antiderivadas

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ANTIDERIVADAS

Formulario de integrales útiles en la resolución de los siguientes

ejercicios:

El formulario completo descárgalo en:

http://www.maestronline.com/Formulas%20integrales.pdf


( )

( )

3 11/4

3 11/4

3 11/4

4 15/4

4 15/4

4 15/

2 7/2

4

21 12

21 12

21 12

21 121544

21 48

4 15

21 16

4

3 7

5

4 x x

x dx x dx

x dx x dx

x xC

y

x xC

x x

x x

C

x

Y x

= +

+

+

+ +

+ +

= + +

= +

∫ ∫

∫ ∫

( )

( )

1/2 3/2 1/4 1/4

1/4

1/4

3/42

3/42

23/4

3 1/4

3 3 3 3

3 3

3 3

3 3324

3 12

3 3( )

2 3

34

2

x x x x x

xdx x dx

xdx x dx

x x

x

C

x

xh x

x

xC

xH x x C

− −

−

−

− = − = −

−

−

− +

−

=

+

= − +

∫ ∫

∫ ∫


( )

2

2

2

3 2

32

2 4 12 9

4 12 9

4 12 9

4 12 93 2

(2 3

46 9

3

) x x

x dx x dx dx

x dx x dx dx

x xx C

xY x

x

x x C

y = − +

− +

− +

− +

= −

+

= − + +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

( )

2 2

2

2

3 2

23

12 3 20 5 3 7 20

3 7 20

3 7

( ) (3 5)

20

3 7 203 2

720

4

2

( ) x x x x x

x dx xdx dx

x dx x

h

dx dx

x xx C

xH x x C

x x x

x

= − = + − − = + −

+ −

+ −

+ − +

= + −

+

+

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

( )

22 2

2

2

1

1

( ) ( 1

1

1

) 1

1

1

x

dx x dx

dx x dx

xx C

x x

f x x x

C

F x x Cx

− −

−

−

−

−

= =− −

−

−

− +−

+ +

= + +

∫ ∫

∫ ∫


a. 3 7( ) 2h x x= , considera que H(1)=0

( ) ( )

( )

7 3

10 37 3 7 3 10 3

10 3

10 3 10 3

3 7 2

62 2 2

10 103

61 0

103

2

5

(

5

3

)

2 2

x

xx x C x C

H x C

C

H x x

x x

x

h

C

=

= = + = +

= + =

= −

+

=

= = −

∫ ∫

b. ( )2 5/2( ) 6 2g x x x x= + , considera que G(0)=1

( )

( ) ( ) ( )

( )

2 5/2 3 9 2

114 23 9 2 3 9 2

11 1144 2 2

114 2

( ) 6 2 6 2

6 2 6 2 6 21142

3 4 3 40 0 1

2 11 2 111

3 41

2 11

g x x x x x x

x xx dx x dx x dx x dx C

G x x x C C

C

G x x x

= + = +

+ = + = + +

= + + = + + =

=

= + +

∫ ∫ ∫ ∫


c. 2

2

3( )

2

xf x

xx= − , considera que F(0)=1

( )

( ) ( )

( )

2312 2 22 2

2

5 123 3 52 2 12 2 2

5 12

5 12

5 12

3 1 1( ) 3 3

2 22

1 1 1 23 3 3 3

52 2 2 1 102

13

51

0 3 0 15

1

13 1

5

xf x x x x x x

xx

x xx dx x dx x dx x dx x x C

F x x x C

C

C

F x x x

− − −

−− − −

−

−

−

= − = − = −

− = − = − = + +−

= + +

+ + =

=

= + +

∫ ∫ ∫ ∫


Resuelve los siguientes problemas utilizando la antiderivada:

d. La velocidad de un objeto está dada por 2

)(2 tt

tv−= m/min. Encuentra su

ecuación de posición y considera que s (1)=4 m.

Si integramos a la ecuación de la velocidad, nos dará la ecuación de posición.

Recordar que en la materia de física, la velocidad se considera como

distanciavelocidad=

tiempo

O sea que si a la velocidad la integramos con respecto al tiempo, obtenemos la

función de posición.

( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2

2

2

3 2

3 2

3 2

3 2

3 2

( )2 2 2

2 21 1

2 21 1

2 3 2 2

6 4

6 4

1 11 4

6 41 1

46 4

1 14

6 449

12

49

6 4 12

t t t tv t

t tdt dt

t dt t dt

t tC

t tC

t ts x C

s C

C

C

C

t ts x

−= = −

−

−

− +

− +

= − +

= − + =

− + =

= − +

=

= − +

∫ ∫

∫ ∫


e. La aceleración de un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta está

dada por 54)( −= tta en metros por segundo al cuadrado. Encuentra las

ecuaciones para su velocidad y posición, considera que la velocidad inicial es de 2 m/seg. y la posición inicial es de 3 m.

Si integramos a la ecuación de la aceleración, nos dará la ecuación de

velocidad. Recordar que en la materia de física, la aceleración se considera

como velocidad

aceleración=tiempo

O sea que si a la aceleración la integramos con respecto al tiempo, obtenemos la

función de velocidad y si a ésta la integramos, obtendremos finalmente la función

de posición.

( )( ) ( ) ( )

( )

2

2

2

2

2

2

3 2

( ) 4 5

4 5

4 5

4 52

2 5

0 2 0 5 0 2

2

2 5 2

2 5 2

2 5 2

2 5 23 2

a t t

t dt dt

t dt dt

tt C

v t t t C

v C

C

v t t t

t dt t dt dt

t dt t dt dt

t tt C

= −

−

−

− +

= − +

= − + ==

= − +

− +

− +

− + +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫


Lo anterior fue l función de velocidad, si a dicha función le aplicamos de

nuevo la integración obtendremos la función de posición.

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

3 2

3 2

3 2

2 5 23 2

2 0 5 00 2 0 3

3 23

2 5 2 33 2

t ts t t C

s C

C

t ts t t

= − + +

= − + + =

=

= − + +


f. Una empresa ha encontrado que el costo marginal (C′ ) de fabricar x número de artículos está dada por 25.1)( +=′ xxC , encuentra la función de costo

(C(x)), considera que el costo fijo es de $10,000, C (0)=10,000.

El coste marginal o costo marginal es el cambio en el coste total que surge

cuando la cantidad producida cambia por una unidad, es decir, al

incremento del coste total que supone la producción adicional de una

unidad de un determinado bien.

( )

( ) ( ) ( )

( )

2

2

2

2

( ) 1.5 2

1.5 2

1.5 2

1.5 22

32

4

3 00 2 0 10000

410000

32 10000

4

C x x

x dx dx

x dx dx

xx D

xC x x D

C D

D

xC x x

′ = +

+

+

+ +

= + +

= + + =

=

= + +

∫ ∫

∫ ∫


g. La población de cierta especie de animales está creciendo a una razón de

cambio de 24)( 2 −−= tttr animales/año. Encuentra la ecuación para la

población y considera que la población inicial es de 100 animales. ¿Cuál será la población dentro de 10 años?

Notar que la ( )r t significa una razón de cambio, o sea número de animales con

respecto a un intervalo de tiempo. Esto quiere decir una velocidad de

crecimiento de población para un tiempo dado.

Si a esta función la integramos con respecto al tiempo, se obtendría simplemente

el número de animales para un tiempo dado y lo denotamos como ( )p t

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

2

3 2

3 2

3 2

3 2

3 2

( ) 4 2

4 2

4 2

4 23 2

42

3 2

4 0 00 2 0 100

3 2100

42 100

3 2

4 10 10 409010 2 10 100 1363

3 2 3

r t t t

t dt t dt dt

t dt t dt dt

t tt C

t tp t t C

p C

C

t tp t t

p

= − −

− −

− −

− − +

= − − +

= − − + =

=

= − − +

= − − + = ≈

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫


h. El área de un lago está disminuyendo con una razón de cambio dada por

2)( 2 −−= ttr metros cuadrados/año. Encuentra la ecuación para el área del

lago, considera que el área inicial del lago es de 1000 m2.

Aquí la razón de cambio es el área que ocupa el lago con respecto a un intervalo

de años, que significa la velocidad con la que decrece el área por año.

Si a esta función la integramos con respecto al tiempo, obtendríamos únicamente

el área para un determinado año.

( )

( ) ( ) ( )

( )

2

2

3

3

3

3

( ) 2

2

23

23

00 2 0 1000

31000

2 10003

r t t

t dt dt

tt C

ta t t C

a C

C

ta t t

= − −

− −

− − +

= − − +

= − − + =

=

= − − +

∫ ∫

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