UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA

INGENIERIA ELECTRONICA

CONTROL DIGITAL

TRABAJO COLABORATIVO 2

ESTUDIANTE

WILSON ALEXANDER HUERTAS URREGO

COD 3216368

TUTOR

DIEGO FERNANDO SENDOYA LOSADA

SEMESTRE II 2012

GUIacuteA DE ACTIVIDADESEl trabajo consiste de dos actividades (una teoacuterica y una praacutectica) con una solaentrega

1 Actividad Teoacuterica La primera actividad estaacute compuesta de una serie de ejercicios que deberaacuten ser desarrollados de forma analiacutetica por cada uno de los estudiantes del grupo colaborativo Para el desarrollo de la primera actividad se propone el siguiente esquema de controlEjercicio

Ejercicio 1 Suponga que la funcioacuten de transferencia de la planta es

Gp(s)= 10(s+1)(s+2)

(a) Calcule la constante de error de posicioacuten 10485881048588 el error en estado estacionario ante una entrada escaloacuten unitario y el tiempo de establecimiento (b) Disentildee un controlador PID digital para que el sistema en lazo cerrado tenga un sobreimpulso maacuteximo de 5 y un tiempo de establecimiento menor de 1 segundo Suponga que el tiempo de muestreo es Ts = 01 segundos

Ejercicio 2 Suponga que la funcioacuten de transferencia de la planta es

Gp (s )= 1s (s+1)

(a) Calcule la constante de error de velocidad Kv el error en estado estacionario ante una entrada escaloacuten unitario y el margen de fase (b) Disentildee un compensador en adelanto-atraso digital para que el sistema en

lazo cerrado tenga un margen de fase de 80ordm y la constante de error de velocidad sea Kv = 2 Suponga que el tiempo de muestreo es Ts = 02 segundos

Ejercicio 3 Suponga que la funcioacuten de transferencia de la planta es

Gp (s )= 36s (s+36)

Disentildee un regulador digital por el meacutetodo de ubicacioacuten de polos para que el sistema en lazo cerrado tenga un sobreimpulso maacuteximo de 10 el tiempo de establecimiento sea menor de 1 segundo y el error en estado estacionario ante una entrada escaloacuten unitario sea cero Elija el tiempo de muestreo de tal manera que se obtengan 20 muestras por cada ciclo

2 Actividad Praacutectica La segunda actividad estaacute compuesta de una serie deejercicios que deberaacuten ser desarrollados utilizando una herramienta de softwarecomo SCILAB o MATLABreg

Para el desarrollo de la segunda actividad se utilizaraacute el mismo esquema de control de la primera actividad

Ejercicio 1 Con los valores del Ejercicio 1 de la Actividad Teoacuterica utilice SCILAB oMATLABreg para (a) Dibujar la respuesta de la planta Gp(s) ante una entrada escaloacuten unitario iquestLos valores de essy t scorresponden a los encontrados en el inciso (a) (b) Dibujar la respuesta del sistema en lazo cerrado ante un escaloacuten unitario iquestLos valores de tiempo de establecimiento y sobreimpulso corresponden a los encontrados en el inciso (b)

Ejercicio 2 Con los valores del Ejercicio 2 de la Actividad Teoacuterica utilice SCILAB oMATLABreg para (a) Dibujar el diagrama de Bode de la planta Gp (s) iquestEl margen de fase corresponde al encontrado en el inciso (a) (b) Dibujar el diagrama de Bode del sistema compensado iquestEl margen de fase corresponde al encontrado en el inciso (b)

Ejercicio 3 Con los valores del Ejercicio 3 de la Actividad Teoacuterica utilice SCILAB oMATLABreg para dibujar la respuesta del sistema en lazo cerrado ante un escaloacutenunitario iquestLos valores de tiempo de establecimiento y sobreimpulso corresponden a los encontrados en la parte teoacuterica

DESARROLLO DE ACTIVIDAD

Gp=( s )= 10( s+1 )(s+2) Zoh=1minuseminusst

S

iquest 10

s2+s+2 s+2

Gp=(s ) 10

s2+3 s+2

Para encontrar la relacioacuten entrada salida

1 C ( s )=Gp ( s ) Zoh ( s ) Eiquest (s)2 E ( s)=R ( s )minusC (s)

incluyendo1en2

E ( s)=R ( s )minusGp ( s ) Zoh ( s ) Eiquest (s)

Muestrando toda laexprecion

[ E ( s)=R ( s )minusGp ( s ) Zoh ( s ) Eiquest (s ) ]iquest

Eiquest ( s )=Riquest ( s)minus[Gp ( s) Zoh ( s) ]iquest Eiquest(s)

Eiquest ( s )+ [Gp ( s) Zoh ( s) ]iquest Eiquest (s )=Riquest ( s )

Eiquest ( s ) [1+[Gp (s ) Zoh (s ) ]iquest ]=Riquest (s)

Eiquest ( s )= Riquest(s)

