartir de la ecuacin del corte o de la carga. Eso no es ningn inconveniente ya que conocemos la si-guiente relacin:

)z(q

dz

Qd

zd

Md2

2

== (8.7)

luego:

EI

My (z)ll =

EI

Qy (z)lll = (8.8)

EI

qy (z)lV =

8.1.2.2. Ejemplos de aplicacin

a) Elstica de una viga simplemente apoyada sometida a una carga uniformemente repartida.

1

32l

(z)ll

2

(z)

C6zq

4qLz

yEI

MyEI

2zq

z2

qLM

+=

=

=

21

43

CzC24

zq

12

qLzyEI +++=

Para encontrar las constantes de integracin debemos considerar las siguientes condiciones de

borde:

+

=

++=

==++=

==

=

=

L

z

L

z2

L

z

EI24

qLy

z24

qL

24

zqz

12

qL

EI

1y

24

LqC0LC

24

Lq

12

qL0y

0C0y

344

)z(

343

)z(

3

11

44

)Lz(

2)0z(

(8.9)

Fig. 8.3

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Por razones de simetra la flecha mxima se produce para z = L/2

EIqL

3845f

EI

qL

384

5

2

1

4

1

16

1

EI24

qLf

4

44

=

=

+=

(8.10)

b) Elstica de una mnsula con carga uniformemente repartida

21

4

1

3l

2ll

2

)z(

CzC24

zqyEI

C6zqyEI

2

zqyEI

2

zqM

++=

+=

=

=

8

LqC0C

6

Lq

24

Lq0y

6

LqC0yLz

4

22

44

3

1

==+=

===

+

=

+=

1L

z

3

4

L

z

3

1

8EI

qLy

8Lqz

6Lq

24zq

EI1y

44

)z(

434

)z(

(8.11)

EI8

Lqf

4

= (8.12)

c) Elstica de una viga simplemente apoyada sometida a una carga concentrada

( )

( )azPzL

PbyEILza

zL

PbyEIaz

azPzL

PbMLza

zL

PbMaz

)z(

)z(

+=