Actividad Teórica: La primera actividad está compuesta de una serie de ejercicios que deberán ser desarrollados de forma analítica por cada uno de los estudiantes del grupo colaborativo. Para el desarrollo de la primera actividad se propone el siguiente esquema de control:

Ejercicio 1: Suponga que la función de transferencia de la planta es:

a).Calcule la constante de error de posición Kp, el error en estado estacionario ante una entrada escalón unitario y el tiempo de establecimiento. (b) Diseñe un controlador PID digital para que el sistema en lazo cerrado tenga un sobreimpulso máximo de 5% y un tiempo de establecimiento menor de 1 segundo. Suponga que el tiempo de muestreo es = 0.1 segundos.

SOLUCION

a).Calcule la constante de error de posición Kp, el error en estado estacionario ante una entrada escalón unitario y el tiempo de establecimiento.

Nota: lo primero que debemos hacer es expandir el denominador de la función de transferencia, haciendo esto nos queda de la siguiente manera

10

s2+3 s+2

Discretizamos la planta, lo que nos arroja la siguiente función de transferencia

0.04528 z+0.04097z2−1.724 z+0.7408

Hallamos el error en estado estacionario

Como nuestro sistema es de tipo utilizamos la siguiente fórmula para su cálculo

ess=lims−0

sR (s )1+Gc (s )G(s)

Entonces procedemos

Como es una entrada escalón

Uz= 1

1−z−1

Luego

X ( z )= 0.04528 z+0.04097z2−1.724 z+0.7408

1

1−z−1

Ahora aplicamos el teorema del valor final

Kp= limz−1

(z−1)=0.04528 z+0.04097z2−1.724 z+0.7408

1

1−z−1

Kp=limz−1

(1−z−1)=0.04528 z+0.04097z2−1.724 z+0.7408

1

1−z−1

Kp=limz−1

.0.04528 z+0.04097z2−1.724 z+0.7408

Kp=¿5.14

Ahora hallaremos la constante del error de posición Kp

Dedicmos que

Xss= 11+Kp

Entoces

Xss= 11+5.14

Xss=0.10629

Después prodemos a hallar el tiempo de establecimiento

Cosiderando esto

Continuamos

Entonces la función de transferencia quedaría asi

G ( z )= 0.74082

z2+(2∗1.724∗0.7408)+0.74082

G ( z )= 0.5488

z22.5543+0.5488

Ta para el 1%

Ta= 4.6ᶓwn

ᶓ=2.5543

wn= 0.5488

entonces

Ta= 4.60.5488∗2.5543

Ta=3.28 seg

(b) Diseñe un controlador PID digital para que el sistema en lazo cerrado tenga un sobreimpulso máximo de 5% y un tiempo de establecimiento

menor de 1 segundo. Suponga que el tiempo de muestreo es = 0.1 segundos.

M p=5=0.05=e−π . ζ2

√1−ζ 2

Se tiene

ζ=√ ( ln (0.05 ))2

π2+( ln (0.05 ))2=0.6901

wd=wn√1−¿ζ 2¿

wd=2.91rads

Se halla el ZOH

Gh (s )= 1

1+Ts2 ❑

= 10.05 s+1

= 105 s+10

Gs=10

(S2+3 S+2 ) (5 s+10 )

Luego con ζ=0.6901 y W n=4radseg

S0=−ζ wn+wn√1−ζ 2=2.76+2,76√3 j

Dc (s)=Ks+2,76s+5.82

Por lo que la ecuación característica deseada se convierte en:

Pd ( s)=s2+2∗ζ∗W n∗s+W n2

Pd ( s)=s2+5.52 s+16

El sistema en lazo cerrado será de la siguiente forma:

Gc=Gh (S )∗G p(s )1+Gh (S )∗G p(s)

GC=K D . S

2+K P . S+K I

0.5 s4+2.5∗S3+(3+KD ) . S2+(2+K P ) . S+K I

Ya que la ecuación característica del sistema en lazo cerrado es de cuarto orden, se iguala con la ecuación característica deseada añadiendo un término de más, de la siguiente manera:

0.5 s4+2.5∗S3+(3+KD ) . S2+(2+K P ) . S+K I=( s2+5.52 s+16 )∗( s2+α . S+β )=S4+ (α+5.52 ) . S3+(5.52. α+β+16 ) . S2+ (16 α+5.52 β )S+16 β

De donde se obtienen las siguientes ecuaciones:

0.5=0.52.5=α+5.52………….α=3.02

(K D+3 )=(5.52∗α+β+16 )…….=K D=β+29.67(2+K P )= (16 α+5.52 β )=…………. K P=5.52 β+46.32

