Bloque: 1 Cmo se forma mi pensamiento?

Matemticas IV

Bloque I: Operaciones con nmeros reales

1.1 Conjuntos Un conjunto es una agrupacin, clase o coleccin de objetos denominados elementos del conjunto (aunque cualquier definicin dada esconde implcitamente paradojas lgicas o contradicciones). Por objeto entenderemos no slo entes fsicos, como mesas, sillas, etc., sino tambin entes abstractos, como son nmeros, letras, etc. La relacin de pertenencia entre los elementos y los conjuntos siempre es perfectamente discernible, en otras palabras, si un objeto pertenece a un conjunto o no, siempre puede calificarse como verdadero o falso.

1.1.1Representacin de los conjuntos en sus diferentes formasDiagrama de Venn y entre llaves.

Es habitual representar los conjuntos en forma grfica mediante losDiagramas de Venn.

En estos diagramas el conjuntose representamediante una superficie limitada por una lnea. En su interior se colocan los elementos del conjunto. Cada porcin del plano limitada se nombra con una letra mayscula.

Elconjunto Aest formado por los elementos1, 2, 3.

Elconjunto Best formado por los elementos a, b, c, d.

Existe, adems, otra forma de representarlos que esentre llaves.

En estos ejemplos se escribe:

A = {1, 2, 3}

B = {a, b, c, d}

Otro ejemplo:

Por diagramaEntre llaves

S = {a, e, i, o, u}

Se escribe una coma para separar los elementos.

1.1.2 Unin La unin de los conjuntos A y B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota la unin de A y B por AB y se llamaunin de A y B.

En consecuencia,

Entonces se puede expresar por comprensin este conjunto as:

Una interpretacin grfica de la unin de A y B es la siguiente:

En la grfica la regin rayada corresponde a la unin de A y B. Se presentan los conjuntos dentro de un rectngulo que representa el conjunto referencial del cual se seleccionan los conjuntos A y B.

1.1.3 Interseccin

La interseccin de dos conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que son comunes a A y a B, esto es, aquellos que pertenecen a A y que tambin pertenecen a B. Se denota la interseccin de A y B por AB y se lee "A interseccin B".En consecuencia,

El conjunto AB est dado por:

Grficamente, una representacin de AB es:

La regin rayada corresponde a A*B. Cuando A y B no tienen elementos comunes, se dice que son disjuntos.

1.1.4 Complemento

El complemento de un conjunto A es el conjunto de todos los elementos que no pertenecen a A, es decir, el conjunto de todos los elementos que estn en el Universal y no estn en A. El complemento de A se denota por A' o Ac.

En consecuencia,

Grficamente, su representacin est dada por:

1.1.5 Diferencia

Definicin de diferencia de conjuntos

La diferencia de conjuntos es la operacin binaria, en la cual dos conjuntos cualesquiera, a y b, especifican cuales elementos de uno de los conjuntos no estn en el otro formando un nuevo conjunto llamado diferencia.

Ser posible establecer dos conjuntos diferencia, cuando se operan dos conjuntos cualesquiera

Simbologa de la diferencia de conjuntos

El smbolo de la diferencia es:(-) La diferencia del conjunto A y el conjunto B, se representa como:A-B La diferencia del conjunto B y el conjunto A, se representa como:B-A Ambas operaciones arrojan resultados distintos, cuando ambos conjuntos no son iguales:A-B,B-ARealizacin de la diferencia de conjuntos en forma extensiva

1. Sean dos conjuntos A y B.

2. Sea A definido as:A = {j, u, g, o, d, e}

3. Sea B definido as:B = {m, a, n, g, o}4. La primera diferencia posible se representa asA-B ={j, u, d, e}5. La segunda diferencia posible se representa asB-A ={m, a, n}Tabla de smbolos

SmboloSignificado

A B significa: si A es verdadero entonces B es verdadero tambin; si A es falso entonces nada se dice sobre B.

puede significar lo mismo que , o puede ser usado para denotar funciones, como se indica ms abajo.

A B significa: A es verdadera si B es verdadera y A es falsa si B es falsa.

La proposicin A B es verdadera si A y B son ambas verdaderas; de otra manera es falsa.

La proposicin A B es verdadera si A o B (o ambas) son verdaderas; si ambas son falsas, la proposicin es falsa.

>Es mayor que

b, se puede escribir:

En una desigualdad un trmino cualquiera puede pasar de un miembro al otrocambindole el signo.

En la desigualdad a > b + c se puede pasar c al primer trmino con signo negativo quedando a c > b, porque equivale a restar c a los dos miembros.

En la desigualdad a b > c, se puede pasar b con signo positivo al segundo trmino y quedando a > b + c, porque equivale a sumar b a los dos miembros.

Comprubalo para los valores de a = 5; b = 3 y c = 2.2)Si los dos miembros de la desigualdad se multiplican o se dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no vara. Dada la desigualdad a > b y siendo c una cantidad positiva, se puede escribir.

ac>bcya/c > b/c

Es posible suprimir denominadores en una desigualdad sin que vare el signo de la desigualdad, porque ello equivale a multiplicar todos los trminos de la desigualdad, o sea sus dos miembros, por elm.c.m.de los denominadores. Comprubalo para los valores de a= 5; b = 3 y c = 2.

3) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad negativa, el signo de la desigualdad varia. Si la desigualdada >b se multiplican ambos trminos por c , se tiene que-ac< -bc.Si se divide por- c, o sea multiplicado por- 1/c,se tiene- a/c < - b/c

4)Si se cambia el orden de los trminos, la desigualdad cambia de signo. Sia > bes evidente queb < a.

