Axiomas de IncidenciaDefinicin: Se dice que los puntos , ,a b c son colineales si existe una recta L que los contiene.Definicin: Los puntos , , ,a b c d son coplanares si existe un plano que los contiene.Axioma I1: Para cualquier recta L existen por lo menos dos puntos distintos ,a b L .Axioma I2: Para cualquier par de puntos ya b existe al menos una recta L que los contiene.Axioma I3: Si los puntos ya b son distintos entonces existe a lo sumo una recta que los contiene.Axioma I4: Para cualquier plano existen por lo menos tres puntos , ,a b c no colineales contenidos en .Axioma I5: Cualesquiera sean los puntos , ,a b c existe al menos un plano que los contiene.Axioma I6: Si los puntos , ,a b c son no colineales entonces existe a lo sumo un plano que los contiene.Axioma I7: Para cualquier recta L y cualquier plano , si existen dos puntos distintos ,a b L tales que ,a b ,entonces L .Axioma I8: Para cualquier par de planos y si existe a entonces existe b , tal que a b .Axioma I9: Existen cuatro puntos, por lo menos, no coplanares.

Teorema 1: Si los puntos , ,a b c son no colineales entonces dos cualesquiera de ellos son distintos.Teorema 2: Si los puntos , , ,a b c d son no coplanares, entonces dos cualesquiera de ellos son distintos.Teorema 3: Si los puntos , , ,a b c d son no coplanares entonces cualquier terna de ellos son no colineales.Teorema 4: Dado L y ,a b L con a b , si c L entonces , ,a b c son no colineales. (Condicin suficiente paraque tres puntos sean no colineales)Teorema 5: Dados , ,a b c no colineales, si d entonces , , ,a b c d son no coplanares. (Condicin suficiente paraque cuatros puntos sean no coplanares)Teorema 6: Por dos puntos distintos pasa una sola recta. (El teorema asegura que dos puntos distintos determinan unanica recta)Teorema 7: Por tres puntos no colineales pasa un nico plano. (El teorema asegura que tres puntos no colinealesdeterminan un nico plano)Teorema 8: Si L es una recta y c L entonces existe un nico plano tal que:

(1) c (2) L

Teorema 9: Dadas dos rectas distintas yK L que se intersectan entonces existe un nico plano que las contiene.Teorema Auxiliar A1: (Teorema fundamental de existencia)

(i) Existen al menos cuatro puntos , , ,a b c d distintos no coplanares.(ii) Existen al menos seis rectas distintas.(iii) Existen al menos cuatro planos distintos.

Teorema 10:(I) Dado p L entonces existe un punto q L tal que p q .(II) Dados dos puntos distintos ,p q entonces existe un punto r no colineales con yp q .(III) Dados tres puntos no colineales , ,p q r entonces existe un punto s no coplanar con , ,p q r .

Teorema 11:(I) Para cualquier punto p existen ,q r tales que , ,p q r son no colineales.(II) Para dos puntos distintos ,p q existen los puntos ,r s tales que , , ,p q r s son no coplanares.

Teorema 12:(I) Dado un punto p , entonces existe una recta L p .(II) Para cualquier punto p , existen ,L K y M tales que , yL K M se cortan en p .(III) Para cualquier punto existen tres rectas distintas que no estn sobre un plano y que pasan por p .(IV) Para cualquier punto p L hay un plano tal que L y p .(V) Para cualquier recta L existe un punto p L .

chaaahackerTexto tecleadoAxiomas de Incidencia

chaaahackerTexto tecleadoAI

chaaahackerTexto tecleadoA. INC

(VI) Para cualquier recta L existe una recta que no est sobre el mismo plano que L .(VII) Por cualquier recta pasan dos planos distintos.

Interseccin de rectas y planos.Teorema 13: La interseccin de dos rectas distintas es a lo sumo un punto.Teorema 14: La interseccin de un plano con una recta no contenida en disco plano es a lo sumo un punto.Teorema 15: Dos planos distintos son disjuntos o su interseccin es una recta.

Axiomas de Orden Lineal I abc se lee el punto b se encuentra entre los puntos a y c .

Axioma O1: Si I abc entonces , ,a b c son colineales y distintos.Axioma O2: Si I abc entonces I cba .Axioma O3: Si I abc entonces I bac .Axioma O4: Dados tres puntos , ,a b c colineales y distintos se verifica una de las tres condiciones siguientes: I abc o I acb o I cab .

Axioma O5: Si los puntos ya b son distintos entonces existe un punto c tal que I abc .Axioma O6: Si los puntos ya b son distintos entonces existe un punto c tal que I acb .Axioma O7: Si I abc y I bcd entonces I abd .Axioma O8: Si I abd y I bcd entonces I abc .Axioma O9: Dado un plano , tres puntos no colineales , ,a b c y una recta K , si I aKb y c Kentonces se verifica I bKc o I aKc .Definicin: I aKc si y solo si:

,a c K Existe b K tal que I abc .

Segmento: Dados ya b dos puntos, a b , llamaremos segmento ab al conjunto ,a b .Segmento abierto: :ab c S I acb Segmento cerrado: ab ab ab Anlogamente: ab a ab

ab ab b Por O6 resulta: ab

Teorema 16: Si I abc y I bcd entonces I acd .Teorema 17: Si I abd y I bcd entonces I acd .Teorema 18: Dados cuatro puntos , , ,a b c d colineales si se cumplen:

(h1) I abc(h2) yI adc b dentonces vale una y solo una de las condiciones siguientes: oI adb I bdc

Teorema 19: Todo segmento ab es un conjunto infinito.Segmentos abiertos sobre una recta.Teorema 20: Para cualquier terna , ,a b c L , si I abc entonces ab ac .Teorema 21: Si , ,a b c L y son distintos entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(I) ab bc (II) I abc

Teorema 22: Si , ,a b c L y son distintos entonces ab bc ca .Teorema 23: Si , ,a b c L , a b y c d , entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) ab cd(ii) , ,a b c d

Teorema 24: Sean , , ,a b c d L , a b y c d . Si ab cd entonces ab cd .Divisin de segmentosTeorema 25: Sean , ,a b c L tres puntos distintos, entonces ac b ab bc .Teorema 26: Sean , ,a b c L , si I abc entonces ac b ab bc .Interseccin de segmentos abiertos.Teorema 27: Si dos segmentos abiertos estn sobre una misma recta entonces su interseccin o es vaco o es unsegmento abierto.