P R O F E S S O R A T E L M A C A S T R O S I LVA

CICLO TRIGONOMÉTRICO

Medidas de Arcos

As unidades mais usadas são o grau (°) e o radiano (rad).

Grau: é quando dividimos uma circunferência em 360 partes congruentes, sendo cada uma dessas partes correspondentes a um arco de um grau (1o).

r

Radiano: um arco de um radiano ( 1rad ) é um arco cujo comprimento é igual ao do raio da circunferência que o contém.

•r

1 rad

6,28 rad ou2π rad

Comprimento do arco igual à medida do raio

Relembrando: o comprimento da circunferência mede 2πr onde r é o raio.

• ≅ 0,28 rad

360° 2π rad

180° π rad

90° π/2 rad

Transformação de graus para radianos

Exemplo: Quantos radianos correspondem a 540°?

540° x rad

Circunferência Trigonométrica - Preliminares

Consideremos uma circunferência de raio unitário (r = 1), cujo centro coincide com a origem de um sistema cartesiano ortogonal.

•0 ••

••

1

1

–1

–1

•0 ••

••

1

1

–1

–1

A

• Se um arco for medido no sentido horário, então a essa medida será atribuído o sinal negativo (-).

• Se um arco for medido no sentido anti-horário, então a essa medida será atribuído o sinal positivo (+).

O ponto A (1 , 0) é a origem de todos os

arcos a serem medidos na circunferência.

⊖⊕ •

•0 ••

••

1

1

–1

–1

A

Os eixos coordenados dividem o plano cartesiano em quatro regiões chamadas quadrantes; esses quadrantes são contados no sentido anti-horário, a partir do ponto A.

Como a circunferência tem 360° ou 2π rad, cada um desses arcos medem 90° ou π/2 rad.

•1° Q2° Q

3° Q 4° Q

Se temos um arco de origem A e extremidade B, ele pode assumir infinitos valores, dependendo do número de voltas no sentido anti-horário (+), ou no sentido horário (–).

π/2 rad

π rad

3π/2 rad

0 rad0••

••

•2π rad

–3π/2 rad

–π rad

–π/2 rad

–2π rad0•

••

••0 rad

Sentido POSITIVO ou anti-horário

Sentido NEGATIVO ou horário

A

B

A

B

π/2 rad = 90°

π rad = 180°

3π/2 rad = 270°

0 rad = 0°0•

••

••2π rad = 360°

5π/2 rad = 450°

3π rad = 540°

7π/2 rad = 630°

4π rad = 720°

Infinitos valores

A R C O S E Â N G U L O S

Exercícios

1. Expresse em graus:

a)

b)

c)

d)

e)

rad910

rad811

rad9

rad20

rad34

Solução: Esse cálculo também poderia ser realizado pela regra de três, mas outra forma é substituir π rad pelo seu correspondente em graus, 180º, e simplificar a fração.

a)

b)

2

45

clicar

1

20

Solução: Esse cálculo também poderia ser realizado pela regra de três, mas outra forma é substituir π rad pelo seu correspondente em graus, 180º, e simplificar a fração.

a)

b)

c) d)

e)

2

45

1

60

1

20

1

20

1

9

2. Determine, em radianos, a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 4 horas.

Solução: Os ponteiros de um relógio estão ambos na direção dos números somente na hora exata. Após esse momento, o único a ficar na direção é o ponteiro dos minutos (grande). O relógio representa uma circunferência dividida em 12 partes iguais. Logo, cada número dista um arco que mede 30°. Às 4h o menor ângulo central formado pelos ponteiros corresponde a

3. Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arco de ( π/12) radianos, que arco ponteiro maior percorre?Solução:

Em graus a medida percorrida pelo menor corresponde a 15°. Esse valor corresponde à metade da distância entre dois números consecutivos. O tempo para percorrer essa distância pelo menor é de meia hora. Enquanto isso o ponteiro maior dá meia volta completa, isto é, 180°.