1.2.2 Desigualdades lineales

Una inecuacin es una desigualdad en la que aparece una incgnita. Si el grado de la inecuacin es uno, se dice que la inecuacin es lineal. Resolver una inecuacin es encontrar los valores de la incgnita para los cuales se cumple la desigualdad. La solucin de una inecuacin es, por lo general, un intervalo o una unin de intervalos de nmeros reales. El mtodo para resolver una inecuacin es similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades. Es conveniente ilustrar la solucin de una inecuacin con una grfica. Si la solucin incluye algn extremo del intervalo, en la grfica representamos dicho extremo con un crculo en negrita; en cambio, si la solucin no incluye el extremo, lo representamos mediante un crculo blanco (transparente)

Ejemplo a resolver:

1.2.3 Desigualdades cuadrticas

Definicin

Sean a, b, c constantes reales tales que, Sea x una variable real. Llamaremos inecuacin cuadrtica a toda inecuacin en la cual uno de sus miembros es una expresin de la forma y el otro miembro es cero

Son inecuaciones cuadrticas:

a) c) b) d) Al resolver este tipo de inecuaciones se pueden presentar dos casos.

Caso1:en el cual la expresin es factorizable. Para resolver estas inecuaciones se debe factorizar la expresin, para posteriormente aplicar el procedimiento usado para resolver las inecuaciones de los ejemplos anteriores (por medio de una ``tabla de signos"). Recuerde que si la expresin es factorizable entonces se cumple que:

Ejemplo:

Para la expresin se tiene:

Se puede factorizar y adems:

As:

Por lo tanto el conjunto solucin de es:

O sea:

1.2.4 Desigualdades racionales

1Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero.

2 Hallamos las races del numerador y del denominador.

3 Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las races del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.4Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

5 La solucin est compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fraccin polinmica.

Ejemplo:

Pasamos el 2 al primer miembro y ponemos a comn denominador.

Hallamos las races del numerador y del denominador.

Evaluamos el signo:

1.2.5 Desigualdades con valor absoluto

Definimos el valor absoluto de un nmero real (x), que representamos por, mediante

Tambin observamos querepresenta la distancia del origen al punto,(x) y de forma mas general que representa la distancia entre(x1) y (x2)

Las propiedades siguientes del valor absoluto nos indican que este se comporta muy bien con respecto a la multiplicacin y la divisin, pero no as con respecto a la adicin y la sustraccin.

Propiedades del valor absoluto.Si(x)y(y)son nmeros reales arbitrarios entonces

1.

2. 3. 4. (desigualdad triangular)

5. y 6. La interpretacin geomtrica denos proporciona una justificacin de las siguientes dos propiedades

Sea. Entonces7. es equivalente a8. es equivalente a o Grficamente tenemos

Otra propiedad del valor absoluto, muy utilizada en la solucin de desigualdades, es la siguiente

9. es equivalente a En las propiedades (6) a (8) el smbolopuede remplazarse porEjemplo

Resolvamos la desigualdad. Utilizando la propiedad (6), tenemos la siguiente cadena de desigualdades equivalentes:

Por lo tanto, la solucin de la desigualdad es el intervalo.1.3 ANLISIS Y GRAFICA DE UNA ECUACIN A PARTIR DE:

1.3.1 Su simetra

Sea dos tipos de funciones son destacables segn su simetra:

I) Sila funcin essimtrica(simetra respecto al eje X). II) Sila funcin esanti simtrica(simetra respecto al eje X).

En una funcin simtrica la grfica de los cuadrantes I y IV se reflejan especularmente en los cuadrantes II y III, haciendo el eje OY las veces de espejo.

En una funcin anti simtrica la grfica del cuadrante I y IV se refleja como por un espejo en el cuadrante II y III (haciendo de "espejo" el eje Y), y a continuacin esa imagen especular se refleja horizontalmente como por las aguas de un lago (haciendo de "lago" el eje X).

Ejemplo de funciones simtricas: Ejemplo de funcin antisimtrica: 1.3.2 Sus intersecciones con los ejes coordenados

Intersecciones con los ejes:

a) Con el ejeXse sustituye y se resuelve la ecuacin paraX.

b) Con el ejeYse sustituye y se resuelve la ecuacin paraY.

Ejemplo:

a) Se sustituye y se despejaX:

El punto de interseccin con el eje X es (1,0)

b) Se sustituyeX=0 y se despejaY:

El punto de interseccin con el eje Y es (0,1)1.3.3 Sus extensiones o campo de variacin

Extensin con respecto al ejex.

Se despeja la variabley:

Para x= 2, la variable y no est definida, por consiguiente, la extensin enxes:

Tambin se puede escribir Extensin con respecto al ejey.

Se despeja la variablex:

Para y= 2 La variablexno est definida en consecuencia, la extensin enyes:

Es decir la curva se extiende en el ejeydesde (-2 a 2)

1.3.4 Sus asntotas

Son las rectas tales que si un punto se aleja del origen, la distancia de este punto a dicha recta va decreciendo, de tal forma que tiende a cero.

Ejemplo:

a) Asntotas horizontales.

Se obtienen al despejar la variableXy resolver la ecuacin que resulta al igualar con cero el denominador.

b) Asntotas verticales.

Se obtienen al despejar la variableYy resolver la ecuacin que resulta al igualar con cero el denominador.

1.3.5 Su grafica

Son las rectas tales que si un punto se aleja del origen, la distancia de este punto a dicha recta va decreciendo, de tal forma que tiende a cero.

Ejemplo:Se tabula la variableYen funcin de la variableX, dondeXtoma valores en el intervalo.

Se grafican las asntotas, posteriormente los puntos:

Tabulacin

X-3-2-10134567

Y1.61.51.310432.62.52.4

Se hace una tabulacin obtenida al despejar aYpara los valores deXque estn en el intervalo.

X-3-2-10123

YO+-1.49+-1.88+-2+-1.88+-1.49o

Bloque II: FUNCIONES2.1 ELEMENTOS DE UNA FUNCIONUna funcin es una relacin que existe entre los elementos de dos conjuntos, es decir, cuando dos variables estn relacionadas, se establece que el valor de una de ellas queda determinado si se le asigna un valor a la otra.

