39204376 calculo matricial de vigas

1introduccion al calculo matricial de estructuras

TEMA 07. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

1.CONTINUIDAD1.1. IntroducciónCuando se trata de proyectar un elemento a flexión sobre varios apoyos consecutivos existe, en

general, una ventaja indudable en disponer una viga continua. Ello implica que la deformación tiene quecorresponder a una pieza enteriza, con curvatura continua, sin brusquedades. Si se disponen tramossueltos, cada uno apoyado en sus extremos, el régimen de cada tramo es de momentos POSITIVOS, yla curvatura experimenta un cambio brusco, un quiebro, al pasar por el apoyo, ya que cada tramo poseeen ese punto una inclinación diferente. No existe la interacción de los diferentes tramos, limitándoseestos a compartir el apoyo común, que responde con la suma de reacciones que corresponderían acada tramo.

El comportamiento en continuidad permite el funcionamiento en régimen alternante de momentosPOSITIVOS y NEGATIVOS, como el que se produce en una viga con voladizos. Cada tramo interaccionacon los con los colindantes pactando una única inclinación sobre cada apoyo, sin giro relativo entre losdos tramos, respondiendo el apoyo con la reacción que corresponde al régimen de momentos de cadatramo que acomete a él.

Efectos de la continuidad

En la solución en continuidad, con un régimen de momentos positivos y negativos, los provenientesde una nueva carga dada pueden ser menores que en la situación de tramos sueltos, resultando serválida una pieza de menor sección. En los casos en los que el diseño es por momentos o hay quereducir la flecha, la viga continua la reduce drásticamente, siendo una solución ventajosa al construir enacero u hormigón. En madera, donde el diseño es frecuentemente por cortante no suele haber diferenciaentre una u otra solución.

c a L c u L o d e e s t r u c t u r a s d o sd o sd o sd o sd o s


1.2.Hiperestatismo

En una viga continua no pueden obtenerse losesfuerzos a partir de las fuerzas que actúan, ya que parasu cálculo necesitamos las reacciones de los apoyos,que no pueden deducirse de las condiciones de equilibrio(ecuaciones de la estática).

ΣΣΣΣΣV= 0

ΣΣΣΣΣM= 0

Sistema equivalente: si no existiesen los apoyosintermedios, el sistema sería isostático, y lasincongruencias estarían en los puntos 2 y 3, queexperimentarían un descenso, luego hay una reacciónque se opone a ello. Tenemos dos nuevas condiciones(ecuac. de compatibilidad) que nos permiten resolver laviga.

ΣΣΣΣΣV= 0 δδδδδ2 = 0

ΣΣΣΣΣM= 0 δδδδδ3 = 0

Cálculo de vigas continuas. MÉTODO DE LA FLEXIBILIDAD

Para el cálculo de vigas continuas es corriente tomarcomo incógnita los momentos en los apoyos, ya queuna vez conocidos, sabemos las leyes que tienen losdistintos tipos de cargas.

En este caso nos interesa conocer el valor de M2, de

donde deducimos el resto de los esfuerzos (cortante yaxil).

La continuidad obliga a la existencia de un momentosobre el apoyo común, M, que produce un giro en cadaviga, siendo el ángulo ϕ a los lados igual y del mismosentido.

2


Para el análisis separamos la viga en sus dos tramos. M2 es la acción de un tramo sobre el otro:

Giro debido a la carga P Giro debido a la carga q

Giro debido al momento M2

Giro debido al momento M2

Sabemos los giros producidos por las diferentes solicitaciones, bien hallándolos o a través de las tablas.La coherencia geométrica o compatibilidad en las deformaciones obliga a que el giro en un extremo y enotro del apoyo sea el mismo, luego:

Vemos como en el segundo término nos quedan la suma de los giros producidos por las cargas en elapoyo 2. El primer término son los giros producidos por el momento.

Cálculo de vigas continuas. GENERALIZACIÓN DEL MÉTODO

En este caso sabemos que los momentos en 1 y 5 son cero, luego hay que hallarlos en los demáspuntos. Hacemos lo mismo que en el caso anterior: separamos la viga en sus tramos y dibujamos losmomentos Mi

que actúan.