1+ [GP (s ) Zoh (s ) ]iquest rArr E ( z )= R (z)1+Z (Gp (s ) Zoh (s ))

Reemplazando la Expresioacuten anterior en la especian 1

1 C ( S )=Gp ( s ) Zoh ( s ) Eiquest (s )

Muestreada

C iquest (s )=[Gp (s ) Zoh (s )iquestiquestiquest Eiquest (s )]iquest

Reemplazando

C iquest (s )=[Gp(s)Zoh(s)]iquest Riquest(S )

1+iquestiquest

Ciquest (s )Riquest(S )

=iquestiquestiquest

Como

C iquest (s )=C (Z ) C(Z)R(Z)

=Z Gp(s)Zoh(s)1+Z Gp (s ) Zoh(s)

Riquest (s )=R(Z)

Z ( Zoh (s )Gp (s ) )=Z [ 1minuseminusst

T1

52+3 s+2]

En Matlab

nGP= [1 ] Numerador Gp es S

dGP= [132 ] Denominador Gp e S

T=01

[ nGpZ dGpZ ]=C2dm(nGp dGp T Zoh)

Comand Windows

nGpZ=00 00450 0041

dGpZ=1minus1 7235680 740818

Z ( Zoh (s )Gp (s ) )= 0 0045Z+0 0041

z2minus1 7236 Z+0 7408

C ( z )R ( z )

=

00045Z+00041z2minus17236 Z+07408

1+ 00045Z+00041z2minus17236Z+07408

iquest 00045 Z+00041z2minus17236Z+07408+00045 Z+00041

iquest 00045Z+00041z2minus171904Z+07449

Error en estado estable

ess=limt rarr infin

e (t ) En el Dominio del Tiempo

iquest lims rarr0

SE ( S ) En el dominiode la Frecuencia

iquest limZ rarr1

( zminus1 ) E ( z ) En eldominio de la Frecuencia discreta

Para una entrada escaloacuten

ess=ep=lims rarr0

SE (S )

iquest lims rarr0

s R ( s )1+G (s )

iquest lims rarr0

s1s

1+G (s )

iquest lims rarr0

11+kp

R (s )=1srArr entrada escalon

E ( s)= R ( s )1+G(s)

Kp=Constante de posicion

Kp=G(s)

Para el dominio de Z

Ep=limz rarr1

( zminus1 ) E(z )

iquest limz rarr 1

( zminus1 ) R (z )1+Z (Zoh (s ) Gp(s))

iquest limz rarr1

( zminus1 ) Z(Zminus1)

1z(Zoh(s)Gp(s ))

iquest limz rarr1

ZZ (Zoh(s)Gp(s))

= 11+kp

R ( z )rArrEscalon

R ( z )= ZZminus1

C(Z)R(Z)

= 00045 Z+00041Z2minus17190Z+07449

A) Constante de error de posicioacuten

Kp=Gp ( z ) Zoh ( z )|Z=1

iquest00045 (1 )+00041

12minus17236 (1 )+07408

kp=05

B) Error en estado estacionario

ep= 11+kp

minus 11+05

=06667

C) Tiempo de establecimiento

tq=4 6

ξwn

iquest 4617190

Tq=2675

C (s )R (s )

= Wn2

s+2EWnS+Wn2

Mp=eminusπξ

Wnradic1minusξ 2

B) Sobreimpulso

Mp=e( minus πξ

radic1minusξ 2 )

5iqueste( minusπξ

radic1minusξ 2 )

iquest5= minusπξ

radic1minusξ2

(iquest5)2=(1minusξ2 )=π2ξ2

(iquest5)2=π2 ξ2+(iquest5)2 ξ2

(iquest5)2=(π 2+(iquest5)2)ξ2

ξ2=(iquest5)2

π 2+(iquest5)2

ξ2=02079

ξ2=0456

Tiempo de Establecimiento

ts= 4ξWn

Wn= 4ξWn

= 4

(1 )(0456)=877 rad s

Disentildeo del Controlador

Gd ( Z )=kp+ ki

1minus zminus1+kd (1minuszminus1)

iquestkp+ kiZzminus1

+kpZminus1

Z

GUIacuteA DE ACTIVIDADESEl trabajo consiste de dos actividades (una teoacuterica y una praacutectica) con una solaentrega

1 Actividad Teoacuterica La primera actividad estaacute compuesta de una serie de ejercicios que deberaacuten ser desarrollados de forma analiacutetica por cada uno de los estudiantes del grupo colaborativo Para el desarrollo de la primera actividad se propone el siguiente esquema de controlEjercicio

Ejercicio 1 Suponga que la funcioacuten de transferencia de la planta es

Gp(s)= 10(s+1)(s+2)

(a) Calcule la constante de error de posicioacuten 10485881048588 el error en estado estacionario ante una entrada escaloacuten unitario y el tiempo de establecimiento (b) Disentildee un controlador PID digital para que el sistema en lazo cerrado tenga un sobreimpulso maacuteximo de 5 y un tiempo de establecimiento menor de 1 segundo Suponga que el tiempo de muestreo es Ts = 01 segundos