2.1.1 DominioEs el conjunto de todos los valores admitibles que puede tomar la variable independiente x. El dominio de una funcin est ligado a la definicin de funcin. Una funcin es una relacin que asigna a cada elemento de un conjunto X uno y slo un elemento de un conjunto Y. Al conjunto X se le llama dominio de la funcin y a sus elementos se les denomina tambin valores de entrada. La variable "x" es considerada la variable independiente y en el sistema coordenado se suele graficar en el eje horizontal. El dominio es el conjunto de todos los nmeros reales, puesto que cualquier nmero real X puede usarse como valor de entrada.

Lo que sale (el rango) depende de lo que pones (el dominio), pero t defines el dominio. De hecho el dominio es una parte esencial de la funcin. Un dominio diferente da una funcin diferente. El dominio de es el conjunto de existencia de la misma, es decir, los elementos para los cuales la funcin est definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar.

2.1.2 ContradominioSon el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente y. Tambin es conocido como codominio, recorrido o rango. Es el conjunto de valores que puede tomar la variable "y". Por ejemplo si tomamos la funcin y = x, conforme a lo que dijimos antes y dado que "x" puede tomar cualquier valor, decimos que el dominio de la funcin son todos los nmeros reales. Por su parte, como todo nmero (positivo o negativo) elevado al cuadrado siempre arroja un resultado positivo, entonces decimos que el contradominio, codominio, imagen, rango, alcance, recorrido de la funcin son todos los reales positivos incluido el cero.

2.1.3 Rango

El conjunto Y recibe el nombre Rango de la funcin y son los valores de salida. La variable "y" es la variable dependiente (depende de "x") y se grafica en el eje vertical, se le considera el valor de la funcin. Es el conjunto formado por las imgenes. Son los valores que toma la funcin "Y" (variable dependiente), por eso se denomina f(x), su valor depende del valor que le demos a "X". Grficamente lo miramos en el eje vertical (ordenadas), leyendo de abajo a arriba. El Rango de una funcin es el conjunto formado por las imgenes f(x) de los valores de X que pertenecen al Dominio de dicha funcin. La manera ms efectiva para determinar el Rango consiste en graficar la funcin y ver los valores que toma Y de abajo hacia arriba.

2.2 CLASIFICACIN DE FUNCIONES2.2.1 Algebraicas y trascendentesFunciones algebraica

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin, potenciacin y radicacin.

Las funciones algebraicas son aquellas cuya regla de correspondencia es una expresin algebraica. La regla de correspondencia nos indica el criterio con el cual se eligen las parejas de elementos del dominio y contradominio. Expresin algebraica es un conjunto de cantidades numricas y literales relacionadas entre s por los signos de las operaciones aritmticas (suma, resta, multiplicacin, divisin, raz).

Funciones trascendente

La variable independiente figura como exponente, o como ndice de la raz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometra. Una funcin trascendente es una funcin que no satisface una ecuacin polinmica cuyos coeficientes sean a su vez polinomios; esto contrasta con las funciones, las cuales satisfacen dicha ecuacin. En otras palabras, una funcin trascendente es una funcin que trasciende al lgebra en el sentido que no puede ser expresada en trminos de una secuencia finita de operaciones algebraicas de suma, resta y extraccin de races. Una funcin de una variable es trascendente si es independiente en un sentido algebraico de dicha variable.

2.2.2 Implcitas y explcitasFunciones explcita

En las funciones explcitas se pueden obtener las imgenes de x por simple sustitucin.

f(x) = 5x 2

La frmula explcita para funciones L son un conjunto de ecuaciones que relacionan sumas sobre ceros complejos o no triviales de una funcin L con sumas sobre potencias de primos. Tales frmulas explcitas tambin han sido aplicadas a otras ramas de de la matemtica como pueden ser cuestiones sobre los lmites de discriminantes del campo de los nmeros algebraicos.

Funciones implcita

En las funciones implcitas no se pueden obtener las imgenes de x por simple sustitucin, sino que es preciso efectuar operaciones.

Derivada implcita

Para hallar la derivada en forma implcita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas de derivacin y teniendo presente que:

X'=1.

En general y'1.

Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.

El teorema de la funcin implcita nos asegura bajo ciertas condiciones y con carcter local (como se vio en el ejemplo de la ecuacin de la circunferencia) la existencia de dicha funcin aunque no se pueda hallar explcitamente.

Las limitaciones del teorema estn en que es de carcter local, es decir, nos permite garantizar que cerca de un punto que verifique , existe una nica funcin tal que y esto para cada que est cerca de:

2.2.3 Par e imparFuncin Par

Una funcin f: R! R esparsi se verifica que

X " R vale f (-x) = f(x)

Si f: R! R es una funcin par, entonces su grfico es lateralmente simtrico respecto del eje vertical. Simetra axial respecto de un eje o recta (el dominio tiene que ser un conjunto simtrico respecto al origen)

Se dice que una funcin es par si f(x) = f (-x)

Ejemplo: La funcin y = x2 es par pues se obtienen los mismos valores de Y independientemente del signo de x.

La funcin f(x)=x2 es par ya que f (-x) = (-x)2 =x2

Funcin Impar

Una funcin f: R! R es impar si se verifica que

X " R vale f (-x) = -f(x)

Si f: R! R es una funcin impar, entonces su grfico es simtrico respecto del origen de coordenadas. Simetra central respecto de un punto. (El dominio tiene que ser un conjunto simtrico respecto al origen)

En el caso de que f(x) = -f (-x) se dice que la funcin es impar. Muchas funciones reales no son pares ni impares.

Ejemplo: La funcin y(x)=x es impar ya que: f (-x) = -x pero como f(x) = x entonces: f (-x) = - f(x).

2.2.4 Continuas y discontinuasContinua

Una funcin es continua si su grfica es una lnea seguida, no interrumpida.

Si existe, y tambin existe el valor de, siendo igual a, entonces es continua en.