( NOTA: indica el giro sobre el nudo i producido por la carga correspondiente )

EI

Plp

16

2

1+=ϕEI

Plq

24

3

2−=ϕ

EI

lMM

3

12−=ϕEI

lMM

3

22+=ϕ

i

cϕ

2.2

EI

lM

EI

ql

EI

lM

EI

Plid

324316

22

3

212

2

1 +−=−⇒ϕ=ϕ ( )EI

ql

EI

Pl

EI

llM

24163

3

2

2

1212 +=+⇒


EI

lM

6

34

EI

lM

3

12−

EI

lM

3

34−

1

cϕ

EI

lM

6

33−

3

cϕ

EI

lM

3

44

4

cϕ−

EI

lM

3

22

2

cϕ−

EI

lM

6

23

2

cϕ+

EI

lM

3

23−EI

lM

3

33

3

cϕ−

EI

lM

6

22−

Tenemos que igualar los giros en los distintos puntos, de donde obtenemos las siguientes ecuaciones:

EI

lM

EI

lM

EI

lMcc

633.2 23222121 ++ϕ−=−ϕ

EI

lM

EI

lM

EI

lM

EI

lMcc

6336.3 3433323222 ++ϕ−=−−ϕ

EI

lM

EI

lM

EI

lMcc

336.4 44434333 +ϕ−=−−ϕ

Ordenamos las ecuaciones, en un término los momentos y en el otro los giros:

( )

( )

( ) 4343433

323432322

2123212

36

636

63

+

+

+

ϕ=++

ϕ=+++

ϕ=++

c

c

c

EI

llM

EI

lM

EI

lM

EI

llM

EI

lM

EI

lM

EI

llM

- las incógnitas que queremos hallar son los distintos momentos Mi

- el término independiente es la suma de los giros debidos a la carga en los nudos

( NOTA: ∑ ϕi: sumatorio de giros en el nudo i )


En el caso anterior, si suponemos EI = cte., la matriz del sistema queda:

Cálculo de vigas continuas. FORMACIÓN DE LA MATRIZ DE FLEXIBILIDAD

- Es siempre una matriz simétrica- En la diagonal va la suma de las longitudes de los tramos que afectan al nudo en cuestión

dividido entre 3EI (Si EI = cte. sale fuera de la matriz)- Los demás términos por encima de la diagonal son (recordamos que la matriz es simétrica)

- cero, si no influyen entre sí (M4 sobre el nudo 2)

- la longitud del tramo en la que ese momento actúa sobre el nudo (M3 sobre el nudo dos

→ L2) dividido entre 6EI .

- El término independiente es la suma de los giros en cada nudo.

Cálculo de vigas continuas. OBSERVACIONES SOBRE EL MÉTODO

1. Los giros proporcionados por las cargas son siempre positivos con cargas verticales hacia abajo.Tenemos que son siempre el sumatorio directo en valor absoluto.

2121 +ϕ=ϕ+ϕ cc

Luego este es un método pensado para cargas VERTICALES. En el caso de una carga dirigidahacia arriba:

En este caso el giro producido por esa carga se restaría.

2. La ventaja que tenemos con este método es que con la geometría de la viga ya podemos establecerla matriz, y añadir al final el término independiente, que pueden ser varias hipótesis de carga.

2.3

2.4

ϕ

ϕ

ϕ

=

+

+

+

∑

∑

∑

4

3

2

3

3

2

433

3322

221

360

636

063

1

M

M

M

lll

llll

lll

EI

=

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

4

3

2

4

3

2

M

M

M

LLL

LLL

LLL


Matriz de flexibilidad. EJEMPLO

La matriz de flexibilidad es inmediata:

Los términos independientes:

3958,3624

8*1

16

5*1032

3

)

=+=ϕ∑EIEI

∑ =+=ϕ 358,3216

6*5

24

8*123

4

)

EIEI

Podemos establecer el sistema de ecuaciones:

De donde sacamos los valores de los momentos directamente:

M2= 4,4129

M3= 6,0659

M4= 5,2501

Con estos datos ya podemos dibujar las gráficas de momentos, cortantes, axiles y hacer todos loscálculos que sean necesarios.