Logo, o ponteiro maior percorre π rad.

3. Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arco de ( π/12) radianos, que arco ponteiro maior percorre?

Esta questão também pode ser resolvida através se uma regra-de-três simples:

PonteiroPequeno

PonteiroGrande

2π rad(π/6) rad

x rad(π/12) rad

2

Resposta: π rad

4. Um relógio foi acertado exatamente ao meio-dia. Determine as horas e os minutos que estará marcando esse relógio após o ponteiro menor ter percorrido um ângulo de 42°.

PonteiroPequeno Tempo

60 min30°

x42°

Passaram-se 84 minutos após o meio-dia, que corresponde a 1h 24min. Observe que este horário é vespertino, logo pode ser indicado como 13:24 h.

2

5. Qual a medida, em graus, do menor ângulo central formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 9h 30min?

09:00 h 09:30 h

x

α

Solução: Ao marcar 9h em ponto, os ponteiros estavam na direção dos números como indicado na primeira figura. Às 9h30min o ponteiro pequeno deslocou-se de um ângulo “x”.Aplicando a regra-de-rês descobrimos quantos graus ele se afastou da direção do número 9 em 30 minutos.

09:30 h

x

αPonteiroPequeno Tempo

60 min30°

30 minx

60 x = 900 ⇒ x = 15°α = 90° + x e x = 15°

⇒ α = 105°

6. Determine:

a) o comprimento de um arco de circunferência (em cm),

sabendo que ela tem 12cm de raio e o ângulo central

correspondente mede 20°.

b) o ângulo central (em radianos) correspondente a um

arco de 15cm de comprimento, sabendo que ela tem raio

de 20cm.

c) a medida do raio de uma circunferência (em cm),

sabendo que nela um ângulo central de 15° corresponde

a um arco de 30cm.

a) o comprimento de um arco de circunferência (em cm),

sabendo que ela tem 12cm de raio e o ângulo central

correspondente mede 20°.

⇒

b) o ângulo central (em radianos) correspondente a um

arco de 15cm de comprimento, sabendo que ela tem raio

de 20cm.

⇒

c) a medida do raio de uma circunferência (em cm),

sabendo que nela um ângulo central de 15° corresponde a

um arco de 30cm.

⇒

7. A roda dianteira de uma bicicleta tem 40cm de raio.

Quantos metros ela percorre ao dar 5.000 voltas?

Quantas voltas ela deve dar para percorrer 9420m?

40 cm = 0,4 m ⇒ C = 2π × 0,4 m

C ≅ 2,5 m∴1 volta = 2,5 m ⇒ 5000 voltas = 5000 × 2,5 m = 12.500 m

1 volta = 2,5 m ⇒ x voltas = 2,5 x = 9.420 m

8. As rodas de um automóvel têm 70cm de diâmetro.

Determine o número de voltas efetuadas pelas rodas

quando o automóvel percorre 9.891km. Adote π = 3,14.

d = 70 cm ∴ r = 35 cm1 volta = C = 2π × 35 = 70π cm = 219,8 cm = 2,198 mPercurso = 9.891 km = 9.891.000 m

2,198 . x = 9891000 ∴ x = 4.500.000 voltas

x voltas = 2,198 . x

9. Obtenha as menores determinações não negativas dos

arcos.

a) 1300°

b) 1440°

c) 170°

d)

e)

f) –1200°

rad2

11

rad5

43

Solução:

Encontra-se o número de voltas completas

que é múltiplo de 360° ou de 2π.

As menores determinações não negativas

serão os arcos encontrados nos restos

percorridos no sentido positivo.

São chamadas 1ªs determinações.

°1300° 360°

3022

voltas

a)

Logo a 1ª determinação de 1300° é 220°.

1300°= 3 × 360° + 220°

3 voltas completas ∴ volta ao ponto de partida

°1440° 360°

4000

voltas

b)

Logo a 1ª determinação de 1440° é 0°.