Es decir, se dice que una funcin es continua en s:

Entonces se puede decir que una funcinf (X)es continua en (o sobre) un intervalo (o bien) si es continua en cada punto del intervalo en cuestin.

Continuidad se deduceque la grfica de una funcin que es continua en un intervalo, es una lnea ininterrumpida(es decir, una que se puede trazar sin levantar la pluma o lpiz del papel) sobre el espacio de ese intervalo, o tambin se hace posible trazar una curva con slo situar unos pocos puntos y dibujar una lnea con trazo ininterrumpido pasando por ellos, se justificar en el caso de varias clases de curvas.

Ejemplos; aplicacin de la definicin de continuidad

Ejemplo 1:Demostrar que f(x) =5es continua en7.

Solucin: debemos verificar que las tres condiciones se cumplan.

Primera,f(7) = 5, de modo quefest definida en x = 7.

Segunda, por tanto,ftiene lmite cuando X> 7

Tercera por tantofes continua en 7 (Vase la fig. 9.25)

Ejemplo 2:Demostrar que g(x) = x2 3 es continua en 4.

Solucin:la funcingest definida enx = 4;g (4)= 13. Tambin:

Por tanto,g es continua en 4.(Vase la fig. 9.26)

Decimos tambin que una funcin escontinua en un intervalosi es continua en cada punto de ese intervalo.En esta situacin, la grfica de la funcin es conexa sobre el intervalo por ejemplo,f(x) = x2es continua en el intervalo [2,5], porque para cualquier funcin polinomial.

Esto significa queuna funcin polinomial es continua en todo punto.

Decimos que las funciones polinomiales soncontinuas en todas partes,o de manera ms sencilla, que son continuas.

Ejemplo:las funciones son polinomiales. Por tanto son continuas. Por ejemplo, son continuas en 3. Ejemplo

Un mayorista distribuye un producto que se vende por libra (o fraccin de libra), cobra $2 por libra si se ordenan 10 o menos libras. Si se ordenan ms de 10 libras, el mayorista cobra $20 ms $1,40 por cada libra que exceda de las 10. Por tanto, si se compranxlibras por un costo total deC(x)dlares, entoncesC(x) = 2x Si 0x 10;yC(x) = 20 + 1.4 (x - 10) se 10

Cuando x>, ftiene un lmite diferente def ()

Sifno est definida en, no es continua all. Sin embargo, si f no est definida en pero si est definida para todos los valores cercanos, entonces no solo no es continua en, es discontinua all.

Ejemplo 3

Para la siguiente funcin, encontrar todos los puntos de discontinuidad

Solucin: esta funcin racional tiene de denominador, que es 0 cuandox = -4 o x = 2.Assolo es discontinua en -4 y 2

2.2.5 Crecientes y decrecientes

Creciente

Una funcin es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y x2, con la condicin x1 x2, se verifica que

f( x1 ) < f( x2 ).

Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2).

Una funcin f se dice que es creciente si al considerar dos puntos de su grfica, (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) con

x1.

Es preciso diferenciar el significado de funcin creciente o decreciente en un intervalo del de funcin creciente o decreciente en un punto.

2.2.6 Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva

Inyectiva

Una funcin es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un nico elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la funcin, las y no se repiten.

Para determinar si una funcin es inyectiva, graficamos la funcin por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos lneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.

Sobreyectiva

Sea f una funcin de A en B , f es una funcin epiyectiva (tambin llamada sobreyectiva) , si y slo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A , bajo f .

A elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden elementos iguales en un conjunto de llegada. Es decir, si todo elemento R es imagen de algn elemento X del dominio.

Ejemplo:

A = { a , e , i , o , u }

B = { 1 , 3 , 5 , 7 }

f = { ( a , 1 ) , ( e , 7 ) , ( i , 3 ) , ( o , 5 ) , ( u , 7 ) }

Simblicamente:

f: A B es biyectiva f es inyectiva y f es sobreyectiva

Biyectiva

Sea f una funcin de A en B, f es una funcin biyectiva, si y slo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez.

Si cada elemento deB es imagen de un solo elemento deA, diremos que la funcin es Inyectiva. En cambio, la funcin es Sobreyectiva cuando todo elemento deBes imagen de, al menos, un elemento deA. Cuando se cumplen simultneamente las dos condiciones tenemos una funcin biyectiva.

Ejemplo:

A = {a,e,i,o,u}

B = {1,3,5,7,9}

f = { ( a , 5 ) , ( e , 1 ) , ( i , 9 ) , ( o , 3 ) , ( u , 7 ) }

Teorema:

Si f es biyectiva, entonces su inversa f - 1 es tambin una funcin y adems biyectiva.

2.3 CARACTERSTICAS Y GRAFICAS DE LAS FUNCIONES ALGEBRAICAS2.3.1 Funcin constante

La funcin constante es aquella en la que para cualquier valor de la variable independiente (x), la variable dependiente (f(x)) no cambia, es decir, permanece constante.

Sea . El dominio de esta funcin es el conjunto de todos los reales, y el contra dominio es nicamente el real c.

Una funcin constante f(x) = c :

tiene el mismo valor de y = f(x) para cualquier valor de x,

tiene como grfica una lnea horizontal,

nunca cruza el eje x, excepto cuando f(x) = 0,

cruza una sola vez el eje y en el punto (0, c),

es aquella en que el exponente mximode la x es cero

Su grfica es una recta Paralela (o coincidente) al eje X. Ejemplo

La funcin f(x)=3 se puede representar en forma tabular para algunos valores de x:

xf(x)

-13

03

13

3

1.53

3

La grafica de esta funcin para los valores de x entre -3 y 3 es:

2.3.2 Funcin idnticaSu funcin bsica esF(x)=XSu nombre proviene del hecho, que el valor del dominio(X), ser el mismo o idntico valor que el contra dominio(Y) con esta condicin es una funcin nica.

Funcin Continua

Dominio del (-) infinito hasta ms infinito.