Ejercicio 2 Suponga que la funcioacuten de transferencia de la planta es

Gp (s )= 1s (s+1)

(a) Calcule la constante de error de velocidad Kv el error en estado estacionario ante una entrada escaloacuten unitario y el margen de fase (b) Disentildee un compensador en adelanto-atraso digital para que el sistema en

lazo cerrado tenga un margen de fase de 80ordm y la constante de error de velocidad sea Kv = 2 Suponga que el tiempo de muestreo es Ts = 02 segundos

Ejercicio 3 Suponga que la funcioacuten de transferencia de la planta es

Gp (s )= 36s (s+36)

Disentildee un regulador digital por el meacutetodo de ubicacioacuten de polos para que el sistema en lazo cerrado tenga un sobreimpulso maacuteximo de 10 el tiempo de establecimiento sea menor de 1 segundo y el error en estado estacionario ante una entrada escaloacuten unitario sea cero Elija el tiempo de muestreo de tal manera que se obtengan 20 muestras por cada ciclo

2 Actividad Praacutectica La segunda actividad estaacute compuesta de una serie deejercicios que deberaacuten ser desarrollados utilizando una herramienta de softwarecomo SCILAB o MATLABreg

Para el desarrollo de la segunda actividad se utilizaraacute el mismo esquema de control de la primera actividad

Ejercicio 1 Con los valores del Ejercicio 1 de la Actividad Teoacuterica utilice SCILAB oMATLABreg para (a) Dibujar la respuesta de la planta Gp(s) ante una entrada escaloacuten unitario iquestLos valores de essy t scorresponden a los encontrados en el inciso (a) (b) Dibujar la respuesta del sistema en lazo cerrado ante un escaloacuten unitario iquestLos valores de tiempo de establecimiento y sobreimpulso corresponden a los encontrados en el inciso (b)

Ejercicio 2 Con los valores del Ejercicio 2 de la Actividad Teoacuterica utilice SCILAB oMATLABreg para (a) Dibujar el diagrama de Bode de la planta Gp (s) iquestEl margen de fase corresponde al encontrado en el inciso (a) (b) Dibujar el diagrama de Bode del sistema compensado iquestEl margen de fase corresponde al encontrado en el inciso (b)

Ejercicio 3 Con los valores del Ejercicio 3 de la Actividad Teoacuterica utilice SCILAB oMATLABreg para dibujar la respuesta del sistema en lazo cerrado ante un escaloacutenunitario iquestLos valores de tiempo de establecimiento y sobreimpulso corresponden a los encontrados en la parte teoacuterica

DESARROLLO DE ACTIVIDAD

Gp=( s )= 10( s+1 )(s+2) Zoh=1minuseminusst

S

iquest 10

s2+s+2 s+2

Gp=(s ) 10

s2+3 s+2

Para encontrar la relacioacuten entrada salida

1 C ( s )=Gp ( s ) Zoh ( s ) Eiquest (s)2 E ( s)=R ( s )minusC (s)

incluyendo1en2

E ( s)=R ( s )minusGp ( s ) Zoh ( s ) Eiquest (s)

Muestrando toda laexprecion

[ E ( s)=R ( s )minusGp ( s ) Zoh ( s ) Eiquest (s ) ]iquest

Eiquest ( s )=Riquest ( s)minus[Gp ( s) Zoh ( s) ]iquest Eiquest(s)

Eiquest ( s )+ [Gp ( s) Zoh ( s) ]iquest Eiquest (s )=Riquest ( s )

Eiquest ( s ) [1+[Gp (s ) Zoh (s ) ]iquest ]=Riquest (s)

Eiquest ( s )= Riquest(s)

1+ [GP (s ) Zoh (s ) ]iquest rArr E ( z )= R (z)1+Z (Gp (s ) Zoh (s ))

Reemplazando la Expresioacuten anterior en la especian 1

1 C ( S )=Gp ( s ) Zoh ( s ) Eiquest (s )

Muestreada

C iquest (s )=[Gp (s ) Zoh (s )iquestiquestiquest Eiquest (s )]iquest

Reemplazando

C iquest (s )=[Gp(s)Zoh(s)]iquest Riquest(S )

1+iquestiquest

Ciquest (s )Riquest(S )

=iquestiquestiquest

Como

C iquest (s )=C (Z ) C(Z)R(Z)

=Z Gp(s)Zoh(s)1+Z Gp (s ) Zoh(s)

Riquest (s )=R(Z)

Z ( Zoh (s )Gp (s ) )=Z [ 1minuseminusst

T1

52+3 s+2]

En Matlab

nGP= [1 ] Numerador Gp es S

dGP= [132 ] Denominador Gp e S

T=01

[ nGpZ dGpZ ]=C2dm(nGp dGp T Zoh)

