angulo trigonometrico

Quinto UNI4

www.trilce.edu.pe5

Central: 619-8100TRILCEColegios

Quinto UNI4

TRILCEColegios

1. Si se sabe que 25 grados de un sistema "N" equivalen a 30º, determine una fórmula de con-versión entre el sistema "N" y el sistema radial. a) N R

150 ≠= b) N R

180 25= ≠

c) N R30 = ≠

d) N R150 ≠

=

e) N R180 2= ≠

Resolviendo

Sea:

25N:25 grados del sistema "N"

Por condición: 25N=30º ⇒ 25N=

6≠ rad

14243

150N=πrad

luego, para un ángulo no nulo "θ" tenemos:

NN=Rrad ⇒ Nrad

Rrad150N

N

≠=

∴ N R

150 ≠= Fórmula de conversión

Clave: A

2. Si 27º27'<> A3g B5

m, halle el valor de: 2A+B

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

Resolviendo

Por condición: 27º27'= A3

g B5

m

Observación

Conocemos que: 9º=10g

⇒ 9×60'=10×100m ⇒27'=50m

Problemas resueltos

Entonces:

27º27'=30g50m= A3g B5

m

luego: A=0 ∧ B=0

∴ 2A+B=0

Clave: C

3. Si un ángulo mide '

º '"

' "a

a aa

a a' ''c cm m y se puede

expresar como xº y' z", entonces al transformar

a radianes (x+2y+z)º se obtiene.

a) 30≠ rad b)

60≠ rad c)

352≠ rad

d) 412≠ rad e)

35≠ rad

Resolviendo

'º '

"' "

aa a

aa a' ''

c cm m = xº y' z"

Reducimos separadamente

'º '

'º ' (

'' ')

''

aa a

aa a

aa a

aa60 61= + = + =c cm m

⇒ ('

º ')a

a a 61=

Análogamente: (''

' '') 61a

a a=

⇒ 61'61"= xºy'z"

61'60"+1" = 62'1"= 60'+2'+1"

luego: 1º 2' 1"=xº y 'z"

(x+2y+z)º=6º<>30≠ rad

Clave: A

14243

1º

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría

Quinto UNI4

www.trilce.edu.pe5


4. ¿Para qué valor de "x" se verifica la igualdad:

( )ºx53g

-; E

º= ( )ºx15

4 18g

-; E

g ?

a) 12 b) 17 c) 24 d) 20 e) 10

Resolviendo

Por condición:

( )ºx53g

-; E

º= ( )ºx15

4 18g

-; E

g

Conocemos que: 9º=10g

( )ºx53g

-; E

º= ( )ºx

154 18

g-

; Eg

× º109

g

( )º ( )ºx x53

1509 4 18

g g- = -

→ (x-3)= ( )x30

9 4 18-

→ 30(x-3)=9(4x-18)

→ 30x - 90=36x-16R

→ 72= 6x ∴ x=12

Clave: A

5. Sabiendo que:

α=2º+4º+6º+8º+...+20º

β=910c m

g+

920c m

g+

930c m

g+...+

9200c m

g

Halle la media de "α - β" en el sistema radial

a) - 9≠ b) -

95≠ c)

3≠

d) 9≠ e)

95≠

Resolviendo

α=2º+4º+6º+8º+...+20º

α= [10×11]º → α=110º

β=910c m

g+

920c m

g+

930c m

g+...+

9200c m

g

Como: 10g = 9º →

910; E

g= 1º

Asi: β= º º º ..... º1 2 3 20+ + + +1 2 3444444 444444

β= ×2

20 21; Eº → β=210º

∴α - β= - 100º × º

rad180≠

α - β= rad

95≠-

Clave: B

BLOQUE I

1. A partir del gráfico, señale lo correcto:

α

θ

a) α+θ=180º d) α+θ=450º b) α - θ=270º e) α - θ=450º c) α+θ=270º

2. Del gráfico, hallar "x", si: L1//L2.α

β

L1

L2

x

a) α - β d) α - β +180º b) α+β +180º e) α+β +360º c) α - β +360º

Problemas para clase

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI6

www.trilce.edu.pe7


3. Del gráfico, calcular: x/y.

(x+y)º (y - 2x)g

a) 8/3 b) 9/8 c) 17/3 d) 17/16 e) 19/8

4. En un triángulo rectángulo isósceles, sus ángu-los agudos miden (2xx - 4)g y (4x2+n)°. Calcu-lar (nx)° en el sistema circular.

a) 15≠ rad b)

12≠ rad c)

203≠ rad

d) 10≠ rad e)

5≠ rad

5. Si la medida centesimal de un ángulo es (x2-6x+17)g, siendo esta última la menor posi-ble, exprese (x3+6x)° en el sistema circular.

a) 3≠ rad b)

4≠ rad c)

5≠ rad

d) 6≠ rad e)

8≠ rad

6. Sabiendo que: 37≠ rad=aº ' "b c5 5 ; calcular:

ba c+ .

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8

7. La suma de medidas de dos ángulos es 20° y su diferencia es 8g. ¿Cuál es la medida sexagesimal del mayor?

a) 12°24' b) 14°36' c) 13°36' d) 15°48' e) 16°36'

8. En un triángulo, dos de sus ángulos interiores

miden 1087≠ rad y 144g. ¿Cuál es la medida sexa-

gesimal del tercer ángulo?

a) 28°32' b) 38°34' c) 48°22' d) 28°42' e) 38°44'

9. Se crea un nuevo sistema de medición angular, tal que su unidad (1*) resulta ser la 240 ava. parte del ángulo de una vuelta. Señale el equi-valente de 6,6* en el sistema sexagesimal.

a) 8°36' b) 9°36' c) 8°54' d) 9°54' e) 10°24'

10. Calcular:

'º '

Kn

n n1

11n

n 2

7= -

--

=^ ^

^h hh= G) 3/

a) 23 b) 33 c) 27 d) 37 e) 47

BLOQUE II

11. Del gráfico, señale lo correcto:

αºθg

a) 10α - 9θ=4500 b) 10α - 9θ=2700 c) 10α+9θ=2700 d) 10α+9θ=4500 e) 10α - 9θ=1800

12. Si en el gráfico OC y OD trisecan al BOEt ; se-ñale el valor de:

J=60θα-

A 0 E

D

C

5θg

αº

B

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 2/3

13. Del gráfico, calcular : x/y.

(x - y)'

(x - 5y)g

a) 55261 b)

55271 c)

55281

d) 65261 e)

65271

14. En un triángulo isósceles, los ángulos congruen-

tes miden: ( )x

x x18 1 g2+ + cada uno. Si dicha

medida es mínima (x∈ +), ¿cuál es la medida

circular del ángulo desigual?

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría

Quinto UNI6

www.trilce.edu.pe7


a) 52≠ rad b)

53≠ rad c)

54≠ rad

d) 207≠ rad e)

32≠ rad

15. Sabiendo que: 1rad= a5 ºb7' c4 " (π=3,1416). Calcular :

ca b+ .

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

16. Señale un valor de "K" que verifique la siguiente desigualdad:

"

"'

'K1 1

1 11 1

1 1< <s

s

m

m

-+

-+

a) 1,7 b) 3,72 c) 3,46 d) 1,86 e) 2,07

17. Se crea un nuevo sistema de medición angular cuya unidad (1*) resulta ser la medida de un ángulo central en una circunferencia, cuando el arco que le corresponde resulta ser la cuarta parte del radio de dicha circunferencia. Señale el equivalente de 12g50m en el nuevo sistema.

a) π* b) 2π* c) *2

≠ d) *

4≠ e) *

8≠

18. Se tienen tres ángulos, tales que al ser tomados

de a 2, las sumas de medidas de cada pareja

resultan iguales a 21'; 50m y 90011≠ rad. ¿Cuál es

la media aritmética de las medidas de los tres

ángulos?

a) 60≠ rad b)

120≠ rad c)

180≠ rad

d) 360

≠ rad e) 720

≠ rad

19. En un triángulo, uno de sus ángulos interiores

mide: ( )ºa b

a ab b282 2

2 2

++ + , siendo esta medida la

máxima posible. Señale la medida circular del mayor ángulo que forman las bisectrices interio-res de los otros dos ángulos del triángulo.

a) 247≠ rad b)

2411≠ rad c)

2413≠ rad

d) 85≠ rad e)

65≠ rad

20. Sabiendo que: a=1'; b=1m; c=1s; d=1". Calcular:

Jad

ab cd30

3 10 5= -

a) 1,2 b) 1,3 c) 1,25 d) 1,45 e) 1,5

Tarea domiciliaria

1. Señale el equivalente de: θ=4≠ rad+18º

en el sistema centesimal.

a) 60g b) 70g c) 80g d) 54g e) 72g

2. Calcular:ºJrad rad

12

30

5

40g

≠ ≠= +

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3. En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos mide 20g. ¿Cuál es la medida circular del otro ángulo agudo?

a) 5≠ rad b)

3≠ rad c)

32≠ rad

d) 52≠ rad e)

9≠ rad

4. La suma de las medidas de dos ángulos es 40g y su diferencia es π/30rad. ¿Cuánto mide el ángu-lo mayor?

a) 18º b) 20º c) 21º d) 32º e) 36º

5. En un triángulo isósceles, el ángulo desigual mide

15≠ rad. ¿Cuánto mide cada uno de los

ángulos congruentes?

a) 82º b) 84º c) 74º d) 76º e) 78º

6. Un ángulo mide (7n+3)º y también (8n+2)g. ¿Cuál es la medida radial de dicho ángulo?

a) 3≠ rad b)

4≠ c)

5≠

d) 6≠ e)

9≠

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI8

www.trilce.edu.pe9


7. Si: 9≠ rad=(3n+2º), calcular "n".

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

8. Un ángulo mide (x +1)° y también (x +2)g. ¿Cuál es la medida circular del ángulo?

a) 3≠ rad b)

9≠ c)

18≠

d) 20≠ e)

36≠

9. En un triángulo ABC: A=120g, B= 4≠ rad

¿Cuál es la medida sexagesimal de "C"?

a) 24° b) 27° c) 54° d) 36° e) 37°

10. Se tienen tres ángulos, tales que al ser tomados de a dos, la suma de medidas de dichas parejas resultan ser iguales a

3≠ rad; 70g y 17°.

¿Cuál es la suma de medidas de los tres ángulos?

a) 60° b) 70° c) 80° d) 90° e) 100°

11. Si: 37

≠ rad=agb0 m

c5s.

Calcular: c

a b 1+ -

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

12. Siendo:

'

º ''

º ( ) ''

º ( ) ' º ' "n

n nn

n nn

n n a b c2 3º ' ''=c c cm m m

Calcular : "a + b + c".

a) 61 b) 62 c) 63 d) 68 e) 186

13. Del gráfico, calcular "x".

(8x - 2)º

(3 - 9x)g

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

14. Si : xº y’ z" = 3º 42' 48" + 5º 29' 34"

Calcular : Jx

z y 1= - -

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

15. En el gráfico OX y OY son bisectrices delBCOB y B AOB, respectivamente. Señale lo correcto:

A 0 C

X

Y

αβ

B

a) α - 2β =90º b) α - β =270º c) α - 2β =180º d) α - 2β =360º e) α + 2β =180º

www.

.com

Mat

emat

ica1

www.trilce.edu.pe9

Central: 619-8100Quinto UNI8

www.trilce.edu.pe9


Problemas resueltos

1. Se mide un ángulo en los tres sistemas de medi-ción angular convencional, tal que se cumple la siguiente ecuación:

S C R3 100400

3 3 23 ≠+ + = 26+0,1π ,

halle S+C

a) 144 b) 148 c) 152 d) 156 e) 160

Resolviendo

Tenemos para el ángulo "θ"

Sº

Cg

Rrad

S=9kC=10k

R= k20≠

donde

θ

123

123

En la condición

k k k3 9 100 10400 20

3 3 23# # #

≠ ≠+ + =26+10≠

( )k k k3 1020 10

2603 3 3≠ ≠+ + = +

( )k k1320 10

2603 3≠ ≠+ = +

→ 2k k20

26010

2603 3&+ + =

≠ ≠=; ;E E

∴ k=8

Luego:

i) S=9k ⇒ S=72

ii) C=10k ⇒ C=80

∴ C+S=152

Clave: B

2. Sean "S", "C" y "R" los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexa-gesimal, centesimal y radial, respectivamente, si se cumple:

( ) ( )S C C S S C S2 2+ = - , halle E=

910 R

a) 384

≠ b) 3840

≠ c) 3420

≠

d) 3220

≠ e) 3110

≠

Resolviendo

( ) ( )C C S S C SS 2 2+ = -

. . ( ) ( )S C C S S C S+ = - ..............(oc)

Sea el ángulo Sº

Cg

Rradθ

123

Donde:

S=9k C=10k R=20≠ k

Reemplazamos en oc:

9k. k10 .(19k) = k9 . (k)

19×9 10 =3 ⇒ K=57 10

1

Se pide: E= 910 .R

E=910 .

20≠ k ⇒ E=

6010≠ k

E=6010≠ .

57 101

; E ∴ E=3420

≠

Clave: C

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNIQuinto UNI10

www.trilce.edu.pe11


Quinto UNI10

www.trilce.edu.pe11


3. Si "S", "C" y "R" son los números que repre-sentan las medidas de un mismo ángulo, en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial, res-pectivamente, halle la medida del ángulo en radianes, si se cumple:

S CS C

C CS S R2

2 192 2

2 2

≠- -- - =

a) 7≠ b)

72≠ c)

72≠

d) 74≠ e)

75≠

Resolviendo

Condición: S CS C

C CS S R2

2 192 2

2 2

≠- -- - =

Sea: S=9k C=10k R= k20≠

Reemplazamos:

×k k kk k k k

162 90 100100 90 162 19

202 2 2

2 2 2= ≠

≠- -- -

kk k k

28152

2019

740

2

2&

-- = == G

Finalmente, la medida del ángulo en radianes será:

R= × R20 7

4072

&≠ ≠=; E

Clave: B

4. Si "S", "C" y "R" representan la medida de un mismo ángulo en los 3 sistemas de medición angular, y se cumple que:

3Cº - 2Sg = πrad Calcule la medida de dicho ángulo en radia-

nes.

a) 4615≠ b)

2315≠ c)

97≠

d) 98≠ e)

1817≠

Resolviendo

Tenemos: 3Cº - 2Sº = πrad

3Cº - 2Sg × º109

g; E=180º

3Cº - ºS5

9 = 180º

3C - S59 = 180

Conocemos que:

S=9k C=10k R= k20≠

Reemplazamos

30k - 59 ×9k=180 → k

569 =180

Luego: R= ×k20 20 69

900≠ ≠=

∴

R=23

15≠

Clave: B

5. La suma del número de minutos centesimales y el número de segundos sexagesimales de la me-dida de un ángulo es 33 400. Halle la medida de dicho ángulo en radianes.

a) 10≠ b)

20≠ c)

30≠

d) 40≠ e)

252≠

Resolviendo

Condición:

utos 33 400mincentesimales

segundossexagesimales

D D+ =; =E G

→ 100C+3600S = 33 400

→ C+36S = 334

Conocemos que:

S=9k C=10k R= k20≠

Reemplazamos

10k+36×9k = 334 123

334k = 334 → k=1

luego: R= k20≠ ∴ R=

20≠

Clave: B

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría


www.trilce.edu.pe11


Quinto UNI10

www.trilce.edu.pe11


BLOQUE I

1. Siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo no nulo, simplificar :

JC SS C

C SS C

C SS C3 1 2 2 3 23+ +=

-+ -

-- +

--

a) 3 b) 4 c) 5 d) 4 2 e) 5 2

2. Siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo, tales que: S = 3n+1 y 2C = 5n+2

¿Cuál es el valor de "n"?

a) 1/15 b) -1/15 c) 2/15 d) -2/15 e) -1/5

3. Señale la medida sexagesimal de un ángulo, si su número de grados centesimales excede a su número de grados sexagesimales en 4.

a) 18° b) 27° c) 36° d) 72° e) 63°

4. Señale la medida circular de un ángulo que ve-rifica: S2 - C = S; siendo "S" y "C" lo conocido para dicho ángulo.

a) 162019≠ rad b)

162017≠ rad c)

144019≠ rad

d) 81019≠ rad e)

81017≠ rad

5. Siendo "S", "C" y "R" lo conocido para un ángu-lo no nulo, simplificar:

J=S RC R

4020

≠≠

--

a) 5/7 b) 6/7 c) 1 d) 8/7 e) 9/7

6. Señale la medida circular de un ángulo que ve-rifica: 3S - C + 20R=20,1416; siendo "S", "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo.

a) 10≠ rad b)

20≠ rad c)

40≠ rad

d) 18≠ rad e)

17≠ rad

7. Señale la medida circular de un ángulo que ve-rifica:

S C R S C R9 10

202 2 2

≠+ + = + + ; siendo "S", "C"

y "R" lo conocido para dicho ángulo no nulo.

a) 4≠ rad b)

5≠ rad c)

10≠ rad

d) 20≠ rad e)

40≠ rad

8. Sabiendo que la diferencia entre el triple del nú-mero de grados sexagesimales de un ángulo con el doble de su número de grados centesimales, es igual al cuadrado de su número de grados cen-tesimales, ¿cuál es la medida de dicho ángulo?

a) 40m b) 50m c) 70m d) 90m e) 1g

9. La diferencia entre los números de grados cen-tesimales y sexagesimales de un ángulo es igual a: K2 - 2K + 5. ¿Cuál es el mínimo valor de la medida circular de dicho ángulo?

a) 4≠ rad b)

5≠ rad c)

6≠ rad

d) 8≠ rad e)

9≠ rad

10. La suma de los números de minutos sexagesi-males y centesimales que contiene un ángulo, es igual a 1540. ¿Cuál es la medida circular del ángulo?

a) 4≠ rad b)

5≠ rad c)

6≠ rad

d) 20≠ rad e)

18≠ rad

BLOQUE II

11. Señale verdadero (V) o falso (F), según corres-ponda; si "S", "C" y "R" son lo conocido para un ángulo generado en sentido horario:

I. S > C II. 9S < 8C III. R > S

a) VFV b) VVV c) FVV d) FVF e) VFF

12. Siendo "S", "C" y "R" lo conocido para un ángu-lo no nulo, reducir:

J = 1 - ( ) ( )( ) ( )C R C RS R S R

2 22 2

2 2

2 2

+ + -+ + -

a) 400

762≠+

b) 400

38002

+ ≠

c) 40 000

38002

+ ≠ d)

40 000760

2+ ≠

e) 40 000

76002

+ ≠


www.

.com

Mat

emat

ica1


www.trilce.edu.pe13


Quinto UNI12

www.trilce.edu.pe13


13. Señale la medida circular de un ángulo si sus números de grados sexagesimales y centesima-les son múltiplos consecutivos de 6.

a) 5≠ rad b)

103≠ rad c)

52≠ rad

d) 53≠ rad e)

107≠ rad

14. Señale la medida circular de un ángulo si el nú-mero que representa su suplemento en el siste-ma centesimal excede al número que represen-ta su complemento en el sistema sexagesimal, en 106.

a) 5≠ rad b)

6≠ rad c)

7≠ rad

d) 9≠ rad e)

10≠ rad


( ) ( )S RC C RSR3

17292 1 2 1+ =- - ;

siendo "S", "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo.

a) 2≠ rad b) πrad c)

43≠ rad

d) 23≠ rad e)

32≠ rad


2LogSC+LogSR2=3;

siendo "S", "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo.

a) 4729

≠rad b)

8729

≠rad

c) 7

1458≠

rad d) 5

1458≠

rad

e) 5729

≠rad

17. Se tienen dos ángulos complementarios, tales que el número de grados centesimales del ma-yor excede al número de grados sexagesimales del menor en 24. ¿Cuál es la medida circular del menor?

a) 5≠ rad b)

6≠ rad c)

9≠ rad

d) 10≠ rad e)

12≠ rad

18. Señale la medida circular del ángulo para el cual "S" y "C" son lo conocido, verificándose:

9º - 3Cg

Sº - 10g

a) 9≠ rad b)

92≠ rad c)

20≠ rad

d) 10≠ rad e)

203≠ rad

19. Señale la medida centesimal de un ángulo que verifica: R" ,+S=109; siendo "S" y "R" lo cono-cido para dicho ángulo.

a) 80g b) 90g c) 100g d) 120g e) 140g

20. La décima parte de la diferencia del número de segundos sexagesimales de un ángulo con 8 ve-ces su número de minutos centesimales es igual a:

a b aba b ab

416

2 2

2 2

+ ++ + ; a, b ∈ +

¿Cuál es el máximo valor de la medida circular del ángulo?

a) 48803≠ rad d)

48 800≠ rad

b) 48 800

3≠ rad e) 48807≠ rad

c) 4880

≠ rad www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría


www.trilce.edu.pe13


Quinto UNI12

www.trilce.edu.pe13


Tarea domiciliaria

1. Señale la medida radial de un ángulo que cum-ple:

CR SSR C

3937

++ = .

a) 1 rad b) 2 rad c) 3 rad d) 1,5 rad e) 3

≠rad

2. Determine la medida en el sistema sexagesimal del ángulo, si se cumple 3S - 2C = 42 .

a) 50º b) 52º c) 53º d) 54º e) 55º

3. Sabiendo que "S" y "C" son lo conocido para cierto ángulo no nulo, reducir :

K=C SC S2 5-- +

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. Sabiendo que "S" y "C" son lo conocido tal que: C = n + 2 ; S = n - 2

Señale la medida circular del ángulo.

a) 3≠ rad b)

4≠ rad c)

5≠ rad

d) 10≠ rad e)

20≠ rad

5. Señale la medida circular de un ángulo cuyo número de grados centesimales excede a su nú-mero de grados sexagesimales en 2.

a) 4≠ rad b)

6≠ rad c)

10≠ rad

d) 8≠ rad e)

20≠ rad

6. Si la medida de un ángulo se expresa como abº y también como ( )a 1 0+

g, señale el mayor valor

que toma su medida circular.

a) 5≠ rad b)

209≠ rad c)

4≠ rad

d) 2≠ rad e)

207≠ rad

7. Sabiendo que "S" y "C" son lo conocido, calcule : x y z- +

S CC S

22

--; Eº =xºy'z"

a) 3 b) 4 c) 5 d) 2 6 e) 2 5

8. En un hexágono, los ángulos internos están en progresión aritmética y:

α1>α2>α3>α4>α5> α6

¿Cuánto medirá el cuarto ángulo dado en radia-nes, si el mayor es igual a 125º?

a) 750π b) 180115≠ c)

180119≠

d) 2π e) 180121≠

9. Si el complemento del arco "x" es 143≠- radianes,

hallar el valor de "x" en grados centesimales.

a) 282 g 85 m 71 s b) 272 g 85 m 71 s c) 262 g 85 g 71 s d) 25 g 08 m e) 142 g 85 m 71 s

10. La diferencia de las inversas de las medidas de un arco en grados sexagesimales y en grados centesimales es igual a su medida en radianes dividido por 2π. Hallar la medida de dicho arco.

a) 15≠ rad b) 6º

c) 12≠ rad d) 7ºcentesimales.

e) 10º centesimales.

11. El número que representa el valor de un ángulo en el sistema centesimal es mayor en 11 unida-des al número que representa al mismo ángulo en el sistema sexagesimal. Entonces, el valor del ángulo, en radianes, es: (π=3,14 )

a) 0,172 b) 0,727 c) 2,750 d) 1,727 e) 3,172

12. Si los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimales y centesi-males son números pares consecutivos, el valor del complemento del ángulo, expresado en ra-dianes, es :

a) 10≠ b)

5≠ c)

203≠

d) 407≠ e)

52≠

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI14

www.trilce.edu.pe15


13. Hallar el ángulo en radianes que satisface la si-guiente condición : La media geométrica de los números que re-presentan la medida de ese ángulo, en grados centesimales y sexagesimales, multiplicada por la suma de las inversas de los mismos es igual a 19/100 veces la semidiferencia de esos núme-ros.

a) 310 ≠ b) 10

≠ c) 10 ≠

d) 10≠ e) 11≠

14. Las medidas de un ángulo, en el sistema sexa-gesimal y en el sistema centesimal, son:

S=n2 - 191 y C=n2 +

191

El valor del ángulo en radianes es :

a) 119

≠ b) 109

≠ c) 10≠

d) 190

≠ e) 109

0≠

15. Sean dos ángulos. El primero mide "p" grados sexagesimales y el segundo "q" grados centesi-males. La diferencia numérica de estas medidas es 15. Si la suma de estos ángulos en el sistema sexagesimal es 129, los ángulos tal como esta-ban medidos originalmente, son:

a) 30 y 15 b) 45 y 30 c) 60 y 45 d) 75 y 60 e) 90 y 75

www.

.com

Mat

emat

ica1

www.trilce.edu.pe15


www.trilce.edu.pe15


Problemas resueltos

1. Si: "S", "C" y "R" son las medidas (en grados sexagesimales, grados centesimales y radianes) del ángulo central del sector circular AOB y COD donde LAB =C, LCD =S, y AC = BD=2R, entonces la medida de "θ", en radianes, es:

A

B

C

D

O θ

a) 5≠

b) 10≠

c) 5≠

d) 10≠ e) 1

Resolviendo

1

2

3

1

2

3

A

CS

2R

2RB

C

D

O θ

Para el problema: θ=R

C S2- ............. (1)

Pero: C S R200 180 ≠

= =1 2 34444 4444

C S RR

C S20 2

10&

≠ ≠- = - =

∴ en (1) : θ=10≠

Clave: B

2. En la figura mostrada OC=OD=r, OA=OB=R, m+COD=1 radián, halle

Perímetro del trapecio circularPerímetro del sector circular COD

K=

A

B

S S

C

D

O

a) 32 b) 1 c)

34

d) ( )3

3 2 1- e) 2

Resolviendo

1

4

4

2

4

4

3

1

4

2

4

3

A

B

S1rad

r

R

S

C

D

O

Como el ángulo central es de 1 rad

⇒ CD r=!

∧ AB R=!

Luego:

Perímetro del trapecio circularPerímetro del sector circular COD

K=

K= ( )r

R r R r3

2+ + -

k=r

R rrR

33

31- = - .................. (1)

De acuerdo a la relación de áreas, tenemos:

S COD= S = ×r2

1 2

S AOB= 2S = ×R2

1 2

⇒ rR 2=

Reemplazamos en (1):

K= k231

33 2 1

&- = -

Clave: D

1

2

3

Rr

21

2

2=

www.

.com

Mat

emat

ica1


www.trilce.edu.pe17


Quinto UNI16

www.trilce.edu.pe17


3. De la figura mostrada, determine el valor de:

M=ax bzay by

++

ab

yz x

a) 21 b) 1 c) 2

d) 31 e) 3

Resolviendo

a

a

b

b

yzθrad x

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

θ=a

y zb

x y=

- -

1 2 3444 444 ⇒ yb - bz=ax - ay

Luego: ay+by=ax+bz

ax bzay by 1

M+

+ =1 2 344 4

∴ M=1

Clave: B

4. Se tiene el sector circular AOC, donde OA=OC=r y m AOC= θ. Si "r" crece 10% y el ángulo central crece 20%, ¿en qué porcentaje crece el área del sector círcular?

a) 15% b) 20% c) 30% d) 40% e) 45,2%

Resolviendo

Sector circular inicial

100R

100R

100S100θ

Nuevo sector

110R

110R

xs120θ

Tenemos

i) 100s= ( ) ( )R2

100 100 2θ ............... (1)

ii) xs= ( ) ( )R2

120 110 2θ .................. (R)

(1) (r) : ( )××

x100

120 110100 100

2

2=

145,2=x

∴ El área aumento en 45,2%

Clave: E

5. Las áreas de un sector circular y la región ence-rrada por un cuadrado son iguales y además de igual perímetro; determine el número de radia-nes del ángulo central de dicho sector.

a) 0,5 b) 0,75 c) 1 d) 1,5 e) 2

Resolviendo

R

R

SS

L l l

l

l

i) Son isoperímetros:

→ 2R+L=4l ................. (1)

ii) Áreas iguales:

→ RL2

= l2 ................. (2)

Reemplazamos (1) en (2)

R L4

2 + =l → RL2

= 4

2R L 2+; E

RL2

= 4

2R L 2+; E SRL=[2R+L]2

8RL=4R2+4RL+L2

0 = R R L4 42 2- +1 2 3444 444 0= [2R - L]2 → 2R=L

∴ 2=RL =θ → θ=2

Clave: E

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría


www.trilce.edu.pe17


Quinto UNI16

www.trilce.edu.pe17



BLOQUE I

1. En un sector circular, el ángulo central mide 3 rad. y el radio 5 cm. ¿Cuál es el perímetro del sector?

a) 15 cm b) 20 cm c) 25 cm d) 30 cm e) 35 cm

2. En un sector circular donde el radio mide 10 cm, el número de radianes de su ángulo central es el mayor entero posible. ¿Cuál es el perímetro del sector?


3. En un sector circular el arco mide 24 cm. Si el radio se incrementa en su doble y el ángulo central se reduce en su cuarta parte, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide:


4. Del gráfico, calcular : LL21 .

A

0 B

L1

O1r

L2

r 3

a) 3

2 3 b) 2

3 3 c) 4

2 3

d) 2

5 3 e) 5

6 3

5. En un sector circular, el ángulo central mide (

'º )

xx g y el radio mide 2 5 cm. ¿Cuál es el área

del sector circular?

a) π cm2 b) 2π cm2 c) 4π cm2 d) 3π cm2 e) 6π cm2

6. Del gráfico, calcular:

x= LL

PSQ

PO Q1!

Si : O1P=O1Q

A

M

O

O1

N B

Q

P

a) ArcCos

41

2≠ - d) 3ArcCos

41

2≠ -

b) ArcCos

41

1≠ - e) 4ArcCos

41

2≠ -

c) 2ArcCos

41

2≠ -

7. En un sector circular el área es igual a 100m2. Si el arco se reduce en 20% y el radio se duplica se obtie-ne un nuevo sector circular cuya área es igual a:

a) 120 m2 b) 130 m2 c) 140 m2 d) 150 m2 e) 160 m2

8. El área de un sector circular es igual al cuádru-ple del área de un cuadrado cuyo lado es igual al arco del sector. ¿Cuánto mide el ángulo cen-tral del sector circular?

(π=3,1416)

a) 7°9'43" b) 7°17'6" c) 8°16'32" d) 6°17'34" e) 6°24'43"

9. Del gráfico, calcular: θS.

A

B

S

C

D

nO mθrad

a) m2+n2 b) m n2

2 2+ c) n2 - m2

d) n m2

2 2- e) n m4

2 2-

S

www.

.com

Mat

emat

ica1


www.trilce.edu.pe19


Quinto UNI18

www.trilce.edu.pe19


10. Del gráfico, calcular: "S".

A

E

B

S

C

D

4u2 18u2

6u2

O

a) 2 u2 b) 3 u2 c) 1 u2 d) 2/3 u2 e) 4/3 u2

BLOQUE II

11. Del gráfico, calcular: J=L L L L

L L3 2 1 2

32

12

--

O

EC A

B

L3L2

L1

DF

a) 2 b) 4 c) 6 d) 4/3 e) 2 2

12. Del gráfico, calcular : J=(θ - 1)(θ2 - 2)

OE

C A

BD

F

θrad

a) 1/2 b) 2 c) 1 d) 1/4 e) 4

13. Del gráfico, hallar: K=LL21 .

O

C A

B

L2L12θ

D

a) ( )2

1θπ - Cotθ d) ( )

21

θπ - Cosθ

b) ( )2

1θπ - Tanθ e) ( 1)

θπ - Tanθ

c) ( )2

1θπ - Senθ

14. En un sector circular, el ángulo central mide xrad y el radio (x+4x-1 - 2)cm. ¿Para qué valor de "x" la longitud del arco es mínima?

a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 3 e) 3/2

15. Del gráfico mostrado, hallar:

J=x

y z2≠ -

-

Si: BM = BP y AN = AP.