Es de primer grado ( Lnea Recta )

Tiene pendiente, 1 creciente

Su alguno de inclinacin es de 45 grados

Debe pasar por el origen

A la vez es Biyectiva, Inyectiva

2.3.3 Funcin lineal

Una variable es un smbolo al que se le puede asignar un conjunto de valores. En general se representan las variables con las ltimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z. Una constante es un smbolo al que se le puede asignar un solo valor. En general se representan las constantes con las primeras letras del alfabeto: a, b, c. Llamaremos funcin lineal a una ecuacin del tipo: y = mx +bLa funcin lineal grficamente es una recta donde m es la pendiente de la misma es decir la que da la inclinacin de la recta y b es la ordenada al origen que es el punto de interseccin de la

Recta con el eje y.

Lo que significa que la pendiente se define como la tangente trigonomtrica del ngulo que forma la recta con el semieje positivo del eje xy para calcularla es:m= tg. a =x

2.3.4 Funcin cuadrtica

La forma general de una funcin cuadrtica es; donde a, b y c son nmeros reales.

Ejemplos:

a= 4, b= 12, c= 9 f(x)=4x2+12x+9

a= 2, b= 5, c= -3 f(x)=2x2+5x-3x

a= 1, b= 0, c= 25 f(x)=x2+25

La grfica de una funcin cuadrtica es una parbola; sta representa el conjunto solucin de la funcin.

La funcin cuadrtica bsica es:

Su grfica es la siguiente

f(x)= x2

x y

2 4

1 1

0 0

-1 1

-2 4

Caractersticas graficas de una funcin cuadrtica:

Dada en la forma estndar

Dominio-los nmeros reales

f x= ax2+ bx+ c

Concavidad:

El valor de a nos indica el tipo de concavidad de la parbola:

Si a>0. Es cncava hacia arriba

Si a0 a0 la parbola se abre hacia arriba, y si a 1 el numerador es ms pequeo que el denominador y el cociente resulta menor que 1.

2.3.9 Funcin irracionalAs como los nmeros tienen su clasicacin ya estudiada por nosotros, tambin , en las funciones ocurre algo parecido, ya conocemos las funciones racionales que tiene un parentesco con los nmeros racionales, el tipo de funcin que vamos a analizar ahora tiene relacin con los nmeros irracionales se trata de las funciones Irracionales. La funcin irracional es mejor conocida como la funcin raz, tanto con ndice par o impar. f(x) = nx Como la raz puede ser par o impar es necesario analizar los casos respectivos:

Si n es par entonces la cantidad subradical (g(x)) debe ser mayor o igual a 0. Por lo que el dominio queda restringido para los valores de x que hacen que g(x) cumpla esta condicin:

Ejemplo: f(x) = x

Si n es impar entonces la cantidad subradical (g(x)) toma cualquier valor en el conjunto de los nmeros reales, por lo que el Dominio de f(x) es IR. De otra forma tenemos.

Ejemplo: f(x) = 2

x

Si n es par, g(x) 0.

Si n es impar, g(x) IR

Como la funcin tiene una raz con ndice par (en este caso una raz cuadrada), slo est denida para los valores positivos de x; tambin la raz con ndice par de un nmero puede ser tanto positiva como negativa, pero en este caso se estudia slo con signo positivo.

En el ejemplo, para que la funcin exista, x debe tomar valores iguales o mayores que cero, ya que la raz con ndice par de un nmero negativo, no existe, entonces el dominio de la funcin es:

Dom f(x) = [ 0, + )

Como el menor valor que puede tomar la variable x, es cero, al ser sustituido en la funcin, nos F (x) = x

Dominio

Algunos valores para la construccin grca x 0 Dom f(x) = [0, )

Rango f(x) = x

Como x 0, f(x) 0 luego f (0) = 0 = 0f (1) = 1 = 1

Ran f(x) = [0, ) f (4) = 4 = 2f (9) = 9 = 3

Queda que su valor asociado en y es cero, es decir, que el Rango de la funcin es:

Rgo f(x) = [ 0, + )

Como se puede observar en el ejemplo anterior, cuando x, toma el valor de cero su valor asociado en y tambin es cero, lo que signica que la funcin corta al eje "x" y al eje "y" en el origen, p (0, 0).

Para determinar otros puntos y poder gracarla en un sistema de coordenadas procedemos de la forma siguiente:

A. Se le da a x valores iguales o mayores que cero:

f (x) = x

f (0) = 0 = 0

f (1) = 1 = 1

f (4) = 4 = 2

f (9) = 9 = 3

B. Elaboramos la tabla de valores.

X0149

Y0123

Grfica

2.3.10 Funcin escalonadaLas funciones escalonadas son un tipo particularmente sencillo de funciones que se definen en un intervalo de manera que exista una particin del mismo en el que la funcin se mantenga constante en cada uno de los subintervalos. Por ejemplo la funcin:

Es escalonada. Se les llama as por la forma que tienen de escalera.

Informalmente, una funcin escalonada es aquella cuya grfica tiene la forma de una escalera o una serie de escalones (que no necesariamente deben ser crecientes) al ser dibujada. El ejemplo ms comn de funcin escalonada es la funcin parte entera

En el intervalo cerrado [-1, 5] de nmeros reales sobre los nmeros reales, asociando a cada x de [-1,5] un valor de y, segn el siguiente criterio:

Esta funcin tiene cuatro intervalos escalonados, como se ve en la figura.

La composicin de cualquier funcin escalonada s(x) y una funcin cualquiera f(x) da por resultado una funcin escalonada g(x) = f(s(x)), siempre que f(x) est definida para cualquier valor de x en el rango de s(x).

Evidentemente, la derivada de una funcin escalonada es 0 en cualquier punto en que se halle definida. No puede definirse en los puntos en que hay discontinuidades.