1440°= 4 × 360° + 0°

4 voltas completas ∴ volta ao ponto de partida

c) 170° < 360° não completando uma volta. Logo a 1ª determinação é o próprio 170°.

d)

Vamos dividir o arco por 2π rad

Sabemos que: ou seja, 2 voltas mais ¾ de volta.

¾ de uma volta, em radianos, serão:

2

1

ou seja, 4 voltas mais 3/10 de volta.

e)

Vamos dividir o arco por 2π rad

Sabemos que:

3/10 de uma volta, em radianos, serão:

5

1

f)

–120° é a 1ª determinação negativa de –1200°.

Para encontrar a 1ª determinação positiva, devemos

somar 360° a –120°.

–120° + 360° = 240°

Logo a 1ª determinação não negativa de –1200° é 240°

(sentido positivo).

°–1200° 360°

–302–1

voltas

–1300°= –3 × 360° – 120°

3 voltas completas no sentido horário (negativo) ∴ volta ao ponto de partida

• 0°180° • 90° •

•270°

+240° ≡ –120° •

Visualização de determinações positiva e negativa:

≡−𝟗𝟎°

10. Dê as expressões gerais dos arcos côngruos a:

a) 1700°

b) –700°

c)

d)

e)

rad4

49

rad 11

rad8

33

Solução: A expressão geral será

dada pela 1ª determinação dos

ângulos adicionadas a múltiplos de

360° ou 2π, positivos ou negativos.

°1700° 360°

4062

voltas

a) 1700°= 4 × 360° + 260°

4 voltas completas no sentido horário (negativo) ∴ volta ao ponto de partida

260° é a 1ª determinação positiva de 1700°.

Dizemos então que a EXRESSÃO GERAL dos arcos côngruos a 1700° é dada por:

𝟐𝟔𝟎°+𝟑𝟔𝟎 °𝒌 ,𝒌∈ℤ

°1700° 360°

4062

voltas

a)𝟐𝟔𝟎°+𝟑𝟔𝟎 °𝒌 ,𝒌∈ℤ

Sendo k um número inteiro, ao escrevermos 360°k, queremos expressar um número qualquer de voltas completas em qualquer sentido – positivo ou negativo.

Ao somarmos 260°, dizemos que, depois de voltar ao ponto de partida – não importando quantas voltas foram dadas antes – percorremos mais 260° e chegamos sempre ao mesmo ponto.

• 0°180° • 90° •

•270°

260°•

𝟐𝟔𝟎°+𝟑𝟔𝟎 °𝒌 ,𝒌∈ℤ 𝑘=0⇓260 °

≡ 360°

• 0°180° • 90° •

•270°

620°

𝟐𝟔𝟎°+𝟑𝟔𝟎 °𝒌 ,𝒌∈ℤ 𝑘=1⇓620 °

≡ 360°1 volta

•+ 260°

• 0°180° • 90° •

•270°

980°

𝟐𝟔𝟎°+𝟑𝟔𝟎 °𝒌 ,𝒌∈ℤ 𝑘=2⇓980 °

≡ 360°2 voltas+ 260°

•1 volta

• 0°180° • 90° •

•270°

–100°

𝟐𝟔𝟎°+𝟑𝟔𝟎 °𝒌 ,𝒌∈ℤ 𝑘=−1⇓

−100 °

≡ 360° –1 volta

•+ 260°

𝟐𝟔𝟎°+𝟑𝟔𝟎 °𝒌 ,𝒌∈ℤ

Todos os arcos têm extremidade no mesmo ponto!

