ANALISIS MATEMATICO II - Grupo Ciencias

2019

Practica 10 - Integrales de superficie - Flujos

Comentarios y ejemplos

A. Parametrizaciones de superficies

El concepto de parametrizacion de una superficie es analogo al de parametrizacion de una curva; y de la misma manera quedistinguimos entre curva parametrizada y su imagen, tambien en este caso es importante la distincion entre la aplicacion(que define la parametrizacion) y su imagen (que es la superficie como objeto geometrico de R3). Recordemos la definicionde superficie parametrizada y algunas de sus propiedades.

Una parametrizacion Φ(u, v) de una superficie en R3 es una funcion Φ : D → R3, donde D es un dominiode R2.

La imagen (en R3) de la parametrizacion es una superficie S = Φ(D).

Si Φ es diferenciable (o de clase C1) en D diremos que la superficie S es diferenciable (o de clase C1).

Cuando Φ es diferenciable en (u0, v0), los vectores Tu(u0, v0) =∂Φ

∂u(u0, v0) y Tv(u0, v0) =

∂Φ

∂v(u0, v0) son

tangentes a la superficie S en el punto Φ(u0, v0).

Cuando el producto vectorial Tu(u0, v0) × Tv(u0, v0) 6= 0 se dice que la superficie es suave o regularen Φ(u0, v0). A este vector (que es normal a la superficie S), lo llamaremos el normal asociado a laparametrizacion Φ.

Cuando Φ es regular en todo su dominio, diremos simplemente que la superficie es regular.

Hagamos algunas observaciones y ejemplos.

1. Muchas parametrizaciones pueden tener la misma superficie imagen. Por esa razon, la suavidad de una superficie estaragarantizada por la existencia de al menos una parametrizacion suave.

Por ejemplo: El trozo de paraboloide z = x2 + y2 + 2 limitado por el plano z = 6 puede ser pensada como la imagende las siguientes parametrizaciones:

- Φ1(r, θ) = (r cos θ, r sen θ, r2 + 2), con D = [0, 2]× [0, 2π].

- Φ2(x, y) = (x, y, x2 + y2 + 2), con D =

(x, y) : 0 ≤ x2 + y2 ≤ 4

.

Ambas parametrizaciones son de clase C1(al menos).

Calculemos los normales a cada parametrizacion (si es que existen).

- Φ1 r = (cos θ, sen θ, 2r), Φ1 θ = (−r sen θ, r cos θ, 0); Tr(r0, θ0)×Tθ(r0, θ0) = (−2r2 cos θ,−2r2 sen θ, r).

Como Tr × Tθ = 0 solamente si r = 0, podemos decir que Φ describe una superficie S regular salvo en (0, 0, 2)(correspondiente a Φ1(0, θ)). En el origen no podemos describir un plano tangente asociado a esta parametrizacion.

- Φ2 x = (1, 0, 2x), Φ2 y = (0, 1, 2y); Tx(x0, y0)×Ty(x0, y0) = (−2x,−2y, 1) 6= 0 para todo (x, y).

Es decir que Φ2 describe una superficie S que resulta regular en todos los puntos. En particular, podemos construirel plano tangente en (0, 0, 2) (correspondiente a Φ2(0, 0)). Como N(0, 0) = (0, 0, 1), la ecuacion del plano tangentees z − 2 = 0.

Con la segunda parametrizacion pudimos mostrar la suavidad del paraboloide en todos sus puntos; lo que corroborael comentario del comienzo: cuando hablemos de una “superficie regular”, nos referiremos a que posee al menos unaparametrizacion regular.

2. Si bien los parametros suelen ser variables nuevas, hay casos en los que son dos de las variables cartesianas:

- toda funcion z = f(x, y) permite parametrizar la grafica de la funcion con parametros x e y, es decir

Φ(x, y) = (x, y, f(x, y)), con (x, y) ∈ Dom(f). Por ejemplo,

• f(x, y) = x − 2y, cuya grafica es un plano, puede parametrizarse como Φ(x, y) = (x, y, x − 2y), con x e ynumeros reales.