A B

M O N

Pz

x

y

a) 0,25 - ( )ArcCos

ArcCos

43

3243

b) 0,25 - ( )ArcCos

ArcCos

43

4332

c) 0,75 - ( )ArcCos

ArcCos

43

3243

d) 0,75 - ( )ArcCos

ArcCos

43

4332

e) 0,75 - ( )ArcCos

ArcCos

83

4332

16. En un sector circular se sabe que su perímetro es igual a "2p". Si su área es máxima, ¿cuánto mide el ángulo central de dicho sector?

a) 1 rad b) 2 rad c) 1/2 rad d) 4 rad e) 1/4 rad

17. En el gráfico mostrado, tomando a AB , BC y AC como diámetros, se dibujan tres semicir-cunferencias. Si el área del triángulo ABC es "S", calcular la suma de las áreas de las regiones sombreadas.

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría


www.trilce.edu.pe19


Quinto UNI18

www.trilce.edu.pe19


A

C

B

a) S b) 2 S c) 32 S

d) 21S e)

21S

18. Si el triángulo ABC es equilátero de lado 2cm,

donde tomando AB y BC como diámetros se han

dibujado semicircunferencias; además AC!

, tiene

su centro en "B". Calcular el área de la región

sombreada. (π= 3 2+ )

C

B

A

a) ( )3 2 2+ cm2 b) ( )2 3 2+ cm2

c) 2 cm2 d) 2 3 cm2

e) 2 2 cm2

19. Del gráfico, calcular el área de la región som-breada.

C

BA

M

O24º

3 5 cm 3 5 cm

a) 2π cm2 b) 3π cm2 c) 4π cm2 d) 6π cm2 e) 8π cm2

20. En un tronco de cono circular recto, los radios de sus bases y su generatriz suman 8 cm. ¿Cuál es el máximo valor del área lateral del tronco de cono?


Tarea domiciliaria

1. En un sector circular el arco mide "L1", pero si triplicamos el radio y reducimos el ángulo cen-tral en 20% se genera un nuevo sector circular cuyo arco es "L2". Calcular :

LL21

a) 95 b)

125 c)

136

d) 52 e)

43

2. En un sector circular donde el radio mide 8cm, ¿cuál es el mayor valor entero que toma el arco?

a) 60 b) 40 c) 48 d) 64 e) 50

3. El minutero de un reloj mide 35cm. Si conta-mos 12 minutos a partir de ahora, la punta del minutero barre un arco que mide:

a) 5π cm b) 15π c) 7π d) 14π e) 2π

4. En un sector circular, el ángulo central mide 30g y el radio mide 40cm. ¿Cuánto mide el arco co-rrespondiente?

a) 2π cm b) 4π c) 6π d) 9π e) 12π

5. En un sector circular, se sabe que el arco es la quinta parte del radio y que su perímetro es igual a 55cm. Calcular el producto del arco con el número de radianes del ángulo central.

a) 25 b) 15 c) 5 d) 1 e) 10

6. El tramo de una carretera está compuesta por dos arcos correspondientes a ángulos centrales de 108º y 120º con radios de 10Km y 12Km, respectivamente. ¿Cuál es la longitud total del tramo?

a) 6π km b) 8π c) 10π d) 12π e) 14π

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI20

www.trilce.edu.pe21


7. En un sector circular, el ángulo central mide "xg" y el radio (4 - x)cm. ¿Cuál es el máximo valor que podría tomar el arco?

a) 20≠ cm b)

40≠ cm c)

30≠ cm

d) 50≠ cm e)

25≠ cm

8. En la figura mostrada, hallar el área del trapecio circular ABCD.

Si : AB=10µ y CD=7µ

O

D A

BC

60g

a) 64≠

µ2 b) 68≠

µ2 c) 251≠

µ2

d) 85≠

µ2 e) 3

58≠ µ2

9. Un abanico tiene una longitud de 12cm y al ser abierto (extendido) barre un ángulo de 120º. Calcular el área de la superficie circular deter-minada.


10. En el gráfico mostrado, calcular el área de la re-gión sombreada. (π = 3 2+ )

O

A

H

2 6

B30º

a) 2 2 3- b) 2 2 3+

c) 2 3 2- d) 2 3 2+

e) 3 2-

11. De acuerdo al gráfico, calcular : SS

12

O

D

13

S1 S2

A

B

C

a) 6 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21

12. Del gráfico, calcular : Sθ

O

D

6

6

3π2πθrad S

A

B

C

a) 30 b) 15 c) 60 d) 90 e) 180

13. Dos postulantes a la UNI observan un reloj electrónico cuyas agujas están detenidas. Uno de los estudiantes dice que el área que hacen las agujas es de 7,2 pulgadas cuadradas. Si el reloj tiene un radio de 6 pulgadas, ¿cuál será el arco entre las agujas? Tomar:

722≠ =

a) 512 pulg b)

511 c)

125

d) 115 e)

712

14. Se tiene un sector circular de radio "r" y ángulo central 36º. ¿Cuánto hay que aumentar al án-gulo central de dicho sector para que su área no varíe, si su radio disminuye en un cuarto del anterior?

a) 64º b) 36º c) 28º d) 100º e) 20º

15. Siendo "θ" el ángulo central de un sector circu-lar cuya longitud de arco es 2π metros. Calcular su radio en metros, si :

103 7+ =πθ

θπ

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 2,5

www.

.com

Mat

emat

ica1

www.trilce.edu.pe21


www.trilce.edu.pe21


Problemas resueltos

1. Se tienen tres poleas de radio 1u, 2u y 3u, res-pectivamente, en un mismo plano cuyos centros forman un triángulo equilátero cuya longitud es 29u. Además, dichas poleas se encuentran co-nectadas por una faja. Si la polea de radio 3u da 3 vueltas, halle la suma de los ángulos girados por las otras poleas.

a) 18πrad b) 9πrad c) 12πrad d) 24πrad e) 27πrad

Resolviendo

23

1A

B C

gira:3vueltas

Para C gira: 3 vueltas ⇒ θC =3(2π)=6π

Como están conectados por una faja de trasmi-sión, se tiene que:

θA×rA= θB ×rB= θC ×rC

⇒ θA= θC× ×Tr

16 3 18

AC ≠ ≠= =

⇒ θB= θC× ×

Tr

26 3 9

BC ≠ ≠= =

∴ θA+ θB = 27πrad

Clave: E

2. Dos ruedas de radios "R" y "r" (R>r) recorren la misma longitud "L". La diferencia del número de vueltas de la menor y la menor es "L/8r". Calcule:

M=Rr

r Rr4

12 ≠+ -` j

a) -1 b) 4≠- c) 0

d) 21 e) 2

Resolviendo

r

R

L14444244443

Sea: n : # de vueltas ⇒ nr= r

L2≠

nR=R

L2≠

Por condición: nr - nR =

rL8

⇒ r

LR

Lr

LRr

R rr2 2 8 2 81

&≠ ≠ ≠

= = - =

∴ R - r= R4≠

Pero, la expresión pedida es:

M=Rr

r Rr4

12 ≠+ -` j=

Rr

41≠+ -8 B

∴ M= 14 4

1 0≠ ≠- + - =8 8B B

Clave: C

www.

.com

Mat

emat

ica1


www.trilce.edu.pe23


Quinto UNI22

www.trilce.edu.pe23


3. En la figura mostrada, mABC=80º. Halle aproxi-madamente la distancia (en metros) recorrida por el centro de la rueda en ir desde el punto "A" hasta el punto "C". El radio de la rueda mide 15≠

cm, y en el tramo AB la rueda da seis vueltas y en el tramo BC da cuatro vueltas.

A

B

C

a) 3,08 b) 3,24 c) 3,66 d) 3,98 e) 4,02

Resolviendo

A

B

80º

C

r 15≠

=

Conocemos que:

n=r

L2≠

Donde: n : # de vueltas L : longitud recorrida por el centro de la rueda r : radio de la rueda

⇒ Como:

de "A" a "B" da 6 vueltas

de "B" a "C" da 4 vueltas

123

⇒ 10=×

L

2 15≠≠c m

⇒ L = 300 cm ó L=3m

Analizaremos lo que ocurre en el vértice "B"

l

80º

r r

l= ×95 15≠

≠; ;E E

l= cm325

ó l=0,08 m

Finalmente, la longitud total será: [1+l]=3,08 m

Clave: A

4. De la figura mostrada, la rueda de radio "r" gira sin resbalar sobre la superficie circular de radio 5r. ¿Cuántos grados sexagesimales experimenta el giro de la rueda hasta que el punto "B" esté en contacto con la superficie curva?

B

5r

O

O1

rr B

O1

a) 18º b) 80º c) 84º d) 90º e) 108º

Resolviendo

A

B'

5r

O

O1r B

θrad

Condición: lAB! = l

'AB!

→ 2≠8 B×r= θ×5r

→ = θ ∴ \central = 10≠ rad

\central = 18º

Clave: A

5. En el sistema mostrado, si la rueda "A" da 43

de vuelta, entonces la longitud recorrida por la

rueda "C" es:

B

C

A

82 6

a) 3,6π b) 36π c) 1,8π d) 18π e)

49≠

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría


www.trilce.edu.pe23


Quinto UNI22

www.trilce.edu.pe23


Resolviendo

B

C

A

gira:43 vuelta

8

2

6

Entre A ∧ C

43 V×6=Vc×8

∴ VC = 169 vueltas

Entre C ∧ B (concéntricas)

VC = VC →VB=169 vueltas

Ahora: (por regla de 3 simple) Para la rueda "C".

1 vuelta 2π(R)

169 vueltas L

→ 169 vueltas×(4π) = L(vueltas)

∴

L=49≠

Clave: E


BLOQUE I

1. Una rueda de radio 2 cm da 14 vueltas al reco-rrer una distancia rectilínea igual a: (π = 22/7).


2. Del gráfico, calcular el número de vueltas que dará la rueda de radio 3 al ir desde "A" hasta "C"; si : AB = 12 y BC = 23 ( π = 22/7).

A

B60º

C

3

a)2

5 3 b) 4

5 3 c) 2

7 3

d) 4

7 3 e) 4

3 3

3. Un aro recorre el borde de una pista circular de radio "R", en un plano perpendicular al de la pista. Si da "n" vueltas al barrer en el centro de la pista un ángulo "θ°", hallar R/r, siendo "r" el radio del aro.

a) 180 nθ

b) 360 nθ

c) 2nθπ

d) nθπ e) 90 n

θ

4. Una rueda de radio "r" recorre el perímetro de otra de radio "R", dando 7 vueltas. Si las dos ruedas están ubicadas en el mismo plano, cal-cular r/R.

a) 1/6 b) 1/7 c) 1/8 d) 2/3 e) 1/3

5. Del gráfico, calcular el número de vueltas que dará la ruedita de radio "r" al ir desde "A" hasta "B".

A7r

r

r

B

CO

a) 1 b) 2 c) 4 d) 1/2 e) 1/4

6. ¿Cuántas vueltas dará la rueda de radio "r" al recorrer la superficie mostrada desde "A" hasta "B"?

rr

r rr

BA

a) 2/3 b) 3/2 c) 4/3 d) 3/4 e) 5/3

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI24

www.trilce.edu.pe25


7. En el sistema mostrado, cuando "A" gira 20°, ¿cuánto gira "B"?

(A) (B)

4r3r

a) 15° b) 16° c) 18° d) 12° e) 9°

8. En el sistema mostrado, cuando "A" gira 60°, ¿cuánto gira "D"?

(A)

(B)

(C)

(D)

53

22

a) 100° b) 120° c) 150° d) 180° e) 210°

9. Si en el sistema mostrado, el bloque "P" des-ciende "L", ¿cuánto sube el bloque "Q"?

R

Q

P

r

a) RLr b)

rLR c) ( )

RL R r-

d) ( )R

L R r+ e) ( )r

L R r-

10. Si en el sistema mostrado, "A" gira "θ°", ¿cuán-to se desplaza el bloque "P"?

2 3

5

P

a) θ30≠ b) θ

50≠ c) θ

120≠

d) θ150

≠ e) θ 300

≠

BLOQUE II

11. Dos ruedas de radios "r" y "R" dan "n1" y "n2" vueltas, respectivamente, al recorrer ambas una misma distancia. Una tercera rueda de radio "R+r" da "n3" vueltas al recorrer el doble de la distancia anterior. Calcular el mínimo valor de:

Nn

n n3

1 2= +

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8

12. Dos ruedas de radios "R" y "r" dan cierto núme-ro de vueltas al recorrer una misma distancia. Una tercera rueda, al recorrer el doble de esa distancia, da un número de vueltas igual a la diferencia de los números de vueltas que dieron las dos primeras. ¿Cuál es el radio de la tercera rueda? (R > r)

a) R r

R2-

b) R rRr-

c) ( )R rRr

2 -

d) ( )R rR r2 2

-- e) ( )

R rR r2 2

-+

13. Los radios de las ruedas de una bicicleta están en la relación de 3 a 5. Después de recorrer una cierta distancia, el número de vueltas que dio la menor excede en "n" a las que dio la mayor. Calcular la suma de los números de vueltas que dieron las dos ruedas.

a) 2n b) 3n c) 6n d) 4n e) 8n

14. ¿Cuántas vueltas dará la rueda de radio 1 al des-plazarse desde "A" hasta "C"? (AB = 9π).

1

A B

C

O

7

45º

a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11

15. En una bicicleta, sus ruedas tienen radios igua-les a 50 cm y 40 cm. Si la mayor da 20 vueltas, ¿cuántas vueltas daría la menor, después de re-correr una cierta distancia?

a) 40 b) 32 c) 36 d) 30 e) 25

AB

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría

Quinto UNI24

www.trilce.edu.pe25


20. Si en el gráfico mostrado la rueda de radio 1u recorre todo el perímetro interior del cuadrante de radio 4u, ¿cuántas vueltas daría?

A

1

4

B

O

a) ( )ArcSen123

97 2 1

≠+ -

b) ( )ArcSen123

97 2 2 2+≠

-

c) ( 2 )ArcSen132

97 2 1+≠

-

d) ( 2 1)ArcSen1 397 2+≠

-

e) ( 2 )ArcSen123

97 2 1+≠

-

16. Las ruedas de una locomotora tienen radios en progresión aritmética de razón r/3, siendo "r" el radio de la rueda intermedia. Después de avanzar una cierta distancia, el número de vuel-tas que da la intermedia es igual a "K" veces la suma de los números de vueltas que dieron las otras dos. ¿Cuál es el valor de "K"?

a) 2/3 b) 2/9 c) 4/3 d) 4/9 e) N.A.

17. Dos poleas de radios "R" y "r" son tangentes ex-teriores. Si la primera gira 2θº, la segunda 3θg. Calcular: R/r.

a) 2,25 b) 2,35 c) 1,35 d) 1,65 e) 3,35

18. En la figura mostrada, las ruedas se desplazan en los sentidos indicados dando "n" vueltas cada una, después de lo cual la distancia que los separa es igual a 444 cm. ¿Cuál es el valor de "n"?

1cm

4cm

a) 7 b) 14 c) 8 d) 16 e) 28

19. Si el bloque "P" desciende 4 cm, ¿cuánto se des-plaza el bloque "Q"?

13

6

2 3

5

PQ

a) 2,4 cm b) 1,2cm c) 4,8cm d) 2 cm e) 3 cm

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI26

www.trilce.edu.pe27



www.trilce.edu.pe27


Tarea domiciliaria

1. Los radios de las ruedas de una bicicleta son como 3 a 1. En hacer un cierto recorrido, la rueda ma-yor dio 25 vueltas menos que la menor. Hallar la suma de los ángulos girados por cada rueda.

a) 80πrad b) 100πrad c) 120πrad d) 150πrad e) 90πrad

2. La distancia entre los centros de dos circunferen-cias de radio "R" es "R". Entonces, la longitud del menor arco que se forma con la intersección de las dos circunferencias es :

a) 32≠ R b)

3≠ R c)

6≠ R

d) 4≠ R e)

2≠ R

3. La figura representa una transmisión dentada de radios "r1" y "r2" como se indica. Si el punto "P" sobre la rueda de mayor radio "r1" gira un ángu-lo "θ", entonces el punto "Q" correspondiente sobre la otra rueda girará un ángulo igual a :

P

Q

r1

r2

a) θ b) rr21` jθ c)

rr12` jθ

d) (r1r2)θ e) QP θ

4. Un molinete de riego tiene un alcance de 12m y un ángulo de giro de 135º. Calcular el área (en m2) del sector circular mojado por el molinete. (Usar π=3,14).

a) 161,56 b) 163,56 c) 165,56 d) 167,56 e) 169,56

5. La figura muestra un montacarga con un tam-bor de 60 cm de diámetro. Si el montacarga gira

47≠ radianes, entonces la carga se eleva,

aproximadamente, a una altura de: (Tomar: π=3,1416 ).

a) 1,68 m b) 1,67 m c) 1,66 m d) 1,65 m e) 1,63 m

6. ¿Cuál es el arco, expresado en metros, de la cir-cunferencia de 2m de radio que subtiende un án-gulo central, tal que si sumamos su complemento y suplemento, expresados en grados sexagesi-males, nos da 13 veces el valor del ángulo?

a) 5≠ b) 40 c)

509≠

d) 101 e)

10≠

7. Una faja de 60 π cm de longitud es colocada al-rededor de dos líneas circulares cuyo diámetro es 10cm. ¿Cuál es la distancia entre los centros de las dos ruedas (OO')?

a) 27,5 πcm b) 25 πcm c) 22,5 πcm d) 20 πcm e) 17,5 πcm

8. Calcular el número de vueltas que da la rueda, de radio "a", para que las esferas se encuentren a la misma altura.

c

ba

m

123

a) ( )b ccm

2 +≠ b)

amb4≠

c) ( )a b cbm

2 +≠ d)

( )c b cbm

2 +≠

e) ( )b cam

2 +≠

9. En un sector circular, el arco mide: x2 - 6x+16 ; y el radio mide : (x - 1). Calcular el área del sector, si el arco tiene longitud mínima.

a) 7µ2 b) 14µ2 c) 21µ2 d) 5µ2 e) 10µ2

10. Se tienen 3 ruedas de radio "r", "R" y " Rr " las cuales recorren espacios rectilíneos "e", "ke" y "2e", respectivamente. Calcular "k" de modo que el número de vueltas que da la tercera, sea la media geométrica de los números de vueltas que dieron las dos primeras.

a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e)

21

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría

Quinto UNI26

www.trilce.edu.pe27



www.trilce.edu.pe27


11. En el gráfico, determine el número de vueltas que da la rueda de radio 3 al ir desde "A" hasta "D". Si: AB=24 y BC=CD=45 .

60º

A

B

D

C

60º60º

3

3

a) 3

10731

+≠

b) 2 3107

31

≠+

c) 2 3207

31

+≠

d) 2 3105

31

+≠

e) 2 5105

31

+≠

12. En el gráfico, la rueda de radio "r" al ir desde

"A" hasta "B" da los 25 del número de vueltas

que da al ir desde "C" hasta "D".

Calcule : rR .

AC

D

B

R

r

r

r

r

a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 5

13. En el gráfico se muestran las catalinas de una motocicleta. Si la cadena mide 1 metro y las catalinas tienen radios de 10cm y 5cm, calcule la suma de los ángulos girados por ambas cata-linas para que el nudo esté en la posición "P" por primera vez cuando giran las catalinas.

P

AB

Nudo

a) 10 rad b) 20 rad c) 30 rad d) 40 rad e) 50 rad

14. Los radios de tres ruedas de una locomotora es-tán en la relación 1 ; 3 ; 5. Cuando la menor gira 4320º, ¿cuál es la suma de los números de vueltas que dan las otras ruedas?

a) 5,6 b) 3,2 c) 7,8 d) 6,4 e) 8,4

15. De acuerdo al gráfico, se sabe que : O1O2= 37 . Cuando "A" se ubique en la posición de "B", ¿cuál será la suma de los números de vueltas que darán las dos poleas?

A B

32

DC

O1 O2

a) 3≠

b) 23≠

c) 25≠

d) 4≠

e) 27≠

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI28

www.trilce.edu.pe29


Quinto UNI28

www.trilce.edu.pe29


Problemas resueltos

1. Con ayuda de la figura mostrada calcule:

Q=csc

secctgx x

x tgx-+

2n+1

x

n - 1

2n

a) 215 b)

103 c) 6

d) -6 e) - 215

Resolviendo

2n+1

x

n - 1

2n

Aplicamos el teorema de Pitágoras

[2n+1]2=(n - 1)2+(2n)2

→ 4n2+4n+1=n2 - 2n+14n2

→ 6n=n2 ∴ n=6

Luego, el triángulo será:

13

x

5

12

La expresión pedida será:

Q=Cotx CscxSecx Tanx+

-

Q=

512

513

1213

125

51

1218

-

+=

- ∴ Q= -

215

Clave: E

2. Si cos(x+20º)=sen(3x+10º); x∈<0º;26º] entonces al calcular el valor de F=sec4x + 4sen22x - tg3x, se obtiene:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

Resolviendo

De: cos(x+20º)=sen(3x+10º)

→ (x+20º)+ (3x+10º)=90º ∴ x = 15º

La expresión pedida será:

F=sec60º+4sen230º - tan45º

F= (2)+4×21 2

; E - 1 ∴ F= 2

Clave : C

3. Se tiene un triángulo ABC, en el cual se trazan las alturas AD y CF cortándose en el punto "H", de modo que AH=3HD, halle tgB.tgC.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría

Quinto UNI28

www.trilce.edu.pe29


Quinto UNI28

www.trilce.edu.pe29


Resolviendo

B

F

3aH a

A C

D12

θ

θ

α 1

2

3

H: Ortocentro del ABC

BPHF : (inscriptible)

⇒ \DHC = θ

En HDC : tanθ = an .............. (1)

En HDC : tanα = na4 .............. (2)

De (1) ∧ (2)

tanθ . tanα = ( ) ( )an

na4 =4

Clave : D

4. En la figura mostrada, ABCD es un cuadrado. Calcule:

k= 10 sec(θ)+tan(θ)

A

D37º

θ

B

C

a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4

Resolviendo

θ

9a

37º 53º

9a16a

25a

25a144424443

144424443

14243 123

13a

12a

5 a10

θ

Sombreado

sec9

5 10θ =' ∧ tan913θ ='

Se pide: k= 10 secθ+tanθ

→ k= ×109

5 10913

963+ =

∴ k = 7

Clave : B

5. En la figura mostrada, AB=AD=BC, mABC=90º, mBAD=32º, mBCD=θ

Calcule cot(θ)B

CD

A

a) 0,75 b) 1,25 c) 2,95 d) 3,45 e) 4,35

ResolviendoB

16º

16º

16º

CD

25

25

25θ7

7

A

Separamos el BCD

16º

D

C B

14

14cos16º

14sen16º

1444442444443

θ

25

Gráfico:

Cotθ = º

ºSen

Cos14 16

25 14 16-

Cotθ=( )

×

14257

25 142524

259825289-

=

∴ Cotθ = 2,95

Clave : C

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI30

www.trilce.edu.pe31



www.trilce.edu.pe31



BLOQUE I

1. En un triángulo rectángulo ABC(Bt=90º), se sabe que : AB = 3BC. Calcular : R Sen A TanC5

212= + .

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. En un triángulo rectángulo, la diferencia de la hipotenusa con uno de los catetos es la cuarta parte del otro cateto. Calcular el seno del menor ángulo agudo del triángulo.

a) 8/15 b) 15/17 c) 8/17 d) 3/5 e) 4/5

3. En un triángulo rectángulo ABC (Bt=90º), sim-plificar :

RCscC

SenACotC SenC= +

a) Sen2A b) Cos2A c) TanA d) CotA e) 1

4. En un triángulo rectángulo, el seno de uno de sus ángulos agudos es igual a 0,3t . Si el comple-mento de dicho ángulo es "θ". Calcular : R=9Sen2θ+ 2 Tanθ.

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16

5. De acuerdo al gráfico, calcular :R=2Cos2θ -

21Sen2θ

B

A

C

H2

3

θ

a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 2/3 e) 1/5

6. Del gráfico, calcular PQ.

A

DQ

P

O

10

10

7º

9º

B

C123

123

a) 5 b) 6 c) 3 d) 10 e) 12

7. Del gráfico, calcular : Tanθ.

A Dθ

16º

37º

BC

a) 2/9 b) 1/3 c) 4/9 d) 5/9 e) 2/3

8. Del gráfico, calcular Tanφ. Si : AO = AC y OM = 3MB.

A Bφ

C

O M

a) 0,2 3 b) 0,3 3 c) 0,4 3 d) 0,5 3 e) 0,6 3

9. Siendo : Sen2x Tanx Csc(x+10°)Cotx = 1 "x" es agudo. Calcular : R={Sen3x+Cos2(4x+5º)}Tan26x

a) 1 b) 2 c) 1/3 d) 3 e) 6

10. Sabiendo que "θ" es agudo; además, verifica que :

2Tanθ=( º º) º( º º) º

Sen Cos CscSen Cos Sec

5 20 2 70 203 10 80 80+

-

Calcular el valor de :

N=4Tan(52Cos2 θ +1)º+Tan2(135Tan2 θ)º

a) 3 b) 4 c) 5 d 8 e) 6

BLOQUE II

11. En un triángulo rectángulo ABC(Bt=90º) su área se expresa así :

61b2TanA.

Calcular : R=Csc2A+4Tan2C.

a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría

Quinto UNI30

www.trilce.edu.pe31



www.trilce.edu.pe31


12. Si ABCD es un cuadrado. Calcular : R=2Tanα+3Tanθ.

A

B C

P

D

α

θ

M

N

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

13. Si en el gráfico "I" es el incentro del triángulo ABC. Calcular: R=Cotα+Cotβ.

8 15I

A

B

Cα β

a) 17/2 b) 17/3 c) 17/4 d) 17/5 e) 17/6

14. Si "α" es un ángulo agudo, tal que :Cosα =

71 .

Calcular : R=Tan Cot

Tan Tan

22

26

α α

α α

-

+ .

a) 2 b) 4 c) 3 d) 6 e) 8

15. Si ABCD es un cuadrado. Calcular : N=2Cotβ - Cotα

A

B C53º

M

E

D

α β

a) 3/4 b) 3/2 c) 4/3 d) 2 e) 5/3

16. Del gráfico, calcular: R=tgα+ctgβ ; si: "M" y "N" son puntos medios de AE y ED, respectiva-mente.

E

N

49

A

B C

M

D

α β

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

17. Del gráfico, calcular : N=Tan30º(2Cotθ+3); si : 2BH = 3HO

A

BC

H53ºθ

O

D

a) 5 b) 6 c) 7 d) 2 2 e) 3

18. Sabiendo que :

a=Sen1º - Cos1º+Sen2º - Cos2º+Sen3º - Cos3º+ ... Sen89º - Cos89º

b=Sen21º+Sen22º+ Sen23º+...+ Sen288º+ Sen289º

c=Tan1ºTan2ºTan3ºTan4º...Tan88ºTan89º

Calcular: a+b+c

a) 44,5 b) 46,5 c) 48,5 d) 45,5 e) 43,5

19. Del gráfico, calcular "Senθ"; si : OD = 2DB = 2AC y AD = AE.

A

B

C

E

θ

O

D

a) 5/8 b) 5/12 c) 5/18 d) 5/24 e) 5/28

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI32

www.trilce.edu.pe33



www.trilce.edu.pe33


20. Del gráfico, calcular : Sen 2θ .

A

BC

E37º

θO

D

a) 0,25 b) 0,35 c) 0,45 d) 0,55 e) 0,65

21. Si los triángulos ABC, CDE y EFG son equiláte-ros, calcular:

TanyTanx , si:

AC= CE EG3 2

=

A

M N

G

F

x y

B

C E

D

a) 35/66 b) 65/77 c) 55/72 d) 13/11 e) 5/7

22. Siendo : Sec3a+Cos3a=Sen3b+Csc3b

Calcular:

K=Tan(a+b)Tan(2a+2b)Tan3aTan3b

a) 1 b) 3 c) 3 3

d) 33 e) 9

Tarea domiciliaria

1. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 3cm y 5cm. Si el menor ángulo agudo de dicho triángulo mide "θ", halle el valor de: W Sen17 12θ= - .

a) 1,5 b) 2,5 c) 3,5 d) 4,5 e) 5,5

2. En un triángulo ABC, recto en "C", se sabe:

SecBSecA

32=

Calcular: 13 (senA+senB)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3. En un triángulo rectángulo, el coseno de uno de sus ángulos agudos es 0,96. Si su hipotenusa mide 50m, hallar el perímetro de dicho triángu-lo.

a) 112 m b) 224 m c) 96 m d) 52 m e) 412 m

4. Del gráfico, calcule : Tanβ . Si: BN = 2AN

B45º β

C

A

M

N

a) 0,25 b) 0,5 c) 0,6 d) 0,8 e) 0,75

5. Calcular:

E = 4Sen20º (Csc20º + 2Sec70º)

a) 12 b) 10 c) 8 d) 6 e) 16

6. Si : Sen 3x . Cscy = 1 Tan(2x + 20º) = Ctg(y + 10º) Determine "y - x"

a) 12º b) 18º c) 20º d) 24º e) 32º

7. Si : Tgx . Tgy = 1 Determinar:

E=Sen . .x y Tan x y Sec x y2 3

23

+ + +c c cm m m

a) 36 b)

66 c) 1

d) 35 e)

62

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría

Quinto UNI32

www.trilce.edu.pe33



www.trilce.edu.pe33


8. Si en el gráfico : AB = BC. Calcule: Tanθ

B

53ºθCA

M

a) 92 b)

94 c)

32

d) 31 e)

52

9. Calcule el área de la región triangular ABC Donde: AC = 36m ; si, además:

CscA= 17 ∧ CscC= 26

a) 72m2 b) 144m2 c) 108m2 d) 18m2 e) 360m2

10. Calcule el valor de la expresión:

W=º º º ... º

º+ º+ º+... ºCsc Csc Csc Csc

Sec Sec Sec Sec10 20 30 80

10 20 30 80+ + + +

+

a) 1 b) 2 c) 2

d) 3 e) 3 2-

11. Hallar los ángulos agudos, tales que: Tan(3α - 35º) = Ctg(90º - β)

2β - α= 15º

a) 11º y 10º b) 15º y 13º c) 20º y 17º30' d) 35º y 25º e) 17º y 16º

12. Se tiene dos circunferencias tangentes exterior-mente con radios "R" y "r". Calcular el cuadra-do de la cotangente del ángulo formado por la recta tangente a ambas circunferencias y la recta que une los centros.

a) ( )R r

Rr42-

b) ( )R r

Rr42+

c) ( )R r

Rr22-

d) ( )R r

Rr22+

e) ( )R r

Rr2-

13. Del gráfico, obtener tagθ :

B

37º

θ

A

O

M

a) 34 b)

43 c)

45

d) 32 e)

54

14. Se tiene un triángulo rectángulo con catetos "a" y "b". Hallar su área en términos de "m" si:

a=t2+tSec3≠ +2Sen

6≠

b=t2 - tCsc6≠ +2Cos

3≠

t2=2mt Tan4≠` j - m2

a) m2 - 1 b) m2

12 2-c m

c) m2

12 2+c m d) ( )m2

12 2-

e) m2 + 1

15. En un triángulo isósceles ABC, el lado desigual tiene el doble de longitud que la altura relativa a dicho lado.

Calcular :

T=Sen2α + Tg

2α + Senβ - Ctgβ

Donde "α" es el ángulo desigual y "β" el ángulo igual.

a) 22 b) 2 c)

42

d) 2 2 e) 0

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI34

www.trilce.edu.pe35


Quinto UNI34

TRILCEColegios

Problemas resueltos

1. De la figura mostrada m∠ABC=90º, m∠ABD=α , AB=x, BC=p; BD=q. Calcule "x"

C A

B

D

a) cosp qsenpq

αα

- b)

cosq ppqsen

αα

-

c) cosq psenpq

αα

- d) cos

q psenpq

αα

+

e) cospsen q

pqα α-

Resolviendo

C

pq

xα

90º-α

A

B

D

S ABC=S CBD+S ABD

→ . .a

p xa

p q= sen(90º - α)+ .a

q x senα

px=pqcosα+qxsenα xcp - qsenα = pqcosα

⇒ x= cosp qsenpq

αα

-

Clave: A

2. De la figura BD DC= , halle ctgy

A B

C

D

xy

z

a) 2ctgz - ctgx b) 2ctgz+2tgx c) 2tgz - tgx d) 2tgz+tgx e) 2tgz+3tgx

Resolviendo

Del gráfico:

h

hcotx

h

2hcotz

x

x

y z

144424443

1442443hcoty

2hcotz = hcoty+hcotz ∴ coty=2cotz - cotx

Clave: A

3. Los triángulos ABC y ADC tienen un lado común

(AC). Si se sabe que BE=DE= AC2

, DC=m,

m∠DAC=α y m∠BCA=β; se le pide determinar

la distancia entre los puntos "B" y "D".