Comand Windows

nGpZ=00 00450 0041

dGpZ=1minus1 7235680 740818

Z ( Zoh (s )Gp (s ) )= 0 0045Z+0 0041

z2minus1 7236 Z+0 7408

C ( z )R ( z )

=

00045Z+00041z2minus17236 Z+07408

1+ 00045Z+00041z2minus17236Z+07408

iquest 00045 Z+00041z2minus17236Z+07408+00045 Z+00041

iquest 00045Z+00041z2minus171904Z+07449

Error en estado estable

ess=limt rarr infin

e (t ) En el Dominio del Tiempo

iquest lims rarr0

SE ( S ) En el dominiode la Frecuencia

iquest limZ rarr1

( zminus1 ) E ( z ) En eldominio de la Frecuencia discreta

Para una entrada escaloacuten

ess=ep=lims rarr0

SE (S )

iquest lims rarr0

s R ( s )1+G (s )

iquest lims rarr0

s1s

1+G (s )

iquest lims rarr0

11+kp

R (s )=1srArr entrada escalon

E ( s)= R ( s )1+G(s)

Kp=Constante de posicion

Kp=G(s)

Para el dominio de Z

Ep=limz rarr1

( zminus1 ) E(z )

iquest limz rarr 1

( zminus1 ) R (z )1+Z (Zoh (s ) Gp(s))

iquest limz rarr1

( zminus1 ) Z(Zminus1)

1z(Zoh(s)Gp(s ))

iquest limz rarr1

ZZ (Zoh(s)Gp(s))

= 11+kp

R ( z )rArrEscalon

R ( z )= ZZminus1

C(Z)R(Z)

= 00045 Z+00041Z2minus17190Z+07449

A) Constante de error de posicioacuten

Kp=Gp ( z ) Zoh ( z )|Z=1

iquest00045 (1 )+00041

12minus17236 (1 )+07408

kp=05

B) Error en estado estacionario

ep= 11+kp

minus 11+05

=06667

C) Tiempo de establecimiento

tq=4 6

ξwn

iquest 4617190

Tq=2675

C (s )R (s )

= Wn2

s+2EWnS+Wn2

Mp=eminusπξ

Wnradic1minusξ 2

B) Sobreimpulso

Mp=e( minus πξ

radic1minusξ 2 )

5iqueste( minusπξ

radic1minusξ 2 )

iquest5= minusπξ

radic1minusξ2

(iquest5)2=(1minusξ2 )=π2ξ2

(iquest5)2=π2 ξ2+(iquest5)2 ξ2

(iquest5)2=(π 2+(iquest5)2)ξ2

ξ2=(iquest5)2

π 2+(iquest5)2

ξ2=02079

ξ2=0456

Tiempo de Establecimiento

ts= 4ξWn

Wn= 4ξWn

= 4

(1 )(0456)=877 rad s

Disentildeo del Controlador

Gd ( Z )=kp+ ki

1minus zminus1+kd (1minuszminus1)

iquestkp+ kiZzminus1

+kpZminus1

Z

lazo cerrado tenga un margen de fase de 80ordm y la constante de error de velocidad sea Kv = 2 Suponga que el tiempo de muestreo es Ts = 02 segundos

Ejercicio 3 Suponga que la funcioacuten de transferencia de la planta es

Gp (s )= 36s (s+36)

Disentildee un regulador digital por el meacutetodo de ubicacioacuten de polos para que el sistema en lazo cerrado tenga un sobreimpulso maacuteximo de 10 el tiempo de establecimiento sea menor de 1 segundo y el error en estado estacionario ante una entrada escaloacuten unitario sea cero Elija el tiempo de muestreo de tal manera que se obtengan 20 muestras por cada ciclo

2 Actividad Praacutectica La segunda actividad estaacute compuesta de una serie deejercicios que deberaacuten ser desarrollados utilizando una herramienta de softwarecomo SCILAB o MATLABreg

Para el desarrollo de la segunda actividad se utilizaraacute el mismo esquema de control de la primera actividad

Ejercicio 1 Con los valores del Ejercicio 1 de la Actividad Teoacuterica utilice SCILAB oMATLABreg para (a) Dibujar la respuesta de la planta Gp(s) ante una entrada escaloacuten unitario iquestLos valores de essy t scorresponden a los encontrados en el inciso (a) (b) Dibujar la respuesta del sistema en lazo cerrado ante un escaloacuten unitario iquestLos valores de tiempo de establecimiento y sobreimpulso corresponden a los encontrados en el inciso (b)

Ejercicio 2 Con los valores del Ejercicio 2 de la Actividad Teoacuterica utilice SCILAB oMATLABreg para (a) Dibujar el diagrama de Bode de la planta Gp (s) iquestEl margen de fase corresponde al encontrado en el inciso (a) (b) Dibujar el diagrama de Bode del sistema compensado iquestEl margen de fase corresponde al encontrado en el inciso (b)