𝒌=𝟎 𝒌=𝟏

𝒌=𝟐 𝒌=−𝟏

b) )º340()(2º360º700 restovoltas

⇒ 1ª determinação positiva de –700° = 360° – 340° = 20°

Logo a expressão geral é Zk k ,360º20

c) radvoltasradradrad4

)6(1244

48449

Zk rad k ,24

Logo a expressão geral é

d) rad voltasrad rad rad )5(1011

Zk krad ,2 Logo a expressão geral é

radvoltas radradrad8

)2(488

32833 e)

A 1ª determinação positiva será radradrad 815

82

Logo a expressão geral é Zk krad ,2815

– 2 voltas significa duas voltas no sentido horário

(negativo)

11. Assinale com “X” os pares que representam arcos côngruos.

( ) 740° e 1460°

( ) 400° e 940°

( )

( )

Solução:

Para que representem arcos

côngruos, suas extremidades

deverão ser as mesmas.

Isto pode ser verificado

comparando as primeiras

determinações de cada par.

)º20()(4º360º1460

)º20()(2º360º740

restovoltas

restovoltas1º)

)º220()(2º360º940

)º40()(1º360º400

restovoltas

restovoltas2º)

3º)

radvoltasradradradradrad

radvoltasradradradradrad

32

)(432

832

324

326

32

)(632

1232

336

338

4º)

radvoltaradradradradrad

radvoltasradradradradrad

59

)(159

259

510

519

54

)(754

1454

570

574

⊠⊠

11. Assinale com “X” os pares que representam arcos côngruos.

( ) 740° e 1460°

( ) 400° e 940°

( )

( )

⊠⊠

12. Os arcos da forma , , k ∈ ℤ , têm extremidades em que quadrantes?

kk )1.(30º180.

Solução: Atribuindo alguns valores para “k”, observa-se a regularidade dos quadrantes:

)º1(º30º390º30º360º30.)1(º180).2(2

)º2(º150º30º180º30.)1(º180).1(1

)º1(º30º30.)1(º180).0(0

)º2(º150º210º30º180º30.)1(º180).1(1

)º1(º30º330º30º360º30.)1(º180).2(2

2

1

0

1

2

Qk

Qk

Qk

Qk

Qk

Observa-se que, para valores ÍMPARES de k, a extremidade do arco pertence ao 2º quadrante e, para valores PARES, ao 1º quadrante. Logo, a resposta é 1º e 2º quadrantes.

cos α

Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica

Dado um arco trigonométrico AM de medida α, chama-se de cosseno de α a abscissa do ponto M e seno de α a ordenada do ponto M.

••

••

AαM•

•sen α

Sendo M o ponto de coordenadas (cos α, sen α), consideraremos o eixo horizontal como Eixo dos Cossenos e o eixo vertical como Eixo dos Senos.

cos α ••

••

AαM•

•sen α cos

sen

••

r = 1 •( 1 , 0 )

•( 0 , 1 )

•(–1 , 0 )

•( 0 , –1 )

180° ou π rad

0° ou 0 rad

90° ou π/2 rad

270° ou 3π/2 rad

360° ou 2π rad

sen

cos

Ponto Arco Cosseno Seno( 1 , 0 )( 0 , 1 )(–1 , 0 )( 0 , –1 )( 1 , 0 )

Arco0π/2π

3π/22π

Cosseno10

–1 01

Seno010

–1 0

Complete:

1

0

1

0

0

0

ExercícioConverta de graus para radianos:

a) 30° = _____

30° x rad180° π rad

b) 45° = _____ c) 60° = _____

•

sen

cos

30° ou π/6•

•

sen

cos

45° ou π/4•

•

sen

cos

60° ou π/3•

sen

cos

30° ou π/6••

•210° ou 7π/6

150° ou 5π/6

sen

cos

30° ou π/6••

•210° ou 7π/6

•

150° ou 5π/6

sen

cos

30° ou π/6•

210° ou 7π/6•

•

••

330° ou 11π/6

π/6 π – π/6 = 5π/6

π + π/6 = 7π/6

2π – π/6 = 11π/6

sen

cos

1º Q 2º Q 3º Q 4º Q

0 π/2 π 3π/2 2πsen

cos

Agora vamos fazer o mesmo para todos os arcos associados a π/4 e π /6

π/4

sen

cos

1º Q 2º Q 3º Q 4º Qπ – π/4 = 3π/4

π + π/4 = 5π/4

2π – π/4 = 7π/4

•

sen

cos

45° ou (π/4) rad•0° ou 0 rad180° ou π rad

•• •

180° – 45° = 135°ou π – π/4 = (3π /4) rad

180° + 45° = 225°ou π + π/4 = (5π /4) rad

360° ou 2π rad

360° – 45° = 315°ou 2π – π/4 = (7π /4) rad

•

sen

cos

••• •

•

sen

cos

(π/4) rad••• •

(3π /4) rad

(5π /4) rad (7π /4) rad

π/4

sen

cos

1º Q 2º Q 3º Q 4º Qπ – π/4 = 3π/4

π + π/4 = 5π/4

2π – π/4 = 7π/4

π/3

sen

cos

1º Q 2º Q 3º Q 4º Qπ – π/3 = 2π/3

π + π/3 = 4π/3

2π – π/3 = 5π/3

•

sen

cos

60° ou (π/3) rad••

••

0° ou 0 rad180° ou π rad360° ou 2π rad

180° – 60° = 120°ou π – π/3 = (2π /3) rad

180° + 60° = 240°ou π + π/3 = (4π /3) rad

360° – 60° = 300°ou 2π – π/3 = (5π /3) rad

•

sen

cos

••

••

•

sen

cos

60°••

••

120°

240° 300°

π/3

sen

cos

1º Q 2º Q 3º Q 4º Qπ – π/3 = 2π/3

π + π/3 = 4π/3

2π – π/3 = 5π/3

0

Tangente na Circunferência Trigonométrica

Seja t a reta perpendicular ao eixo das abscissas pelo ponto A.

••

••

Aαt

O prolongamento do raio 0M intercepta a reta t no ponto T.

••T

•MA’

B’

B

Chamaremos a reta t de eixo das tangentes, assim:Dado um arco trigonométrico AM, M ≠ B e M ≠ B’, de medida α, chama-se tangente de α (tg α) a ordenada do ponto T obtido pela intersecção do prolongamento do raio 0M com o eixo das tangentes.

0

••

•Aαt

••T

•M•A’

B’

Btg α

OBS: O ponto M não pode coincidir com B, nem com B’, pois os prolongamentos dos raios 0B e 0B’, não interceptam o eixo das tangentes. Por isso dizemos que não existe tangente de um arco com extremidade em B ou B’.

0

••

•Aαt

••T

•M•A’

B’

Btg α

30º ou (π/6) rad

45º ou (π/4) rad

60º ou (π/3) rad

sencostg

1

2

1

2

1

2

3

2

3

3

33

2

2

2

2

Tabela das principais razões trigonométricas

•

sen

cos30° ou π/6

•

tg

T

•

sen

cos45° ou π/4

•tg

T

1

•

sen

cos60° ou π/3

•

tg T

Variação do sinal da tangente

Sabemos que no triângulo retângulo ABC, temos:

c

btg

b

A B

C

αa

c

a

bsen

a

ccos

Vamos calcular o seguinte quociente:

cos

sen

ac

ab

c

a

a

b

c

b tg

sen

⊕⊕⊖ ⊖ cos⊕⊕⊖⊖

tg

⊕⊕⊖ ⊖Lembre-se que ⊕/⊕ = ⊕, ⊖/⊖ = ⊕, ⊕/⊖ = ⊖/⊕ = ⊖

π/6 π – π/6 = 5π/6

π + π/6 = 7π/6

2π – π/6 = 11π/6

sen

cos

1º Q 2º Q 3º Q 4º Q

tg

π/4

sen

cos

1º Q 2º Q 3º Q 4º Qπ – π/4 = 3π/4

π + π/4 = 5π/4

2π – π/4 = 7π/4

tg 1 1–1 –1

π/3

sen

cos

1º Q 2º Q 3º Q 4º Qπ – π/3 = 2π/3

π + π/3 = 4π/3

2π – π/3 = 5π/3

tg

0 π/2 π 3π/2 2πsen

cos

Agora, muita atenção!

tg 0 0 0∞ ∞A divisão por zero não é definida em Matemática, mas podemos considerar aqui que os prolongamentos dos raios nos arcos π/2 e 3π/2 resultariam em paralelas ao eixo das tangentes e, como sabemos, define-se que retas paralelas se “encontram” no infinito.