(K I )= (16 β )

Con lo que se llega a un sistema de 3 ecuaciones con 4 incógnitas (infinitas soluciones), suponiendo el valor de βcon el fin que cumpla con la condición de polos dominantes deseados, por ejemplo, si se quiere un par de polos remanentes complejos conjugados (no dominantes):

Al solucionar S2+α S+ βse tiene:

S1.2=−α2

±√ α 2

4−βα2

4−β<0

β>9.1

Escogiendo un β=50 se obtiene en Matlab

KD=79.67KP=322.32KI=800

Ejercicio 2

(a) Calcule la constante de error de velocidad Kv, el error en estado estacionario ante una entrada escalón unitario y el margen de fase. (b) Diseñe un compensador en adelanto-atraso digital para que el sistema en lazo cerrado tenga un margen de fase de 80º y la constante de error de velocidad sea ts = 2. Suponga que el tiempo de muestreo es ts= 0.2 segundos.

Este es un sistema tipo 1

Calculo de la constante de error de velocidad Kv

Kv= lim s KGp(s)

S 0

Kv= lim s K

s (s+1 )

S 0

Kv=K

Calculo del error de estado estacionario ante una entrada escalón unitario

ess= R11+Kp

Calculamos Kp para el sistema

R(s)=1/s

Kp= lim s Gp(s)

S 0

Kp= lim s 1

s (s+1 )=1

S 0

Kp=1

ess= 11+1

=0.5=50%

El margen de fase del sistema es de 51°

Compensador adelanto-atraso

Kv= lim s KGp(s)

S 0

Kv= lim s K

s (s+1 )

S 0

2=K

K=2

Gp (s ) 2s (s+1)

El margen de fase es de

Mp=38.6°

La frecuencia de cruce de ganancia

Wf=1.24 Rad/seg

Suponemos un margen de fase de más de 5° para el compensador

MØcom=MØesp+MØadic-MØorig

MØcom=80°+5°-38.6°

MØcom= 46.4°

El valor de 𝛂 para el compensador es

senØm=1−α1+α

α=1−sen(46.4)1+sen(46.4)

α=0.156

Para garantizar los 80° del margen de fase es necesario que 𝛂=0.156

Con este valor, se procede a calcular la magnitud de la respuesta de frecuencia a la cual, ocurre la máxima contribución de fase del compensador. Es decir,

Donde

Gc ( jw )= 1√α

Gc ( jw )= 1√0.156

Gc ( jw )=2.53

-20log(2.53)= -8.06db

La frecuencia Wm a la cual tenemos esta ganancia es

Wm=2.14Rad/s

Wm= 1

√α∗t

Donde:

t= 1

√α∗Wm

t= 10.39∗2.14

t=1.18

Estos son los valores del compensador

T= 1.18

𝛂T= 0.18

Gc ( s)=2 1+1.18 s1+0.18 s

Ganancia de la red adelanto-atraso

Kc=Kα

= 20.156

=12.82

La función de trasferencia del compensador queda de la siguiente manera:

D (s )=12.82 s+0.84s+5,55

=2 1+1.18 s1+0.18 s

Utilizamos el método de mapeo por aparenta miento de polos y ceros para obtener D(z): para un muestreo de Ts=0.2

S=-0.84

Se mapea a través de la trasformación donde

Z=e-0.84*0.2= 0.845

S=-5.55

Se mapea a través de la trasformación donde

Z=e-5.55*0.2= 0.329

Donde:

D ( z )=12.82 z 0.845z 0.329

ACTIVIDAD PRÁCTICA

Ejercicio 1

a). Con los valores del Ejercicio 1 de la Actividad Teórica, utilice SCILAB o MATLAB® para: (a) Dibujar la respuesta de la planta Gp(s) ante una entrada escalón unitario ¿Los valores de ess y ta corresponden a los encontrados en el inciso a)?

SOLUCIÓN

Para el desarrollo de este ejercicio se utilizó la herramienta sisotool de matlab

Al analizar los datos obtenidos en la actividad teorica con los obtenidos por medio de la simulación, podemos observar mínimas diferencias. Por ejemplo

Xss calculado= 1.0629

Xss simulado = 1.08

Ta calculado= 3,28

Ta simulado=3,17

(b)

Dibujar la respuesta del sistema en lazo cerrado ante un escalón unitario. ¿Los valores de tiempo de establecimiento y sobreimpulso corresponden a los encontrados en el inciso (b)?

Solución