2.3.11 Aplicacin de las funciones en su entornoEn la vida diaria encontramos situaciones en las que aparecen valores que varan dependiendo de una regla fija. Una funcin se define como un par de variables, una dependiente de la otra, que cumplen una regla establecida.

Ejemplo de aplicacin de las funciones:

En una cuenta de electricidad figura el siguiente detalle:

- Arriendo de equipos: $ 581

- Cargo fijo: $ 492

- Energa base 250 KWH $ 15.000

- Total $ 16.073

El arriendo de equipos y el cargo fijo suman $1.073 y la Energa base se cobra de acuerdo con el consumo. Como segn este ejemplo se gastaron 250 KWH (kilowatts-hora), cuyo valor es $15.000, se obtiene que cada KWH vale:

15.000 : 250 = $60.

De lo anterior se deduce que, para calcular el valor de la cuenta, se debe sumar un cargo fijo de $1.073 ms $60 por cada KWH de consumo. En trminos generales, la cuenta C(k), donde k es el nmero de KWH de consumo, est dada por la expresin:

C(k) = 60 k + 1.073

Esta expresin depende del resultado de la cantidad k (de KWH de consumo), por lo que k es una variable independiente y C(k) es la variable dependiente.

En la notacin C(3) se indica el valor de la cuenta para 3 kilowatts-hora:

C(3) = 60 (3) + 1.073 = 1.253

Es decir, para un consumo de 3 KWH se tiene una cuenta de $1.253. Esta funcin la podemos graficar en un plano cartesiano, donde en el eje X (eje de las abscisas) ponemos la variable independiente y en el eje Y (eje de las ordenadas) ponemos la variable dependiente.

Para graficar la funcin del ejemplo, completemos primero una tabla de valores:

KK (C)

01.073

11.133

51.373

101.673

Si graficamos, obtenemos en una lnea recta los valores de la tabla y otros interpolados:

Como veremos un poco ms adelante, en todas las ecuaciones de la forma y = mx + n, sus grficas son lneas rectas; en este ejemplo: m = 60 y n = 1.073.

Por lo tanto: y = 60x + 1.073

Los puntos del ejemplo no cubren toda la recta, ya que la variable k toma solamente valores enteros. Si k pudiese tomar todos los valores reales, el grfico sera una recta continua.

Las funciones de primer grado se presentan en el Sistema de Ejes Coordenados (x, y) en un grfico que es una lnea recta. Las funciones de primer grado pueden ser lineales de proporcionalidad directa, cuyo forma general es f(x) = m x , representando rectas en el plano cartesiano que pasan por el origen del sistema (0,0) o bien funciones afines, que son del tipo f(x) = m x + n , representando rectas que no pasan por dicho punto (0,0).

Una funcin puede ser definida por su ecuacin, por su grfica, o bien planteada a travs de una situacin problemtica.

Ejemplo de funcin dada su ecuacin:

Sea la funcin: f(x) = 3x3 4 x2 2x + 1, entonces f(-2) + f(2)=

f(-2) = 3 (-2) 3

4 (-2) 2

2 (-2) + 1 = - 24 16 + 4 + 1= -35

f(2) = 3 23

4 22

2 2 + 1 = 24 16 4 + 1= 5

Por lo tanto:

f(-2) + f(2) = -35 + 5 = -30

Ejemplo de funcin dado su grfico: Dada la grfica de la funcin.

Hallar f(-2) + f(2) + f(3) =

Segn la grfica, f(-2) = 2 ; f(2) = -1 y f(3) = -1

Por lo tanto:

f(-2) + f(2) + f(3) = 2 1 1 = 0

Ejemplo de funcin dada una situacin problemtica:

Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo que la altura alcanzada por el agua aumenta 20 cm por cada hora que transcurre. Si inicialmente el agua que haba en la piscina llegaba a una altura de 1,2 m,

Cul es la ecuacin de la funcin que determina la altura (h) del agua despus de 3 horas?

Segn el planteamiento, por cada hora que transcurre, la altura crece en 0,2 m, por lo tanto, la altura del agua despus de t horas es 0,2 t

As, la altura h despus de t horas ser: h(t) = 1,2 + 0,2 t

2.4 OPERACIONES CON FUNCIONES

En esta seccin consideraremos las operaciones con funciones. Las funciones obtenidas a partir de estas operaciones llamadas la suma, la diferencia, el producto y la divisin se definen como sigue:

2.4.1 SumaSean f y g dos funciones y supongamos que Df y Dg denotan los dominios de f y g, respectivamente. La funcin f + g est definida por

(f + g)(x) = f(x) +g(x)

El dominio de f + g es Df Dg

Ejemplo 1

Sea f(x) = x y g(x) = x. Entonces (f + g) (x) = x + x. El dominio de f es (,) y el dominio de g es [0, ). As el dominio de f + g es Df Dg = (-, ) [0, ) = [0, ).

Ejemplo 2

Sea f(x) = x3 1 y g(x) = 4x. Si x = 3, entonces f(3) = (3)3 1 = 26 y g(3) = 4(3) = 12.

As, (f + g) (3) = f(3) + g(3) = 26 12 = 14.

2.4.2 RestaSean f y g dos funciones y supongamos que Df y Dg denotan los dominios de f y g, respectivamente. La funcin f - g est definida por

(f g)(x) = f(x) - g(x)

El dominio de f - g es Df Dg

Ejemplo 1

Sea f(x) = x +1 y g(x) = x 4, entonces f( - g)(x) = f(x) g(x) = x +1 - x 4 .

El dominio de f es [-1, ), y el dominio de g es [4, ).

El dominio de f g es Df Dg = [-1, ) [4, ) = [4, ).

2.4.3 MultiplicacinSean f y g dos funciones y Df y Dg denotan los dominios de f y g, respectivamente. La funcin f g est definida por (f g)(x) = f(x) g(x). El dominio de f g es Df Dg

Ejemplo 1

Sea f(x) = x 2 y g(x) = x + 2. Entonces (fg) (x) = f(x) g(x) = (x + 2)(x - 2) = x2 - 4.