Ejercicio 3 Con los valores del Ejercicio 3 de la Actividad Teoacuterica utilice SCILAB oMATLABreg para dibujar la respuesta del sistema en lazo cerrado ante un escaloacutenunitario iquestLos valores de tiempo de establecimiento y sobreimpulso corresponden a los encontrados en la parte teoacuterica

DESARROLLO DE ACTIVIDAD

Gp=( s )= 10( s+1 )(s+2) Zoh=1minuseminusst

S

iquest 10

s2+s+2 s+2

Gp=(s ) 10

s2+3 s+2

Para encontrar la relacioacuten entrada salida

1 C ( s )=Gp ( s ) Zoh ( s ) Eiquest (s)2 E ( s)=R ( s )minusC (s)

incluyendo1en2

E ( s)=R ( s )minusGp ( s ) Zoh ( s ) Eiquest (s)

Muestrando toda laexprecion

[ E ( s)=R ( s )minusGp ( s ) Zoh ( s ) Eiquest (s ) ]iquest

Eiquest ( s )=Riquest ( s)minus[Gp ( s) Zoh ( s) ]iquest Eiquest(s)

Eiquest ( s )+ [Gp ( s) Zoh ( s) ]iquest Eiquest (s )=Riquest ( s )

Eiquest ( s ) [1+[Gp (s ) Zoh (s ) ]iquest ]=Riquest (s)

Eiquest ( s )= Riquest(s)

1+ [GP (s ) Zoh (s ) ]iquest rArr E ( z )= R (z)1+Z (Gp (s ) Zoh (s ))

Reemplazando la Expresioacuten anterior en la especian 1

1 C ( S )=Gp ( s ) Zoh ( s ) Eiquest (s )

Muestreada

C iquest (s )=[Gp (s ) Zoh (s )iquestiquestiquest Eiquest (s )]iquest

Reemplazando

C iquest (s )=[Gp(s)Zoh(s)]iquest Riquest(S )

1+iquestiquest

Ciquest (s )Riquest(S )

=iquestiquestiquest

Como

C iquest (s )=C (Z ) C(Z)R(Z)

=Z Gp(s)Zoh(s)1+Z Gp (s ) Zoh(s)

Riquest (s )=R(Z)

Z ( Zoh (s )Gp (s ) )=Z [ 1minuseminusst

T1

52+3 s+2]

En Matlab

nGP= [1 ] Numerador Gp es S

dGP= [132 ] Denominador Gp e S

T=01

[ nGpZ dGpZ ]=C2dm(nGp dGp T Zoh)

Comand Windows

nGpZ=00 00450 0041

dGpZ=1minus1 7235680 740818

Z ( Zoh (s )Gp (s ) )= 0 0045Z+0 0041

z2minus1 7236 Z+0 7408

C ( z )R ( z )

=

00045Z+00041z2minus17236 Z+07408

1+ 00045Z+00041z2minus17236Z+07408

iquest 00045 Z+00041z2minus17236Z+07408+00045 Z+00041

iquest 00045Z+00041z2minus171904Z+07449

Error en estado estable

ess=limt rarr infin

e (t ) En el Dominio del Tiempo

iquest lims rarr0

SE ( S ) En el dominiode la Frecuencia

iquest limZ rarr1

( zminus1 ) E ( z ) En eldominio de la Frecuencia discreta

Para una entrada escaloacuten

ess=ep=lims rarr0

SE (S )

iquest lims rarr0

s R ( s )1+G (s )

iquest lims rarr0

s1s

1+G (s )

iquest lims rarr0

11+kp

R (s )=1srArr entrada escalon

E ( s)= R ( s )1+G(s)

Kp=Constante de posicion

Kp=G(s)

Para el dominio de Z

Ep=limz rarr1

( zminus1 ) E(z )

iquest limz rarr 1

( zminus1 ) R (z )1+Z (Zoh (s ) Gp(s))

iquest limz rarr1

( zminus1 ) Z(Zminus1)

1z(Zoh(s)Gp(s ))

iquest limz rarr1

ZZ (Zoh(s)Gp(s))

= 11+kp

R ( z )rArrEscalon

R ( z )= ZZminus1

C(Z)R(Z)

= 00045 Z+00041Z2minus17190Z+07449

A) Constante de error de posicioacuten

Kp=Gp ( z ) Zoh ( z )|Z=1

iquest00045 (1 )+00041

12minus17236 (1 )+07408

kp=05

B) Error en estado estacionario

ep= 11+kp

minus 11+05

=06667

C) Tiempo de establecimiento

tq=4 6

ξwn

iquest 4617190

Tq=2675

C (s )R (s )

= Wn2

s+2EWnS+Wn2

Mp=eminusπξ

Wnradic1minusξ 2

B) Sobreimpulso

Mp=e( minus πξ

radic1minusξ 2 )