2.5

+

+

+

4

3

2

3

68

6

80

6

8

3

85

6

5

06

5

3

54

M

M

M

6291,1816

5*10

24

4*2

1624

232

2

3

1

2

)

=+⇒+=ϕ∑EIEIEI

PL

EI

qL

=

358,32

3958,36

6291,18

666,4333,10

333,1333,4833,0

0833,03

4

3

2

)

)

)

M

M

M


Cálculo de vigas continuas. MATRIZ DE RIGIDEZ

En el método anterior se hace un análisis de la viga continua a partir de otra equivalente quedifería de la original en que respetaba el equilibrio y no tenía más remedio que acusar incoherenciageométrica, igualando los giros en los nudos. Ahora se intenta plantear el problema a la inversa, esdecir, suponer inicialmente coherencia total geométrica –giro nulo en los nudos- aunque se produzca undesequilibrio de momentos que es preciso corregir. Este método nos permite una fácil generalización atodo tipo de problemas, como es el de los pórticos planos.

En este caso se consideran las vigas como EMPOTRADAS.

Si uno de los apoyos gira es porque existe un momento que le haproducido ese giro.

En el empotramiento el giro es CERO.

20

361

1M

MEI

LM

EI

ML =⇒=+−

Como tenemos un momento, en el otro apoyo tenemos unmomento que es la mitad.

Si hallamos el giro que se produce:

ϕ=ϕ=⇒=−=ϕL

EIM

L

EIM

EI

ML

EI

LM

EI

ML 2;

4

46

2

31

Matriz de rigidez. EXPLICACIÓN DEL MÉTODO

Queremos resolver esta estructura.

La viga se deforma para soportar las cargas.

Para el cálculo descomponemos la viga en sus cargas y en susmovimientos:

1. La estructura sin la deformación (impedimos el giro en elextremo apoyado) y con la carga.

2. Consideramos únicamente la deformación, el giro en elapoyo.

3

3.1


En 1, los momentos al no existir el giro son inmediatos: momentos de empotramientoperfecto.

En 2 hemos calculado anteriormente el valor.

a) Calculamos el movimiento:Por las condiciones de sustentación sabemos que el momento en el apoyo es cero:

EIqLqL

EI

L

L

EIqL

4812*

40

4

12

322

==ϕ⇒=ϕ+−

Una vez calculado en giro, hallamos el momento:

848*

2

12

232 qL

EI

qL

L

EIqLMT =+=

Observamos que con este método el problema se resuelve de un modo indirecto; aunquelo que se buscan son las solicitaciones, se plantean en función de las deformaciones, que son lasincógnitas del método; una vez resueltas éstas se vuelve tras los pasos anteriores para calcular lassolicitaciones. La ventaja está en que en general conocemos los momentos de empotramiento, con loque no hace falta calcularlos cada vez que se plantea el problema.

Matriz de rigidez. PLANTEAMIENTO

El planteamiento del método es como en el caso anterior;

-consideramos todos los nudos como empotrados-consideramos las deformaciones en cada nudo

individualmente, es decir, los giros impedidos uno a uno.

No hemos tenido en cuenta el momento exterior aplicado en2. Sólamente lo consideraremos al sumar todos los momentos,que en ese apoyo no serán igual a cero, sino que tendrán queser igual a Mext.

La suma de momentos:

3.2

ML

EI

L

EI

L

EIPLqL =ϕ+ϕ+ϕ++−2

2

1

2

1

1

2

2

1244

812.2

042

8.3

2

2

1

2

2 =ϕ+ϕ+L

EI

L

EIPL


Agrupamos términos:

Si suponemos EI=cte

En este caso el término independiente es la suma de momentos exteriores menos el sumatoriode los momentos de empotramiento.Al resolver el sistema obtendemos los giros de los nudos. Para conocer el valor de los MOMENTOS,hay que sumar todos los momentos que tenemos hallados en función de los GIROS.

En una viga cualquiera, la suma de momentos es:

O sea,

Mempotramiento+ giro del nudo*4EI/L1+ giro del nudo de enfrente*2EI/L

1

−−=ϕ+ϕ

+−−=ϕ+ϕ

+

80

42

812

244

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

1

21

PL

L

EI

L

EI

PLqLM

L

EI

L

EI

L

EI

−−

=

ϕϕ

+

∑ ∑∑ ∑

2

2

1

1

2

1

22

221

�

�

42

244

MM

MM

LL

LLLEI

E

E

1

2

1

1

2*

4*�

L

EI

L

EIM ϕ+ϕ+


Matriz de rigidez. EJEMPLO

La matriz de RIGIDEZ está formada por los nudos que se mueven, luego podemos sustituir el vuelopor su acción.