A E

D

B

C

a) m2

cscα sen(α+β) b) m2

cscα sen(α - β)

c) m cscα cos(α+β) d) m secα cos(α+β)

e) m cscα sen(α+β)

Resolviendo

A ER R

m

βα

ααββ

x DB

C

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría

Quinto UNI34

www.trilce.edu.pe35


ADC: cscmR2 α=

2R=mcscα

Separamos el BEP

E

RR

α+β α+βDB

xx/2 x/2

Tenemos: R

x2 =cos(α+β)

x=2Rcos(α+β)

x=m cscα cos(α+β)

Clave: C

4. En la figura mostrada BD=DC, m\BCD=α, m\BMD=β, determine tan(β) en términos de "α".

CA

Mβ

α

B

E

D

a) 2cot(α) - tan(α) b) 2tan(α)+cot(α) c) tan(α)+cot(α) d) 2tan(α) - cot(α) e) 2cot(α)+tan(α)

Resolviendo

CA H

M

2htanα hcotα hcotα

Sea:BE=2h

2hβ β

α

α

B

E

h

D

12312314243

ADH : tanβ= tan coth

h h2 α α+

∴ tanβ=2tanα+cotα

Clave : B

5. En la figura mostrada, "O" es el centro de la cir-cunferencia, m\BAC=2φ , m\DGF=θ , deter-mine:

E=1+cot(45º - φ) en función de "θ".

CA

B

E

D

O

G

F

a) tan(θ) b) 2tan(θ) c) cotθ d) 2cot θ e) 4tan(θ)

Resolviendo

C

A

B

F

r

E

rθ

2θr

rr

O

(45º- φ)

rcot(45º- φ)

(45º- φ)

tanθ= ( º )cotr

r r 45 φ+ -

∴ tan=1+cot(45º - φ)

Clave : Awww.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI36

www.trilce.edu.pe37



www.trilce.edu.pe37



BLOQUE I

1. En un triángulo isósceles, los ángulos congruen-tes miden "α" cada uno y el lado desigual mide "L". Hallar el área del triángulo.

a) L2Tanα b) L22

Tanα c) L42

Tanα

d) L22

Cotα e) L42

Cotα

2. En un cuadrado ABCD se trazaAE ("E" en CD ), tal que : ED = L ; EAD θ=t . Hallar el perímetro del trapecio ABCE.

a) L(2Cotα+Cscα - 1) b) L(3Cotα+Cscα - 1)c) L(3Cotα - Cscα+1)d) L(2Cotα+Cscα+1)e) L(3Cotα+Cscα+1)

3. En un triángulo rectángulo isósceles ABC(Bt=90°), se traza la ceviana CD ("D" en AB ), tal que : CD=m y DCBt = θ.

Halle el perímetro del triángulo ADC.

a) m{( 2 +1)Cosθ - Senθ+1}

b) m{( 2 - 1)Cosθ - Senθ+1}

c) m{( 2 +1)Senθ - Cosθ+1}

d) m{( 2 +1)Senθ+Cosθ - 1}

e) m{( 2 - 1)Senθ - Cosθ+1}

4. Si ABCD es un cuadrado. Calcular : Senθ.

B CE

θ

A D

2 1

a) 1309 b)

1307 c)

1303

d) 1305 e)

13011

5. Del gráfico, hallar "x".

B

CAD

2 545º

x

a) 1272 b) 5

72 c) 20

72

d) 1072 e) 15

72

6. En el gráfico, MNPQ es un cuadrado de lado 2. ¿Cuál es el radio del sector circular?

B

2θ

A

N

M

P

Q

a) Cot Cot4 52θ θ+ +

b) Cot Cot2 32+ +θ θ

c) Cot Cot2 52+ +θ θ

d) Cot Cot4 62+ +θ θ

e) Cot Cot3 62+ +θ θ

7. Del gráfico, hallar ED en función de "R" y "θ".

B

θ

A

D

CE

R RO

a) 2R Senθ Tanθ b) 2R Cosθ Cotθ c) R Senθ Tanθ d) R Cosθ Cotθ e) 2R Senθ Cosθ

8. Del gráfico, calcular el mínimo valor de : P=Tanα + Tanθ

B

θα

A CM N1 3 2

a) ,0 1 b) ,0 2 c) ,0 3 d) ,0 4 e) ,0 5

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría

Quinto UNI36

www.trilce.edu.pe37



www.trilce.edu.pe37


9. Del gráfico, hallar el perímetro de la región sombreada.

B

θ θθθA

D

C

E

F

R

P

QS

1

a) 3Senθ+Sen4θ b) 4Senθ+Sen4θc) 4Cosθ+Sen4θ d) 4Tanθ+Sen4θe) Senθ+3Cosθ+Sen4θ

10. Del gráfico, hallar el área de la región sombrea-da.

B

θθθA

D

C

E

1

a) Sen2θCosθ b) Sen3θCosθ

c) 21Sen3θCosθ d)

21Sen2θCosθ

e) 21SenθCos3θ

BLOQUE II

11. Del gráfico, halle : Tanθ.

Q

H

P

b

a

B

θA C

1

2

3

1

4

4

4

2

4

4

4

3

a) ba b)

ab c)

ba3

d) ab3 e)

a bab

2 2+

12. Del gráfico, calcular : N=CotαCotβCotθCotφ Si : CD = 2AB

OBDθβ

φ

α

AC

MN

a) 3 b) 10 c) 12 d) 15 e) 18

13. Si ABCD es un cuadrado. Hallar : N=Tanθ - Tanα.

B

D

F

G

θ

β

α

A

CE

a) Tan3β b) Cot3β c) Tan2β d) Cot2β e) Cotβ

14. Del gráfico, hallar : K=A2 - A1.

B

22

51

A1A2

Dθ

A C

E

a) 2Senθ b) 3Senθ c) 4Senθ d) 5Senθ e) 6Senθ

15. Del gráfico, hallar : SS21 . (AB = BC).

B

D

S2θθA C

S1

θ

a) Secθ b) 21Secθ c) Sec2θ

d) 21Sec2θ e) 2Sec2θ

www.

.com

Mat

emat

ica1


www.trilce.edu.pe39


Quinto UNI38

www.trilce.edu.pe39


16. Del gráfico, calcular el mínimo valor de: P=Cotα+Cotβ ; si se sabe que :

MN = 2MQ.

PQ

M NS

α βA

B

C

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

17. Según lo mostrado en la figura, calcular el área de la región sombreada.

A

BP

Q

O14º

10º

C

D2

a) Tan33º - 21Sen66º

b) 2Tan33º - Sen66º

c) 2 Tan33º - Sen66º

d) 2 Tan33º - 21Sen66º

e) 2 2 Tan33º - Sen66º

18. Del gráfico, hallar : J=( )S

S S

22

1 3

B

E

D

S2

S3θθ

θ

A

C

S1

a) Senθ(Cotθ+Tan3θ)

b) Cosθ(Cotθ+Tan3θ)

c) SenθCosθ(Cotθ+Tan3θ)

d) 21SenθCosθ(Cotθ+Tan3θ)

e) 2SenθCosθ(Cotθ+Tan3θ)

19. Si ABCD es un cuadrado y BE = ED. Calcular : J=(Cotφ - 1)(Tanα+1).

A

B Cα - 45º

D

M

E

φ

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

20. En el paralelepípedo mostrado : BC=3AB. Calcular : J=TanφTanβ. Si : ABEt y 'ED Dt son complementarios.

A

A'

B

B'

C

C'

D

D'

E

φβ

a) 2 b) 3 c) 6 d) 3 3 e) 2 3

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría


www.trilce.edu.pe39


Quinto UNI38

www.trilce.edu.pe39


Tarea domiciliaria

1. Del gráfico, determine "x".

m

xθ

a) m.Senθ b) m.Cosθ c) m.Secθ d) m.Cscθ e) m.Tanθ

2. Determinar CD .

m

B

A

DC

θα

a) mTanα.Senθ b) mCtgα.Cosθ c) mTanα.Cosθ d) mTanα.Cscθ e) mCtgα.Senθ


m

45º

xα

a) Tan

m1α -

b) Ctg

m1α -

c) Ctgm

1 α- d)

Tanm

1 α-

e) m(1+Tanα)

4. Determine "x" en :

xmα

θ

a) m.Senθ.Senα b) m.Senθ.Cosα c) m.Senθ.Secα d) m.Cosθ.Secα e) m.Cosθ.Senα

5. Determine "x" en :m

x

θ

a) m.Sec2θ b) m.Cos2θ c) m.Sec2θ d) m.Csc2θ e) m.Secθ.Cscθ

6. Si ABCD es un cuadrado, determine "x".

x

B

A

D

L

Cα

a) L.Sen2α b) L.Cos2αc) L.(Senα+Cosα) d) L.Sen2α.Cosαe) L.Senα.Cos2α


x

θ

θ

m

a) m.(Sec2θ - 1) b) m.(Csc2θ - 1)c) m.(Tan2θ - 1) d) m.(Ctg2θ - 1)e) m.(Tan2θ - Ctg2θ)

8. Del gráfico, hallar "x", si ABCD es un cuadra-do.

x

BA

n

D C

θ

a) nSenθ b) nCosθ c) nTanθCscθ d) nCscθ e) nCtgθ

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI40

www.trilce.edu.pe41


9. Del gráfico, hallar : ED

BA D

C

mE

θ

θ

a) mCtgθ b) mSecθ c) mSec2θ d) mCtg2θ e) mTan2θ

10. En el gráfico, hallar MP, en términos de "α" y "θ"; "a" y "b".

P

N

M

R

b

a

θ

α

a) (a+b.Cosθ).Secαb) (a+b.Cosθ).Cscαc) (a+b.Tanθ).Ctgαd) (a - b.Secsθ).Secαe) (a+b.Senθ).Cscα

11. En un triángulo BAC, recto en "A", la mediana BM y el cateto AC forman un ángulo agudo "x". Luego, Tanx es igual a :

a) 2TanC b) TanB + TanC c) 2TanB d) TanC + CtgCe) e) 2(TanC + TanB)

12. En la figura, el área del triángulo ACD es igual al área del triángulo ABC.

El valor de "α" será :

BA

D

C

α

α

a) ArcTan21c m b) ArcCtg

21c m

c) ArcTan 21

c m d) ArcCtg 21

c m

e) ArcTan 2

13. En la región limitada por una circunferencia de radio "R" y dos tangentes a esta, se quiere ins-cribir otra circunferencia (de radio menor que "R"). Si las tangentes se intersectan en un ángu-lo de 2a radianes, ¿a qué distancia de la inter-sección de estas, debe encontrarse el centro de la circunferencia inscrita?

a) Sena

RSenaSena

11

-+c m

b) Sena

RSenaSena

11+-c m

c) R

Sena Sena1 -^ h

d) Sena

R Sena1 +^ h

e) Sena

R Sena1 -^ h

14. En la figura, expresar OB y BC, en términos de "x", "y", "θ".

B

AO

OA=x

AC=y

C

θ

a) OB=xCosθ+ySenθ BC= xSenθ+yCosθ

b) OB=xCosθ - ySenθ BC= ySenθ+xCosθ

c) OB=xCosθ+ySenθ BC= ySenθ - xCosθ

d) OB=xCosθ+ySenθ BC= yCosθ - xSenθ

e) OB=xCosθ - ySenθ BC= xSenθ - yCosθ

15. De la figura, hallar :

F=CtgxTanyTanzTanz Tany6 3-

k

kyxz

a) 3,15 b) 2,35 c) 4,30 d) 3,00 e) 3,20

www.

.com

Mat

emat

ica1

www.trilce.edu.pe41


www.trilce.edu.pe41


1. Hallar el equivalente de 54º en el sistema cen-tesimal.

a) 50g b) 60g c) 70g d) 40 e) 30g

2. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo miden (5n + 6)º y (10n)g. Hallar la medida del menor ángulo en radianes.

a) 3≠ b)

4≠ c)

5≠

d) 6≠ e)

8≠

3. Si se sabe que : xº < > (x+2)g

Hallar el valor de (2x)

a) 18 b) 30 c) 36 d) 46 e) 54

4. Hallar :

P=C SC S 6

-+ +

S : Número de grados sexagesimales C : Número de grados centesimales

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 25

5. Los ángulos de un triángulo son : (y+20)º;

(10y) g ; y6≠` jRad . Hallar el mayor ángulo.

a) 90º b) 120º c) 135º d) 140º e) 150º

6. Se sabe que : 24≠ Rad<>xºy'

Hallar : C = y - x

a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25

7 Sabiendo que 25 grados "N" equivale a 36 gra-dos sexagesimales. ¿A cuántos radianes equiva-len 5 grados "N"?

a) 2 b) 2≠ c) π

d) 4≠ e)

25≠

8. Se sabe que : 2S + 3C = 80 Calcular el ángulo en grados sexagesimales.

Dar como respuesta solo el número.

a) 15 b) 21 c) 18 d) 36 e) 10

9. Dada la siguiente figura, calcular "y" .

C O A

B

(27y)ºy

1045 99-c m

º

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

10. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles ABC de catetos 1m (ángulo recto en "B"). Por "B" se traza una perpendicular a AC, por "D" una perpendicular a BC, por "E" una perpendicular a AC, por "F" una perpendicular a BC y así su-cesivamente. Calcular el límite de la suma :

BD + DE + EF + FG + ...

A B

E

G

C

F

D

a) 1+ 2 b) 2 - 1 c) 2+ 2 d) 2 - 2 e) 2+2 2

Problemas

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI42

www.trilce.edu.pe43


Quinto UNI42

www.trilce.edu.pe43


11. En la siguiente figura, hallar (x + y) si :

AB = 3 y AC=1627

A

y

xθ θ

θθ

θ

B

C

a) 5,14 b) 5,19 c) 5,29 d) 4,19 e) 3,19

12. Si : f(n)= .Csc

nTan

nCos

n3 22

1≠ ≠ ≠+ +

+

Calcular : f(2)

a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 0

13. En la figura, calcular el valor de "x", si se cum-ple la siguiente condición :

Tan(30º - θ ) - Ctg(30º+3θ)=0

x

θ

θ20m

a) 10 2 m b) 10 m c) 5 3 m d) 5 m e) 10 3 m

14. En la figura mostrada, son conocidos : "α", "θ" y "h". Entonces los valores de "x" e "y" son dados por:

θα

h

y

x

a) x=Tan Tan

h2

θ α- ; y=

Tan Tanh Tan2

θ αα

-

b) x=Tan Tan

hθ α-

; y=Tan Tan

hTanθ α

α-

c) x=Tan Tan

h2

2

θ α- ; y=

Tan Tanh Tan

2 2

2 2

θ αα

-

d) x=( )Tan Tan

h2

2

θ α- ; y=

( )Tan Tanh Tan

2

2 2

θ αα

-

e) x=hTanαTanθ ; y= h2TanαTanθ

15. El perímetro de un triángulo rectángulo es de 338m. La tangente de uno de los ángulos agu-dos es 2,4. ¿Cuánto mide el cateto menor?

a) 13 m b) 33,8 m c) 50 m d) 56,33 m e) 55 m

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI42

www.trilce.edu.pe43


Quinto UNI42

www.trilce.edu.pe43


1. Desde el pie de un poste, se observa la parte más alta de un campanario con ángulo de 45º; si desde la parte superior del poste, que tiene 9m de altura, el ángulo de elevación es altura de 30º, ¿cuál es la altura del campanario?

a) 2

9 3 b) 1 27 3+

c) 2

5 3

d) 3 19 3

+ e)

3 19 3

-

Resolviendo

144424443

14243

30º

h

45º

B

C

QP

9 9

h 3

h 3

campanario

PCQ : h=h 3 +9 ⇒ h3 19=-

Altura del campanario= h+9

= 3 19 9-

+

Altura de campanario=3 1

9 3-

Clave: E

2. Un hombre mide 1,70m de estatura y observa su sombra a las 4 de la tarde. Asumiendo que amanece a las 6.00 am y que el sol hace un semicírculo sobre el hombre, ¿cuánto mide su sombra?

a) 1,54 m b) 1,67m c) 2,00m d) 2,55m e) 2,94m

Resolviendo

2pm12m

4pm

6pm

144424443

14243

1.70

x

30º

30º 6am

Longitud de la sombra: x

Tenemos: ,x

1 70=cot30º= 3 =1,73

∴ x=2,94

Clave: E.

3. Una torre de 15m de altura está en el borde de un acantilado. Desde un punto del plano hori-zontal que pasa por la base del acantilado, las elevaciones angulares de las partes superior e inferior de la torre, se observa que son "α" y "β", siendo tgα=1,26 y tgβ=1,185. Hállese la altura del acantilado.

a) 227m b) 237m c) 247m d) 257m e) 273m

Resolviendo

14243

α β

H

QP

M

T

15m

Problemas resueltos

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI44

www.trilce.edu.pe45


PTQ : PQ=(15+H)cot

PMQ : PQ=(15+H)cot ⇒ (15+H)cotα=Hcotβ

,

( ),

H H1 26

151 185

+ =

Despejando: H=237m

Clave: B

4. Una persona parte de un cierto punto dirigién-dose 40km en la dirección N(53º) O, luego cam-bia de dirección y se dirige hacia al Sur Oeste, recorriendo esta vez 40 2 km. Finalmente, se dirige 60 km hacia el Este donde sufre un des-mayo. ¿A qué distancia (en km) se encuentra la persona respecto a su punto de partida?

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20 e) 24

Resolviendo

40 o

o40 40

s

d40 2

E

45º

53º

24

16

32

601442443

123

123

12

N

N

En el sombreado: d=20

Clave: D

5. Una persona se dirige en la dirección N15º E y luego de caminar cierta distancia toma la direc-ción S75º E. Si en total recorrió 50 6 km y el punto de llegada está justo al Este del punto de partida, halle la distancia (en km) entre dichos puntos.

a) 50 b) 75 c) 100 d) 150 e) 200

Resolviendo

d=4a

E

E

75º

75º15º

S

1444442444443

a6 2+6 @a6 2-6 @

Por condición:

6 2 a6 2 50 6+ + - =^ ^h h1 2 3444444 444444

a2 6 50 6= ⇒ a= 25

Luego, la distancia pedida es:

d = 4a ⇒ d=100m

Clave: C


ÁNGULOS VERTICALES

BLOQUE I

1. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un edificio de altura "h", con un ángulo de eleva-ción "θ". Si nos acercamos una distancia "d" el ángulo de elevación es "90º - θ". Hallar "d".

a) hSenθCosθCos2θb) hSecθCscθCos2θc) hCotθCosθd) hSenθSen2θe) hTanθCos2θ

2. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un pos-te con un ángulo de elevación "α" ; (Tanα=1/6)y si nos acercamos 30m el ángulo de elevación es de 45°. ¿Cuál es la altura del poste?

a) 5 m b) 6 m c) 4 m d) 8 m e) 12 m

3. Un niño de estatura "h" ve los ojos y pies de su padre, que tiene estatura "H", con ángulos de elevación y depresión "α" y "β", respectivamen-te. Hallar: H/h.

a) 1+TanαTan βb) 1+CotαCotβc) 1+TanβCotα d) TanαCotβe) 1+TanαCotβ

4. Desde lo alto de una antena de 4m de longitud, se ve un objeto en el suelo con un ángulo de depre-sión "2β", notándose que la visual trazada mide 40m. Si desde lo alto del edificio en que se en-cuentra la antena, se observa el mismo objeto con un ángulo de depresión "β"; calcular: Tanβ.

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría

Quinto UNI44

www.trilce.edu.pe45


a) 0,1 b) 0,2 c) 0,01 d) 0,02 e) 0,4

5. Desde lo alto de un edificio se ven, a un mismo lado, dos objetos "A" y "B" en tierra, con án-gulos de depresión "α" y "β", respectivamente. (α<β). Si también se ve el punto medio "M" entre "A" y "B" con un ángulo de depresión de 45°, calcular: P=Cotα+Cotβ

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

6. Desde un punto en tierra se divisa lo alto del octavo piso de un edificio con un ángulo de ele-vación "α"; mientras que la parte baja del quin-to piso es divisada con un ángulo de elevación "90º - α". Calcular: Tanα.

a) 2 b) 1/2 c) 2

d) 22 e)

42

7. En lo alto de un árbol de 15m de altura se en-cuentra una paloma y en su base un niño. La pa-loma desciende siguiendo una trayectoria similar a la de un cuarto de circunferencia, con centro en la base del árbol, siendo vista por el niño con un ángulo de elevación de 53° primero, y des-pués con un ángulo de elevación de 37°. ¿Cuál es la diferencia de alturas a las que se encontró la paloma, al hacerse las observaciones?

a) 1 m b) 2 m c) 3 m d) 4 m e) 6 m

8. Desde dos puntos en tierra "A" y "B", ubicados a un mismo lado de una torre, se ve su parte más alta con ángulos de elevación " α" y "90 - α", respec-tivamente. Si la distancia AB es cuatro veces la altura de la torre. Calcular: K=Cot2α+Tan2αa) 8 b) 12 c) 16 d) 18 e) 20

9. En el gráfico mostrado, calcular "Tanφ", si la dis-tancia AB es mínima; además, desde "A" y "B" los ángulos de elevación para "P" y "Q" son, respectivamente, complementarios.

A S B

Ph

3h

Q

φ

123

123

a) 31 b)

32 c) 3

d) 2 3 e) 3 3

10. Desde tres puntos en tierra colineales "A", "B" y "C" se divisa lo alto de una torre PQ ("Q" en el suelo), con ángulos de elevación de 37°, θ y 45°, respectivamente. Si : AB = BC y AQCt =90º.

Calcular: "Tanθ"

a) 1 b) 1,1 c) 1,2 d) 1,3 e) 1,4

BLOQUE II

11. Un niño de estatura "h" ve la parte superior e inferior de una torre con ángulos de elevación y depresión iguales a "α" y "β", respectivamente. Se acerca una cierta distancia y los ángulos de elevación y depresión para los mismos puntos son "θ" y "φ", respectivamente. Calcular :

C=TanαTanφ - TanβTanθ

a) 1 b) 2 c) 4 d) 1/2 e) 0

12. Se tiene un poste inclinado con un ángulo agu-do "θ" respecto a la horizontal, y dos puntos "A" y "B" ubicados uno a cada lado del poste ("B" ubicado al lado hacia el cual se inclina el poste) a distancias de su base iguales a "d" y "3d", res-pectivamente. Desde "A" se ve lo alto del poste con un ángulo de elevación y desde "B" se ve el punto medio del poste con un ángulo de ele-vación "β". Calcular el valor de:

N=Cot CotCot Cot

α θβ θ

-+

a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15

13. Desde un punto en tierra se ve lo alto de cada piso de un edificio, que tiene una cantidad par de pisos, verificándose que la suma de las tan-gentes de los ángulos de elevación para los pisos impares es igual a 22/23 veces la suma de las tangentes de los ángulos de elevación para los pisos pares. ¿Cuántos pisos tiene el edificio?

a) 22 b) 24 c) 44 d) 48 e) 46

14. Un móvil se desplaza hacia una torre con una velocidad de 4m/min, y en un primer momento observa su parte más alta con un ángulo de ele-vación de 37°. Si la torre mide 192 m, ¿después de qué tiempo el ángulo de elevación tiene como tangente 8?

a) 29min b) 48min c) 1h 12min d) 1h 18min e) 58min

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI46

www.trilce.edu.pe47


15. Se tiene una torre en el borde de un acantila-do, cuyas partes alta y baja son vistas desde un punto de la superficie horizontal con án-gulos de elevación "α" y "β", respectivamente (3Tanα =4Tan θ). Si la altura del acantilado es de 212,31 m, ¿cuál es la altura de la torre?

a) 141,54m b) 28,308m c) 159,2325m d) 70,77m e) 35,385m

16. Se tiene un camino inclinado con un ángulo agudo "θ" respecto a la horizontal, y en la su-perficie horizontal a una distancia "d" del ini-cio del camino inclinado se encuentra una torre vertical de altura "H". Desde un punto del ca-mino inclinado, ubicado a una altura "h" del suelo, se ve la parte alta y baja de la torre con ángulos de elevación y depresión "α" y "β", res-pectivamente. Hallar "H".

a) (d+hCotθ)(Cotα+Cotβ) b) (d+hCotθ)(Tanα+Tanβ) c) (d+hCotθ)(Tanα+Cotβ) d) (d+hCotθ)(Cotα+Tanβ) e) (d+hCotθ)(Tanα - Cotβ)

17. Se tiene un camino inclinado con un ángulo agudo "θ" respecto a la horizontal; y subiendo por él, se divisa un poste vertical de altura "h" con un ángulo de elevación "2θ" a una distan-cia "d" de su base. Hallar :

N=Cscθ - 2Senθ.

a) dh b)

hd c)

dh 1+

d) hd 1+ e)

hd 1-

18. Una antena cuya altura es la cuarta parte de la casa en la que se encuentra, es vista desde un punto en tierra bajo un ángulo "θ" . ¿Cuál es el mínimo valor de "Cotθ" ?

a) 5 b) 2 5 c) 4 5 d) 5 5 e) 6 5

19. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación "α"; si nos acercamos una distancia "x" el ángulo de eleva-ción es "β" y si nos volvemos a acercar, ahora una distancia "y", el ángulo de elevación sería "θ". Hallar : x/y; si : θ+α=2β.

a) SenSen

αθ b)

SenSen

θα c)

CosCos

θα

d) CosCos

αθ e)

SenSen Sen

2βα θ

20. Desde lo alto de un edificio se ven tres puntos en tierra, a un mismo lado, con ángulos de de-presión "α", 45° y "90º - α" (α<45º). Si el pun-to intermedio dista del más alejado, el doble del más cercano.

Calcular: N=6Tanα+Cot2α

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

ÁNGULOS HORIZONTALES

BLOQUE I

1. ¿Cuál es la dirección bisectriz del menor ángulo formado por las direcciones N20ºE y S80ºO?a) N10ºO b) N20ºO c) N30ºO d) N40ºO e) N50ºO

2. ¿Cuál es la dirección bisectriz del menor ángulo formado por las direcciones NO y ENE?

a) N41 NE b) N7º25'E c) N12º15'E

d) NE41 N e) N8º15'E

3. Andrea sale de su casa y recorre 100 m al N37ºE, luego 40 m al Este y finalmente 155 m al Sur. ¿A qué distancia de su casa se encuentra?

a) 120 m b) 125 m c) 130 m d) 100 m e) 150 m

4. Desde una ciudad "A" se divisan a otras dos "B" y "C" en las direcciones O80ºN y E40ºN, respectivamente; además, desde "B" se divisa a "C" al E50ºS a una distancia de 173 km. ¿Cuál es la distancia entre "A" y "B"?

a) 100 km b) 200 km c) 150 km d) 273 km e) 300 km

5. Un móvil recorre una distancia "L" en la direc-ción N α E (α<45º), luego una distancia "L" al E α S y finalmente una distancia al S α O has-ta ubicarse al Este de su punto de partida. ¿A qué distancia se encuentra?

a) LSenα b) LCosα c) LCotα d) LSecα e) LCscα

6. Desde un punto "P" se divisan a otros tres "A", "B" y "C" en las direcciones N θ E, OθN y SθE a distancias: "a", "b" y "c", respectivamente. El área del triángulo ABC es igual a ab

23 .

Hallar: J=b1 Sen2θ+

a1Cos2θ.

a)c1 b)

c2 c)

c3

d) c21 e)

c23

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría

Quinto UNI46

www.trilce.edu.pe47


7. Tres móviles salen de un punto "P" al Norte, Este y SE con velocidades de 2; 3 y 4km/h, res-pectivamente. Después de un cierto tiempo desde el tercero se ve a los dos primeros en las direcciones N α O y O β N, respectivamente. Calcular: N=

CotCot

11

βα

--

a) 1/3 b) 3/2 c) 2/3 d) 4/3 e) 3/4

8. Un maratonista sale de su punto de partida y re-corre 300 m al N37ºE, luego 100 2 m al NE y finalmente 250m al S16ºO, hasta ubicarse al

E θ N de su punto de partida. Calcular: "Cotθ".

a) 2,1 b) 2,2 c) 2,3 d) 1,75 e) 1,95

9. Desde dos puntos ubicados al Sur y al Oeste de una torre de 24 m de altura, se ve su parte más alta con ángulos de elevación de 45º y 37º, respectivamente. ¿Cuál es la distancia entre los puntos de observación?

a) 32 m b) 36 m c) 56 m d) 48 m e) 40 m

10. Una persona está al Sur de un poste y nota que su sombra es el triple de su altura, pero si se des-plaza 6 13m, hasta ubicarse al Este del poste, nota que su sombra es el doble de su altura. Si esta persona mide 2 m, ¿cuál es la altura del pos-te?

a) 6 m b) 7 m c) 8 m d) 12 m e) 14 m

BLOQUE II

11. Desde un puerto se divisa un barco entrando a la bahía al N α E (α<45º) a una distancia "L". Si el barco se desplaza al S θ E, después de qué tiempo el barco será observado al E α N desde el puerto, si su velocidad es "V".

a) ( )VCos

LCos2θ αα-

b) ( )VCos

LCos2θ αα+

c) ( )VCos

LSen2θ αα+

d) ( )VCos

LSen2θ αα-

e) ( )VCos

LCos2θ αθ-

12. Desde un puerto salen tres embarcaciones en di-recciones N10ºE, E40ºN y E50ºS con velocidades "V1", "V2" y "V3", respectivamente, verificándose que al cabo de un cierto tiempo las tres están per-fectamente alineadas. Señale el equivalente de :

N=V V3 12 3

-

a) V11 b)

V21 c)

V231

d) V31

e) V21

1

13. Un maratonista sale de un punto "P" ubicado al Este de un estrado y se desplaza hacia al Nor-te. Desde el estrado lo ven al E φ N y luego al E(φ+θ)N, notándose que las distancias recorri-das para la primera y segunda observación son iguales. Calcular el mínimo valor de "Cotθ".

a) 2 b) 2 2 c) 22

d) 3 2 e) 4 2

14. Tres personas salen de un mismo punto en las direcciones NαO,OαS y SE con velocidades pro-porcionales a los números 1; 1 y 2 , respecti-vamente. Al cabo de un cierto tiempo desde la tercera se divisa a la primera en la dirección NxO y a la segunda al OyN. Señale el equivalente de:

K= CotxCoty

a) Cos α+1 b) Cot α +1 c) Sec α +1 d) Tan α +1 e) Csc α +1

15. María Luz observa a Karen, Luis y María Fernan-da en las direcciones N20ºE, N50ºE y E10ºN a distancias: "x", "y", "z", respectivamente. Si Ma-ría Fernanda observa a Luis en la dirección NαO, mientras que Karen lo divisa al SαE. Determine el valor de la siguiente expresión :

J=

y

x z1

1 1+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 23 e) 3

16. Desde lo alto de una torre se divisan tres obje-tos "A", "B" y "C" al Oeste, Sur y Este con ángu-los de depresión "α", "β" y "θ", respectivamen-te. Desde "B" se divisa a "A" y "C" al N20ºO y N70ºE.