• el casquete superior de la esfera x2 + y2 + z2 = 4 puede parametrizarse como Φ(x, y) = (x, y,√x2 + y2), con

0 ≤ x2 + y2 ≤ 4.

1

• por supuesto, tambien se puede tener x = f(y, z) o bien y = f(x, z). Por ejemplo, la porcion del cono de eje yde ecuacion y2 = x2+2z2 limitado entre y = 1 e y = 2 puede parametrizarse como Φ(x, z) = (x,

√x2 + 2z2, z),

con 1 ≤ x2 + 2z2 ≤ 4.

- en el contexto de funciones implıcitas. Por ejemplo,

puede mostrarse facilmente que la relacion y4 + z4 − (y + z)2 + 2x3 + x = 2 permite encontrar (idealmente) unaparametrizacion local de la superficie dada como Φ(y, z) = (x(y, z), y, z) en un entorno de cualquier punto (y0, z0).

3. Un beneficio de utilizar coordenadas cartesianas es la forma que adopta el vector normal asociado a la parametrizacion:por ejemplo, si z = f(x, y), tenemos Tx = (1, 0, fx), Ty = (0, 1, fy), y, por lo tanto, N = (−fx(x, y),−fy(x, y), 1).

Observemos que si escribimos z − f(x, y) = 0, la expresion del normal asociado a la parametrizacion cartesiana es elmismo que obtenemos derivando la funcion de tres variables G(x, y, z) = z − f(x, y).

4. Los cambios de coordenadas estudiados en el espacio se pueden aprovechar para obtener parametrizaciones de superficiesque mantienen fija alguna de las variables. Por ejemplo,

el casquete superior de la esfera de radio 2 puede parametrizarse como Φ(θ, ϕ) = (2 cos θ senϕ, 2 sen θ senϕ, 2 cosϕ),con (θ, ϕ) ∈ [0, 2π]× [0, π/2] (esfericas, ρ fija)

la porcion del cilindro x2 + y2 = 9, con z entre −1 y 2 puede parametrizarse como Φ(θ, z) = (3 cos θ, 3 sen θ, z)),con (θ, z) ∈ [0, 2π]× [−1, 2] (cilındricas, r fija).

5. Observacion importante: Al parametrizar una superficie dada S, salvo indicacion contraria siempre supondremos Φinyectiva, salvo eventualmente en el borde de la parametrizacion. Esto es a los efectos de no “superponer”la imagenobtenida.

En el ultimo ejemplo, al tomar Φ(θ, z) = (3 cos θ, 3 sen θ, z)), con (θ, z) ∈ [0, 4π]× [−1, 2], obtendremos como imagen ala misma porcion de cilindro, pero cada punto se toma dos veces.

6. Puede ser conveniente parametrizar la superficie dada mediante variables cartesianas, y posteriormente, si es necesa-rio (por ejemplo para integrar), utiizar algun cambio de coordenadas para describir la region correspondiente a losparametros. Por ejemplo,

la porcion del plano 2x+ 2y + z = 4 interior al paraboloide z = x2 + y2 puede parametrizarse en variables cartesianascomo Φ(x, y) = (x, y, 4−2x−2y). Los lımites para los parametros se encuentran haciendo la interseccion entre el planoy el paraboloide: 4− 2x− 2y = x2 + y2, es decir (x+ 1)2 + (y + 1)2 = 2.

Entonces el dominio de la parametrizacion esta dado por D = (x, y) : 0 ≤ (x+ 1)2 + (y + 1)2 ≤ 2.Ademas, ya sea calculando el producto vectorial entre Tx = (1, 0,−2) y Ty = (0, 1,−2), o bien escribiendo z − 4 +2x+ 2y = 0, el normal asociado a la parametrizacion es N = (2, 2, 1).

Posteriormente, en caso de ser necesario, se puede utilizar un cambio de coordenadas en la region D para describirlade modo mas simple; por ejemplo en coordenadas polares trasladadas. Volveremos sobre este ejemplo en la siguienteseccion.