5iqueste( minusπξ

radic1minusξ 2 )

iquest5= minusπξ

radic1minusξ2

(iquest5)2=(1minusξ2 )=π2ξ2

(iquest5)2=π2 ξ2+(iquest5)2 ξ2

(iquest5)2=(π 2+(iquest5)2)ξ2

ξ2=(iquest5)2

π 2+(iquest5)2

ξ2=02079

ξ2=0456

Tiempo de Establecimiento

ts= 4ξWn

Wn= 4ξWn

= 4

(1 )(0456)=877 rad s

Disentildeo del Controlador

Gd ( Z )=kp+ ki

1minus zminus1+kd (1minuszminus1)

iquestkp+ kiZzminus1

+kpZminus1

Z

iquest 10

s2+s+2 s+2

Gp=(s ) 10

s2+3 s+2

Para encontrar la relacioacuten entrada salida

1 C ( s )=Gp ( s ) Zoh ( s ) Eiquest (s)2 E ( s)=R ( s )minusC (s)

incluyendo1en2

E ( s)=R ( s )minusGp ( s ) Zoh ( s ) Eiquest (s)

Muestrando toda laexprecion

[ E ( s)=R ( s )minusGp ( s ) Zoh ( s ) Eiquest (s ) ]iquest

Eiquest ( s )=Riquest ( s)minus[Gp ( s) Zoh ( s) ]iquest Eiquest(s)

Eiquest ( s )+ [Gp ( s) Zoh ( s) ]iquest Eiquest (s )=Riquest ( s )

Eiquest ( s ) [1+[Gp (s ) Zoh (s ) ]iquest ]=Riquest (s)

Eiquest ( s )= Riquest(s)

1+ [GP (s ) Zoh (s ) ]iquest rArr E ( z )= R (z)1+Z (Gp (s ) Zoh (s ))

Reemplazando la Expresioacuten anterior en la especian 1

1 C ( S )=Gp ( s ) Zoh ( s ) Eiquest (s )

Muestreada

C iquest (s )=[Gp (s ) Zoh (s )iquestiquestiquest Eiquest (s )]iquest

Reemplazando

C iquest (s )=[Gp(s)Zoh(s)]iquest Riquest(S )

1+iquestiquest

Ciquest (s )Riquest(S )

=iquestiquestiquest

Como

C iquest (s )=C (Z ) C(Z)R(Z)

=Z Gp(s)Zoh(s)1+Z Gp (s ) Zoh(s)

Riquest (s )=R(Z)

Z ( Zoh (s )Gp (s ) )=Z [ 1minuseminusst

T1

52+3 s+2]

En Matlab

nGP= [1 ] Numerador Gp es S

dGP= [132 ] Denominador Gp e S

T=01

[ nGpZ dGpZ ]=C2dm(nGp dGp T Zoh)

Comand Windows

nGpZ=00 00450 0041

dGpZ=1minus1 7235680 740818

Z ( Zoh (s )Gp (s ) )= 0 0045Z+0 0041

z2minus1 7236 Z+0 7408

C ( z )R ( z )

=

00045Z+00041z2minus17236 Z+07408

1+ 00045Z+00041z2minus17236Z+07408

iquest 00045 Z+00041z2minus17236Z+07408+00045 Z+00041

iquest 00045Z+00041z2minus171904Z+07449

Error en estado estable

ess=limt rarr infin

e (t ) En el Dominio del Tiempo

iquest lims rarr0

SE ( S ) En el dominiode la Frecuencia

iquest limZ rarr1

( zminus1 ) E ( z ) En eldominio de la Frecuencia discreta

Para una entrada escaloacuten

ess=ep=lims rarr0

SE (S )

iquest lims rarr0

s R ( s )1+G (s )

iquest lims rarr0

s1s

1+G (s )

iquest lims rarr0

11+kp

R (s )=1srArr entrada escalon

E ( s)= R ( s )1+G(s)

Kp=Constante de posicion

Kp=G(s)

Para el dominio de Z

Ep=limz rarr1

( zminus1 ) E(z )

iquest limz rarr 1

( zminus1 ) R (z )1+Z (Zoh (s ) Gp(s))

iquest limz rarr1

( zminus1 ) Z(Zminus1)

1z(Zoh(s)Gp(s ))

iquest limz rarr1

ZZ (Zoh(s)Gp(s))

= 11+kp

R ( z )rArrEscalon

R ( z )= ZZminus1

C(Z)R(Z)

= 00045 Z+00041Z2minus17190Z+07449

A) Constante de error de posicioacuten

Kp=Gp ( z ) Zoh ( z )|Z=1

iquest00045 (1 )+00041

12minus17236 (1 )+07408

kp=05

B) Error en estado estacionario

ep= 11+kp

minus 11+05

=06667

C) Tiempo de establecimiento

tq=4 6

ξwn

iquest 4617190

Tq=2675

C (s )R (s )

= Wn2

s+2EWnS+Wn2

Mp=eminusπξ

Wnradic1minusξ 2

B) Sobreimpulso

Mp=e( minus πξ

radic1minusξ 2 )