Formamos la matriz de rigidez. Es una matriz simétrica:

Los momento de empotramiento son:

El sistema queda:

3.3

2ϕ

1ϕ ϕ3

1

4

L

EI

1

2

L

EI 01

ϕ

1

2

L

EI2

ϕ

ϕ3

21

44

L

EI

L

EI +2

2

L

EI

21

44

L

EI

L

EI +2

2

L

EI0

−

−

=

ϕ

ϕ

ϕ

3,3

3,3

64

66,15,00

5,066,133,0

033,066,0

3

2

1

EI

Soluciones:

ϕ1= -5/EI

ϕ2= 3.93/EI

ϕ3= -3.17/EI


Una vez calculados los giros, los momentos son:

Con estos datos obtenemos la gráfica de momentos, de donde sacamos los cortantes, axiles...

1

2

1

1

2*

4*�

L

EI

L

EIM ϕ+ϕ+

04.54

2*

17.3

4

4*

93.37.2.2 =

−++ EI

EI

EI

EI

9.36

4*

17.36.3 =

−+ EI

EI

06.76

2*

17.306.4 −=

−++− EI

EI

nudo2

nudos 3 y 4

En este caso el nudo 4 no gira por ser un empotramiento.

1. En el nudo 1 sabemos que M=4 (momento debido alvoladizo).


4. análisis de pórticos. MATRIZ DE RIGIDEZ

El método de la rigidez se basaba en plantear un giro nulo en los nudos -suponiéndolos todosempotrados- para luego equilibrar los momentos. La existencia de nudos rígidos en los dinteles de lospórticos nos permite plantear las condiciones de deformación ya que el giro del soporte va a dependerdel de la viga o dintel.

Para el análisis de los pórticos vamos a considerar inicialmente dos casos:- pórticos intraslacionales: los nudos sólo pueden girar- pórticos traslacionales: además pueden experimentar desplazamientos.

matriz de rigidez. PÓRTICOS INTRASLACIONALES

En estos los nudos no se desplazan, únicamente pueden girar.

1. Si tomamos como hipótesis de partida el comportamiento de cada pieza con los extremos fijosy sin girar, de hecho estamos ignorando la estructura como tal; el problema es sólo el de un conjunto debarras por separado. El dintel está sometido en ambos extremos al que hemos denominado momentode empotramiento perfecto, que para sección constante y carga distribuída era de valor M0=q*L2/12.

2. Estudiamos el comportamiento geométrico de la estructura, es decir, los giros ϕ de cada nudo.Es en este paso en el que realmente se considera a la estructura como a un todo, en el que unas partesinteraccionan con las demás.

Para que se produzca un giro ϕ en el soporte, debe actuar en su extremo un momento,

y en la viga:

La ecuación de equilibrio es:

o sea;

Ecuación con una única incógnita ϕ, que puede resolverse fácilmente. En el caso de la existencia

de más nudos, existirán más giros ϕn, que nos darán tantas incógnitas como ecuaciones.

4.1

L

EIM

p

p

4*ϕ=

L

EIM

v

v

2*ϕ=

0MMM

vp=+

12

2*

4*

2qL

L

EI

L

EIvp =ϕ+ϕ


4.2 matriz de rigidez. APLICACIÓN PRÁCTICA EN EL CASO DE PÓRTICOS PLANOS

Este es un pórtico intraslacional que puede únicamentegirar en los nudos 2 y 3.

Estudiamos qué ocurre cuando gira el nudo 2. Estos sonlos momentos debidos al giro estudiados anteriormente:

Giramos el otro nudo:

Los momentos a los que hay que igualar los momentos producidos por los giros son los exterioresmás los producidos por las cargas.

En este caso:

2ϕ

2ϕ

21

4+

L

EI

3ϕ

3ϕ

2

2

L

EI

2ϕ

2ϕ

21

4+

L

EI

3ϕ

3ϕ

2

2

L

EI

2

2

L

EI32

4+

L

EI

∑∑ − iE MM �

−−∑

812

2PLqL

M E

−−∑

12

2qL

M E


Luego las ecuaciones reales son:

El sistema con la matriz es:

NOTA: En el caso del mismo pórtico con un apoyo articulado, habría que considerar el giro en elmismo al no estar impedido, luego en el nuevo sistema habría que incluirlo.

simétrica

matriz

3ϕ

2

2

L

EI

2ϕ

21

4+

L

EI2

2

L

EI

32

4+

L

EI

2ϕ 3

ϕ4

ϕ

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

4ϕ 0

3

2

L

EI3

4

L

EI

=

ϕϕ

+

+

3

2

322

221

42

24

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

−−=ϕ

+ϕ

+

120*

4*

22

2

3

32

2

2

qL

L

EI

L

EI

=ϕ

+ϕ

+

3

2

2

21

*2

*4

L

EI

L

EI

−−

−−

120

8120

2

2

1

2

2

qL

PLqL

−−

8120

1

2

2PLqL


4.3matriz de rigidez. PÓRTICOS TRASLACIONALES

desplazamiento de un apoyo.MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO LOCAL.