Calcular : H=Tan Tan

Tan2

α θβ

a) 1 b) 2 c) 2

d) 3 e) 22

17. Se tienen dos torres idénticas, una al Este de la otra, separados una distancia igual al triple de sus alturas; además, desde sus partes altas se divisa un objeto en el suelo en las direcciones EθS y SθO con ángulos de depresión "α" y "90º - α", respectivamente.

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI48

www.trilce.edu.pe49


Tarea domiciliaria

1. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un pos-

te con un ángulo de elevación "α" (Tanα=61 ), y

si nos acercamos 30m el ángulo de elevación es

de 45º. ¿Cuál es la altura del poste?

a) 5 m b) 6 m c) 4 m d) 8 m e) 12 m

2. Un móvil se desplaza hacia una torre con una velocidad de 4 m/min, y en un primer momen-to observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 37º. Si la torre mide 192 m, ¿des-pués de qué tiempo el ángulo de elevación tie-ne como tangente 8?

a) 29 min b) 48 min c) 1h 12 min d) 1h 18 min e) 58 min

3. Desde lo alto de un acantilado de altura "H", se divisan dos embarcaciones a un mismo lado, con ángulos de depresión "α" y "β" (α>β) . Ha-lle la distancia que separa a las embarcaciones.

a) H(Tanα - Tanβ) b) H(Cotβ - Cotα)

c) Tan Tan

Hα β-

d) Cot Cot

Hβ α-

e) Cot Cot

Hα β+

4. Subiendo por un camino inclinado, un ángulo "θ" respecto a la horizontal, se observa lo alto de una torre con un ángulo de elevación "2θ", veri-ficándose que la torre mide 3m y la visual 7m. ¿Cuál es el valor de "Tanθ"?

a) 73 b)

76 c)

143

d) 74 e)

72

5. Un niño observa los ojos de su padre con un ángulo de elevación "α", y su padre observa sus pies con un ángulo de depresión "90º - α". Obtener la relación entre sus alturas.

a) 1+Tan2α b) 1 - Tan2αc) 1 - Cot2α d) 1 + Cot2αe) Tan2α - 1

6. Se tiene una torre en el borde de un acanti-lado cuyas partes alta y baja son vistas desde un punto de la superficie horizontal con án-gulos de elevación "α" y "θ", respectivamente (3Tanα=4Tanθ). La altura del acantilado es de 212,31 m.

¿Cuál es la altura de la torre?

a) 141,54 m b) 28,308 m c) 159,2325 m d) 70,77 m e) 35,385 m

Calcular : N=Tanα+Cotα

a) 7 c) 3 c) 2 3 d) 6 e) 11

18. Un avión viaja de Este a Oeste a una altura cons-tante y a velocidad constante, siendo observado desde el suelo al Norte con un ángulo de eleva-ción de 45º. Después de un cierto tiempo lo ven, desde el mismo punto, al E37ºN con un ángulo de elevación "α" y después de un tiempo igual al anterior, el ángulo de elevación es "β".

Calcular : N= Cot2β - Cot2α.

a) 3 b) 15/4 c) 17/6 d) 16/3 e) 19/6

19. Desde el centro de una pista circular se obser-van dos torres de altura "h" y "H" en su borde, en las direcciones NαE y OβN con ángulos de elevación "θ" y "90º - θ", respectivamente. Ha-llar "Tanθ".

a) Hh b)

hH c)

Hh

d) hH e)

hH h+

20. Desde lo alto de un muro de 3 m de altura se ve lo alto de una torre de 5 m de altura con un án-gulo de elevación "θ" al E10ºN; y lo alto de un árbol de 2m de altura al E50ºS con un ángulo de depresión "β" . Si desde lo alto de la torre se ve lo alto del árbol al S20ºO con un ángulo de depresión "α", calcular :

N=Tan

Tan Tanθ

α β+

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría

Quinto UNI48

www.trilce.edu.pe49


7. El ángulo de elevación de la cúspide de una to-rre es de 60º a 72 metros de ella. Estando el ojo del observador a 3 metros sobre el suelo, la altura de la torre es, aproximadamente:

a) 72 m b) 73 3 m c) 71 m d) 73 m e) 72 3 m

8. De la figura, hallar : Tgα3a

a

α

a) 2 b) 32 c) 2 2

d) 4≠ e)

42

9. "A" y "B" son ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Simplificar:

R=CscBSenA

SecACosB+; E.CscB.CscA

a) 6 b) 3 c) 2 d) 8 e) 5

10. Dos lanchas parten a las 08.00 hrs en forma si-multánea de un mismo punto, con velocidades de 8 km/h y 6 km/h con direcciones N25ºE y E25ºS. A las 10.00 hrs, ¿cuál será la distancia que los separa?

a) 10 km b) 20 c) 5 d) 15 e) 30

11. Si una hormiga se encuentra en el centro del piso de una habitación de forma cúbica y ob-serva a una de las esquinas del techo con un ángulo de elevación de medida x rad, entonces el valor de tgx es:

a) 2sen45º b) 2cos15º c) 2tg15º d)

21 sen15º e)

21cos15º

12. Un barco se desplaza 40 km siguiendo la direc-ción N30ºE con respecto a un puerto, luego se desplaza 20 km según el rumbo N30ºO. Cal-cule (en km) la distancia del puerto a la nueva ubicación

a) 20 7 b) 10 3 c) 10 7 d) 15 7 e) 25 7

13. Un móvil recorre 150 m en dirección E15ºN, luego cambia de dirección al N60ºO, hasta ubi-carse al norte de su punto de partida. Calcule (en m) la distancia entre su punto de partida has-ta su punto de llegada.

a) 40 6 b) 50 6 c) 40 3 d) 50 3 e) 60 6

14. Dos embarcaciones parten a las 08:00 hrs en forma simultánea de un mismo punto, con velo-cidades de 7 km/h y 8km/h y con rumbos SO y S75ºE, respectivamente. ¿A qué hora su distan-cia será de 32,5 km?

a) 9 hrs 30 min b) 10: 00 hrs c) 10 hrs 30 min d) 11:00 hrs e) 11 hrs 30 min

15. Calcule la altura de un edificio que proyecta una sombra de 56 m a la misma hora que un ár-bol de 21 m de altura que proyecta una sombra de 24 m.

a) 41 m b) 48 m c) 49 m d) 56 m e) 64 m www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI50

www.trilce.edu.pe51


Quinto UNI50

www.trilce.edu.pe51



BLOQUE I

1. Si los puntos P(a; b) y Q(c; d) están ubicados en el IIC y IIIC, respectivamente; mientras que S(e; f) está ubicado en el eje de abscisas. Señale verda-dero (V) o falso (F), según corresponda en:I. ac > bd II. bd > cf III. ec > df

a) VVF b) VVV c) VFV d) FFV e) VFF

2. Si la distancia entre P(3; a) y Q(7; 2) es igual a 5u, ¿cuál es la distancia entre: A(a+1; a-1) y B(a; 2)?

a) 13 b) 5 c) 17 d) a y b son respuesta.e) b y c son respuesta.

3. Los vértices de un triángulo son: A(-1; 1), B(3; 4) y C(8; -8). ¿Cuál es su perímetro?

a) 30,73 u b) 32,72 u c) 30,28 u d) 28,26 u e) 40,20 u

4. Los vértices consecutivos de un hexágono regu-lar son: "A(1; 7)", "B", "C(4; -2)", "D", "E" y "F".

¿Cuál es el área del hexágono?

a) 45 3 u2 b) 30 3 u2 c) 15 3 u2 d) 24 3 u2 e) 90 3 u2

5. Se traza un segmento desde A(1;2) hasta B(3; 5); prolongándolo hasta C(xo ; yo) de modo que: BC=3AB. Calcular el valor de : 2xo - yo.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6. En el gráfico : BD DC5 3

= .

Calcular : K=yo - xo.

A(-2;3)

P(xo;yo)

C(4;6)7S

S

B

D

a) 1 b) -1 c) -2 d) 3 e) 2

7. Si los vértices de un triángulo son :A(1; 1), B(-3; 7) y C(7; -1)

¿Cuánto mide la mayor de las medianas de di-cho triángulo?

a) 89 b) 9 2 c) 7 2 d) 73 e) 87

8. Si los vértices consecutivos de un paralelogra-mo son : A(-1; 5), B(3; 7), C(4; 1) y D(xo; yo)

Calcular : k=x y02

02+ .

a) 3 b) 2 c) 1 d) 5 e) 10

9. Los vértices de un triángulo son: A(-1; 2), B(4; 7); y C(x9 ; y0) mientras que su baricentro es: G(5; 1).

Calcular : k=x0+ y0.

a) 9 b) 6 c) 12 d) 10 e) 8

10. Si los vértices de un triángulo son : A(1; 1), B(3; 5) y C(9; -3). Calcular la longitud de

la altura relativa al lado BC.

a) 2,8 u b) 3,6 u c) 4 u d) 3,2 u e) 3 u

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría

Quinto UNI50

www.trilce.edu.pe51


Quinto UNI50

www.trilce.edu.pe51


BLOQUE II

11. Desde el punto P(x; 0) se divisa al segmento de ex-tremos A(-1; 3) y B(7; 1) bajo un ángulo de 90°.

¿Cuál es la suma de valores que toma "x"?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

12. En un triángulo ABC, se sabe que : A(7; 1) y C(-1; 5). Calcular la longitud de la mediana AM , si ade-

más : MABt =47º y MACt =86º.

a) 10 b) 5 c) 2 10 d) 2 5 e) 4 5

13. En un triángulo ABC, se sabe que: A(1; 4), B(5; 5) y C(7; 1); se traza la mediana AM. En el triángulo ABM, se traza la mediana BQ y luego se ubica "E" en AC de modo que: ME//BQ. Calcular ME.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 e) 3

14. El triángulo ABC es equilátero. Calcular: K = PE + PF - PQ.

B(3;5)

A(-1;1)

P

E

FCQ

a) 6 b) 2 6 c) 3 d) 2 3 e) 3 2

15. Del gráfico, calcular la longitud de BP.

A(1;1)

B(3;3)

α α

C(7;-1)P

a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 e) 2 2

16. Los vértices de un triángulo son: A(-1; 1), B(3; 4) y C(8;-8). Calcular la longitud de su inradio.

a) 2,05 b) 1,75 c) 2,21 d) 2,16 e) 1,96

17. Del gráfico, calcular el área de la región som-breada.

A(4;9)

B(8;12)

x

C

y

x

a) 20u2 b) 22u2 c) 24u2 d) 23u2 e) 25u2

18. En una circunferencia de centro C(1; 1) y radio 3, halle la suma de coordenadas de un punto de ella, cuya distancia al punto P(9; 7) sea míni-ma.

a) 5,1 b) 5,2 c) 6,2 d) 7,1 e) 6,1

19. Del gráfico, calcular "Tanθ" , si : AP + PB es mínimo.

x

y

θ3 P

A(-1;5)

B(7;9)

a) 1/3 b) 2/3 c) 3 d) 3/2 e) 3/4

20. De todos los puntos del plano cuya suma de distancias a los puntos A(1; 5) y B(7; 5) es igual a 10. Señale la suma de coordenadas de aquel punto de ordenada máxima.

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI52

www.trilce.edu.pe53



www.trilce.edu.pe53


Tarea domiciliaria

1. Dados dos vértices consecutivos de un cuadra-do A(3 ; -7) y B(-1 ; 4), calcule su área.

a) 127u2 b) 137u2 c) 147u2 d) 81u2 e) 100u2

2. Señale las coordenadas del punto "P" ubicado en el eje de abscisas que equidista de A(1 ; 5) y B(7 ; 3).

a) ;37 0c m b) ;

38 0c m c) ;

34 0c m

d) ;211 0c m e) ;

411 0c m

3. En un triángulo ABC, los vértices son A(3 ; -1), B(1 ; 5) y C(-1 ; -3). Calcule la longitud de la mediana relativa al lado BC.

a) 5 b) 7 c) 2 3

d) 13 e) 15

4. Los tres vértices consecutivos de un paralelo-gramo son A(-1 ; 1) , B(1 ; 5) y C(9 ; 7). Halle la suma de coordenadas del cuarto vértice "D" opuesto a "B".

a) 5 b) 6 c) 9 d) 10 e) 12

5. Se traza un segmento desde A(1;1) hasta B(3;5). ¿Hasta qué punto será necesario prolongar "C"

para que AC BC6 5

= ?

(Señale la suma de coordenadas de "C").

a) 35 b) 38 c) 42 d) 23 e) 27

6. En un triángulo ABC se sabe que A(3 ; 5) y el baricentro es G(1 ; -3). Hallar la suma de coor-denadas del punto medio de BC.

a) - 3 b) - 5 c) - 7 d) 5 e) 7

7. Del esquema mostrado, determine las coorde-nadas del punto "M".

Si : ABCD es un paralelogramo.

x

y

A(-8;5) D(6;1)

C(4;9)B

M

N

a) ;211 8-c m b) (- 6 ; 5) c) ;

29 5-c m

d) (- 6 ; 4) e) (- 5 ; 7)

8. Se tiene el triángulo formado por los vértices A(1 ; 9) , B(6 ; 8) y C(-2 ; 4). Calcule la superficie del triángulo.

a) 35u2 b) 28u2 c) 14u2 d) 24u2 e) 40u2

9. Si A(-1 ; 3) , B(3 ; 1) y C(2 ; 4), calcule el seno del ángulo CAB.

a) 103 b)

1010 c)

55

d) 52 e)

22

10. Del gráfico, halle : S2 - S1.

(-3 ; -1)

(6 ; -2)

(10 ;1)

(5 ; 8)

S1

S2

a) 10u2 b) 10,5u2 c) -6u2

d) 11,5u2 e) -6,5u2

11. Los puntos P(-4 ; 0), Q(5 ; 3 3 ), R(x ; 0) son los vértices de un triángulo rectángulo recto en "Q". La suma de los valores que indican el perí-metro y el área del triángulo es :

a) 18 3 +24 b) 18+18 3 c) 18+24 3 d) 12+12 3 e) 12 6 +6

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría

Quinto UNI52

www.trilce.edu.pe53



www.trilce.edu.pe53


12. La base mayor de un trapecio isósceles une los puntos (-2 ; 8) y (-2 ; -4). Uno de los términos de la base menor tiene por coordenadas (3 ; -2).

La distancia o longitud de la base menor es:

a) 8 b) 6 c) 9 d) 12 e) 10

13. Los vértices de un cuadrado son A(0 ;-3), B(b1; b2), C(3 ;4), D(d1 ;d2).

Calcular el área del rectángulo cuyos vértices son los puntos "B", "P", "D", "Q" donde P(d1 ;b2) y Q(b1;d2).

a) 58 b) 29 c) 25 d) 21 e) 19,5

14. Si A(-3 ; 4), B(4 ; 5), C(1 ; -4) son los vértices de un triángulo, calcular las coordenadas del cir-cuncentro del triángulo.

a) (1; 1) b) (1; -1) c) (2; -1) d) (-3; -1) e) (-1; -1)

15. Sean los puntos del plano cartesiano : A(3 ; 10), B(13 ; 2) , C(0 ; a) y D(b ; 0). Hallar los valores de "a" y "b" de tal forma que

la suma de las longitudes de los segmentos AC, CD y DB sea lo menor posible y dar como res-puesta el valor de 12ab.

a) 961 b) 828 c) 780 d) 1020 e) 390

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI54

www.trilce.edu.pe55


Quinto UNI54

TRILCEColegios

Problemas resueltos

1. Si se cumple:

( )cos3 β - 27sen3(β)=0; β ∈ IIC

Calcule: P=( ) ( )cossen

22

3β β

+

a) 610 b)

43 10 c)

410

d) 510 e)

23 10

Resolviendo

cos3β - 27sen3β=0 ∧ β ∈ IIC

cos3β =27sen3β

Pero β ∈ IIC ⇒ cos3β <0

Tenemos: - cos3β = 27sen3β

3 : - cosβ = 3senβ

- cossen

31

ββ- = ∴ tanβ=

31-

tanβ =

123

x = -3y=1x

y31=-

Como r2=x2+y2

r2=(-3)2+(1)2 ⇒ r= 10

También

14243

senβ = ry

101=

cosβ=rx

103

= -

Se pide la expresión P=

cossen2

23

β β+

P=

1012

2103

3+

-c cm m

∴ P=23 10 Clave: E

2. Del gráfico mostrado, halle: F=25[sen(-θ)+cos(-θ)]+24tg(-θ)

y

(-7;-24)

θx

a) -38 b) -24 c) -21 d) 21 e) 38

Resolviendo y

(-7;-24)

-24

-7

16º

θx

Graficamos (- θ)y

-24

25-7

16º -θx

Se pide. F=25(sen(-θ)+bs(-θ)+24tan(-θ)

F=25 ( ) ( )257

2524 24

247- + - +

--; ;E E

F= -31+7 ∴ F= -24 Clave: B

3. De la suma mostrada, P=(-16;-12). Halle: W=tgα - 3 ctgθ , CQ paralelo al eje "y".

y

θ

R

Q

P

C

oα

x

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría

Quinto UNI54

www.trilce.edu.pe55


a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2

Resolviendo

y

θ16

37º

2012

10

10

20

10

123

123

1

2

3

123

14243

P

C

Q

α

x

º2

53

Del gráfico

• CoordenadasdeP(-16;-12)⇒ cotθ=1216

∴ ctgθ=34

• CoordenadasdeQ(-10;-30)⇒ tanα=3

Luego, W=tanα - 3cotθ

W=3 - 3 ×34 ∴ W=-1

Clave: D

4. En la figura mostrada se cumple que: PM=MQ, m\QPA=90º; m\OAP=18,5º y las coorde-nadas del punto "P" son (-3;-6). Calcule M=tanθ+cotθ

y

θ

P

Q

MAo

x

a) 8245 b) -

4285 c)

4285

d) - 8245 e)

76-

Resolviendo

y

θ

P(-3;-6)

Q

Ax

2

2

6

3

6

º2

37

º2

37

Del grafico

Coordenadas de Q(-7;6)

Se pide: M=tanθ + cotθ =xy

yx+

M= 76

67- - ∴ M= -

4285

Clave: B

5. Sean "α " y "β " la medida de dos ángulos co-terminales (α<β) tal que el doble del menor es a la suma de ellos como 13 es a 23. Calcule la medida del mayor de ellos si está comprendido entre 1100º y 1300º.

a) 988º b) 1 088º c) 1 188º d) 1 288º e) 1 328º

Resolviendo

i. α ∧ β : ángulos coterminales

→ α ∧ β = 360ºn ; n ∈ z

ii. 22313

α ββ

+=

4613

3313

"+

=α ββ

αβ =

iii. 1100º<α<1300º

De la 2da condición (Proposiciones)

2033

α βα-

=S

reemplazo la 1era condición

ºn360 20

33=

α → α= 594ºn

En la condición (3)

1100º<594ºn<1300º

un valor entero: n= 2

Así, la medida del ángulo mayor será:

α=594º(2)

α=1188º

Clave: C

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI56

www.trilce.edu.pe57



www.trilce.edu.pe57



BLOQUE I

1. Del gráfico, calcular : K=Senθ+Cosθ.

x

y

(-15;8)

θ

a) -7/17 b) 7/17 c) 26/17 d) -26/17 e) -13/17

2. El punto P(-20; -21) pertenece al lado final del ángulo canónico "θ".

Calcular : K=5Senθ+2Cosθ.

a) -3 b) -4 c) -5 d) 3 e) 5

3. Señale verdadero (V) o falso (F) en : I. Si : Senθ >0 y Cosθ <0 ⇒ θ ∈ IIC II. Si : Secθ <0 y Cotθ >0 ⇒ θ ∈ IIIC III. Si : Tanθ <0 y Cosθ >0 ⇒ θ ∈ IIC

a) VVV b) FVV c) FVF d) VVF e) VFV

4. Señale los signos de:

A = Sen100° Cos310° - Tan 132°

B = º ºº º

Tan CotSen Cos

190 290217 340

--

C= º

º ºSec

Sen Cos1 200310 124

4

3 5

++

a) (+), (+), (-) b) (+), (-) (-) c) (+), (-), (+) d) (-), (+), (+) e) (-), (-), (+)

5. Sabiendo que : Cos θ = - ,0 6t ; θ ∈ IIC. Calcular : K= SenθTanθ+Cosθ.

a) 1,5 b) -1,5 c) ,0 6t c) - ,0 6t e) -1,2

6. Siendo :

54 Senφ=

41

281

701

1301+ + + ;

Cos Cosφ φ=-

Calcular : K=2Senφ+3Cosφ.

a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) -3

7. Siendo:

Tanθ Cosθ- >0 ; Senθ =0,6

Calcular : K=Sen θ - 2cosθ.

a) 1 b) 2 c) -1 d) 1/2 e) -1/2

8. Del gráfico, calcular :

x

y

θβ φ

α

K=( ) ( )( ) ( )

Tan Tan Cot CotSen Sen Csc Csc

3 3 24 2

β φ φ βα θ α θ

+ ++ +

a) 1 b) 1,5 c) -1 d) -1,5 e) -2

9. Se tienen dos ángulos coterminales tales que el mayor es al menor como 23 es a 2. Si su suma está comprendida entre 2820° y 3100°. ¿Cuál es la medida del mayor?

a) 2540° b) 2760° c) 2820° d) 2420° e) 3000°


K={Cos(3

α β- ) - Sen(α - β)}{Cos(α - θ) - Cos(2

α θ- )}

x

y

θβ

α

a) 1 b) 2 c) -2 d) -1 e) 3

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría

Quinto UNI56

www.trilce.edu.pe57



www.trilce.edu.pe57


BLOQUE II

11. Del gráfico, calcular "Tanθ" , si : AE = 3EB.

x

y

C(2;16)B

E

A

D(4;20)

θ

a) -1 b) -2 c) -3 d) -1 ,5 e) -2,5

12. En el gráfico, M(-1; -13) es el punto medio de AB. Calcular : K=SecαSecβ.

x

y y=x3

A

B

β

α

a) - 5 b) - 2 5 c) - 10

d) - 2 41 e) - 2 41

13. Sabiendo que "α" es agudo y β ∈ IIIC; además :

Senα=Tan

Tan22β

β+

; además : "Senα", asume su

máximo valor. Calcular : K=Cot2α - 3 Secβ.

a) 7 b) 4 c) 11 d) 10 e) 12

14. Siendo "α" y "β" dos ángulos coterminales y su-plementarios. ¿Cuántos valores toma "Senα"?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

15. Si la expresión : K=Sen2α+Tan2θ+Senα+4Tanθ+2; asume su valor mínimo, además : α∈IIIC y θ∉IIC . Calcular :

P=SecθCosα - Tan60ºSenθ

a) ,0 15 b) ,0 35 c) - ,0 15

d) - ,0 35 e) - ,0 16

16. Si el punto P(a; b) pertenece al lado final de un ángulo canónico "θ", tal que su radio vector mide "r", verificándose :

aSenθ+bCosθ=31- r.

Calcular : Tan2θ+Cot2θ.

a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 e) 11

17. Del gráfico, calcular : K=Cotα+Cotβ Si : AB = BC = CD.

x

y

A(5;2)

B(2;8)

C

D

α

β

a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 1/3

18. Siendo: "α", "β" y "θ" ángulos positivos, me-nores que 1 vuelta, pertenecientes a diferentes cuadrantes; tales que :

Senα<0; Cosβ<0; Tanθ<0; α<θ.Señale los signos de :

J=Cos2α Tanβ+Sen

2θ

A=Cos( )2

α β+ Tan( )3

β θ+ - Cos( )3+α θ

C=(JSec323β +ASec2

32θ )Sen(α+20º)

M=(JTanα)Cosα+(ASenβ)Tanβ+(CCosθ)Senθ

a) (+), (+), (+), (+) b) (+), (-), (+), (+) c) (+), (+), (-), (+) d) (+), (+), (-), (-) e) (-), (+), (+), (+)

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI58

www.trilce.edu.pe59



www.trilce.edu.pe59


19. Del gráfico, calcular : "Tanθ".

x

y

A(1;3)

45º

(0;-4)

B(-3;7)

Cθ

a) -0,1 b) -0,2 c) -0,3 d) -0,4 e) -0,5

20. Si en el gráfico "θ" es máximo (P ∈ eje "x"). Calcular : k=Cotα+1.

x

y

(1;-1)

(5;-5)

P

θα

a) ,0 2- b) ,0 3- c) ,0 4-

d) ,0 5- e) ,0 6-

Tarea domiciliaria

1. De acuerdo al gráfico, calcular : K=5Cosα - Cosβ

x

y

β

α

(-24;7)

(-4;-3)

a) - 2 b) - 3 c) - 4 d) 2 e) 4

2. Señale los signos de :

M=º º

º - ºTan Tan

Sen Cos300 260

140 140 y

R=º º

º º ºCos Sen

Tan Cos Tan248 348

160 217 116+

-

a) (-) No se puede precisar. b) (+) ; (+) c) (+) ; (-) d) (-) ; (-) e) (-) ; (+)

3. Señale verdadero (V) o falso (F), según corres-ponda en :

I. Si : Senθ<0 ∧ Cosθ>0, entonces θ ∈ IVII. Si : Tanθ>0 ∧ Secθ<0, entonces θ ∈ IIICIII. Si : Cscθ>0 ∧ Cotθ<0, entonces θ ∈ IIC

a) VVF b) VVV c) VFV d) FFV e) FVV


I. Si : θ ∈ º; º90 180 , entonces: θ ∈ IIC

II. Si : θ ∈ IIC , entonces: θ ∈ º; º90 180

III. Si : θ ∈ IIIC, es positivo y menor que una vuelta, entonces :

a) VVF b) VFV c) VFF d) FVV e) VVV

5. Simplificar :

L=( ) ( )

aSen bCos

a b Sen a b Cos

23

2

22

2 3 2 5

≠ ≠

≠ ≠

+

+ + -` j

a) 2a b) - 2a c) 4a d) - 4a e) - 4b

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría

Quinto UNI58

www.trilce.edu.pe59



www.trilce.edu.pe59


6. Señale el cuadrante al que pertenece "θ" si:

Cosθ Tanθ- >0

a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC e) No se puede precisar

7. Sabiendo que : Tanβ = 32-

β ∈ IIC Calcular : Q=Senβ+Cosβ

a) 131 b)

1313- c)

135-

d) 13

5 13 e) 133

8. Sabiendo que "α" es un ángulo positivo menor que una vuelta perteneciente al IIIC, señale el signo de :

Q= Sen Cos Tan2 3

25

3α α α-c m

a) (+) b) (-) c) (+) o (-) d) (+) y (-) e) No se puede precisar

9. Si el lado final de un ángulo canónico "θ" pasa por los puntos P(m+n; n) y Q(n;m-n).

Calcular : K=Cot2θ+Tan2θ.

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12

10. Del gráfico, calcular : E=3Tanα+1

x

y

α

53º

a) 0 b) 1 c) - 1 d) 2 e) - 2

11. Se tienen dos ángulos coterminales tales que el mayor es al menor como 23 es a 2. Su suma está comprendida entre 2820º y 3100º.

¿Cuál es la medida del mayor?

a) 2540º b) 2760º c) 2820º d) 2420º e) 3000º

12. Siendo :

54 Senφ=

41

281

701

1301+ + +

Cos Cosφ φ=-

Calcular :

K= 2Senφ+3Cosφ

a) 1 b) - 1 c) 2 d) - 2 e) - 3

13. Tomando 5 =2,236 y sabiendo que : Ctgx = - 0,5 y que x ∈ IVC. ¿Cuál es el valor de Cscx?

a) - 2,236 b) 2,236 c) - 0,4472 d) 1,118 e) - 1,118

14. Indicar los signos de las siguientes expresiones en el orden F.G.H

F=º º

º º ºCsc Ctg

Sec Tan Sen215 338

285 138 2103

2 3

"

"

,

,

G=º º

º º ºCsc Tan

Sen Ctg Cos195 336

260 115 1162

3 2 3

"

"

,

,

H=º º

º º ºTg Sec

Sen Ctg Csc135 298

195 340 1283

3

"

"

,

,

a) - , + , - b) - , - , + c) + , - , - d) + , + , - e) + , + , +

15. Dado : Cosx= p qp q2 2

22

+- - ; p > q > 0

Calcular Tgx, con "x" en el segundo cuadrante.

a) q p

pq22 2

--

b) q p

pq22 2-

c) q p

pq22 2

-+

d) q p

pq22 2

-+

e) q p

pq22 2+

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI60

www.trilce.edu.pe61


Quinto UNI60

TRILCEColegios

1. Según el gráfico mostrado calcule:

F= ( )

cos x

sen x

ctg x

tg x

4

2

4α β θ

α β θ

α β θα β θ

+ + -

+ + ++

+ + +

+ + -

c

c

cm

m

m

α

β

θ

a) -2 b) -23 c) 0

d) 2 e) 3

Resolviendo

α-α

β

θ360 - θ

Del gráfico:

β=(- α)+ (360º - θ)

α+β+θ=360º

Luego, la expresión que se pide será:

F=( º )

( º )( º )( º )

cos cottan

xsen x

xx

90180

90360

-+ +

+-

F=tantan

senxsenx

xx-

+--

66

66

@@

@@

F= -1+1 ∴ F=0

Clave : C

2. Si los ángulos internos de un triángulo ABC es-tán en progresión aritmética. (A<B<C) redu-cir:

F=( )

( )( )

( )cos

cossen B C

sen A C BB C

B A C2 3 2 3-

+ + +-

+ +

a) -2 b) - 21 c) 0

d) 21 e) 1

Resolviendo

Condición:

i) A+B+C=180º

ii)

A=60º - xB=60ºC=60º+x

⇒ A+2C+3B=(60º - x)+2(60º+x)+3×60º A+2C+3B=360º+x

⇒ sen(A+2C+3B)=sen(360º+x) sen(A+2C+3B)=senx

• B-C=60º-(60º+x)=-x

⇒ sen(B - C)= - senx

• B+2A+3C=60º+2(60º-x)+3(60º+x) B+2A+3C=360º+x

⇒ cos(B+2A+3C)=cos(360º+x) cos(B+2A+3C)=cosx

• B-C=-x⇒ cos(B -C)=cos(-x) cos(B - C)=cosx

Reemplazamos en "F":

F=coscos

senxsenx

xx

-+6 @ ∴ F=0

Clave: C

3. Si α=4≠ , calcule

F=. .