El dominio de f es (, ) y el dominio de g es (, ). Por tanto el dominio de f g es

Df Dg = (, ).

Ejemplo 2

Sea f(x) = | x | y g(x) = 5. Entonces (f g)(x) = f(x) g(x) = | x |5. El dominio de f es 3 y el dominio de g es 3. Entonces el dominio de f g es Df Dg = 3. Si x = -2, entonces (f g)(-2) = f(-2) g(-2) = |-2|5 = 25 = 10.

2.4.4 DivisinSean f y g dos funciones y Df, Dg sus dominios respectivamente. Entonces la funcin f/g est definida por:

(f/g)(x) = f(x)/g(x), g(x) 0

El dominio de f /g es Df Dg excluyendo los valores de x para los cuales g(x) = 0.

Ejemplo 1

Si f(x) = x + 4 y g(x) = x2 1. Entonces (f/g) (x) = f(x) / g(x) = x + 4/(x2 1). El dominio de f y el de g son los nmeros reales. La funcin g(x) = x2 1 es cero para x = 1 y x = -1. Por lo tanto el dominio de f/g es R {-1, 1}

Ejemplo 2

Si f(x) = x y g(x) = x. Encuentre (f/g) (x).

Solucin:

El dominio de f es [0, ) y el dominio de g es (-, 0]. Entonces Df Dg = {0}, pero g(x) = x es cero para x = 0. Ahora el dominio de f/g es Df Dg excluyendo los valores para los cuales g(x) es igual a cero. Por lo tanto el dominio de f/g es el conjunto vaco. De donde se tiene que la funcin (f/g)(x) = x / x no tiene dominio.

Ejemplo 3

Sea f(x) = 2 4 x y g(x) = 3x + 1. Encuentre a) la suma, b) la diferencia, c) el producto y d) la divisin de f y g.

Solucin:

El dominio de f es el intervalo cerrado [-2, 2] y el dominio de g es 3. En consecuencia la interseccin de sus dominios es [-2, 2] y las funciones pedidas estn dadas por

a) f(+g) (x) = 2 4 x + (3x + 1)

b) (f-g) (x) = 2 4 x - (3x + 1)

c) (f g) (x) = ( 2 4 x ) (3x + 1)

d) (f g) (x) = 2 4 x / (3x + 1)

El dominio de (a), (b) y (c) es el intervalo [-2, 2]. En la parte (d) la funcin g(x) = 3x+ 1 es cero si x = -1/3 y por lo tanto el dominio es {x | -2 x 2, x - 1/3}.

Ejemplo 4

Sea f(x) = x 2 y g(x) = x + 2. Entonces (fg)(x) = f(x) g(x) = ( x + 2 )( x - 2) = x2 - 4.

El dominio de f es (, ) y el dominio de g es (, ). Por tanto el dominio de f g es

Df Dg = (, ).

Ejemplo 5

Sea f(x) = | x | y g(x) = 5. Entonces (f g)(x) = f(x) g(x) = | x |5. El dominio de f es 3 y el dominio de g es 3. Entonces el dominio de f g es Df Dg = 3. Si x = -2, entonces

(f g)(-2) = f(-2) g(-2) = |-2|5 = 25 = 10.

2.4.5 Composicin de funcionesDadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composicin de las funciones f y g, y se escribe g o f, a la funcin definida de R en R, por (g o f )(x) =g[f(x)].

La funcin ( g o f )(x) se lee f compuesto con g aplicado a x .

Primero acta la funcin f y despus acta la funcin g, sobre f(x).Clculo de la imagen de un elemento mediante una funcin compuesta

Para obtener la imagen de la funcin compuesta aplicada a un nmero x, se siguen estos pasos:

1. Se calcula la imagen de x mediante la funcin f, f(x).

2. Se calcula la imagen mediante la funcin g, de f(x). Es decir, se aplica la funcin g al resultado obtenido anteriormente.

Ejemplo:Sean las funciones f(x) = x + 3 y g(x) = x2.

Calcular g o f y la imagen mediante esta funcin de 1, 0 y -3.

La imagen de dos nmeros 1, 0, -3, mediante la funcin g o f es:

2.4.6 Inversa de una funcinDada una funcin f(x), su inversa es otra funcin, designada por f-1(x) de forma que se verifica: si f(a) = b, entonces f-1(b) = a

Pasos a seguir para determinar la funcin inversa de una dada:

_ Despejar la variable independiente x.

_ Intercambiar la x por la y, y la y por la x.

La funcin as obtenida es la inversa de la funcin dada.

Las grficas de dos funciones inversas son simtricas respecto de la bisectriz del 1.er cuadrante y del 3.er cuadrante.

Ejercicio:

Hallar la funcin inversa de y = 5x - 2, y representar las grficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.

Resolucin:

Se intercambian ambas variables:

Ejemplo

las grficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.

Resolucin:

incluido el cero.

La funcin inversa de es y = x2

Bloque III: Graficas de las funciones trascendentes

3.1 Trigonomtricas.Lasfunciones trigonomtricasson las funciones establecidas con el fin de extender la definicin de lasrazones trigonomtricasa todos los nmeros reales y complejos. Las Razones trigonomtricas se definen comnmente como el cociente entre dos lados de untringulo rectnguloasociado a sus ngulos.

Las funciones trigonomtricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razn trigonomtrica en un tringulo rectngulo trazado en unacircunferencia unitaria(de radio unidad). Definiciones ms modernas las describen como series infinitas o como la solucin de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensin a valores positivos y negativos, e incluso a nmeros complejos.

Existen seis funciones trigonomtricas bsicas. Las ltimas cuatro, se definen en relacin de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geomtricamente o por medio de sus relaciones.