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Resolver los ejercicios de la Practica 10 - A

Ejercitacion adicional: Parametrizacion de superficies

1. Hallar la ecuacion cartesiana de las siguientes superficies y graficarlas.

(a) Φ(u, v) = (u, v, v/2); en R× R y en [0, 2]× [0, 4]

(b) Φ(θ, v) = (2 cos θ, v, 2 sen θ); en [0, 2π]× [0, 2] y en [0, π/2]× [0, 4]

(c) Φ(θ, v) = (v2, v cos θ, v sen θ)

2. Encontrar parametrizaciones cuyas imagenes sean las siguientes superficies. Indicar el dominio de parametrizacion.

(a) el plano x = y;

(b) la porcion del plano anterior limitada por el cilindro x2 + z2 = 4

(c) el cilindro y2 + 4z2 = 4 que se encuentra en el primer octante limitado por x = 16− y2 − z2.

3. Para las parametrizaciones anteriores, indicar si son suaves y calcular el vector normal asociado en los puntos en losque existe.

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2

B. Integrales de superficies de funciones escalares

Consideremos una superficie S que admite una parametrizacion Φ sobre un dominio D tal que

Φ es C1 e inyectiva, salvo posiblemente en la frontera de D

la imagen de Φ es suave, salvo posiblemente en un numero finito de puntos.

Sea f una funcion continua definida sobre S. La integral de f sobre la superficie S se defne como∫∫S

f dS =

∫∫D

f(Φ(u, v))‖N‖du dv =

∫∫D

f(Φ(u, v))‖Tu ×Tv‖du dv

Observaciones

1. Una vez hallada la parametrizacion, el dominio y el normal asociado, la integral de superficie se convierte en unaintegral doble que se calcula con las tecnicas ya estudiadas. En particular, puede necesitarse una transformacion decambio de coordenadas. No olvidar, en ese caso, el jacobiano correspondiente.

De modo alternativo, se podrıa plantear desde el comienzo una parametrizacion de la superficie que tenga en cuentaese cambio; por ejemplo, plantear una parametrizacion utilizando coordenadas cilındricas o esfericas.

Cuando la superficie es la grafica de una funcion, suele ser mas directo plantear la parametrizacion en cartesianas, yaque el dominio es la proyeccion sobre el plano de las variables y el normal es muy simple de calcular, y luego, si laregion o el integrando lo necesitan, plantear un cambio de variables.

2. Podemos definir la integral de f sobre una superficie que sea union finita de superficies como las definidas (en elrecuadro anterior) y que no se intersecan mas que a lo largo de curvas que definen sus fronteras. Simplemente se sumanlas integrales sobre cada superficie.

Por ejemplo, la integral de una funcion sobre la superficie de un cubo se calcula como la suma de las integrales sobretodas sus caras.

Ejemplos:

Sea la porcion del cilindro parametrizado como Φ(θ, z) = (3 cos θ, 3 sen θ, z)), con D = [0, 2π] × [−1, 2] (presentado enla observacion 4 de la Seccion A) y la funcion f(x, y, z) = x+ z.

Tθ = (−3 sen θ, cos θ, 0); Tz = (0, 0, 1). El normal asociado a la parametrizacion es N = (3 cos θ, 3 sen θ, 0) 6= 0 paratodo (θ, z). Es decir, la parametrizacion es suave.

Vemos ademas que Φ es inyectiva salvo en los puntos (0, z) y (2π, z), que se corresponden con dos segmentos de lafrontera de D. Como f es continua en D, se cumplen todos los requisitos para poder calcular:∫∫

S

f dS =

∫∫D

f(Φ(θ, z))‖N‖dθ dz =

∫∫D

(3 cos θ + z)3 dθ dz

Calculemos el area de la porcion del plano 2x+2y+z = 4 interior al paraboloide z = x2+y2 (ultimo ejemplo mencionadoen la Seccion A). Su parametrizacion en cartesianas es Φ(x, y) = (x, y, 4− 2x− 2y), el dominio de la parametrizacionesta dado por D = (x, y) : 0 ≤ (x + 1)2 + (y + 1)2 ≤ 2, y el normal asociado a la parametrizacion tiene modulo:‖N‖ = ‖(2, 2, 1)‖ = 3.