. .

cos

csc

sen tg

ctg ctg

235 27

2111

2

732

652

4172

α π α π α π

α π α π α π

- - -

- - -

c ` `

` ` `

m j j

j j j

a) -8 2 b) -4 2 c) -2 2

d) 2 2 e) 2

Resolviendo

Recordemos que: (k ∈ z)

Problemas resueltos

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría

Quinto UNI60

www.trilce.edu.pe61


(4k+1)

(4k+3)

2kπ(2k+1)π

-θ

-θ-θ

-θ+θ

+θ

+θ+θ

2≠

2≠

Reducimos la expresión pedida por partes:

• csc(α - 2

73≠ )= -csc( )2

73

IC

π α-

!1 2 344 44

⇒ csc(α - 2

73≠ )= - secα

• cot(α - 2

65≠ )= - cot ( )2

65

IC

π α-

!1 2 344 44

⇒ cot(α - 2

65≠ ) = - tanα

• cot(α - 2

417≠ )= - cot ( )2

417

IC

π α-

!1 2 344 44

⇒ cot(α - 2

417≠ ) = - tanα

• cos(α - 2

35≠ )= - cos ( )2

35

IIIC

π α-

!1 2 344 44

⇒ cot(α - 2

35≠ ) = - senα

• cos(α - 272

≠ )= - cos ( )2

27

IIIC

π α-

!1 2 344 44

⇒ cot(α - 2

27≠ ) = - (-cosα)=cosα

• tan(α - 2

111≠ )= - tan ( )2

111

IIIC

π α-

!1 2 344 44

⇒ tan(α - 2

111≠ ) = - cotα

Luego, reemplazamos en "F":

F=( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

cos cottan tan

sensen

α α αα α α

- -- - -

F= - .cos cot

tansen

sen 2

α α αα α

Evaluamos para α=45º

∴ F= -× ×

( )( )

21

21 1

2 1 2 → F= -2 2

Clave. C

4. Si x - y = π, evalúe:

E=( ) . ( ) . ( ) . ( )( ) . ( ) . ( ) . ( )

tan tan tan tantan tan tan tan

y a y b y c y nx a x b x c x n

+ + + ++ + + +

a) n b) n-1 c) 0 d) 1 e) -1

Resolviendo

Condición: x - y= π

Calculamos: ( )( )

tantan

y ax a

++

Reemplazamos:

tan(x+a) = tan(π+x+a)=tan(y+a)

∴ ( )( )

tantan

y ax a 1++

=

Luego:

( ) . ( ) . ( ( ) . ( )( ) . ( ) . ( ) . ( )

tan tan tan tantan tan tan tan

y a y b y c y nx a x b x c x n 1

E

+ + + ++ + + + =

1 2 3444444444444 444444444444

∴ E=1

Clave: D

5. Si sen(θ) = , <θ<π; al evaluar:

E=( ) . ( ) . ( )

. ( ) .

csc cos

tan sec cot

sen 22 2

3

π θ π θ π θ

π θ π θ π θ

- + -

+ - -` cj m

Se obtiene:

a) -5 b) -4 c) -3 d) -1 e) 4

Resolviendo

Condición:

senθ =ry

52 = ∧

2≠ <θ<π

Graficamosy

x-1

2

θ

r= 5

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI62

www.trilce.edu.pe63



www.trilce.edu.pe63


BLOQUE I

1. Señale el valor de :

C=º

º º ºSen

Sen Cos Tan225

120 210 2 217+

a) - /2 4 b) /2 4 c) 3 /2 4 d) - 3 /2 4 e) - 2 /2 3


L=º

º º ºSen

Sen Cos Tan4080

2670 1200 3180

a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 1/4 e) 3 /43


C=7143

2003

Csc Cos

Sec Sen

32

2 1437

1232 22+

≠ ≠

≠ ≠

-

a) 1 b) -1 c) 1/5 d) -1/5 e) -3/5

4. Simplificar :

L=( )

( )

Sen x

Sen x

1

1

n

n

n

n

1

51

5

-

-

=

=

6

6

@

@

"

"

,

,

/

/

a) Tanx b) 5Tanx c) - 5Tanx d) -Tanx e) -

51Tanx

5. Reducir :

C=( )

( )

Cos

Sen23

+

π θ

π θ

- -

( )

( )

Cot

Tan

1132

117+

π θ

π θ

- -

( )

( )

Sen

Cos

1723

θ π

θ π

-

-

a) 3 b) - 3 c) - 1 d) 1 e) 0

6. Reducir :

C= ( 1)Sen n2

n

n 1

5 π θ- -=

8 B$ ./ + ( )Cos n2

1 n

n

1

1

6 π θ+ -=

+8 B$ ./

a) Senθ b) - Senθ c) - Senθ - Cosθ d) - Senθ - 2Cosθ e) - 2Senθ - Cosθ

7. Calcular :

P = Cos10° + Cos20° + Cos30° + ... ... 18 términos.

a) 1 b) -1 c) 0 d) -4,5 e) 4,5

8. En un triángulo ABC, simplificar :

k= ( )SenC

Sen A B+ +( )

( )Cos A B

Cos B C2-+ +

( )( )Tan C A

Tan A B C3 2-

+ +

a) 3 b) - 3 c) 0 d) 1 e) - 1

9. Del gráfico, calcular : K=Tanα+Cotβ

37ºA BM

β

α

C

a) 1 b) 2 c) -1 d) -2 e) 1/3


La expresión pedida es:

E=( ) . ( ) . ( )

( ) . ( ) . ( )

csc cos

tan sec cot

sen 22 2

3

π θ π θ π θ

π θ π θ π θ

- + -

+ - -

E=csc cos

cot sec tansen

1

1

θ θ θθ θ θ

- - -- -

-

6 6 66 6 6

@ @ @@ @ @

6 7 844444 44444

1 2 3444 444

E=- cossec sec

152

2

θθ θ=- = -; E

∴ E= -5

Clave: A

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría

Quinto UNI62

www.trilce.edu.pe63



www.trilce.edu.pe63



K=Tanα - Tanβ

Si además : OA AB BC1 2 3

= =

x

y

A(1;3)

O

B

α

βC

a) 1 b) 2 c) 3 d) -1 e) -2

BLOQUE II

11. Siendo :

Tanθ=2Sen240º+Cos330º; θ∉IIc

Calcular :

C=( )

( ) ( )

Sen

Sen Tan

213

5

+

+π θ

π θ π θ-

a) 1 b) -1 c) 3/4 d) -3/4 e) -3

12. Si : x - y = π . Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda en :

I. Sen(Senx) = Sen(Seny)II. Cos(Cosx) = Cos(Cosy)III. Tan(Tanx) = Tan(Tany)

a) VFV b) VVF c) FVF d) FVV e) FFV

13. Señale qué expresión no es equivalente a: Sen140°.

a) Sen40° b) -Sen220° c) -Sen320° d) Sen500° e) Sen680°

14. ¿Cuál es la medida del mayor ángulo "θ" que cumple :

Sen72≠ = - Cosθ; si es mayor que 3 vueltas, pero

menor que 4 vueltas?

a) 9714≠ b) 101

14≠ c) 103

14≠

d) 9514≠ e) 99

14≠

15. De acuerdo al gráfico, calcular :

K=( )

( ) ( )

Tan

Sen Cos

6

32

43

+

α θ π

α β π α φ π

- -

- - -

x

y

φ

θ

β

α

a) 126 b)

123 c) -

126

d) - 123 e) -

66

16. Simplificar :

C= ( )nTan n2

1 n

n 1

8 π θ- -=

8 B$ ./

a) -2(5Tanθ+2Cotθ)b) 2(5Tanθ + 2Cotθ)c) 4(5Tanθ + 4Cotθ)d) -4(5Tanθ+ 4Cotθ)e) -4(5Tanθ - 4Cotθ)

17. En un triángulo ABC, se sabe que : Sen(A+B) + 2Cos(B+C) = SenC Calcular :

K=Sen A Sen B Sen CCos B Cos C Cos A

1 4 4 41 2 2 2+ + ++ + -

a) 1 b) 2 c) 4 d) -1 e) 1/2

18. Del gráfico, calcular : Cosθ.

θ

R

r

a) Rr

2 b) -

Rr

2 c)

rR2

d) - r

R2

e) - Rr

4

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI64

www.trilce.edu.pe65



www.trilce.edu.pe65


19. De acuerdo al gráfico, se verifica que :

S

S S3

1 2 = K(Sen

Sen Senφ

α θ )

¿Cuál es el valor de "K", si además : B(1; 1) ?

θBα

φ

C(7;-7)

A(-3;-2)

N

M

S1S3

S2

a) 10 b) -10 c) 25 d) -25 e) 20

20. Sabiendo que :

( )nSen n2n 1

8 π θ+=

$ ./ = ( ) ( )nCos n 12

1 n

n 1

10+

π θ- -=

8 B$ ./

Señale el valor de : tg(θ - 23≠ )

a) 21/34 b) -21/34 c) -34/21 d) 34/21 e) -17/21

Tarea domiciliaria

1. Calcular :

M=ºº º

TanSec Tan

4 315 12 120 1 3 240

-- +

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) -2

2. Reducir :

A=( º ) ( º ) ( º+ )( + ) ( º ) ( º )

Cos x Sec x Cot xSen x Tan x Csc x

180 360 18090 180 270

+ -- +

a) 1 b) - 1 c) Tan2x d) Cot2x e) - Tan2x

3. Simplificar :

C=( )

( ) ( )

Tan

Sen Cot Sec223

π θ

π θ π θ π θ

+

- - +c m

a) Tan2θ b) - Tan2θ c) Ctg2θ d) - Ctg2θ e) 1

4. Calcular :

U=º

( º ) ( º )Cos

Sec Sen2 4920 1

2 3000 1 2 3383 1-

- -

a) 21 b) -

21 c)

41

d) - 41 e)

43-

5. Calcular :

C=º. º

º. º ºCos Cos

Sen Sen Tan210 300

135 240 150

a) 36 b)

36- c)

32 6

d) - 3

2 6 e) - 32

6. Si : x + y = 180º ∧ y + z = 270º Calcule el valor de :

J=SenySenx

CtgzTany+

a) 1 b) 0 c) - 3 d) 2 e) - 5

7. Calcular :

T= ...Cos Cos Cos Cos30 30

2303

3029

+ + + +≠ ≠ ≠ ≠

a) 0 b) 1 c) - 1 d) 2 e) - 2

8. Calcule el valor de :

R=Tan4

37≠ +Sec4

175≠

a) -1+ 2 b) 2 2 c) - 2 d) - 2 e) 1+ 2

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría

Quinto UNI64

www.trilce.edu.pe65



www.trilce.edu.pe65


9. Si : Sen(-x) + 2Cos(- x) = 2Senx ; "x" es agu-do.

Calcular : M = Sec(-x) + Csc(-x)

a) 25 b) -

25 c)

613

d) - 613 e) -

55

10. Simplificar las expresiones :

a=( º )

( )Cos

Cos180 α

α+

- +( )

( º )Sen

Sen 360α

α-

+

b=( )

( º ) ( º )Cos

SenSen

Cos90 90α

αα

α-+ + -

a) a = 0 y b = - 2 b) a = - 1 y b = - 2 c) a = - 2 y b = 2 d) a = 0 y b = 0 e) a = - 1 y b = 2

11. Si : 0 <A<2≠

Evaluar :

F=Sen A2≠ +` j+Cos(π+A)+Tan A

23

+≠c m+

Sec A2≠ +` j+Ctg(2π+A)+Csc(π+A)

a) 2 SenA b) - 2SenA c) 2CscA d) - 2CscA e) - 2SecA

12. Hallar el valor de :

º º º ºº º º º

Ctg Sen Csc CtgCos Sen Csc Sec

162 288 108 252345 105 255 195

a) 2 - 1 b) 1 c) 4

6 3-

d) 4

6 2- e) 25 1-

13. Hallar el valor numérico de :

F=º º ºº º º

Tan Tan CtgSen Tan Sen

780 330 225225 330 780

2 2 2

2 2 2

- ++ -

a) 1231 b)

2033 c)

441

d) - 2033 e) -

1231

14. El valor de la expresión :

E=( ) ( )

( )

Ctg Sec Csc

Sen Cos Tan

22

23

6+

π θ θ π θ

θ π π θ θ π

- - - + +

+ - - +

`

c `

j

m j

Cuando : θ = 6≠ es :

a) 1 b) - 1 c) 0 d) 2 e) - 2

15. Simplificar :

K=( ) ( ) ( )Cos Csc Ctg

Tan Sen Sec

5 7 925

27

29

π α π α π α

π α π α π α

+ - +

+ - +c c cm m m

a) 0 b) - 1 c) 1 d) - 2 e) 2

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI66

www.trilce.edu.pe67


Quinto UNI66

TRILCEColegios

Problemas resueltos

1. Analice la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:

I. sen30º<sen(π/6) II. cos(cosx) ≤ cosx, ∀ x ∈ R III. cscx ctgx>

a) VVV b) VFF c) FFV d) VFV e) FFF

Resolviendo

I. sen30º < sen6≠

Las dos cantidades son iguales. Falso II: Cos(cosx) ≤ cosx : x∈ R Graficamos • y=cos(cosx) Tabulamos

x 0 π/2 π 3π/2 2πy cos1 1 cos1 1 cos1

• y=cosx Tabulamos

x 0 π/2 π 3π/2 2πy 1 0 -1 0 1

yy=cos(cosx)

y=cosx

1

cos1

0

-1

x2≠

23≠x1 x2 2ππ

Del gráfico:

• Cuando:x∈[0;x1>∪<x2;2π] cos(cosx)<cosx • Cuando:x=[x1 , x2] cos(cosx)=cosx • Cuando:x∈<x1:x2> cos(cosx)>cosx

∴ La proposición dada es falsa

III. csc cotx x>

cossenx senx

x1 > ⇒ 1> cosx Verdadero

∴ El valor de verdad será: FFV

Clave: C

2. Calcule el área de la región triangular sombrea-da: PA'T; la circunferencia es la trigonométrica.

xA0

T

P

y

θ

A'

a) 0,5tgθ b) 0,5(cosθ+senθ+1) c) 0,5(cosθ+tgθ) d) - 0,5tgθ e) - 0,5(cosθ - tgθ)

Resolviendo

xA

(1;tanθ)

x2+y2=1

0

T

P

y

θ

A'

Calculo el área de la región sombreada por co-ordenadas.

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría

Quinto UNI66

www.trilce.edu.pe67


T(0;tanθ)

P(cosθ;senθ)

A'(-1;0)

-1cosθθ-1

00

-tanθ

-tanθ

-senθ senθ

0

0

( - )

0senθtanθ0

∴ S = ( )tan tano2 2

1θ θ- - =

Clave: A

3. En la circunferencia trigonométrica adjunta ( ' )m AB P θ=> ?;;;

, se pide hallar el área de la región triangular PQ A'.

A0

B

B'P

Q

θ

A'

a) senθ+tgθ b) 0,5(senθ+tgθ) c) senθ+secθ d) 0,5(senθ+secθ) e) secθ+tgθ

Resolviendo

A

y

x

B'P x2+y2=1

Q

θ

A' 1

123

senθ

Secθ

S QA'P = ×sec sen

21θ θ-6 @

S QA'P = tan sen21 θ θ-6 @

Pero, como: θ ∈ IIIC

tanθ =tanθ ∧ senθ = -senθ

∴ S QA'P = 0,5(tanθ+senθ)

Clave: B

4. En la circunferencia trigonométrica, si

- 23≠ <α<β<-π, indique la veracidad(V) o false-

dad (F) de las siguientes proposiciones:

I. ( ) ( )cot cot>α β II. csc(α) <csc(β) III. ( ) ( )sec sec<α β IV. tan(β)>tan(α)

a) FFFF b) FVFV c) FFVF d) VVFF e) FFVV

Resolviendo

Condición: 23≠- <α<β<-π

I. cot cot>α β

y

x-πβ

α

cotαcotβ

23≠-

Del gráfico 0>cotα>cotβ → cot cot<α β Falso

II. cscα < cscβ

y

xβ

α

cscβcscα

Del gráfico: cscα < cscβ Verdadero

www.

.com

Mat

emat

ica1


www.trilce.edu.pe69


Quinto UNI68

www.trilce.edu.pe69


III. sec sec>α β

y

xβ

α

secα secβ

Del gráfico secα<secβ<0 → sec sec>α β Falso

IV. tanβ>tanαy

xβ

α

tanα

tanβ

Del gráfico

tanα<tanβ<0 Verdadero

Luego: FVFV

Clave: B

5. Si 1≤2sen(2θ)≤2, determine la variación de

F=2cos12

θ π-` j +3, siendo la medida de un

ángulo positivo menor que una vuelta.

a) [1;3] b) [1;4] c) [0;3] d) [4;5] e) [4;6]

Resolviendo

Condición: 1≤ 2sen2θ ≤ 2

→ 21≤ sen2θ ≤ 1

Representamos este intervalo en la C.T

y

x

α2θ 1

sen2

θ

65≠

6≠ 2

1

Del gráfico:

6≠ ≤ 2θ ≤

65≠ →

12≠ ≤ θ ≤

125≠

También: 0 ≤ 12

θ π-S

≤ 3≠

Representamos estos arcos en la C.T

cos 12θ π-8 B

π/3

11/2

012

θ π-8 B

Del gráfico:

21 ≤ cos(θ -

12≠ ) ≤ 1

→ 4 ≤ ( )cos212

3

F

+θ π-1 2 34444 4444

≤ 5

∴ F∈ [4;5]

Clave: D

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría


www.trilce.edu.pe69


Quinto UNI68

www.trilce.edu.pe69


BLOQUE I

1. Señale verdadero (V) o falso (F), según corres-ponda en:

I. Sen70° > Sen20°, II. Sen140° > Sen160° III. Sen200° > Sen260°

a) VVF b) VFF c) VVV d) VFV e) FVV


I. Sen2 > Sen1 II. |Sen3 - Sen2| = Sen2 - Sen3 III. |Sen4 - Sen5|=Sen5 - Sen4

a) FVF b) VFV c) VVV d) VVF e) FVV

3. Sume el máximo valor de :C = 3Senθ - 2;

con el mínimo valor de :L=3Sen2θ +1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. ¿Cuál sería la variación de "n" para que sea po-sible : 2Senθ =n - 3? Además:

θ ε <5≠ ;π]

a) [2; 3] b) [3; 4] c) [3; 6] d) [2; 5] e) [3; 5]


I. Si :

2≠ <x1<x2<π ⇒ Cosx1 > Cosx2

II. Si : π<x1<x2<

23≠ ⇒

Cosx11

1+>

Cosx11

2+ III. Si :

23≠ <x1<x2<2π ⇒ Cos(Cosx1)>Cos(Cosx2)

a) FVV b) FVF c) VFV d) FFV e) VVF

6. Señale la extensión de : C = Cosx(Cosx + 3)

a) ;49 3-; E b) ;

49 4-; E c) ;2 4-6 @

d) ;43 4-; E e) ;2 46 @

7. Señale la extensión de : C=2Cos(2Cosθ)+1

a) [2Cos1+1;2] b) [2Cos2+1;2]c) [2Cos1+1;3] d) [- 1;3]e) [1;3]


I. Tan(Sen1) < Tan(Sen2) II. |Tan(Cos2)|>|Tan(Cos3)| III. Tan(Tan1)>1

a) VFV b) VFF c) FVV d) FVF e) VVF

9. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada en función de "θ".

M

C.T

y

x

θ

AA'

B'

B

a) ( )Sen

Sen Cos21

1 + θθ θ-

b) ( )Cos

Sen Cos21

1 + θθ θ-

c) ( )Cos

Sen Cos21

1 θθ θ-

-

d) ( )Sen

Sen Cos21

1 θθ θ-

-

e) ( )Sen

Sen Cos1 + θ

θ θ-


www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI70

www.trilce.edu.pe71


10. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada en función de "θ".

M

y

x

θ

AA'

B'

B

a) 0,5 Cosθ b) - 0,5 Tanθ c) 0,5Senθ Cosθ d) - Secθ e) - Tanθ

BLOQUE II


I. Si : 0<x< Senx Cosx

4&

≠ - =Cosx - Senx

II. Si :

43≠ <x< Senx Cosx&≠ + = - Senx - Cosx

III. Si :

23≠ <x< Senx Cosx

47

&≠ - = - Senx - Cosx

a) VVV b) VVF c) FVF d) VFV e) VFF


I. Si :

2≠- <x1<x2<0 ( ) ( )Sen x Sen x>1

22

2& ≠ ≠- -

II. Si :

- π<x1<x2< Cos x Cos x2

>1 2&≠-

III. Si :

23≠- <x1<x2<- π ( ) ( )Cot x Cot x

2 2<1 2& + +

≠ ≠

a) VFV b) VVF c) FVV d) FVF e) VVV

13. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada.

M

y

x

θ

AA'

B'

B

a) 1 - Senθ b) 1 + Senθ c) 21 (1+Senθ)

d) 21 (1-Senθ) e) 1 - Cosθ

14. Señale la variación de :

C= SenSen

13 2

θθ

++

a) [23 ;+∞> b) [

25 ;+∞> c) [3;+∞>

d) [2;+∞> e) [21 ;+∞>


L = 3|Senx|+Senx

a) [0; 2] b) [0; 4] c) [1; 2] d) [1; 4] e) [2; 4]

16. Sabiendo que: x ε [ ;4 4≠ ≠- ]; señale la extensión

de :

C= 2 Cos(2x+ x4≠+ )+1

a) [ - 2 +1; 2 +1] b) [-2;2]

c) [ - 2 +1;2]

d) [ 2; 2 +1]

e) [ - 2 +1; 2 +1] - {2}

17. Sabiendo que :

Tanθ=2Senα+1; α∈R

Señale la variación de :

L= 2 Senθ+1

a) [0;5

3 5+ ] b) [5

5 3- ;2]

c) [5

3 5- ;2] d) [ ;5

3 55

3 5- + ]

e) A∪B

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría

Quinto UNI70

www.trilce.edu.pe71


18. Según lo mostrado en la C.T., calcular :

C=(Secθ+Tanθ)(Cscθ+Cotθ) - (Secθ - Tanθ) (Cscθ - Cotθ)

M

N

S

y

x

θ

AA'

B'

B

3S

a) 8/3 b) -8/3 c) 7/3 d) -7/3 e) -10/3

19. En la C.T. mostrada, calcular el área de la región sombreada. (θ ε < ;

2 43≠ ≠ >).

MT

y

x

θ

AA'

B'

B

a) Cscθ b) - Cosθ c) - 21Cosθ

d) - Secθ e) - Tanθ

20. Sabiendo que :

Tanθ=SenSen

21

αα

++

;αεR

Señale la variación del área de la región som-breada.

M

T

y

x

θ

AA'

B'

B

a) [ ;5

5 15

5 2+ + ] b) [ ;5

5 15

5 2- + ]

c) [ ;25 1

25 2- + ] d) [ ;

25 1

25 2++ ]

e) [ ;55 1

55 2- - ]

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI72

www.trilce.edu.pe73



www.trilce.edu.pe73


Tarea domiciliaria

1. Poner el signo en :

I. Cos80º ( ) Cos 100º

II. Cos200º ( ) Cos 300º

III. Cosx ( ) Cos(x+20º)

x ; agudo.

a) < ; < ; > b) > ; > ; < c) > ; < ; > d) > ; < ; = e) < ; > ; <

2. Poner el signo en :

I. Sen20º ( ) Sen80º II. Cos10º ( ) Cos40º III. Sen200º ( ) Sen300º

a) > ; > ; < b) < ; < ; <c) > ; > ; > d) < ; > ; > e) > ; < ; <

3. Sabiendo que α∈IIC. ¿Cuál es la variación de: L=3Senα - 1?

a) ;0 2 b) ;1 2- c) ;0 3d) ;1 1- e) [- 4;2]

4. Calcular el producto del máximo y mínimo va-lor de :

f(α,β,θ)=2Sen2α - 3+Senθ Siendo "α","β" y "θ" independientes entre sí.

a) 0 b) 4 c) 8 d) - 8 e) - 12

5. Sabiendo que : x∈ ;4 4≠ ≠- ; señale la variación

de :

L=3Tan2x+1

a) ;0 1 b) ;0 16 c) ;1 46 d) ;1 1- e) ;4 2-6 @

6. Sabiendo que : π<x<2π

¿Cuál es la variación de :

L=3Cos x2

-1?

a) ;4 2-6 @ b) ;4 2- c) ;4 1- d) ;4 1- - e) ;4 1-6 @

7. Hallar el área de la región sombreada en la C.T.

C.T

150º

y

x

a) 43

41+c mu2 b)

41

3+≠c mu2

c) 6 2

1+

≠c mu2 d) 2 2

1+

≠c mu2

e) 3 2

1+

≠c mu2

8. Siendo : x∈ ;8 24

5≠ ≠ . Señale la variación de :

L=Sen x2 2

41

4≠- +` j

a) ;1 2 b) ;1 4 c) ;2 4

d) ;3 6 e) ;4 8

9. Sabiendo que x∈ ;2417

87≠ ≠; E

Señale la variación de :

L=4Cos x212≠-` j+3

a) [1;3] b) [-1;3] c) [1;5] d) [-3;3] e) [3;6]


I. Si : 0<x1<x2<2&

≠ Tanx1<Tanx2

II. Si : 2≠ <x1<x2< &≠ Tanx1>Tanx2

III. Si : 23≠ <x1<x2<2 &≠ Tanx Tanx>1 2

a) VVV b) VVF c) FFV d) VFV e) VFF

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría

Quinto UNI72

www.trilce.edu.pe73



www.trilce.edu.pe73


11. En la C.T, calcular un valor de : K=Senα+Cosα

x2+y2=1 L1: y - 2x+1=0

α

y

x

a) 53 b)

54 c)

57

d) 51 e) 1

12. Si :

0≤α≤2≠ ;

2≠ ≤β≤π ; π≤θ≤2π

Calcular la suma del máximo y mínimo valor de:

E=2Senα - 3Cosβ+4Senθ

a) 1 b) 2 c) 0 d) - 1 e) - 2

13. De las cuatro proposiciones, indicar dos que son imposibles :

I. 3 Sen2x=2

II. (m2+n2)Cosx=2mn, m ∧ n ∈

III. (m2+n2)Cscx= m2 - n2; m>n>0

IV. Secx = 3

a) I y II b) I y III c) II y IV d) II y III e) III y IV

14. Cuando el ángulo "x" aumenta de 90º a 180º. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

a) El Seno aumenta. b) El Coseno aumenta. c) El Cosecante aumenta. d) La Secante disminuye. e) La Cotangente aumenta.

15. En un círculo trigonométrico se tiene :

2≠ <x1<x2<π

De las siguientes proposiciones :

I. Senx1>Senx2

II. Cosx Cosx>2 1

III. Cosx2<Cox1

Es o son verdaderas :

a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) Solo I y II e) Las 3 son correctas

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI74

www.trilce.edu.pe75


Quinto UNI74

TRILCEColegios


BLOQUE I


I. Cot40° > |Cot130°| II. |Cot140°-Cot160°|=Cot140°-Cot160° III. |Cot200°-Cot250°|=Cot200°- Cot250°

a) VFF b) VVV c) VVF d) FVV e) FVF

2. Señale para qué valores de "x", la expresión : K=3Sen4x+Cot(2x -

4≠ ), está definida :

a) - {nπ;n ∈ }

b) - {n2 4≠ ≠+ ;n ∈ }

c) - {n8+≠ ≠ ;n ∈ }

d) - {n2 8+≠ ≠ ;n ∈ }

e) - {n4+≠ ≠ ;n ∈ }

3. Señale la extensión de :

C=CotCot

1θθ-

; si θ ε IIC:

a) <0;21> b) <

21 ;1> c) <0;1>

d) <1;2> e) <0;2>


I. Sec(Sen1) > Sec(Sen2)II. Sec(Cos2) > Sec(Cos3)III. Sec(Sen1) > Sec(Cos1)

a) VFF b) VFV c) VVF d) FFF e) FFV

5. Señale los valores que puede tomar "x", para que la expresión :

C = Sec3x + Cos3x, esté definida.

a) - {(2n+1)6≠ ;n ∈ }

b) - {(2n+1)2≠ ;n ∈ }

c) - {n3≠ +1;n ∈ }

d) - {n2≠ ;n ∈ }

e) - {(2n+1)3≠ ;n ∈ }

6. Señale la extensión de :

C=2Secθ - Secθ ; θ ≠ (2n+1)2≠ ; n ∈

a) - <-1;1> b) - <-2;1> c) - <-3;1> d) - <-1;3> e) - <-1;2>


I. Si :

4≠ <x<

2≠ Secx Cscx& - = Secx - Cscx

II. Si : π<x<

45≠ Secx Cscx& - = Cscx - Secx

III. Si : 7

4≠ <x<2π Secx Cscx& + = Secx+Cscx

a) VVF b) VFF c) FFV d) FVV e) VFV

8. Sabiendo que: θε< ;4 4≠ ≠- ] - {0} ; señale la ex-

tensión de:

C= 2 Cscθ - 2

a) - <0;4> b) - [0;4] c) - <0;4] d) - [0;4> e) - <0;3]

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría

Quinto UNI74

www.trilce.edu.pe75



T

xA

M

S

y

C.T.

θ

A'

B'

B

a) 21 (1 - Secθ+Tanθ) b)

21 (1 - Secθ - Tanθ)

c) 21 (1+Secθ - Tanθ) d)

21 (1 - 2Secθ - Cosθ)

e) 21 (1 - Secθ+Senθ)


M

N

T

C.T.

θ

A

C

B

y

x

a) 21 (CotθCscθ - 2Cosθ - Cotθ)

b) 21 (CotθCscθ - 2Cosθ+Cotθ)

c) 21 (CotθCscθ + 2Cosθ + Cotθ)

d) 21 (CotθCscθ - 2Cosθ - Tanθ)

e) 21 (CotθCscθ+2Cosθ - Cotθ)

BLOQUE II


I. Si : 1<α<β<2 Cot Cot>&απ

βπ

II. Si : 2<α<β<3 Sec Sec2 2>&απ

βπ

III. Si: 31<α<β<

21 Csc Csc

2 2<&

απ

βπ

a) VFV b) FVF c) FFV d) FFF e) VFF


I. Sec Sec Sec Sec1 2 2 1 22 2+ + =Sec2+Sec1

II. Csc Csc Csc Csc1 2 2 1 22 2+ - =Csc2 - Csc1

III. Cot Cot Cot Cot4 5 2 4 52 2+ + =Cot5 - Cot4

a) FVV b) FFF c) FFV d) VFF e) VFV

13. Sabiendo que: θ ε<0;2≠ >. Señale la extensión

de : K=Secθ+Cscθ.

a)[2;+∞> b)[2 2 ;+∞> c)[4;+∞> d)[2 3 ;+∞> e) [2 6 ;+∞>

14. Sabiendo que : x ε<- 2≠ ;

2≠ > - {0}.