Si desplazamos uno de los apoyos de la viga unacantidad, esta sufrirá una deformación.

Debido a ello aparecerán unos momentos quejustiquen la existencia de esos giros, luego estaránprovocando en los apoyos unos esfuerzos debidosal desplazamiento además de los que puedan existirdebido a la propia carga.

- El giro en el nudo 1 será la suma de los producidospor cada momento:

Si despejamos el momento:

Como estamos en la hipótesis de deformacionespequeñas,

Sustituimos en el momento:

Debido al desequilibrio de momentos tiene queexistir un cortante:

EI

ML

EI

ML

EI

MLtotal

663=−=ϕ

ϕ= *6

L

EIM

Ltg

∂=ϕ⇒ϕ=ϕ

2

6*

6

L

EI

LL

EIM =∂=

∂=+= *12

3L

EI

L

MMT


4.4Planteamiento de la matriz de rigidez en PORTICOS TRASLACIONALES

En este caso, los nudos 2 y 3 pueden girar,como en el ejemplo anterior, y además seDESPLAZAN.

Posibilidades de movimiento:

Giro del nudo 2 Giro del nudo 3 Desplazamiento del dintel

Formación de la MATRIZ DE RIGIDEZ:

A continuación vemos como se han obtenido los valores de la matriz debidos al desplazamiento:

2ϕ

1ϕ

21

4+

L

EI2

2

L

EI1

ϕ

2ϕ

32

4+

L

EI

31

3

12+

L

EI

∂

∂

2

2

L

EI

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

1

2

6

L

EI

3

2

6

L

EI

simétrica

matriz


Cortante producido en el dintel (barra 2) debido al giro del nudo 2

Aparece un CORTANTE debido al momento producidopor el giro, pero no se considera ya que no actúa en ladirección del desplazamiento δδδδδ

Cortante producido en la barra 1 debido al giro del nudo 2

Para equilibrar los momentos en la barra, tieneque existir un cortante, que será el que actúedesplazando el dintel. En este caso la direcciónes en la del movimiento supuesto (hacia laderecha), luego lo tomamos como positivo. NOTA: sería como en el caso de un Crosstraslacional, donde en el estado 0 hemoscolocado las bielas pertinentes para impedir losdesplazamientos. En este caso actuaríamoscomprimiendo esa biela ficticia.

2

11

11216

24

L

EI

L

L

EI

L

EI

L

MMT =

+=+=

Cortante producido en la barra 3 debido al giro del nudo 3

Es el mismo razonamiento:

2

33

33216

24

L

EI

L

L

EI

L

EI

L

MMT =

+=+=


Cortantes producidos por el desplazamiento del dintel (barra 2)

Se producen los momentos deempotramiento local, ya calculados, debidosal desplazamiento de los nudos.

El valor del cortante es también conocido:

∂= *12

3L

EIT

Para el cortante, en la matriz colocamos únicamente los coeficientes, ya que δδδδδ es una incógnitaque despejamos. En este caso, actúan dos cortantes en el desplazamiento, luego el término que irá enla matriz será la suma de ambos:

Es decir, que en este término actuará el cortante de todas las barras que se desplazan.(NOTA: mucho cuidado con los signos).

Finalmente, teniendo en cuenta que la matriz de rigidez es simétrica:

31

33

3

3

1

121212+

=+=

L

EI

L

EI

L

EIT

+

+

+

31

3

31

3322

1221

1266

642

624

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI


4.5 matriz de rigidez. APLICACIÓN PRÁCTICA EN EL CASO DE PÓRTICOS TRASLACIONALES

En primer lugar hemos numerado todos los nudos y las barras.Estamos en el caso de un pórtico traslacional, donde existe un posible desplazamiento δδδδδ del

dintel. Veamos los movimientos de la estructura:- Los nudos 1, 2 y 3 son empotramientos, luego por definición tienen impedidos todos los

movimientos.- Los nudos 4, 5 y 6 pueden girar.- Como además se ha dicho, hay un desplazamiento del dintel.