5iqueste( minusπξ

radic1minusξ 2 )

iquest5= minusπξ

radic1minusξ2

(iquest5)2=(1minusξ2 )=π2ξ2

(iquest5)2=π2 ξ2+(iquest5)2 ξ2

(iquest5)2=(π 2+(iquest5)2)ξ2

ξ2=(iquest5)2

π 2+(iquest5)2

ξ2=02079

ξ2=0456

Tiempo de Establecimiento

ts= 4ξWn

Wn= 4ξWn

= 4

(1 )(0456)=877 rad s

Disentildeo del Controlador

Gd ( Z )=kp+ ki

1minus zminus1+kd (1minuszminus1)

iquestkp+ kiZzminus1

+kpZminus1

Z

Ciquest (s )Riquest(S )

=iquestiquestiquest

Como

C iquest (s )=C (Z ) C(Z)R(Z)

=Z Gp(s)Zoh(s)1+Z Gp (s ) Zoh(s)

Riquest (s )=R(Z)

Z ( Zoh (s )Gp (s ) )=Z [ 1minuseminusst

T1

52+3 s+2]

En Matlab

nGP= [1 ] Numerador Gp es S

dGP= [132 ] Denominador Gp e S

T=01

[ nGpZ dGpZ ]=C2dm(nGp dGp T Zoh)

Comand Windows

nGpZ=00 00450 0041

dGpZ=1minus1 7235680 740818

Z ( Zoh (s )Gp (s ) )= 0 0045Z+0 0041

z2minus1 7236 Z+0 7408

C ( z )R ( z )

=

00045Z+00041z2minus17236 Z+07408

1+ 00045Z+00041z2minus17236Z+07408

iquest 00045 Z+00041z2minus17236Z+07408+00045 Z+00041

iquest 00045Z+00041z2minus171904Z+07449

Error en estado estable

ess=limt rarr infin

e (t ) En el Dominio del Tiempo

iquest lims rarr0

SE ( S ) En el dominiode la Frecuencia

iquest limZ rarr1

( zminus1 ) E ( z ) En eldominio de la Frecuencia discreta

Para una entrada escaloacuten

ess=ep=lims rarr0

SE (S )

iquest lims rarr0

s R ( s )1+G (s )

iquest lims rarr0

s1s

1+G (s )

iquest lims rarr0

11+kp

R (s )=1srArr entrada escalon

E ( s)= R ( s )1+G(s)

Kp=Constante de posicion

Kp=G(s)

Para el dominio de Z

Ep=limz rarr1

( zminus1 ) E(z )

iquest limz rarr 1

( zminus1 ) R (z )1+Z (Zoh (s ) Gp(s))

iquest limz rarr1

( zminus1 ) Z(Zminus1)

1z(Zoh(s)Gp(s ))

iquest limz rarr1

ZZ (Zoh(s)Gp(s))

= 11+kp

R ( z )rArrEscalon

R ( z )= ZZminus1

C(Z)R(Z)

= 00045 Z+00041Z2minus17190Z+07449

A) Constante de error de posicioacuten

Kp=Gp ( z ) Zoh ( z )|Z=1

iquest00045 (1 )+00041

12minus17236 (1 )+07408

kp=05

B) Error en estado estacionario

ep= 11+kp

minus 11+05

=06667

C) Tiempo de establecimiento

tq=4 6

ξwn

iquest 4617190

Tq=2675

C (s )R (s )

= Wn2

s+2EWnS+Wn2

Mp=eminusπξ

Wnradic1minusξ 2

B) Sobreimpulso

Mp=e( minus πξ

radic1minusξ 2 )

5iqueste( minusπξ

radic1minusξ 2 )

iquest5= minusπξ

radic1minusξ2

(iquest5)2=(1minusξ2 )=π2ξ2

(iquest5)2=π2 ξ2+(iquest5)2 ξ2

(iquest5)2=(π 2+(iquest5)2)ξ2

ξ2=(iquest5)2

π 2+(iquest5)2

ξ2=02079

ξ2=0456

Tiempo de Establecimiento

ts= 4ξWn

Wn= 4ξWn

= 4

(1 )(0456)=877 rad s

Disentildeo del Controlador

Gd ( Z )=kp+ ki

1minus zminus1+kd (1minuszminus1)

iquestkp+ kiZzminus1

+kpZminus1

Z

iquest 00045Z+00041z2minus171904Z+07449

Error en estado estable

ess=limt rarr infin

e (t ) En el Dominio del Tiempo

iquest lims rarr0

SE ( S ) En el dominiode la Frecuencia

iquest limZ rarr1

( zminus1 ) E ( z ) En eldominio de la Frecuencia discreta

Para una entrada escaloacuten

ess=ep=lims rarr0

SE (S )

iquest lims rarr0

s R ( s )1+G (s )

iquest lims rarr0

s1s

1+G (s )

iquest lims rarr0

11+kp

R (s )=1srArr entrada escalon

E ( s)= R ( s )1+G(s)

Kp=Constante de posicion

Kp=G(s)