Señale la extensión de : C = Cscx+|Cscx| + Csc|x|

a)<1;+∞> b)<2;+∞> c)<3;+∞>d)<4;+∞> e)<6;+∞>

15. Si : β ε [- 3≠ ;

3≠ ] - [

18≠ ]. Señale la variación de:

L=2Sec(2x+ x +3≠ )+1.

a) - [-1;5] b) -<-1;5> c) - [-1;3] d) -<-1;3> e) -<-3;5>


C=SecSec

12

θθ

++

a)<-∞;3/2> b)<-∞;3/2]c)<-∞;1/2] d)<-∞;3/2>-{1}e)<-∞;3/2]-{1}

17. Sabiendo que : Cscφ=3Cosθ+1; señale la va-riación de : L=4Cos2φ+

41 .

a) [41 ;2] b) [

41 ;4] c) [

41 ;3]

d) [43 ;4] e) [

43 ;2]

18. Señale verdadero (V) o falso (F), según corres-ponda en :I. Cos(Vers1) > Cos(Vers2)II. Cov(Sen2) > Cov(Sen3)III. ExSec(Vers2) > ExSec(Vers3)

a) VVF b) VFF c) VFV d) FFV e) FVF

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI76

www.trilce.edu.pe77



www.trilce.edu.pe77



N

M

T

C.T.

θ

A

B

B'

A' AS

y

x

a) 21 (1 - Secθ - SecθTanθ)

b) 1 - Secθ - SecθTanθ

c) 21 (1+Secθ - SecθTanθ)

d) 1+Secθ - SecθTanθ

e) 21 (1+ Secθ+SecθTanθ)


M

T

θ

B

B'

A'A

C

S

y

x

a) - 21 (Secθ+SecθCscθ+CscθCotθ)

b) - (Secθ+SecθCscθ+CscθCotθ)

c) - (Secθ+SecθCscθ - CscθCotθ)

d) - 21 (Secθ+SecθCscθ - CscθCotθ)

e) - 21 (Cscθ+SecθCscθ+SecθTanθ)

Tarea domiciliaria

1. Determine en qué límites debe estar compren-dido "α" para que no se cumpla la relación : Senx=

32

25α -

a) α<49 ó α ≥

421 b)

49 <α<

421

c) α>49 ó α >

421 d)

49 ≤ α ≤

421

e) 49 < α ≤

421

2. En qué cuadrante se cumple que :

Cosb

Cosb1 - <0 ; π<b<2π

a) II y III b) I y III c) II y IV d) II e) III

3. El ángulo "α" está en el primer cuadrante. Si : Cosα=

n BA+

; n+B>0

Entonces, se verifica que :

a) B>A y n<A - Bb) A>0 y n<A - Bc) n>B y n<A - Bd) n>0 y n>B - Ae) A>0 y n>A - B

4. Calcular BQ en el círculo trigonométrico adjun-to en función de "α".

Q

Oα

B

a) Sen1 α- b) Sen1 α+

c) ( )Sen2 1 α- d) ( )Sen2 1 α+

e) ( )Cos2 1 α+

5. ¿Cuál de las siguientes razones trigonométricas es negativa y creciente para los ángulos com-prendidos entre 460º y 470º?

a) Cosecante b) Tangente c) Coseno d) Cotangente e) Seno

6. Determinar los cuadrantes donde es negativa la expresión:

CtgxSenx 1-

a) I y III b) II y IV c) Solo II d) Solo IV e) Todos

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría

Quinto UNI76

www.trilce.edu.pe77



www.trilce.edu.pe77


7. El mínimo valor de la función :

f(x)=Tg2x ; x∈ ;3 6

5≠ ≠; E es :

a) 0 b) 31 c) 3

d) No existe mínimo "f " e) 1

8. Si : θ∈ ;6 3≠ ≠8 B para qué valores de "x" se cumple

que :

(x - 1)Sen2θ =3x+2

a) ;914

149- -; E b) ;

913

139- -; E

c) ;916

169- -; E d) ;

911

119- -; E

e) ;910

109- -; E

9. En la figura siguiente, calcular el área de la re-gión sombreada.

y

θ x

x2+y2=1 y= x3 3

1+

a) - Cos(θ)u2 b) - 21Cos(θ)u2

c) - 31Cos(θ)u2 d)

21 Cos(θ)u2

e) 31 Cos(θ)u2

10. En la figura mostrada, halle el área de la región triangular OQP.

y

(1;0)

(0;1)

Q

P

O xθ

a) Sen Cos4

θ θ- b) Sen Cos8

θ θ-

c) Sen Cos16θ θ- d) Sen Cos

2θ θ-

e) - SenθCosθ

11. En el círculo trigonométrico mostrado, halle el área de la región sombreada.

y B

AD

C

O xθ

a) Sen2

2θ b) Tan2

2θ

c) Tan Sen2θ θ d) Tan Sen

22θ θ

e) Tan Sen2

2θ θ


E=4Senx2

33≠-c m - 1

Si : x∈ ;98

3≠ ≠- -; ∪ ;

3 98≠ ≠

E

a) [-1 ; 2] b) [-1 ; 3] c) [-1 ; 4] d) [-1 ; 5] e) [-2 ; 5]

13. Señale la variación de : M=4Tan Sen

43π θ` j+1

a) [-5 ; 4] b) [-4 ; 5] c) [-3 ; 3] d) [-6 ; 4] e) [-3 ; 5]


M=Sen x SenxSen x Senx

21

2

2

- +- +

a) 73;

23; E b) ;

73

43; E c) ;

72

74; E

d) ;73 1; E e) ;

71

43; E

15. Señale verdadero (V) o falso (F), según corres-ponda en : I. ∀x1 ; x2∈ ;0

2≠ / x1<x2 :

2Senx Senx Senx Senx Senx1 2 1 2 1+ + =-

II. ∀x1 ; x2∈ ;2≠ ≠ / x1<x2 :

2Cosx Cosx Cosx Cosx Cosx1 2 1 2 2+ + =- -

III. ∀x1 ; x2∈ ;23 2≠ ≠ / x1<x2 :

2Tanx Tanx Tanx Tanx Tgx1 2 1 2 1+ + =- -

a) VVV b) VFF c) VFV d) VVF e) FVV

www.

.com

Mat

emat

ica1


www.trilce.edu.pe79


Quinto UNI78

www.trilce.edu.pe79


1. Si x ∈ ,23≠ ≠ , reducir

M=senx+cosx+tgx ctgx

1 2++

a) 2senx b) 2cosx c) senx d) -senx e) 0

Resolviendo

M=senα+cosα+tan cotx x

1 2

.sec cscx x

++1 2 3444 444

M=senx+cosx+ cossenx x1 2+

(sen2x+cos2x)

M=senx+cosx+ ( )cossenx x 2+

M=senx+cosx+ cossenx x+

Pero la condición: x∈ :23≠ ≠

⇒ cossenx x( )

+-

1 2 3444 444 =-[senx+cosx]

Luego:

M=senx+cosx - (senx+cosx)

∴ M=0

Clave: E

2. Halle "k" en tan2α+k=tan2θ, si: cos2α+cos2θ= 2sen2θcos2α

a) 21 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

Resolviendo

i) tan2α+k=tan2θ ii) cos2α+cos2θ=2sen2θ.cos2α

De(ii)

cos2α+cos2θ=2(1 - cos2θ)cos2α

cos2α+cos2θ=2 cos2α - 2cos2θcos2α

2cos2θcos2α=cos2αcos2θ

Dividimos entre cos2αcos2θ

2=sec2θ - sec2α

2=(tan2θ+1) - (tan2α+1)

∴ tan2α+2=tan2θ

Comparando lo obtenido con la condición (i)

obtenemos: K=2

Clave: C

3. Si secx - tgx=a, calcule M=cscx+ctgx

a) aa

11+- b)

a11-

c) aa

11

-+

d) a1 2+

e) aa

11 2

-+

Resolviendo

Condición: secx - tanx = a .......... (1)

Pero conocemos que:

sec2x - tan2x = 1

(secx+tanx)(sec tanx xa

-6 7 844 44

=1

secx+tanx=a1 .................... (2)

de(2) - (1): 2tanx=a

a1 -

tanx=aa

21 2-

1+a2

1 - a2

2ax

La expresión pedida será igual a:

M=aa

aa

11

12

2

2

2-+ +

-

M= ( )aa

11

2

2

-+ ∴ M=

aa

11

-+

Clave: C


www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría


www.trilce.edu.pe79


Quinto UNI78

www.trilce.edu.pe79


IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO I

BLOQUE I

1. Reducir : J=(1+Senx)Covx+(1+Cosx)Versx

a) 1 b) Sen2x c) Cos2x d) Senx Cosx e) Sen2xCos2x

2. Reducir :

A=CscxCos x SenxSecxSen x Cosx

2

2

++

a) 1 b) Tanx c) Cotx d) Secx Cscx e) Senx Cosx

3. Sabiendo que : Senx + Cosx = 1,2.

Calcular :

C=(1+Senx)2Covx+(1+Cosx)2Versx

a) 1,016 b) 1,316 c) 1,264 d) 1,126 e) 1,414

4. Sabiendo que :

a

Senx Cosxb

Secx Cscx- = -

Hallar : M=Sen3xCosx+SenxCos3x

a) ba b)

ab c)

ba

2

2

d) ab

2

2 e)

ba3

3

5. Eliminar "x", de : Senx + Cosx = m Versx Covx = n

a) n=(m - 1)2 b) 2n=(m - 1)2

c) 2n=(m+1)2 d) n=(m+1)2 e) 2m=(n+ 1)2

6. Simplificar :

J=Cos x Cos y Cos xCos ySen x Sen y Sen xSen y

11

2 2 2 2

2 2 2 2

- - +- - +


4. Si: cos2(θ)+sen4(θ)=x A qué es igual sen6θ+cos6θ

a) 3x+2 b) 3x+1 c) 3x - 2 d) 3x - 1 e) 3x - 3

Resolviendo

Condición:

cossen

2

1 2θθ-

S+sen4θ=x

1 - sen2θ(1 )sen

cos

2

2

θ-

θ1 2 344 44

=x

Así: sen2θ.cos2θ=1 - x .......... (1) Se pide:

M= cossen.cossen

6 6

1 3 2 2

θ θ+θ θ-

1 2 3444 444

Reemplazamos M= 1-3[1 - x] ∴ M=3x - 2

Clave:C

5. Si sen2(θ)+csc2(θ)=7. θ∈ ;23≠ ≠ , halle el valor

de: sen4(θ) - cos4(θ)+3 5

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

Resolviendo Condición:

sen2θ - csc2θ = 7 ∧ θ ∈ IIIC

→ sen2θ+sen

12θ

=7

Ordenamos la ec. de 2do grado

sen4θ - 7sen2+1=0

Luego: sen2θ = 2

7 45!

Como: sen2θ= 2

7 45+ >1

Tenemos que:

sen2θ = 2

7 3 5- .................... (1)

Se pide:

M= cossen4 4θ θ-1 2 3444 444 +3 5

M= cossen2 2

1+θ θc m1 2 3444 444 (sen2θ - cos2θ)+3 5

M=sen2θ - [1 - sen2θ] + 3 5

M= sen2 3 5 12+θ -1 2 34444 4444

de (1) → [2sen2θ+3 5 ]=7

∴ M=7 - 1 M=6

Clave:D

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI80

www.trilce.edu.pe81


a) Sec2xSec2y b) Tan2xTan2y c) Cot2xCot2y d) Csc2xCsc2y e) 1

7. Señale la variación de : A=aSen2x+bCos2x

a) [a; b]; a<b b) [b; a]; b < ac) [a-1; b-1]; a<b d) "a" y "b" son respuestae) "b" y "c" son respuesta

8. Siendo : f(Senx+Cosx) = Senx Cosx

Calcular : C=ff( / )

( / )

1 3

1 2 .

a) 9/16 b) 27/16 c) 9/32 d) 27/32 e) 27/64

9. Si : aSenαSenβ=bCosαCosβ

Hallar :

M=a b

a Sec b Csc2 2 2 2α β-- +

a ba Sec b Csc2 2 2 2β α

+-

a) 0 b) 2b c) 2a d) -2b e) -2a

10. En un triángulo ABC (AB = BC), se traza la me-diana AM, verificándose que :

2AB = 3AM. Si : BCAt = θ.

Calcular : E=51Sen2θ - Cos2θ.

a) 6-1 b) 9-1 c) 8-1 d) 10-1 e) 12-1

BLOQUE II

11. De acuerdo a lo mostrado en el gráfico,

calcular : J=Sen

Sen Cos3 6

θθ θ+

θ

Q

P

H

B

CA

a) 1 b) -1 c) 2 d) 1/2 e) 1/3

12. Si : 2SenαSenθ - 2CosαCosθ=SenαCosθ+SenθCosα Calcular : A=

CosSen Cos2

θα α-

a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 5 e) 5 /2

13. De acuerdo al gráfico, calcular "S1".

MT B

B'PC.T.

A' AS

S

4S

C

S1

y

x

a) 1+Sec45° b) 1+Sen45° c) Sen45° d) Sec45° e) 2Sec45°

14. Siendo : Secα+Secβ+Secθ=0

Tanα+Tanβ+Tanθ=0

Calcular :

C=Tan Tan Tan Tan

Sec Sec Sec Sec1α β β θα β β θ

++ +

a) 1 b) -1 c) 2 d) 1/2 e) -1/2

15. Sabiendo que: θ ε <2≠ ;π>; señale el equiva-

lente de :

L= Sec Tan Tan1 2 2 2θ θ θ- + + Sec Tan Tan1 2 2 2+θ θ θ+

a) 2Tanθ b) -2Tanθ c) 2Secθ d) -2Secθ e) -2(Secθ +Tanθ)


C=4Sec2x+9Csc2x

a) [13;+∞> b) [12;+∞> c) [6;+∞> d) [24;+∞> e) [25;+∞>

17. Sabiendo que : 4(Tan4x+Cos4x)=17Sen2x Calcular : Senx (x ε IC).

a) 23 1- b)

22 1- c) 2 1-

d) 13 - e) 3

2 1+

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría

Quinto UNI80

www.trilce.edu.pe81


18. Eliminar "x", si : Sen3x=n+Sen5x

Cos3x=m+Cos5x

a) m2+n2= m n2 23

b) m2+n2= m n2 25

c) m2+n2= mn3

d) m2+n2= mn5

e) m2+n2= m n4 45

19. Eliminar "x" de : aSecx + bTanx = c aTanx + bSecx = d

a) a2+c2=bd

b) a2+c2=b2+d2

c) a2+b2=c2+d2

d) a2+d2=b2+c2

e) a2+d2=c2d2

20. Eliminar "x" de : aSen2x+bCos2x=d

(d - a)Tan2x - (b - d)Cot2x=c

a) (b-a)(b+a-2d) = cb) (b-a)(b-a-2d) = cc) (b+a)(b-a-2d) = cd) (b+d)(b+a+2d) = ce) (b+a)(b-a+2d) = c

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO II

BLOQUE I

1. Simplificar :J = (Secx Cscx+2Tanx)Cotx+(SecxCscx+2Cotx).

Tanx - (Tanx-Cotx)2

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

2. Siendo "θ" un ángulo agudo, tal que : Tanθ+Cotθ = 6 Calcular : A = Secθ + Cscθ

a) 2 3 b) 3 3 c) 4 3 d) 5 3 e) 6 3

3. Simplificar :

C= ( )Sen x Cos xSen x Cos x

33 5

6 6

4 4

+ ++ +

a) 2 b) 1/2 c) 3 d) 2/3 e) 3/2

4. Si : Tanx + Cotx = 3. Calcular : M=Sen4xTanx+Cos4xCotx

a) 3 b) 2 c) 4 d) 4/3 e) 2/3

5. Reducir : Q = (Senx+Cosx+1)(1+Cotx-Cscx)

a) Senx b) 2Senx c) Cosx d) 2Cosx e) 2Tanx

6. Si : Senx+Cosx=31 .

Calcular : Q = Versx Covx

a) 4/9 b) 2/9 c) 1/3 d) 2/3 e) 4/3

7. Hallar "n" en la igualdad :(1 - Senx - Cosx)2=6nVersxCovx

a) 1/3 b) 1/2 c) 2/3 d) 3/2 e) 4/3

8. Si : Secx + Tanx = 3. Calcular : Cosx.

a) 0,3 b) 0,4 c) 0,6 d) 0,8 e) 0,96

9. Si : 3Senx+2Cosx= 13 Calcular : Q = 2Tanx + 3Cotx

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

10. Eliminar "x" de : Sen4x+Cos4x=a

Sen6x+Cos6x=b

a) a - b = 1 b) 3a - b = 1 c) 3a - 2b = 2 d) a - 2b = 1 e) 3a - 2b = 1

BLOQUE II

11. Si : SecxCscx CotxSecxCscx Tanx

43

++ =

Calcular : A=5Tan2x+2Cot2x

a) 3 b) 4 c) 6 d) 7 e) 9

12. Siendo "θ" un ángulo agudo, tal que : (Secθ+Cotθ)2+(Cscθ+Tanθ)2 - 2(Secθ+Cscθ)=16 Calcular : B=Sen4θ+Cos4θ

a) 0,25 b) 0,5 c) 0,75 d) 0,95 e) 0,725

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI82

www.trilce.edu.pe83



www.trilce.edu.pe83


13. Sabiendo que : αε<47≠ ;2π>; reducir:

C= Sen Cos Sen Cos3 1 2 4 1 2+ α α α α- -

a) 7Senα - Cosα b) 7Senα+Cosα c) 7Cosα - Senα d) 7Cosα+Senα e) 7(Senα+Cosα)

14. Siendo :

CosSen n

11

ββ

-+ =

"β" es agudo.

Hallar : D=Cscβ+Cotβ

a) 2 n -1 b) n2 - 1 c) n2 +1 d) 2 n +1 e) n +1

15. Simplificar :

E=Cscx CotxCscx Cotx

11

- ++ +

a) Cscx b) Cotx c) Cscx - Cotx d) 2(Cscx + Cotx) e) Cscx + Cotx

16. Eliminar "x" de :

aSenx + bCosx = a b2 2+ aCscx + bSecx = c

a) c= a b2 2+ b) c=2 a b2 2+

c) c= a b21 2 2

+ d) c= ( )a b2 2 2+

e) c= a b4 2 2+

17. Eliminar "x" de : Sen5xCosx+SenxCos5x=a Sen3xCosx+SenxCos3x=b

a) (b - a)2=2b3 b) (b - a)2=b3 c) (b - a)3=2b2 d) (b - a)2=2a3 e) (b - a)2=a3

18. Si :

f(Tanx+Cotx)= Senx CosxSen x Cos x5 5

--

Calcular : f(3).

a) 1/3 b) 2/3 c) 2/9 d) 4/9 e) 5/9

19. Siendo : Tanx - Coty = a Tany - Cotx = b Hallar :

S=Sec2xCsc2x+Sec2yCsc2y - 4

a) (a2+b2)(ab+1) b) (a2+b2)(ab - 1) c) (a2+b2)(ab+2) d) (a2+b2)(ab - 2) e) (a2+b2)(ab+4)

20. Eliminar "x", de : Sec4x+Tan4x=1+a Csc4x+Cot4x=1+b

a) a1/3+b1/3 =2(ab)1/3 b) a1/3+b1/3 =2(ab)2/3 c) a1/3+b1/3 =(ab)2/3 d) 2(a1/3+b1/3)=(ab)2/3 e) 2(a1/3+b1/3) =(ab)1/3

Tarea domiciliaria

1. Simplificar :

C=CosxCotx SenxSenxTanx Cosx

++

a) 1 b) Tanx c) Cotx d) Tan2x e) Cot2x

2. Reducir :

C=Senx Cosx

Sen x Cos x4 4

--

a) 1 b) Senx c) Cosx d) Senx + Cosx e) Senx - Cosx

3. Simplificar : C = (Secx Cscx - Cotx) (Secx Cscx - Tanx)

a) 1 b) Tan2x c) Cot2x d) SenxCosx e) Secx Cscx

4. Dado :

1+ 2 Tanx= 2 Secy 1+ 2 Tany= 2 Secx

Calcular : E = Secx + Secy

a) 22 b) 2 - 1 c) 2

23

d) 32 e) 2 +1

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría

Quinto UNI82

www.trilce.edu.pe83



www.trilce.edu.pe83


5. Si :

Cotx CscxTanx Secx

BA

11

+ ++ + = ; B≠0 ; A≠B

Hallar : E=Senx Cosx

ASenx BCosx--

a) A - B b) A B2- c) AB

d) A + B e) A B2+

6. Reducir : W=Cscx SenxSecx Cosx3

--

a) Cotx2

b) Secx c) Cscx

d) Tanx e) Senx

7. Calcular el valor del Seno de un ángulo para el cual se verifica que su Secante es igual a la suma de su Seno y su Coseno.

a) 23 ;0 b)

21 ;1 c)

22 ;0

d) - 21 ;

21 e) -

21 ;0

8. Simplificar :

C=( )( )

Csc Cos CotSec Sen Tan

1 21 2

4 4 2

4 4 2

α α αα α α

- -- -

a) 1 b) 2 c) 4 d)

29 e) 5

9. Si : Senx+Cosx=67

Calcular : C = Senx Cosx

a) 71 b)

61 c)

141

d) 121 e)

91

10. Si : Sen4x+Cos4x=97

Calcular : C=Sen6x+Cos6x

a) 31 b)

32 c)

91

d) 92 e)

94

11. Transformar :

C=( )

( )Sec Tan CosSen Sen Cos

1 11

β β ββ β β+ - -

+ -

a) Senβ+Cosβ b) Senβ - Cosβc) Senβ+Cosβ+1 d) Senβ - Cosβ+1e) Cosβ - Senβ

12. Calcular : Tanθ

Si : aCos4θ+bSen4θ=a bab+

;a≠b

a) ba b)

ab c) ±

ba

d) ±ba e) ab

13. Hallar el valor numérico de la expresión :

T = (Tan35º + Tan55º) (Sen35º + Sen55º+1) (Cos35º + Cos55º - 1)

a) 1 b) 2 c) - 2

d) 2 e) - 2

14. Sabiendo que :

mSen 552π θ-` jCos 77

2π θ+` j=1

Calcular :

E=Tanθ+Cotθ, en términos de m.

a) m2 b) - m2 c) 2m d) - m e) m

15. Simplificar la expresión :

K=SenxCosx

SenxCosx

11

11

-- +

++ ; π<x<

23≠

a) 2- b) Secx2- c) Secx2

d) 2 Cosx e) 2- Cosx

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI84

www.trilce.edu.pe85


Quinto UNI84

www.trilce.edu.pe85


Problemas resueltos

1. Halle tgA en un triángulo ABC. Si: senA=n senB.senC ................. (1) senA=n cosB.cosC ................. (2)

a) n b) n+21 c) n+1

d) n+2 e) n+3

Resolviendo ABC Condiciones: senA=nsenBsenC ........... (1)

senA=ncosBcosC ........... (2)

De ( )( )21 : tanA=tanBtanC .................. (α)

De (2): cosA( )cos B C- +S

=ncosBcosC

- [cosBcosC - senBsenC] = ncosBcosC

- [cos cosB C senBsenccosBCosC

-1 2 344444 44444 ]=n

- [1 - .tan tanB C1 2 344 44 ]=n

Reemplazando (α): -1+tanA=n

∴ tanA=n+1

Clave: C

2. Simplifique:

E=º º

º ºcos

cossensen

3 10 1020 3 20

-+

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

Resolviendo

E=º º

º ºcoscos

sensen10 3 10

3 20 20- -

+6 @

Conocemos la identidad:

asenx±bcosx = a b2 2+ sen(x+θ) donde: tanθ=

ab ← cat. op.

Para el problema:

E=( º º)

( º º)sen

sen2 10 60

2 20 30- -

+

E=( º)( º)

ºº

sensen

sensen

5050

5050

- -=

∴ E=1

Clave: D

3. Se sabe que 0<x<2≠ ;0<y<

2≠ , además

θπ tgx+

πθ tgy=2;θ>0

Calcule x+y

a) <0;π] b) <0; π > c) ;02≠

8 d) ;

2 2≠ ≠- e) ;0

2≠B

Resolviendo

• 0<x<2≠ ∧ 0<y<

2≠

•θπ tanx+

πθ tany=2 ; θ ≥ 0

Conocemos que MA MB$

Donde: MA: media aritmética MB: media geométrica

tan tanx y

2θπ

πθ+

≥ .tan tanx xθπ

πθ

→ 22 ≥ .tan tanx y tan tanx y ≤ 1

→ senx.seny ≤ cosx.cosy

→ 0 ≤ .cos cosx y senxseny-1 2 344444 44444

→ 0 ≤ cos(x+y) ó cos(x+y) ≥ 0

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría

Quinto UNI84

www.trilce.edu.pe85


Quinto UNI84

www.trilce.edu.pe85


Pero: 0 < x < 2≠

0 < y < 2≠

0 < x+y<π

Luego de los resultados obtenidos:

cos(x+y) ≥ 0 Concluimos que: (x+y) ∈ ;0

2≠B

Clave: E

4. En la figura mostrada se cumple que: AB=BC=2u y CD=3u, además α+β+θ=

2≠ .

Calcule PD (en u).

α β θA B C D

P

a) 10 b) 8 c) 5 d) 3 e) 7

Resolviendo

Condición: α+β+θ=2≠

α β θ2 2 2

d

P

Del gráfico:

tanα= d7

: tanβ= d5

: tanθ= d3

Como: α+β+θ=2≠

→ tanαtanβ+tanβtanθ+ tanθtanα =1

Reemplazamos:

× × ×d d d d d d7 5 5 3 3 7

+ +1 2 3444444 444444

=1

× ×

d7 5 315 2

=1 ∴ d= 7

Clave: E

5. Si α+θ+φ=π, además;

2tan(α)=tan(θ)+tan(φ);calcule:

E=( )( )

coscos

θ φθ φ

-+

a) -2 b) -1 c) - 21

d) 21 e) 2

Resolviendo

Condición:α+β+θ=π

Además: 2tanα = tanθ+tanφ

Dado que: α+β+θ=π

⇒ tanθ+tanα+tanφ = tanθ.tanφ.tanα 2tanα Luego:

3tanα=tanθ.tanα.tanφ

3=..

cos cossen sen

θ φθ φ

Por proporciones

. ..

cos coscos cos

sen sensen sen

1 31 3+

=+θ φ θ φ

θ φ θ φ- -

( )( )

coscos

21

E

=+

θ φθ φ-

-1 2 344 44

∴ E=21-

Clave: C

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI86

www.trilce.edu.pe87



www.trilce.edu.pe87


IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA LA SUMA O RESTA DE DOS ÁNGULOS

BLOQUE I

1. Reducir:

J=( º ) º( º ) º

Sen x SenxCosSen x SenxCos

20 2020 20

- ++ -

a) 1 b) -1 c) 1/2 d) -1/2 e) 2

2. Reducir:

A=Cos xCos x Sen xSen x

Cos x Sen xSenx5 2 5 2

4 3+

+

a) Senx b) Cotx c) Cosx d) Tanx e) Secx

3. Siendo : α+β=60º; calcular :

C=( ) ( )( ) ( )Sen Cos Sen CosCos Cos Sen Sen

2 2

2 2

α β β αα β α β+ + ++ + -

a) 2 - 3 b) 2(2 - 3 ) c) 2(2+ 3 ) d) 2+ 3 e) 3(2 - 3 )

4. Siendo: x + y = 60°; Tany= 34

.

Calcular:

M=(1+TanxTany)Tan(x-y)

a) 283 b)

285 3 c)

283 3

d) 14

3 3 e) 14

5 3

5. Del gráfico, calcular: Tanθ.B E

θ

C

DA

37º

a) -4 b) -8 c) -16 d) -9 e) 32

6. Del gráfico, calcular: Tanφ.

B

C

M

DA

45º

φ

8º

a) 2/11 b) 3/11 c) 4/11 d) 5/11 e) 6/11

7. Señale el valor máximo de: J = 2Senx + 3Cosx

a) 5 b) 6 c) 5 d) 13 e) 13

8. En un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 6 cm, ¿cuál es el máximo valor de su perí-metro?

a) 12,36 cm b) 14,46 cm c) 16,96 cm d) 16,84 cm e) 12,64 cm

9. Siendo: x + y + z = 45°. Calcular: A = Tan(x+y)+Tanz + Tan(x+y)Tanz

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 2

10. Si: x + y = 45°. Calcular :

C = (3+Tanx)(3+Tany)+2Tanx Tany

a) 6 b) 7 c) 8 d) 10 e) 12

BLOQUE II

11. Siendo: Tanα+Tanβ+Tanθ=4. Calcular:

J= ( ) ( ) ( )Cos CosSen

Cos CosSen

Cos CosSen

α βα β

β θβ θ

θ αθ α+ + + + +

a) 4 b) 6 c) 8 d) 12 e) 16


www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría

Quinto UNI86

www.trilce.edu.pe87



www.trilce.edu.pe87


12. Siendo : Senα+Senβ= 21

Cosα+Cosβ=23

Calcular : Cos(α - β).

a) 1/2 b) -1/2 c) 1/4 d) -1/4 e) -3/4

13. Calcular : A=

º ºº

Tan TanTan54 36

18-

a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 1/2

14. Señale el equivalente de : C = Senx Seny Senz+Senx Cosy Cosz+ +Seny Cosx Cosz - Senz CosxCosy

a) Sen (x+y+z) d) Cos (x+y-z) b) Cos (x+y+z) e) Sen(x-y-z) c) Sen(x+y-z)

15. Del gráfico mostrado, señale el valor máximo de "Tanθ".

B

θ

C

D

1

3

A

a) 43 b)

63 c)

123

d) 183 e)

243

16. Del gráfico, calcular : Tanφ.

B M

N

Eφ

C

DA

a) 5/4 b) 3/2 c) 4/3 d) 7/5 e) 7/6

17. Simplificar :

M=º º

º ºSen Cos

Sen Cos3 19 4 19

12 3 12+

+

a) 0,2 b) 0,4 c) 0,6 d) 0,8 e) 0,96

18. Señale el valor máximo de :

S=VersxCovx ( 2 =1,41)

a) 3,16 b) 2,17 c) 2,41 d) 1,91 e) 2,91

19. Calcular :

S=º º

º º º ºTan Tan

Tan Tan Tan Tan1 4 20 25

20 25 20 252 2 2 2

-+ -

a) 1 b) 2 c) 4 d) 1/2 e) 1/4

20. Simplificar :Σ=Tan1ºTan2º+Tan2ºTan3º+Tan3ºTan4º+....

44 términos

a) Cot1° - 44 b) Cot1° - 45 c) 45Cot1°-1 d) 44Cot1°-1 e) Cot1°+45

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA LA SUMA O RESTA DE TRES ÁNGULOS

BLOQUE I

1. En un triángulo ABC : TanA = 4 y TanB = 3. Calcular : TanC.

a) 3/11 b) 2/11 c) 5/11 d) 6/11 e) 7/11

2. En un triángulo ABC :

TanA TanB TanC2 3 4

= =

Calcular : S = Cot A CotC.

a) 2 b) 3 c) 6 d) 9 e) 12

3. En un triángulo ABC; simplificar :

S= ( ) ( ) ( )SenASenBCos A B

SenBSenCCos B C

SenCSenACos C A- + - + -

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. Si : x + y +z = 270°; además :

Cotx Coty Cotz3 4 5

= =

Calcular : S = Cotx Cotz.

a) 3 b) 6 c) 12 d) 5 e) 10

www.