••

sen

cos30° ou π/6

•

tg

T

Exemplos:

330° ou 11π/6

T’

sen

cos45° ou π/4

•tg

T

1

••

135° ou 5π/4

•

sen

cos60° ou π/3

•tg T

•120° ou 2π/3

C O N T I N U A Ç Ã O

Exercícios

13. Determine os valores de:

a)

b)

º180º902º540cos3 tgseny

º720cosº630cos2º9004 seny

Solução: Encontram-se os arcos côngruos, reduzindo

ao 1° quadrante para determinações dos valores das

funções e atribuindo seus respectivos sinais de acordo

com os quadrantes.

5230)1(2)1(3

0º180

1º90

1º180cosº540cos

y

tg

sen

11001)0(2)0(4

1º0cosº360cosº720cos

0º270cosº630cos

0º180º900

y

sen sen

a)

b)

14. Determine os valores máximos e mínimos das expressões:

a)

b)

c)

3

1cos4

xy

5

52 senxy

23 2 xseny

Solução: As funções seno e cosseno variam no intervalo [ – 1 , 1] onde (–1) é mínimo e (1) é máximo. No caso das funções estarem ao quadrado, o valor mínimo passa a ser (0), pois nenhum número ao quadrado pode ser negativo.

ATENÇÃO!

13

3

3

1)1(4:

3

5

3

1)1(4:

3

1cos4

ymínimo

ymáximox

ya)

b)

5

3

5

_)1(52:

5

7

5

_)1(52:

5

52

ymínimo

ymáximosenx

y

c)

12)1(3:

22)0(3:23 2

ymínimo

ymáximoxseny

15. Que valores de m satisfarão a ambas as condições:

Solução: Aplicando a relação fundamental relacionando senos e cossenos, temos:

ou

16. Sendo x um arco do 2° quadrante e ,

determine:

a) cos x

b) tg x

5

3senx

Solução: No 2° quadrante o cosseno é negativo e a

tangente também é negativa. Aplicando as relações

fundamentais, temos:

a)

b)

17. Relacione as colunas:

Solução: Encontrando o arco côngruo correspondente, avalia-se o sinal da função.

cos 20°

a) 5240° 360°

1164

4200°0

cos

sen

• 0°180° •

90° •

• 270°

200° • 20°20°–cos 20°

cos 200° = –cos 20°

•

b) 1200° 360°

3120°

cos

sen

• 0°180° •

90° •

• 270°

120° •60° 60°

sen 60° = cos 30°

•

c) –210° + 360° = 150°

cos

sen

• 0°180° •

90° •

• 270°

150° •30° 30°

sen 150° = sen 30°

•

d)

cos

sen

• 0°180° •

90° •150° •

30° 30°

tg

• 270°

•

d)

cos

sen

• 0°180° •

90° •

• 270°

120° •60° 60°•

d)

cos

sen

• 0°180° •

90° •

• 270°

• 330°

30°30°

cos 330° = cos 30°

•

d)

17. Relacione as colunas:

18. A expressão é igual a:)º120cos(º540

º3001

tg

sen

cos

sen

180° •

90° •

• 270°

• 300°

• ≡ 360°60°

60° • 0°

540° 360°

1180°

cos

sen

180° •

90° •

• 270°

•

tg

• 0°

–120° + 360° = 240°

cos

sen

180° •

90° •

• 270°

60°

60° • 0°

240° •

•

)º120cos(º540

º3001

tg

sen

0⇒

∴

ISERJ – 2011

Fontes: Trabalho da Professora Gertrudes, PUC-RS e http://professorwaltertadeu.mat.br/