NOTA: para hallar los términos de la matriz de rigidez es conveniente analizar los movimientosuno a uno como en el caso anterior, y viendo como actúan, ya rellenar la matriz.

En este caso queda:

5ϕ

4ϕ

41

4+

L

EI4

2

L

EI4

ϕ

5ϕ

32

4+

L

EI

321

3

12++

L

EI

∂

∂

4

2

L

EI

1

2

6

L

EI

2

2

6

L

EI

SIMÉTRICO es términoeste

6ϕ

6ϕ

0

0

5

2

L

EI

5

2

L

EI

53

4+

L

EI

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

3

2

6

L

EI


Si consideramos la misma inercia y el mismo material (mismo E):

5625.0375.0375.0375.0

375.067.133.00

375.033.047.24.0

375.004.08.1

Cálculo del TÉRMINO INDEPENDIENTE:

En el caso de los términos correspondientes a los giros ϕ 4 , ϕ

5 , ϕ

6 son como ya sabemos la

suma de los momentos exteriores menos los de aquellos producidos por las cargas.

Entonces:

∑∑ − iE MM �

∑ ∑ =−−=−⇒1212

0�4

2

42

2

11LqLq

MMnudo iE

( )∑ ∑ −=−−=−⇒ 38,161.460�5))

iE MMnudo

( )∑ ∑ +=−−=−⇒ 660�6 iE MMnudo

NOTA: para ver mejor estos cálculos, conviene dibujar la estructura con los MEMP

, lo que permiteuna visión más rápida:

Los MEMP

son los debidos a la carga distribuída:

La carga puntual no produce momentos en lasbarras al estar aplicada en un nudo.

En el caso del término independiente debido al desplazamiento, corresponderá a la suma de loscortantes que influyen en el movimiento de la estructura:

Es decir, el sumatorio de las fuerzas exteriores actuando en la dirección del movimiento menos elsumatorio de los cortantes debidos a las cargas exteriores en la dirección del movimiento.

Para ver mejor como actúa, los dibujamos:

El signo negativo es porque hemos supuestoel movimiento δ hacia la derecha.

12

2qLM E =

∑ ∑∑ −= iE TTT

62

4*3

21

=== qLT

( ) 61,061.440))

−=+−−


Finalmente, nuestro sistema de ecuaciones quedará como:

Solución:

Con estos datos ya podemos hallar los momentos:

( )

=

−−+

−−

=

∂ϕϕϕ

63

60

8,10

17,00

5625.0375.0375.0375.0

375.067.133.00

375.033.047.24.0

375.004.08.1

6

5

4

EI

EIEI

EIEI975,2024,3

476,074,3

5

64

=∂−=ϕ

−=ϕ−=ϕ

5

4

4

4

45*

2*

4 ϕ

+ϕ

+=

L

EI

L

EIMM)

−+

−+=

EI

EI

EI

EIM

24.3*

5

274,3*

5

417,4

45

mTM 118,0296,1992,217,445

−=−−=

=

−+

−+−=

EI

EI

EI

EIM

24.3*

5

474,3*

5

217,4

54

mTEI

EI

EI

EIM 681,3

476,0*

6

224,3*

6

46

56=

−+

−+=

mTEI

EI

EI

EIM 397,7

476,0*

6

424,3*

6

26

65−=

−+

−+−=

Para el momento M52

podemos hacerlo de dos formas:- equilibrando el nudo:

-8,258 + 3,681 + M52

= 0 ; M52

= 4,577mT

- o como los casos anteriores:

mTL

EI

EIL

EIM 625,4*

624,3*

40

252=

∂−+

−+=

mT258,8−


El momento en los APOYOS será: (tenemos en cuenta que ϕ 1 , ϕ

2 , ϕ

3 son cero, por definición

de empotramiento)

=∂+ϕ+ϕ+= *6

*4

*2�

21

1

4

1

1

L

EI

L

EI

L

EIMM

mTEI

EI

L

EI

EI

EI10995,9

975,20*

16

60*

474,3*

4

24

1

≈=++−=

mTEI

EI

EI

EIM 245,6

975,20*

16

624,3*

4

20

2=+−=

mTEI

EI

EI

EIM 627,7

975,20*

16

6476,0*

4

20

3=+−=

La gráfica de momentos será:

39204376 calculo matricial de vigas

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