.com

Mat

emat

ica1


www.trilce.edu.pe89


Quinto UNI88

www.trilce.edu.pe89


5. Del gráfico, calcular : "Cotθ".

B

53º

E

N

M

θ

C

DA

a) 43/24 b) 33/8 c) 43/16 d) 33/16 e) 11/8

6. Si : α+β+θ=90º. Calcular:

S=Cot

Cot TanCot

Cot TanCot

Cot Tan3 3 3α

α ββ

β θθ

θ α+ + + + +

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

7. Sabiendo que : Sen(x+y+z) = nSenx Seny Senz Hallar:S=Cotx Coty + Coty Cotz + Cotz Cotx

a) n b) n - 1 c) n + 1 d) 2n + 1 e) 2n - 1

8. Sabiendo que : x + y + z = 90°. Hallar : S = Secx Secy Secz + Tanx Tany Tanz

a) 1b) Tanx + Tany + Tanzc) -(Tanx + Tany + Tanz)d) 2(Tanx + Tany + Tanz)e) -2(Tanx + Tany + Tanz)

9. Si : Cos(x+y+z) = nCosx Cosy Coz Hallar: S=Tanx Tany+Tany Tanz+TanzTanx

a) n b) n - 1 c) n + 1 d) 1 - n e) -1 - n

10. Si : x + y + z = 180°; reducir :

S=Cotx Coty Cotz

CscxCscyCscz CotxCotyCotz+ +

+

a) 1 b) -1 c) 2 d) 1/2 e) -2

BLOQUE II

11. Si : α+β+θ=180º; además : Tanα+Tanβ+Tanθ=m

Cotα+Cotβ+Cotθ=n; Hallar :

S= TanαTanβ+TanβTanθ+TanθTanα

a) mn b) mn - 1 c) 1 - mn d) mn + 1 e) mn + 2

12. Si : α+β+θ=π; además : Cotα+Cotβ=a Cotβ+Cotθ=b Cotθ+Cotα=c

Hallar : S=Csc2α+Csc2β+Csc2θ

a) a b c2

12 2 2+ + + b) a b c2

22 2 2+ + +

c) a b c2

32 2 2+ + + d) a b c

242 2 2

+ + +

e) a b c2

62 2 2+ + +

13. Siendo : Tanφ=Cotα+Cotβ+Cotθ;

α+β+θ=180ºHallar : S= Csc2α+Csc2β+Csc2θ

a) Tan2φ b) 2Tan2φ c) Sec2φ d) 2Sec2φ e) Sec2φ+1

14. Siendo : α+β+θ=180º; además :

a

Tanb

Tanc

Tanα β θ= = ;

hallar : S=a3Cot2α+b3Cot2β+c3Cot2θ

a) abc b) (abc)2 c) 2abc d) 2 (abc)2 e) (abc)3

15. Siendo : x + y + z = 180°; reducir : S = (Cotx - Tany)(Coty - Tanz)(Cotz-Tanx)

a) Senx Seny Senz b) Cosx Cosy Coszc) -Senx Seny Senz d) -Secx Secy Secze) -Cscx Cscy Cscz

16. Siendo : x + y + z = 90°; reducir : S = (Tanx+Tany)(Tany+Tanz)(Tanz+Tanx)

a) Cosx Cosy Cosz b) Cotx Coty Cotz c) Cscx Cscy Cscz d) Secx Secy Secz e) Senx Seny Senz

17. Siendo : x + y + z = 180°; calcular: S=Cos2x+Cos2y+Cos2z+2CosxCosyCosz

a) 1/2 b) 1 c) -1 d) -1/2 e) 2

18. Calcular :

S=Sen238º+Sen232º+Sen220º+ +2Sen38ºSen32ºSen20º

a) 3/4 b) 1/4 c) 1 d) 1/2 e) 2

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría


www.trilce.edu.pe89


Quinto UNI88

www.trilce.edu.pe89


Tarea domiciliaria

1. Reducir : C=Sen50º - 2Sen10ºCos40º

a) Tan40º b) Tan10º c) Cot10º d) Cot45º e) Sen30º

2. Si : 5Sen(x - 37º)= 2 Cos(x+45º)

Hallar : Cotx

a) Sen37º b) Cos37º c) Sec37º d) Csc37º e) 1

3. Simplificar :

C=( )( )

Cos Sen SenSen Sen Cos

α β α βα β β α+ ++ -

a) Tanα b) Tanβ c) Cotα d) Cotβ e) 1

4. Simplificar :

J=º º ºº º º

Cos Sen SenSen Sen Cos

40 30 1040 10 30

+-

a) 3 b) 1 c) 33

e) 2 e) 3

2 3

5. Siendo : x + y = 30º ; x - y = 37º Calcular :

J = (Senx + Cosx) (Seny + Cosy)

a) 1,1 b) 1,2 c) 1,3 d) 1,4 e) 1,5

6. Del gráfico, calcular : Tanθ

B

θ

C

MA37º

a) 163 b)

176 c)

197

d) 1712 e)

1914

7. Del gráfico, calcular : TanθB

37º

P

θ

C

DA

a) - 4 b) - 8 c) - 16 d) - 9 e) 32

8. Siendo : α+β=60º

Calcular :

C=(Cosα+Cosβ)2+(Senα - Senβ)2

a) 2 - 3 b) 2(2 - 3 ) c) 3(2+ 3 ) d) 2+ 3 e) 3

19. Del gráfico, calcular el valor mínimo de : "Cotθ", si : AE ED DC

2 3= = .

B

θ

CD

E

A

a) 610 b)

53 10 c)

32 10

d) 9

2 10 e) 10

3 10

20. Si : α+β+θ=0 ; además :

Tanα+Tanβ=a Tanβ+Tanθ=b Tanθ+Tanα=c

Hallar : S=CosαCosβCosθ

a) abc

a b c2

+ + b) a b c

abc2+ +

c) a b c

abc2+ +- d) ( )

abca b c2+ +-

e) abc

a b c+ +

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI90

www.trilce.edu.pe91


9. Siendo :

x + y = 60º ; Tany= 34

Calcular :

M=(1+TanxTany)Tan(x - y)

a) 328

b) 28

5 3 c) 28

3 3

d) 14

3 3 e) 14

5 3

10. Si : Tan(a+b+c)=53 y Tanb = 3

Calcular :

Tan (a - b + c)

a) - 76 b)

721 c)

1127

d) - 1729 e) -

53

11. Si "x" e "y" son ángulos complementarios (x > 0º), encontrar el valor de "m" de modo que se verifique la identidad.

Tg ym Tan x

12

12+

= +`

`j

j

a) 1 b) 2 c) Tan x2

d) Tan y2

e) Tan x2

Tan y2

12. Hallar TanA en un ∆ABC, cuyos ángulos cum-plen : SenA = nSenB SenC CosA = nCosB CosC

a) n b) n2 c) n - 1 d) n2+1 e) n + 1

13. Simplificar :

( )

( )P

CtgTan

TanCtg

1

1

=

+

φ θθ

θφ θ

--

-

a) Tanθ - Tanφ b) Tanθ + Tanφ c) Ctgφ d) Tanφ e) Ctgθ

14. Simplificar la siguiente expresión :

Tan a Tan a Ctg a Ctg a5 2

15 2

1-

--

a) Sen aCos a

37 b)

Sen aCos a

73 c) Ctg7a

d) Ctg3a e) Sen aSen a

73

15. Si : Tan(x - y)=a ba b+- ; Tan(y - z) = 1

Entonces : Tan(x - z) es igual a :

a) ba b)

ab c)

a ba b+-

d) a ba b

-+ e)

aa b+www.

.com

Mat

emat

ica1

www.trilce.edu.pe91


www.trilce.edu.pe91


Problemas

1. El valor de "E" en la identidad :

Sen3θ+ECos2θ=Senθ

;2 2

]θ π π-` j, es :

a) Sen2θ b) Cos2θ c) Senθ+Cosθ d) Cosθ e) Senθ

2. Si : a2 - Cos2x - Sec2x = 2 Encontrar el valor de : C = Senx Tanx + 2Cosx

a) a 22 - b) - a 22 - c) a

d) - a e) ±a

3. Hallar el valor de "B" sabiendo que :

TanA=Sen CosSen Cos

α αα α+-

BSenA=Senα - Cosα

a) 1 b) 2 c) a d) 2 e) a

4. Si : Tana=mn . Entonces :

n (2Cosa + Seca) - 2mSena Es igual a :

a) mCosa b) mSeca c) mn d) nSeca e) nCosa

5. Si : Cos ASen A TanA

11

4

4

++ =

Hallar :

P=CosA Cos A Cos A Cos ASenA Sen A Sen A Sen A

3 5 7

3 5 7

- + -- + -

a) 2 b) 3 c) 1 d) - 2 e) - 1

6. Si : Sena+Csca=25

Calcular : E = Cota + Cosa

a) 3 3 b) 2 3 c) 32

3

d) 3

2 3 e) 33

7. Si : Sen xSen

Cos xCos 1

2

4

2

4θ θ+ =

0<θ<2≠ ; 0<x<

2≠

Calcular el valor de :

A= ,SenSen x

CosCos x 2 5

2

4

2

4+

θ θ+

a) 2,5 b) 3,5 c) 0 d) 1,5 e) 3,0

8. Si : Sec2x=nTanx

Hallar : ( )

CSenx CosxSen x Cos x

3

3 3=

++

a) nn

21

++ b)

nn

12

-- c)

nn

21

+-

d) nn

12

++ e)

nn

12+

-

9. Si : "P", "Q" y "R" son constantes que satisfacen la relación :

P+QTanRx=Senx Cscx11

11

++

-

Calcular: P . Q . R

a) - 6 b) 2 c) 4 d) 8 e) 12

10. Si : 4≠ <θ<

2≠ y Sen4θ+Cos4θ=

97

Calcular : Senθ - Cosθ.

a) 3 b) 5 c) - 33

d) 32 e) 3

3

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI92

www.trilce.edu.pe93


Quinto UNI92

www.trilce.edu.pe93


11. Si x1 ∧ x2 son dos soluciones de la ecuación: 5Cosx - 4Senx = 4

Entonces, el valor de :

Senx1+Senx2+Senx1Sen x2 es :

a) 0 b) - 1 c) 1

d) - 1+ 2 e) -1+ 22

12. Hallar: y = Senx Cosx Si: Tanx - Senx = 1

a) - 1 - 2 b) 1+ 2 c) 1 - 2

d) 2 - 1 e) 2

13. Calcular el mínimo valor de :

E=Sec4x+Csc4x

a) 6 b) 4 c) 8 d) 10 e) 12

14. Si: f(Tan2x+Cot2x)=Sec4x+Csc4x

Calcular : f(2) + f(3).

a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24

15. Si: Sec2x+Csc2x=7

Calcular:

C=(Sec2x+Tan2x)(Csc2x+Cot2x)

a) 13 b) 14 c) 22 d) 16 e) 15

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI92

www.trilce.edu.pe93


Quinto UNI92

www.trilce.edu.pe93


1. Si senα+cosα=2senθ, calcule:

E= ( º )cos

cos2

452

θα+

a) 41 b)

21 c) 1

d) 2 e) 4

Resolviendo

De: senα+cosα=2senθ

21 senα+

21 cosα= 2 senθ

º ºcos cossen sen sen45 45 2( º)sen sen45 2

α α θ+ =α θ+ =

1 2 34444444 4444444

Elevamos al cuadrado

sen2(α+45º)=2sen2θ

1 - cos2(α+45º)=2sen2θ

sen1 2cos

2

2

θ-θ

1 2 344 44 =cos2(α+45º)

∴ ( º)cos

cos2

45 12

θθ + =

luego: E=1

Clave: C

2. Simplifique:

E= . , ,cos cossen x sen x

x x x1 2 1 21 2 1 2

47 2d ≠ ≠

+ + -+ -

a) -tgx b) tgx c) -cosx d) -senx e) senx

Resolviendo

E: .cos cossen x sen x

x x1 2 1 21 2 1 2+ + -+ -

E=( )

1 2

cos cos

cos

senx x senx x

x2

2 2+ + -

-

66@

@

E=cos cossenx x senx x

sen x2+ + -

Pero: 47≠ <x<2π

y

x2πsenx

(+)

(-)

cosx

123

123

47≠

Del gráfico:

• senx( )-S

.cosx( )+S

< 0 → 2senxcosx < 0

sen2x < 0

∴ sen x2 = -sen2x

• cosx>senx⇒ cosx - senx > 0

⇒ cosx senx- =cosx - senx • cosx+senx>0 ⇒ cosx senx+ =cosx + senx

Luego, en "E":

E=cos cossenx x x senx

sen x2+ + -

-

Problemas resueltos

www.

.com

Mat

emat

ica1


www.trilce.edu.pe95


Quinto UNI94

www.trilce.edu.pe95


E= cos

cosx

senx x2

2

∴ E = - senx

Clave: D

3. Simplificar la siguiente expresión

L=( ). .

coscos cos

sen x xsenx x x sen x

4 34 4

5 5

+ --

a) tag x22 b) tag x

24 c) tag x

84

d) tag x44 e) tag x

36

Resolviendo

L= ( )

.cos

cos cossen x x

senx x x sen x4 34 4

5 5

+ --

L= ( )cos

cos cossen x x

senx x x sen x4 1 32 2

4 4

- --

6 @

L=cos

cos cos

senx x

sen x x sen x x sen x

1 2 222

2

2 2 2 2

-

- +

6

; 6 6

@

E @ @

L=cos x

sen x

421

24; E

∴ L= 41 tan4x

Clave: D

4. Halle el valor máximo de la expresión

E= 4cos2(θ)+2sen2(θ)+=( )

( )tan

tan1

22 θθ

+,

Si θ ∈ ;0

2≠

a) 2 b) 3 c) 3+ 3 d) 3+ 2 e) 4

Resolviendo

Agrupemos términos

E= cos costan

tansen2 21

2

sen

2 2 2

12

2

θ θ θθ

θ+ + ++

θ

6 ;@ E1 2 34444 44441 2 344 44

S

1+cos2θ

E=3+ cossen2 2θ θ+1 2 3444 444

E=3+ 2 sen(2θ+4≠ )

Ahora, por condición:

0 <θ <2≠ →

4≠ <2θ+

4≠ <

45≠

En la C.T

14≠

45≠

( )24

θ π+

Notemos que: (sen 24 max

θ π+8 B =1

Emax = 3+ 2

Clave: D

5. Si :

( )( ) ( )

( )( )

coscot tan cossen

sen1 22 2 2

1 22 8

θθ θ θ

θθ

++ +

+=; ;E E

θ ∈ ;08≠ , halle M=

( )( )

cossen

2 415 8

2 θθ .

a) 15 b) 10 c) 5 d) 3 e) 1

Resolviendo

E: cot tan cossensen

sen22 2 2

1 22

θθ θ θ

θθ+ +

+; ;E E=8

cos coscos cossen sensen sen

21 2

22

22

21 2

θθ

θθ

θθ

θθ- + + -; ;E E=8

cossen2

12

1θ θ; ;E E=8

41 = . cossen2 2 2θ θ1 2 3444 444 → sen4θ=

41

Se pide:

M=cossen

2 415 8

2 θθ

M=2

(2 . 4

cos

coscos

sen sen4

15 44

15 42 θ

θ θθθ=

∴ M=15tan4θ

Pero: θ∈ ;08≠ → 4θ ∈ ;0

2≠

de sen4θ = 41

→ M=15151

; E ∴ M= 15

Clave: A

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría


www.trilce.edu.pe95


Quinto UNI94

www.trilce.edu.pe95


BLOQUE I

1. Halle el valor de la expresión :

W=º. º

º ºSen Cos

Sen Cos40 40

20 3 20+

a) 2 b) 4 c) 1 d) 1/2 e) 1/4

2. Halle "n" en la identidad :Cotx.Cos2x - Tanx.Sen2x=n.Cot(nx)

a) 1 b) 2 c) 4 d) 1/2 e) 1/4

3. Halle "m" en la identidad :

Sen2x.Sen x4≠ -` j.Sen x

4≠ +` j= ( )

mSen mx

a) 2 b) 4 c) 8 d) 6 e) 3

4. Si : Tan2x+3Tanx - 1=0 Halle : Tan4x.

a) 2/5 b) 3/4 c) 12/5 d) 8/15 e) 20/21

5. Halle "n" en la identidad :

(1 - Tan2x)(1 - Tan22x)=( )tg nx

ntgx

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6. Reduzca :

W=( ) . ; 0;TanTan

CosCos

21

1 41 8

2< >

2!

+θθ

θθ θ π- -

a) 2Cot2θ b) -2Cosθ c) 2Senθ

d) 2Cos2θ e) -2Sen2θ

7. Del gráfico, halle : ABCD

B

C DO

θθθθ

A

a) Senθ b) Sen2θ c) Tan2θ d) 2Cosθ e) 2Cos2θ

8. En la identidad : 8Sen3xCosx=nSen2x+mSen4x Halle : n - m.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 2/3 e) 3/2

9. Si : n2 - Senx+ n2 + .Cosx=2 Halle : Cos2x.

a) 1/2 b) 1/4 c) 1/8 d) n/2 e) n/4

10. Reduzca : W=Sec2x+Csc2x+4Sec22x

a) 16Sec24x b) 8Tan22x c) 4Sec24x d) 16 Csc24x e) 8Csc24x

BLOQUE II

11. Si : Cos x

Sen x1 2

232

+= ; x ε <0º;90º>

Señale el valor de : Sen4x.

a) -119/120 b) 56/65 c) 120/169 d) 117/169 e) -119/169

12. Reduzca : W=(Cot2x+tan2x).Cosx.Cos2x

a) 2Senx b) 2Cosx c) 21Senx

d) 21Secx e)

21Cscx

13. Si : º ºº º

Cos SenCos Sen n

10 3 1010 3 10

-+ =

Halle : Cos40° en términos de "n".

a) n2

22 - b) n2

2 2- c) n2

12 -

d) n2

1 2- e) n4

42 -

14. Halle el área del círculo a partir del gráfico. Si : AB = 2 ∧ AC=6 5 .

B

C

D

A

2xx

a) 812≠ u2 b) 81πu2 c) 9πu2

d) 274≠ u2 e) 16πu2


www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI96

www.trilce.edu.pe97



www.trilce.edu.pe97


Tarea domiciliaria

1. Reducir: H = (Tanx + Cotx) Sen2x

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)

23

2. Si: Sen2x=32

Calcule : E=2Cos4x

a) 97 b)

97- c)

92

d) 92- e)

72-

3. Sabiendo que: 3Sen2x+7Cos2x=a+bCos2x Halle el valor de : M = 3a - 2b.

a) 9 b) 15 c) 13 d) 11 e) 7

4. Halle el valor de la expresión:

W=º º

º ºSen Cos

Sen Cos40 40

20 3 20+

a) 2 b) 4 c) 1 d)

21 e)

41

5. Si se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en "B" con "A" ángulo menor, la relación de catetos es

75 . Se tiene la relación:

E = 7Cos2A + 5Sen2A Determinar el valor de "E".

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

6. Si : Tanx + Cotx - 2 = Sen2y - A

A=( ) ( )( ) ( )Seny Cosy Seny CosySeny Cosy Seny Cosy

2 2

2 2

+ + -+ - - ,

Hallar : S=Tan4x+Cot4x

a) 4 b) Sen42y c) Sen2y d) 1 e) 2

15. Del gráfico, halle : Sen4x.

9

O

x

x2x

B

2

C

D

A

a) 8/9 b) 4/9 c) 2/9 d) 17/27 e) 16/27

16. Reduzca :

W=(Cos23x - Sen2x).Csc x Sec xCotx Tanx

4 43

--

a) Sen x44 b) Sen x

88 c) Sen x

22

d) Cos x88 e) Cos x

44


W=(1 - Tan220º)(1 - Tan240º)(1 - Tan280º)

a) 4 b) 6 c) 8 d) -4 e) -8

18. Siendo : Cos2xCos4x.Cos8x=201

Halle : J=Tan xTan x

79

a) -1/9 b) 2/9 c) -7/3 d) 7/9 e) -3/7

19. Dada la identidad :

( )

( ) ( )Cos x Sen x

Csc x Sec x aCsc x2 4 2

4 2 n2

6 6

-- =

Halle : "a + n".

a) 6 b) 8 c) 10 d) 9 e) 7

20. Reduzca la expresión :

W= ; ;Senx

Senx Cosx x1

14 2

< >6 ε π π-

+ -

a) 2Sen x2

b) 2Cos x2

c) -2Tan x2

d) -2Cos x2

e) -2Sen x2

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría

Quinto UNI96

www.trilce.edu.pe97



www.trilce.edu.pe97


7. Expresar en función de Tanx, la expresión:

E= ( )Cot x

Tan x Sec x2

2 2 2- +Sec22x - Tan22x

a) TanxTanx

11 2

+-c m b)

TanxTanx

11+-c m

c) 1 - 2Tanx d) Tanx + 1

e) 1 - Tanx

8. Si : Y=Tan2xSec2x+3Sec2x+3Csc2x+Cot2xCsc2x,

entonces :

a) y=16Csc4x b) y=16Csc42x c) y=Csc16x4 d) y=16Cscx4 e) y=Csc42x

9. Si : Tanα=nm ;n≠0,

entonces, el valor de nCos2α+mSen2α es :

a) m + n b) 2m + n c) 2m - n d) m e) n

10. Reducir la expresión :

S= 21 - Sen2θ+Sen2(θ+150º) - Sen2(θ - 150º)

a) Cos(30º - 2θ) b) Sen(30º - 2θ) c) Sen2θ d) Cos2θ e) Sen(60º - 2θ)

11. Calcular :

E=Sen416≠ +Sen4

163≠ +

21Cos

8≠ +

21Cos

83≠

a) 22 b) -

22 c)

43

d) - 21 e)

23

12. Hallar la suma de los valores máximos y míni-mos de la siguiente expresión :

E=ACos2 x2` j+BCosx

"A" y "B" son constantes reales.

a) B b) A c) B2

d) A

2 e) 0

13. Si : Sec Csc

Sen Cos 1163

2 2

6 6

θ θθ θ

++ - =- ,

el valor de Sen2θ, es :

a) 23 b)

23 1+ c) - 1

d) 1 e) ±1

14. Si : Tan(A - 45º)=aa

11

+- ,

hallar : Sen2A.

a) a

a1

22

+ b)

aa1

22 -

c) a

a1 2+

d) aa

12

2- e)

aa

12 -

15. Sabiendo que :

Tanαi= i21 ; i = {1 ; 2 ; 3 ; .... ; n},

calcular : W= Sec2 2 ii

n

1α-

=" ,/

a) ( )n

n n11

+- b) ( )

nn n

2 12 1

-+

c) ( )n

n n2 12 1

+

- d) ( )n

n n1

2 1-+

e) ( )nn n

12 1

+

-

www.

.com

Mat

emat

ica1


www.trilce.edu.pe99


Quinto UNI98

TRILCEColegios

1. Reducir: A=csc ctg

tg ctg2 5 2

3 2θ θθ θ

--

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Resolviendo

A=csc cot

tan cot2 5 2

3 2θ θθ θ--

Hacemos uso de las identidades del \ mitad

Tan x2

=cscx - cotx

cot x2

=cscx+cotx

A=csc cot

cos cot csc cot2 5 2

3 2 2 2 2 2+

θ θθ θ θ θ

-- -6 6@ @

A=csc cotcsc cot

2 5 22 5 2

θ θθ θ

-- ∴ A=1

Clave:A

2. Simplifique:

E= sen x sen x ctg x tg x1 2 1 22 2

+ - - -` `` j jj6 @

x∈ ,45≠ ≠

a) -2senx b) -2cosx c) -4senx d) -4cosx e) 4cosx

Resolviendo

Por dato: π<x<45≠

E= cot tansen x sen x x x1 2 1 22 2

+ - - -6 8@ B Recordemos que:

cossen x senx x1 2! !=

→ E= cos cossenx x senx x+ - -^ h[2cotx]

Como: π<x<45≠

Problemas resueltos

y

xπsenx(-)

(-)

cosxx

123

1

2

3

45≠

Tenemos:

• senx+cosx<0

⇒ cossenx x+ =- senx - cosx

• senx>cosx⇒ senx - cosx >0

⇒ cossenx x- =senx - cosx

Reemplazamos en "E":

E=[ [ ]cos cossenx x senx x- - - - [2cotx]

E= cossenxsenx

x2 2-6 ;@ E ∴ E= -4cosx

Clave:D

3. Si ctg(15º+x/3)=3, calcule ctgx

a) 331 b) 3

21 c) 4

21

d) 531 e) 5

21

Resolviendo

Condición: cot(15º+ x3

)=3 tan(15º+ x

3)=

31

Luego:

tan 3(15º+ x3

)=( º )

( º ) ( º)

tan

tan tan

x

x x

1 3 153

3 153 3

15

2

3

+

+ +

-

-

tan(45º+x)=×

×

1 331

331

31

2

3

-

-

;

;

E

E

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría


www.trilce.edu.pe99


tan(45º+x)=913

Desarrollamos la tangente compuesta

º.

ºtan tan

tan tanxx

1 4545

913

-+ =

tantan

xx

11

913

=-+ ⇒ tanx=

112

Luego: cotx=211 ó cotx=

215

Clave: E

4. Si : tan2θc m=3 θ ∈ <2π;3π>, halle :

M=cos cos

sen sen12

12

12

12

θ

θ

θ

θ

-

--

+

+

c

c

c

c

m

m

m

m

a) -4 2 b) -2 2 c) - 2 d) 1 e) 2

Resolviendo

Condición: tan2θ =3 ∧ θ∈ ;2 3≠ ≠

Reducimos "M"

M=cos cos

sen sen12

12

12

12

θ

θ

θ

θ

-

--

+

+

c

c

c

c

m

m

m

m

M=cos cos

cos

sen

sen

sen4 4

24

4 4

24

2

2

2

2

θ θ

θ

θ θ

θ

--

+; ;E E

M=cos cos

cos

sen

sen

sen4 4

24

4 4

24

θ θ

θ

θ θ

θ

--

+

Pero: 4θ ∈ ;

2 43≠ ≠

Graficamos:

y

x

2≠

( )4θ

cos4θ

sen4θ

43≠

i) sen4θ >cos

4θ → cossen

4 4( )

θ θ-

+1 2 3444 444

>0

ii) cossen4 4

( )

θ θ+

+1 2 3444 444

>0

iii) sen4θ >0 ∧ cos

4θ <0

Ahora, "M" será:

M= cos cos

cos

sen

sen

sen4 4

24

4 4

24+θ θ

θ

θ θ

θ

- +

M=cot tan

21

4

1

41

1θ θ-

++> H

Pero: cot4θ = csc

2θ +cot

2θ

Donde: tanxy

2 13θ = = ;

2θ ∈<π;

23≠ >

y

x

-3

-1

10

2θ

→ cot4 3

1031

31 10

= + =θ - -

También: tan3

1 104 =θ - +; E

Reemplazamos en "M"

M=

31 10 1

121

31 10

1+ +- -

+-;> ;>> E H E HH

Reduciendo: M= -2 2

Clave: B

5. Halle "x" en la siguiente identidad

( )( )

coscos

1 31 9

θθ

-- =(x3 - 3x+1)2

a) 2sen(2θ) b) 1 - sen(2θ) c) 2cos(2θ) d) 2cos(θ) e) 2sen(θ)

Resolviendo

( )( )

coscos

1 31 9

θθ

-- =(x3 - 3x+1)2

2sen

sen

sen

sen

23

229

2329

2

2 2

θ

θ

θ

θ=

R

T

SSSS

V

X

WWWW

=

23

23 cos

sen

sen 2 3 12

θ

θ θ +R

T

SSSSS

6V

X

WWWWW

@

=[2(4cos3 - 3cos)+1]2

Luego: [8cos3θ - 6cosθ+1]2=[x3 - 3x+1]2

x=2cosθ

Clave: D

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI100

www.trilce.edu.pe101






IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ÁNGULO MITAD

BLOQUE I

1. Si : Cosθ= - 135 ∧ θ ε < π ;

23≠ >

Halle : Cos 2θ .

a) 132 b) -

133 c) -

132

d) 133 e) -

265

2. Señale el valor de : Cos8≠ .

a) 2

2 2- b) 2

2 2+ c) 22 1-

d) 22 1+ e)

24 2-

3. Siendo:

Cosθ=- 289161 ∧ θ ε < π ;

23≠ >

Halle : Sen4θ .

a) 345 b)

343 c) -

343

d) - 345 e) -

174

4. Si : Secθ=x yx y

-+ . Halle : Tan2

2θ .

a) xy b)

yx c)

yx

d) xy e) ±

yx

5. Reduzca :

W=ºCos

2

12

1 24- +

a) Cos6° b) Sen6° c) sen3° d) Cos3° e) Sen12°


w=Tan

Tan

312

18≠

≠

+

+

a) 1 b) 2 c) 2

d) 22 e) 2 2

7. Reduzca : E = Csc2x+Csc4x+Csc8x+Cot8x

a) Tanx b) Cotx c) Tan x2

d) Cot x

2 e) Cot x

4

8. Reduzca : W=.

.

Cot x Senx

Tan x Tanx

2

22+

a) Senx b) Cosx c) Tanx d) Cotx e) Secx

9. Si : Cotx + Cscy = 7 Cscx - Coty = 3

Hallar el valor de : W=Tan x

Tan y

2

2

a) 2,5 b) 0,4 c) 1,25 d) 0,2 e) 0,8

10. Halle"m" en la identidad : Cot3 x

2+Tan3 x

2+6Cscx=(2Cscx)m

a) 2 b) 3 c) 6 d) 4 e) 1/3

BLOQUE II

11. Si : Sen x2

+Cos x2

=a ; a ∈<0; 2 >

Determine : W=Cot x2

- Tan x2

.

a) a2

12 - b) 1a

22 -

c) 1a

a2+

d) 1a

a22+

e) 1a

a a2 22

2

--

12. Halle el valor de : "a+b+m" en la identidad:

Tan(45º - 2θ )=

mCosa bSen

θθ+

a) 2 b) -1 c) 1 d) -2 e) 3

13. Si : Cosθ = Tan20º Cosα= Tan25º

Halle el valor de : W=Tan2

2θ +Tan2

2α +Tan2

2θ Tan2

2α

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría

Quinto UNI100






14. Señale el valor de : 2Sen24≠ .

a) 2 3+ b) 2 2 3+ +

c) 2 2 3+- d) 2 2 3+ -

e) 2 3-

15. Reduzca :

W= 2 2+ Senx+ 2 2- Cosx - 2Cos(x+8≠ )

a) 2 Sen(x - 8≠ ) b) 2 Cos(x)

c) 2 2 Cos(x+16≠ ) d) 2 2 Sen(x -

8≠ )

e) 2 2 Sen(x+83≠ )


W=º

º ºSec

Cot Cot70

10 80+ + º - º

ºCot Cot

Cot25 65

50

a) 2 b) 3/2 c) 5/2 d) 0 e) 4


W= .Tan x Tanx

Tanx Sec x Csc x Cot x2

2 2 2-

- +

a) 2Sen2x b) 2Senx c) 2Cos2x d) Tan2x e) Tanx.Senx

18. Si se cumple : Csc2x = Cosx + Cot2x. Calcule : E=(1+Cos2x)(3+Cos2x)

a) 3 b) 4 c) 5 d) -2 e) -1/2


W = Tan Tan Tan Tan

Tan Tan Tan Tan

12 125

127

211

8 83

85

87

2 2 2 2

2 2 2 2

≠ ≠ ≠ ≠

≠ ≠ ≠ ≠

+ + +

+ + +

a) 3/5 b) 3/4 c) 3/7 d) 2/7 e) 4/7

20. Siendo :

Cos2α=y z w

x+ +

Cos2β=x z w

y+ +

Cos2θ=x y w

z+ +

Cos2γ=x y z

w+ +

Halle : Tan2α+Tan2β+ Tan2θ+ Tan2γ

a) 1 b) 2 c) 4 d) 1/2 e) 3/2

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ÁNGULO TRIPLE

BLOQUE I

1. Si : Sen x3 3

2=

Halle el valor de : Senx.

a) 2711 2 b)

2717 2 c)

2719 2

d) 98 2 e)

2723 2

2. Reduzca :

W=Sen x

Cos x Cos x2

2 6-

a) 2Cos4x b) Sen4x c) Cos4x d) 2Sen4x e) 2Senx

3. Si : Cos x6 3

1≠ - =` j Halle el valor de : Sen3x.

a) 26/27 b) -23/27 c) 21/25 d) -26/27 e) 23/27


W=º ºº º

Sen CosSen Cos

19 1119 113 3

++

a) 3/4 b) 3/8 c) 3/2 d) 3/16 e) 4/3

5. Halle "k" en la igualdad :

ºº

ºº º

SenSen

CosCos kCos

2369

2266 1+ =

a) 2 b) 2 c) 2 2 d) 4 e) 2 / 2

6. Si : Cos xCos x n

26 = . Halle :

Tan xTan x

26 .

a) n

n2+

b) nn2-

c) n

n 2+

d) n

n 2- e) 2n - 1


W=º º

º. º. ºSen Cos

Sen Sen Sen3 6 612 48 72

+

a) 2 b) 4 c) 1/2 d) 1/4 e) 1/8

www.