FuncinAbreviaturaEquivalencias (en radianes)

Senosin (sen)

Cosenocos

Tangentetan

Cotangentectg (cot)

Secantesec

Cosecantecsc (cosec)

3.1.1 Seno

La funcin seno se define a partir del concepto de seno, considerando que el ngulo siempre debe expresarse en radianes. Para representar dicha funcin, tan slo deben trasladarse los valores del seno obtenidos a partir de la circunferencia unitaria a la grfica de la funcin, tal como puede hacerse en esta aplicacin desplazando el punto que representa el valor dex(es decir, el valor del ngulo ) a derecha e izquierda.

Podemos observar varias caractersticas de la funcin seno:

Su dominio contiene a todos los reales. En cambio, su imagen es el intervalo ya que el seno de un ngulo siempre se encuentra entre estos valores.

Esta funcin se repite exactamente igual cada ; es decir, los valores de la funcin en el intervalo del dominio son suficientes para conocer la funcin en cualquier punto. Se dice, en este caso, que la funcin es peridica, deperodo2.

La funcin se anula en los valoresxiguales a, siendokun nmero entero.

La funcin alcanza sus extremosmximos, es decir, los valores mayores de lay, cuando el seno del ngulo es 1, es decir, cuando laxes2+2k, siendo k un nmero entero cualquiera. Sus extremosmnimos, es decir, los valores menores de lay(cuando el seno es -1), se encuentran cuando laxes , siendokcualquier nmero entero.

3.1.1.1 Caractersticas: amplitud, periodo, frecuencia y fase PeriodoEs el menor conjunto de valores dexque corresponden a un ciclo completo de valores de la funcin; en este sentido toda funcin de una variable que repite sus valores en un ciclo completo es una funcin peridica, seno o no sinusoidal.

En las grficas de las funciones seno, coseno, secante, cosecante el perodo es 2, mientras que para la tangente y cotangente el perodo es .

Amplitud

Es el mximo alejamiento en el valor absoluto de la curva medida desde el ejex.

Desde un punto de vista ms tcnico, la amplitud de la sinusoide es lanorma del supremode la sinusoide.

Frecuencia

Es una magnitud que mide el nmero de repeticiones por unidad de tiempo de cualquier fenmeno o suceso peridico. Para calcular la frecuencia de un suceso, se contabilizan un nmero de ocurrencias de este teniendo en cuenta un intervalo temporal, luego estas repeticiones se dividen por el tiempo transcurrido.

Este parmetro modifica el grado de repeticin. Si la funcin se repite ms rpidamente. Si la funcin se repite ms lentamente.

Face

El desfase entre dos ondas es la diferencia entre sus dos fases. Habitualmente, esta diferencia de fases, se mide en un mismo instante para las dos ondas, pero no siempre en un mismo lugar del espacio. Este parmetro determina el desplazamiento horizontal de la funcin. Un signo en la fase, implica que la funcin se adelante (o sea, se corre a la izquierda) y un signo en la fase implica que la funcin se atrase (o sea, se corre a la derecha).

3.1.2 Coseno.

En trigonometra el coseno (abreviado cos) de un ngulo agudo en un tringulo rectngulo se define como la razn entre el cateto adyacente a dicho ngulo y la hipotenusa:

Este nmero no depende del tringulo rectngulo escogido y, por lo tanto, est bien construido y define una funcin del ngulo Otro modo de obtener el coseno de un ngulo consiste en representar ste sobre la circunferencia goniometra, es decir, la circunferencia unitaria centrada en el origen. En este caso el valor del coseno coincide con la abscisa del punto de interseccin del ngulo con la circunferencia. Esta construccin es la que permite obtener el valor del coseno para ngulos no agudos.

3.1.2.1 Caractersticas: amplitud. Periodo, frecuencia y faseAes laamplitud(la altura de cada mximo arriba de la lnea base).

Ces eldesplazamiento vertical(la altura le la lnea base).

Pes elperiodoolongitud de onda(el longitud de casa ciclo).

es lafrecuencia angular, y se expresa por

es eldesplazamiento de faso.

Amplitud

La amplitud de representa la mitad de la distancia entre los valores mximo y mnimo de la funcin.

Amplitud = Periodo

Digamos quebes un nmero real positivo. El perodo de est dado por

3.2 Logartmicas.

Una funcin se llama logartmica cuando es de la forma ydonde la base a es un nmero real y positivo pero distinto de 1, puesto que el resultado sera 0.

Base mayor que la unidad (a > 1)

Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logartmicas. Como la notacin f-1 se utiliza para denotar una funcin inversa, entonces se utiliza otra notacin para este tipo de inversas. Si f(x) = bx, en lugar de usar la notacin f (x), se escribe log (x) para la inversa de la funcin con base b. Leemos la notacin log(x) como el logaritmo de x con base b, y llamamos a la expresin log (x) un logaritmo.

El logaritmo de un nmero y es el exponente al cual hay que elevar la base b para obtener a y. Esto es, si y b es diferente de cero, entonces si y slo si .

Nota: La notacin se lee el logaritmo de y en la base b es Propiedades de las funciones logartmicas:

Si b, M y N son nmeros reales positivos, b es diferente de uno, y p y x son nmeros reales, entonces:

5)

3.3 Exponenciales.

La funcin exponencial, es conocida formalmente como la funcin real ex, donde es el nmero de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta funcin tiene por dominio de definicin el conjunto de los nmeros reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma funcin. Se denota equivalentemente como o expo (x), donde es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la funcin inversa del logaritmo natural. En trminos mucho ms generales, una funcin real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma Una ecuacin exponencial es aquella ecuacin en la que la incgnita aparece en el exponente.

Para resolver una ecuacin exponencial vamos a tener en cuenta:

1.2.Propiedades Dominio: .

Recorrido: .

Es continua.

Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la grfica.

Es inyectiva (ninguna imagen tiene ms de un original).

Creciente si a >1.

Decreciente si a < 1.

Las curvas son simtricas respecto del eje OY.

2

_1461406139.unknown

_1462637984.unknown

_1462637985.unknown

_1462637983.unknown

_1461385131.unknown