Para el dominio de Z

Ep=limz rarr1

( zminus1 ) E(z )

iquest limz rarr 1

( zminus1 ) R (z )1+Z (Zoh (s ) Gp(s))

iquest limz rarr1

( zminus1 ) Z(Zminus1)

1z(Zoh(s)Gp(s ))

iquest limz rarr1

ZZ (Zoh(s)Gp(s))

= 11+kp

R ( z )rArrEscalon

R ( z )= ZZminus1

C(Z)R(Z)

= 00045 Z+00041Z2minus17190Z+07449

A) Constante de error de posicioacuten

Kp=Gp ( z ) Zoh ( z )|Z=1

iquest00045 (1 )+00041

12minus17236 (1 )+07408

kp=05

B) Error en estado estacionario

ep= 11+kp

minus 11+05

=06667

C) Tiempo de establecimiento

tq=4 6

ξwn

iquest 4617190

Tq=2675

C (s )R (s )

= Wn2

s+2EWnS+Wn2

Mp=eminusπξ

Wnradic1minusξ 2

B) Sobreimpulso

Mp=e( minus πξ

radic1minusξ 2 )

5iqueste( minusπξ

radic1minusξ 2 )

iquest5= minusπξ

radic1minusξ2

(iquest5)2=(1minusξ2 )=π2ξ2

(iquest5)2=π2 ξ2+(iquest5)2 ξ2

(iquest5)2=(π 2+(iquest5)2)ξ2

ξ2=(iquest5)2

π 2+(iquest5)2

ξ2=02079

ξ2=0456

Tiempo de Establecimiento

ts= 4ξWn

Wn= 4ξWn

= 4

(1 )(0456)=877 rad s

Disentildeo del Controlador

Gd ( Z )=kp+ ki

1minus zminus1+kd (1minuszminus1)

iquestkp+ kiZzminus1

+kpZminus1

Z

Para el dominio de Z

Ep=limz rarr1

( zminus1 ) E(z )

iquest limz rarr 1

( zminus1 ) R (z )1+Z (Zoh (s ) Gp(s))

iquest limz rarr1

( zminus1 ) Z(Zminus1)

1z(Zoh(s)Gp(s ))

iquest limz rarr1

ZZ (Zoh(s)Gp(s))

= 11+kp

R ( z )rArrEscalon

R ( z )= ZZminus1

C(Z)R(Z)

= 00045 Z+00041Z2minus17190Z+07449

A) Constante de error de posicioacuten

Kp=Gp ( z ) Zoh ( z )|Z=1

iquest00045 (1 )+00041

12minus17236 (1 )+07408

kp=05

B) Error en estado estacionario

ep= 11+kp

minus 11+05

=06667

C) Tiempo de establecimiento

tq=4 6

ξwn

iquest 4617190

Tq=2675

C (s )R (s )

= Wn2

s+2EWnS+Wn2

Mp=eminusπξ

Wnradic1minusξ 2

B) Sobreimpulso

Mp=e( minus πξ

radic1minusξ 2 )

5iqueste( minusπξ

radic1minusξ 2 )

iquest5= minusπξ

radic1minusξ2

(iquest5)2=(1minusξ2 )=π2ξ2

(iquest5)2=π2 ξ2+(iquest5)2 ξ2

(iquest5)2=(π 2+(iquest5)2)ξ2

ξ2=(iquest5)2

π 2+(iquest5)2

ξ2=02079

ξ2=0456

Tiempo de Establecimiento

ts= 4ξWn

Wn= 4ξWn

= 4

(1 )(0456)=877 rad s

Disentildeo del Controlador

Gd ( Z )=kp+ ki

1minus zminus1+kd (1minuszminus1)

iquestkp+ kiZzminus1

+kpZminus1

Z

tq=4 6

ξwn

iquest 4617190

Tq=2675

C (s )R (s )

= Wn2

s+2EWnS+Wn2

Mp=eminusπξ

Wnradic1minusξ 2

B) Sobreimpulso

Mp=e( minus πξ

radic1minusξ 2 )

5iqueste( minusπξ

radic1minusξ 2 )

iquest5= minusπξ

radic1minusξ2

(iquest5)2=(1minusξ2 )=π2ξ2

(iquest5)2=π2 ξ2+(iquest5)2 ξ2

(iquest5)2=(π 2+(iquest5)2)ξ2

ξ2=(iquest5)2

π 2+(iquest5)2

ξ2=02079

ξ2=0456

Tiempo de Establecimiento

ts= 4ξWn

Wn= 4ξWn

= 4

(1 )(0456)=877 rad s

Disentildeo del Controlador

Gd ( Z )=kp+ ki

1minus zminus1+kd (1minuszminus1)

iquestkp+ kiZzminus1

+kpZminus1

Z

Wn= 4ξWn

= 4

(1 )(0456)=877 rad s

Disentildeo del Controlador

Gd ( Z )=kp+ ki

1minus zminus1+kd (1minuszminus1)

iquestkp+ kiZzminus1

+kpZminus1

Z