.com

Mat

emat

ica1




Quinto UNI102



8. Reduzca :

º º º

º. º. ºTan Tan Tan

Tan Tan Tan1 3 9 51 69

3 9 51 69+

-

a) Tan43° b) Tan47° c) Tan23° d) Tan33° e) Tan42°

9. Del gráfico, halle : BC.

A

B

C3

x2x 1

144424443

14243

1442443

a) 19/3 b) 17/3 c) 13/3 d) 13/9 e) 19/9

10. Si : Cos3x = Sen2x ∧ x ε<0º ; 90º> Halle el valor de : Senx.

a) 25 1- b)

25 1+ c)

45 1-

d) 4

5 1+ e) 4

2 5 1-

BLOQUE II

11. Halle el equivalente de :

W = Sen6x -2Sen2x + Tan2x

a) Tan2x.Cos23x b) Tanx . Cos3xc) 2Tan2x.Cos23x d) 1+Cos23xe) Tanx . Sen3x

12. Calcular el valor de :

W=(Cot10º+ 3 +Csc100º+Cot100º)Cot70º

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

13. Si : Cot(15º+ x3

)=3. Calcule : Cotx.

a) 16/3 c) 9/2 c) 9/3 d) 11/2 e) 10/3

14. Si se sabe que : Cosx = 0,125.

Calcule : W= ( )Sen x Senx

Sen x Cos x2

3 1 33--

a) 23 73 b)

85 c)

53

d) 85 73 e) 73

15. Del gráfico, calcule "x".

30º

10º10º

x

a) 10° b) 12° c) 20° d) 25° e) 15°

16. Calcule : W=Cos42º+4Cos374º

a) 21/24 b) 7/25 c) 20/23 d) 21/25 e) 7/24.


W=Tan Tan

Tan TanCos3 3

3 31 2

2θ θ

θ θθ-

- -+

a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 3

18. Calcule : W=Sen320º+Sen3140º+Sen3260º

a) 83 2 b) -

43 2 c) -

83 3

d) - 83 2 e)

83 3

19. En un triángulo isósceles de base "a" y de lados iguales a "b", se cumple que :

a3+b3=3ab2

Calcule la medida del ángulo desigual, si este es agudo.

a) 10° b) 15° c) 18° d) 20° e) 24°

20. Reduzca la sumatoria, si este posee "n" térmi-nos :

W= ...Sen xCosx

Sen xCos x

Sen xCos x

3 93

279+ + +

a) 21 (Cotx - Cotnx) b)

21 (Cotx - Cot3nx)

c) 21 (Tanx - Cot3nx) d)

21 (Cotx - Cot2nx)

e) 41 (Cotx - Cot3nx)

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría




Quinto UNI102



Tarea domiciliaria

1. Si : Cosθ= -135 ;π<θ<

23≠

Halle : Cos2θ .

a) 132 b) -

133 c) -

132

d) 133 e) -

265

2. Señale el valor de : Cos8≠ .

a) 2

2 2- b) 2

2 2+

c) 22 1- d)

22 1+

e) 2

4 2-

3. Reducir : M = Csc2x + Csc4x + Csc8x + Cot8x

a) Tanx b) Cotx c) Tan x2

d) Cot x2

e) Cot x4

4. Reducir :

R=CscxTan x

CscxCot x

21

21

-

-

a) Tan2 x2 b) - Tan2 x

2 c) Cot2 x2

d) - Tan x2

e) - Cot2 x2

5. Reducir :

H=ºCos

2

12

1 24- +

a) Cos6º b) Sen6º c) Sen3º d) Cos3º e) Sen12º

6. Si : KSen Cos2 2θ θ=

Siendo : θ>0

P=Sen

Sen Csc2 12

+

θθ θ-

Será :

a) ( )K K2 2- - b) K+K-1 c) K - K-1

d) K K 1+ - e) K K 1- -

7. Si : Cosα=

54- y 180º <α<270º,

hallar : Tan2α

a) 3 b) 54 c) - 3

d) 45- e) 1

8. Del gráfico, calcular : ctg2θ .

1m

3m

O

θ θ

a) 2 - 1 b) 3 - 2 c) 2 +1

d) 3 + 2 e) 2+ 3

9. Simplificar : E=4Sen A Sen A Sen A

3 3 3≠ ≠+ -c cm m

a) - SenA b) - Sen A3

c) SenA

d) CosA e) Sen A3

10. ¿Qué relación deben cumplir los coeficientes de la ecuación?

pCosx + qCos2x + rCos3x + q = 0 Para que en esta ecuación Cosx tenga un solo

valor.

a) p = 3r b) p = q - r c) 3p = r d) p = 2q - r e) q2 - 4r(p - 3r)=0

11. Calcular el valor de :

( )Sen Cos

Sen Cos Sen Cos Sen Cos3 32

2 2

θ θθ θ θ θ θ θ-

a) 1 b) - 1 c) 2 d) - 2 e)

21

12. El valor de :

2Sec210ºSec250ºSec270º es :

a) 3

128 b) 649 c)

641

d) 192 e) 964

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI104



13. Hallar "x" en :

CosCos x x

1 31 9 3 13 2

θθ

-- = - +c ^m h

a) 2Sen2θ b) 1 - Sen2θ c) 2Cos2θ d) 2Cosθ e) 2Senθ

14. Al calcular el valor de :

F=º ºSen Cos10

1103- ,

obtenemos :

a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 4

15. El valor de : G = Cot24º Cot57º - Cot24º Cot33º

a) 2 b) 3 c) - 2 d) - 1 e) 1

www.

.com

Mat

emat

ica1





1. Simplifique la siguiente expresión:

E= cos cossen x sen xxtg x xtg x

48 3 2 3

2 2-+

a) 2ctg5x b) ctg5x c) 2tg5x d) tg3x e) ctg3x

Resolviendo

Factorizando: E= ( )tan cos cossen x sen xx x x

43 8 2

2 2-+

E=( ) . ( )3

3cos

cos cos

sen x x sen x xx

sen x x x

4 4

3 2 5

+ -

; 6E @

E=. 3

3 . cossen x sen xsen x x

52 5

∴ E=2cot5x

Clave: A

2. Si, º ºº ºcos cos

sen senk

43 1747 73

3+=

- , entonces al calcular

w= ctg58º, se obtiene:

a) kk

33

-+ b)

33

kk

+

- c) kk

32 +

-

d) kk

33+- e)

33

kk+

-

Resolviendo

Condición: º ºº ºcos cos

sen senk

43 1747 73

3+=

-

Transformamos a producto:

º. º

2 60º. 13ºcossen

sen sen k2 30 13 3

ºcos60

=S

⇒ tan60º.tan13º= k3

3 .tan13º= k3

⇒ tan13º= k3

Buscamos hallar: cot 58º

⇒ cot58º=tan32º=tan(45º - 13º)

cot58º=º. º

º- ºtan tan

tan tan1 45 13

45 13+

cot58º=k

k

13

13

+

- ∴ cot58º=

kk

33+-

Clave: D

3. En un triángulo ABC, se cumple que: sen2A+sen2B+sen2C=2.¿Qué tipo de triángu-lo es?

a) Isósceles b) Equilátero c) Rectángulo d) Obtusángulo e) Acutángulo

Resolviendo

En un ABC:

sen2A+sen2B+sen2C=2

⇒ [1 - cos2A]+[1 - cos2B]++[1 - cos2C]=2

1= cos2A+ cos2B+ cos2C ............ (1)

Pero recordemos que, si: A+B+C = 180º

cos2A+ cos2B+ cos2C+2cosAcosBcosC=1

En (1) obtenemos que:

2cosAcosBcosC=0

Luego: cosA=0 ∨ cosB=0 ∨ cosC=0

Afirmamos entonces que uno de los \s del triángulo es de 90º.

∴ es rectángulo

Clave: C

Problemas resueltos

www.

.com

Mat

emat

ica1




Quinto UNI106



4. Si A+B+C= π, además:

4sen(A)=( ) ( )( ) ( )

cos cosB Csen B sen C

++

Calcule cos(2A)

a) - 21 b) -

81 c)

81

d) 21 e)

43

Resolviendo

Condición A+B+C= π

4senA=cos cosB CsenB senC

++

Transformamos a producto

4senA=2 ( ) ( )

2 ( ) . ( )

cos cos

cos

B C B C

sen B C B C

2 2

2 2

++ -

+ -

4senA=tan( B C2+ )

4senA= tan A2 2

cot A2

≠ -; E1 2 344 44

4[2sen cosA A2 2

]=cos

sen A

A

2

2

sen A22 4

12 =1 2 344 4

1 - cosA=41 ∴ cosA=

43

Clave=E

5. En un triángulo ABC, simplifique

E=( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

sen A sen B sen Csen A sen B sen C

++-

-

a) tan A2c mcot B

2c m b) tan A2c mcot C

2c m

d) tan B2c mcot A

2c m d) tan C2c mcot B

2c m

e) tan B2c mcot C

2c m

Resolviendo

Condición: A+B+C=180º

Agrupamos

E=senA senC senBsenA senB senC

+ -+ -

6 7 8444 444

1 2 3444 444

E=

2(A C)

2(A C)

2B

2B

2(A B)

2C

2C

2 2

2 ( ) 2

cos cos

cos cos

sen sen

sen sen2

A B

+ -

+ -

-

-

Como: ºA B C2 2 2

90+ + =

sen(2

A B+ )=cos C2

sen(2

A C+ )=cos B2

123

⇒

Reemplazamos

E=

2B

2(A C)

2B

2B

)

cos cos cos

cos cos cos

sen

sen2C

2(A B

2C

2C

-

-

-

-

E=cos cos

cos cos

2B

2(A C)

2B

2C

2(A B)

2C

sen

sen

-

-

-

-

;

;

E

E?

S

E=

2B

2C

2

2

cos

cos

sen sen

sen sen

2A

2C

2A

2B

;

;

E

E

∴ E=tan2B .cot

2C

Clave: E

cos(2

A C+ )

cos(2

A B+ )

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría




Quinto UNI106



BLOQUE I

1. Hallar el valor de :

W=º ºº º

º ºº º

Cos CosSen Sen

Cos CosSen Sen

80 4080 40

50 2050 20

++ +

+-

a) 3 b) 2 3 c) 4

d) 2 e) 33

2. Reduzca :

R = (Cos10x+Cos4x)(Tan7x+Tan3x)

a) Sen5x b) Sen10x c) Sen4x d) 2Sen10x e) 2Sen4x

3. Reduzca : M = Cosx+Cos(120°+x)+Cos(120°-x)

a) 0 b) 1 c) 3Senx d) Cosx e) 2Cosx

4. Reducir :

W=Sen x

Sen x SenxCosx

Cos x Cosx3

7 3- + +

a) 4Cos3x Senx b) 2Sen3x Cosx c) 2Sen3x Senx d) 4Cos3x Cosx e) 2Cos3x Cosx

5. Si :

( )

( ) . ( )Csc x Csc xSec x Sec x

Tan cxTan ax Tan bx

5 95 9

++ =

Halle : c

a b+.

a) 1 b) 2 c) 12/7 d) 16/5 e) 4/3

6. Halle el valor de "k" en la igualdad : Sec80° - Sec40° = kSen40°

a) 4 3 b) 3 c) 33

d) 32

e) 2 3

7. Sea :

P(x)=Cos x Cos x

Sen x11 72 7

++Tan2x

Evalúe : P(5°).

a) 3 b) 22

c) 1

d) 33

e) 2 3

8. Si : sen x sen xsen x sen x n

12 1014 8

-- =

Halle : "Cos2x" en términos de "n".

a) n21- b) n

21+ c) n - 1

d) n + 1 e) 2n2 - 1

9. Hallar el valor de la expresión :

W=º

º- ºCos

Sen Sen70

40 202 2

a) 21 b)

23 c)

22

d) 1 e) 3


W=Sen x Sen x

Cos x Sen x

7 327

232 2

+

-

a) 21Tan5x b) Sec5x c)

21Cot5x

d) 21Csc25x e)

21Sec25x

BLOQUE II

11. Exprese como un monomio :H= 3 Sec70º - 2

a) Sen50° b) 4Cos50° c) 4Cos20° d) 3Sen50° e) 4Sen50°

12. En la siguiente igualdad :

4(Cos8x+Cos6x)(Cos6x+Cos2x)=1+ ( )Senx

Sen nx

¿Cuál es el valor de "n" para que sea una identi-dad?

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

13. Si : x + y + z = 0 Transforme a producto. H = Senx + Seny + Senz

a) 4Sen x2

Sen y2

Sen z2

b) 4Cos x2

Cos y2

Cos z2

c) - 4Senx Seny Senz

d) - 4Cos x2

Cos y2

Cos z2

e) - 4Sen x2

Sen y2

Sen z2


www.

.com

Mat

emat

ica1




Quinto UNI108



14. En el gráfico, halle el perímetro del triángulo ABC, en términos de "θ" y "R".

3θ

A

B

C

P

R

Oθ

a) 4RSenθCos3θCos4θ b) 8RSenθCos3θSen4θ

c) 8RCosθCos32θ Sen2θ

d) 8RCosθCos3θSen4θ

e) 4RSenθSen3θSen4θ

15. En un triángulo ABC, se cumple que :

SenA+SenB+SenC=2 2 Cos B2

Cos C2

Señale la medida del ángulo "A".

a) 45° b) 60° c) 90° d) 135° e) 30°

16. Del gráfico mostrado, halle AD. Si : AB = BC = CD = a.

AB

C

D

x

x

x E

a) a(2Cosx+1) b) a Senx2 1-

c) a Cosx2 1+ d) a Cosx2 1-

e) a Senx2 1+

17. Si :Cos xCos x p

35 = , obtenga el valor de :

K = Tanx . Tan4x, en términos de "p".

a) pp

11

-+ b)

pp

11+- c)

pp

11 2

+-

d) p

p1 21+- e)

pp

1 21 2+-

18. Halle el valor del ángulo agudo "x" que hace máxima la expresión :

M = Sen(80°+x) - Sen(40°- x)

a) 10° b) 40° c) 50° d) 70° e) 80°

19. En la figura mostrada : AM = AN = d. Halle el área de la región cuadrangular MCNP.

A

B C

N

M

P

Dx

3x

a) d2Cos2x(Sen2x - Cos2x)2

b) d2Sen2x(Sen2x - Cos2x)2

c) d2Senx(1+Sen4x)

d) d2Cosx(1 - Sen4x)

e) d2Tan2x(Senx - Cosx)2

20. Dada la expresión :

W=.

( ) ( )Cosx Cos xCos x

Cos x Cos x Cos x Cosx2 2 5

6 4 5+ +

evalúe cuando : x=12≠ .

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría




Quinto UNI108



Tarea domiciliaria

1. Reduzca :

G=º ºº º

Cos CosSen Sen

70 1070 10

++

a) Tan40º b) Cot40º c) 3

d) 33

e) Tan20º

2. Reduzca :

H=Cosx Cos xSen x Senx

77

--

a) Tan3x b) Cot3x c) Tan4x d) Cot4x e) - Cot4x

3. Simplifique :

G=º º ºº º º

Cos Cos CosSen Sen Sen

10 30 5020 40 60

+ ++ +

a) 3 Sen40º b) 32

Sen40º

c) 32 Sen40º d) 2Sen40º

e) 34

Sen40º

4. Transforme a producto : R = Sen3x + Sen5x + Sen9x + Sen11x

a) 4 Cosx . Cos3x . Sen7x b) 2 Cosx . Cos3x . Sen7x c) 4 Cos2x . Cos3x . Sen7x d) 2 Cos2x . Cosx . Sen7x e) 2 Cos2x . Cos3x . Sen7x

5. En un triángulo ABC, reducir :

L=( )Sen A B

Sen A Sen B2 2-

-

a) 2CosC b) - 2CosC c) 2SenC d) - 2SenC e) - CosC

6. Si el ángulo "A" mide 13≠ rad,

hallar el valor de :

F=Cos A Cos ACosACos A

2 410

+

a) 1 b) - 21 c)

32

d) 21 e) -

23

7. La suma de los senos de tres arcos en progresión aritmética de razón

32≠ es :

a) 1 b) 0 c) - 1 d)

32 e) No se puede determinar

8. La expresión : Cosx CosySenx Seny

++

Es igual a :

a) Tan x y2+c m b) Sen x y

2+c m

c) Cos x y2+c m d) Cot x y

2+c m

e) ( )( )

Cos x ySen x y

++

9. Transformar en producto la siguiente expresión:

Cos4x+Cos8x+2 - 4Sen2x

a) Cos2xCos3x b) 4Cos2xSen23x c) 2Cos2xSen22x d) 4Cos2xCos23x e) 4Cos4xCos23x

10. Hallar el verdadero valor de la expresión si-guiente, para a = 45º.

ºCosa Cos

Cos a45

2-

a) 2 b) 2 3 c) 1+2 2

d) 1 - 2 2 e) 2 3 +1

11. Verificándose las siguientes igualdades : Sen32º + Sen12º = 0,738 Cos32º + Cos12º = 1,826 Calcular el valor de la Tangente de 22º expre-

sando el resultado en fracción ordinaria.

a) 913450 b)

235850 c)

913369

d) 43 e) -

43

12. En qué tipo de triángulo se cumple : Sen2A+Sen2B+Sen2C=2

a) Acutángulo b) Oblicuángulo c) Equilátero d) Obtusángulo e) Rectángulo

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI110



13. Transformar en producto la expresión : E = SenA + Sen2A + Sen3A

a) 4Sen A2

3 Cos A2

CosA

b) SenACos A2

3

c) 2Cos A2

3 SenASen A2

d) 4Cos A2

3 SenASen A2

e) 3Cos A2

3 Cos2ACosA

14. Simplificar :

E=( ) ( )( ) ( )

Cos Cos k Cos kSen Sen k Sen k

2 12 1

θ θ θθ θ θ

+ + -+ + -

a) Cot(kθ) b) Tan(k - 1)θ c) Tan(kθ) d) Cot(2k - 1)θ e) Tan(2k - 1)θ

15. Si : Senx + Seny = a Cosx - Cosy = b Calcular :

M=( ) ( )

( ) ( )a Sen x y aCos x y

aSen x y Cos x y1+ - + -+ - - -

a) ab +1 b) ab c) a ≠ b

d) - ab e)

ba

www.

.com

Mat

emat

ica1





1. Halle el valor de: E=sen20ºsen50º+sen40ºsen10º+sen80ºsen70º

a) +4

3 3 b) - 23 c)

23

d) - 4

3 3 e) 3

Resolviendo

E: sen20ºsen50º+sen40ºsen10º+sen80ºsen70ºTransformamos

E= º º º º º ºcos cos cos cos cos cos2

30 702

30 502

10 150- + - + -

E= ( º º ( º º º))cos cos cos cos cos21 2 30 150 70 50 10- - +1 2 34444 4444

-cos30º

E= ( 10º 10º)cos cos

21

23 3 - -; E

E=4

3 3

Clave: A

2. Reducir:

A=sen5º+sen10º+sen15º+....+sen345º+ sen350º+sen355º

a) 0 b) 1 c) sen5ºsen10º d) sen5ºcsc355º e) sen5º

Resolviendo

A: sen5º+sen10º+sen15º+..................+sen345º+sen350º+sen355º

Los \ están ordenados en progresión aritmética.

Tenemos:Primer \:5º razón: 5ºÚltimo \:355º # de términos: 71

Luego

A=º

× º . º× º

sen

sen sen

25

271 5

25 355

;

; ;

E

E E

Problemas resueltos

A=, º

, º ºsen

sen sen2 5

177 5 180

Como: sen180º=0 ⇒ A=0

Clave: A

3. Calcule:

K=cos cos cos

cos cos cos

7 72

74

72

74

76

≠ ≠ ≠

≠ ≠ ≠+ +

` c c

c c c

j m m

m m m

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Resolviendo

k=. .cos cos cos

cos cos cos

7 72

74

72

74

76

cos73

≠ ≠ ≠

≠ ≠ ≠+ +

≠-S

k=. .cos cos cos

cos cos cos

7 72

73

72

74

76

propiedad

propiedad

+ +

≠ ≠ ≠

≠ ≠ ≠

-

6 7 84444444 4444444

1 2 3444444 444444

k=

2121

3-

-

;

;

E

E ∴ k=4

Clave: D

4. Si tan x2

θ+c m; tan2θc m y cot x

2θ-c m

Están en progresión geométrica (en el orden in-dicado), determine W=tan(θ).

a) sen(2x) b) -sen(x) c) sen x2` j

d) -sen(2x) e) sen(x)

www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI112






BLOQUE I

1. Si : Sen xCos x Sen xSen xCos x Sen x2 4 3 72 6 4 10

31

-- =

Halle : Sen x2

a) 127 b)

73 c)

97

d) 125 e)

75

2. Siendo : Senx

Sen xCosx Sen x n2 4 5- =

Halle : Tanx, en términos de "n", si : x ε IIC.

a) - nn

13+- b)

nn

13+-

c) nn

27+- d) -

nn

27+-

e) - nn

32

++

3. Reduzca : W = SenxCos6x+Sen5xCos2x+Senx Cos4x

a) 0 b) 2Sen7x c) Sen7x d) Sen5x e) 2Sen5x

4. Exprese en forma lineal: J=8Sen3x.Cos2x

a) 3Cos3x - Cos5x - 4Cosxb) 3Sen3x - Sen5x - 4Senxc) 3Sen3x + Cos5x - 4Senxd) 3Sen3x + Sen5x - 4Senxe) 3Cos3x + Cos5x + 4Cosx

5. Hallar el valor de la expresión: J=Sen25°Cos5°-Sen59°Cos41°+Sen47°.Cos7°

a) 25 b) 1 c)

45

d) 1/2 e) 1/4

6. Determine el valor de:

R=º

º º- ºSen

Cos Cos Cos20

2 25 15 2 35

a) 21 b)

23 c) 1

d) 3 e) 43


Resolviendo

Por condición

tan22θ =tan ( )x

2θ+ .cot ( )x

2θ-

tan22θ =

( ) ( )

( ) . ( )

cos

cos

x sen x

sen x x

2 2

2 2+

θ θ

θ θ

+ -

-

Por proporciones:

2(x )

2(x )tan

tan

cos cos

cos cos

sen sen

sen sen

1

12

2(x )

2(x )

2(x )

2(x )

2(x )

2(x )

22

2

+ -i i

θ

+ -

+ - + -

i i

i i i i

+

-=

+

- -

θ

; E

cosθ=- senxsenθ → -senx= tan

wθ

S

w= -senx Clave: B

5. Si A+B+C=2≠ , calcule:

E=sen2(A)+sen2(B)+sen2(C)+2sen(A)sen(B)sen(C)

a) 21 b) 1 c)

23

d) 2 e) 25

Resolviendo

Condición: A+B+C=2≠

Tenemos:

cos(A+B)=senC

→ cosAcosB - senA.senB=senC

cosA.cosB=senA.senB+senC

Elevamos al cuadrado

cos2A.cos2B=sen2A.sens2B+2senA.senB.senC

+sen2C

[1-sen2A][1-sen2B]=sen2Asen2B+sen2C+2sen A.senB.senC

Luego:

.sen A sen B sen C senAsenB senC2E

2 2 2+ + +1 2 3444444444444 444444444444 =1

∴ E=1

Clave : B

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría

Quinto UNI112






7. Reduzca: R = Cosx+Cos3x+Cos5x ... + Cos19x

a) Senx

Sen x2

20 b) Cosx

Cos x2

20

c) Senx

Tan x20 d) Senx

Sen x20

e) Tanx

Cos x20

8. Halle el valor de:

R=Cos19≠ +Cos

193≠ +Cos

195≠ +...+Cos

1917≠

a) 1/2 b) -1/2 c) 1 d) -1 e) 0

9. Determine el valor de la expresión :

H=Sen211≠

+Sen2112≠

+Sen2113≠

+Sen2114≠

+Sen2115≠

a) 1/2 b) -1/2 c) 11/4 d) 9/4 e) 13/4

10. Determine el valor de la expresión :

H=Sen11≠ .Sen

112≠ .Sen

113≠ .Sen

114≠ .Sen

115≠

a) 3211 b)

1611 c)

6411

d) 11 e) 321

BLOQUE II

11. De la siguiente igualdad :

4CosxCos3x+1= ( )Senx

Sen px

¿Cuál es el valor de "p"?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

12. Si : α ε [85º;135º>. Calcule los valores de la expresión :

H = Sen (α+35°) . Cos(α+5°)

a) [0;21 ] b) [-

21 ;0] c) [-

41 ;0]

d) [- 21 ;

21 ] e) [-

41 ;

21 ]

13. Halle el valor de "θ" en el intervalo de : <180°; 270°>, tal que :

2Cos50º+21Sec70º=Tanθ

a) 250° b) 215° c) 200° d) 230° e) 225°

14. Reduzca : H=

SenxSen x2

8 - (Cos3x+Cos5x+Cos7x)

a) 1 b) 1/2 c) Senx d) Cosx e) Cos2x

15. Sabiendo que : Tan5x = nTan4x. Calcule en términos de "n" la expresión : H = Cos2x + Cos4x + Cos6x + Cos8x

a) n 12-

b) n 14-

c) n 11-

d) n 1

2+

e) ( )n

n2 13 2

--

16. Degradar : H=16Cos5x

a) 5Cosx + 10Cos3x + Cos5xb) Cosx + 5Cos3x - 10Cos5xc) 10Cosx + 5Cos3x + Cos5xd) 10Cosx - 5Cos3x + Cos5xe) Cosx + 5Cos3x + 10Cos5x

17. Determine el valor de la expresión : W=Cos3

7≠ +Cos3

73≠ +Cos3

75≠

a) 1 b) 1/2 c) 1/4 d) 1/8 e) 1/16

18. Del gráfico, halle el área de la región cuadran-gular ABCD, en términos de "θ" y "R".

3θ2θ

AB

CP

D

R

O

θ

a) R22

(Sen2θ - Sen4θ - Sen6θ+Sen12θ)

b) R22

(Sen2θ+Sen4θ+Sen6θ - Sen12θ)

c) R22

(Sen2θ - Sen4θ+Sen6θ+Sen12θ)

d) R42


e) R82


www.

.com

Mat

emat

ica1

Quinto UNI114






Tarea domiciliaria

1. Reduzca :

H=Cos xCos x Cos xSen xCosx Sen x

2 5 4 92 3 4

--

a) 2Senx b) 2Cosx c) Senx d) Cosx e)

21Cosx

2. Si :

P(x)= Sen3x Cos2x+Sen3x Cos4x - Senx Cos6x Calcule : P

30≠` j

a) 1 b) 21 c) 2

d) 3 e) 23


H=º. º ºº. º º

Cos Cos CosSen Cos Sen

2 35 10 252 40 20 20

--

a) 42 b)

43 c)

26

d) 36 e)

62

4. Si se define la función :

f(x)=Cos x92≠ +c m.Cos x

9≠ -` j,

halle : fmax(x)

a) 1 b) 21 c)

23

d) 43 e)

41

5. Del gráfico, calcule "x". (Cos40º = 0,766).

A B

C

D

4

x

50º10º

a) 2,532 b) 3,156 c) 2,216 d) 3,108 e) 2,748

6. Dada la expresión 2Sen x2` jCos2x,

indicar si es igual a :

a) Sen x25c m+Sen x

23c m

b) Sen x45c m+Sen x

43c m

c) Sen x25c m - Sen x

23c m

d) Sen x45c m - Sen x

43c m

e) Cos x45c m+Cos x

43c m

7. Si : θ=5≠ , calcular :

Cos2θ+2Cos4θ+3Cos6θ+4Cos8θ

a) 52 b) -

25 c) 2

d) 5 e) - 52

19. Determine el valor de "RE" si se verifica la igual-dad :

2Sen11

10≠ - Tan119≠ =R(Sen

118≠ . Sen

117≠ )E

a) 2211 b)

112 11 c) 4 11

d) 411

11 e) 3311

20. Señale el valor de la expresión :

W=(1+Cos72≠ )(1+Cos

74≠ )(1+Cos

76≠ )

a) 81 b) 1 c)

641

d) 21 e)

161

www.

.com

Mat

emat

ica1

Trigonometría

Quinto UNI114






8. Si : a - b = 15º, cuál de las siguientes expresio-nes es equivalente a : Cosb (Sena + Cosa)

a) 22 (Cos2b+ 3 Sen2b)

b) 42 ( 3 Cos2b+Sen2b+ 3 )

c) Cos b Sen b3 222 1+ +c m

d) Cos b Sen b21 2 3 2+^ h

e) Sen b Cos b23 2 3 2+^ h

9. Calcular el valor de la siguiente expresión:

21Sec80º - 2Sen70º

a) Tan10º b) Cot10º c) - 1 d) 1 e)

21Cot10º

10. Calcular el valor aproximado de la expresión : S = Csc27º - Sec27º

a) 3 - 5 b) 2 (3- 5 )

c) 2

3 5+ d) 3+ 5

e) 5+ 5

11. Simplificar : E=º

ºSen

Sen1 3 20

20-

a) 2Tan20º b) Tan40º c) 2Tan40º d) Tan20º e) Sec20º

12. Si : Tan7x= 2 Cot3x,

el valor de A=Sec xSec x

104 es :

a) 2 - 3 b) 2 2 - 3 c) 2 +3 d) 2 2 +3 e) 2 +6

13. Reducir :

H=Csc x Csc xSec x Sec x

2 66 2

-- +Csc4x - 2Cot8x

a) Sen4x b) Tan6x c) Tanx d) Csc8x e) Cos9x

14. Si : Cos2x Cos4x Cos8x = 0,5.

Calcule : A=Tan xTan x

97

a) 0,6 b) 0,8 c) 1,6 d) 1,8 e) 2,4

15. Simplificar :

S = Senx + 2Sen2x + 3Sen3x + 4Sen4x

+ 5Sen5x + Senx

Cos x Cos x2

6 5 7 6 1+ -

a) SenxSen x

Sen xCos x

2

327

b) SenxSen x

Sen xSen x

2

327

c) Sen x

Sen xSen x

2

3 7 d) SenxSen x

Sen xSen x

2

527

e) SenxSen x

Sen xCos x

2

527

www.

.com

Mat

emat

ica1

angulo trigonometrico

Documents

lo conocido para

seale lo correcto

son lo conocido

segn corresponda en

problemas para clasebloque

al ir desde

si se cumple

en el grfico