El area entonces se puede calcular como

area de S =

∫∫S

1 dS =

∫∫D

‖N‖dx dy =

∫∫D

3 dx dy.

Para completar el calculo de la integral doble, conviene proponer el cambio de variables dado por las coordenadaspolares modificadas x = −1 + r cos θ; y = −1 + r sen θ, cuyo jacobiano es r. De modo que

area de S =

∫ 2π

0

∫ 2

0

3r dr dθ = 6π.

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3

C. Integrales de superficies de campos vectoriales (flujos)

Tambien consideraremos integrales de superficie para campos vectoriales. Ası como las integrales de lınea pueden interpretarsecomo la integral de trayectoria de la componente tangencial del campo, las integrales de superficie de campos se definen comola integral de superficie de la componente normal del campo vectorial.Para que esta operacion tenga sentido, la superficie S tiene que cumplir con la propiedad de poder elegir de modo continuoel vector normal (asociado a la parametrizacion Φ considerada). Estas superficies se llaman orientables.

Se dice que una superficie S es orientable cuando es posible definir un campo vectorial continuo sobre S que acada punto de S asigne uno de los vectores unitarios normales en dicho punto.Cuando dicho campo vectorial existe se lo llama una orientacion de S.

Consideremos una superficie S orientable que admite una parametrizacion Φ sobre un dominio D que es suave e inyectiva(salvo posiblemente sobre curvas de la frontera de D). El normal asociado a la parametrizacion determina una de las dosposibles orientaciones de la superficie.Recordemos ahora la definicion de la integral de superficie de un campo vectorial

Consideremos una superficie S orientable que admite una parametrizacion Φ sobre un dominio D tal que

Φ es C1 e inyectiva, salvo posiblemente en la frontera de D

la imagen de Φ es suave, salvo posiblemente en un numero finito de puntos.

Sea ~F un campo vectorial continuo definida sobre S. La integral de ~F sobre la superficie S se defne como∫∫S

~F · d~S =

∫∫D

~F (Φ(u, v)) ·N du dv =

∫∫D

~F (Φ(u, v)) · (Tu ×Tv) du dv

Observaciones y ejemplos

1. El signo de la integral de superficie de un campo vectorial depende de la orientacion de la superficie, es decir, del normalelegido para el calculo.

Dada una parametrizacion Φ(u, v), si intercambiaramos el orden de los parametros y consideraramos Ξ(v, u) = Φ(u, v),el normal asociado cambiara de sentido (ya que en el producto vectorial se intercambian las dos filas). Obtendrıamosası la otra orientacion posible de la superficie y, en particular, el calculo de la integral de superficie cambiara de signo.

Por eso, una vez construida la parametrizacion y calculado el normal N asociado, si este no tiene la orientacionadecuada, en lugar de cambiar la parametrizacion simplemente se toma −N para el calculo.

Por ejemplo:

Consideremos la porcion del cilindro parametrizado como Φ(θ, z) = (3 cos θ, 3 sen θ, z), con D = [0, 2π] × [−1, 2]

(del primer ejemplo de la seccion B) con normal apuntando hacia afuera de la superficie y el campo ~F (x, y, z) =(x,−y, z).El cilindro es una superficie orientable. Habıamos obtenido que N = (3 cos θ, 3 sen θ, 0). Este normal apunta haciaafuera del cilindro (por ser continuo, basta comprobarlo en un solo punto); por ejemplo, N(0, 1) = (3, 0, 0) es elnormal correspondiente a Φ(0, 1) = (3, 0, 1) y claramente apunta hacia afuera de la superficie.

~F (Φ(θ, z)) ·N = (3 cos θ,−3 sen θ, z) · (3 cos θ, 3 sen θ, 0) = 9 cos2 θ − 9 sen2θ = 9 cos(2θ).

Luego ∫∫S

~F · d~S =

∫∫D

~F (Φ(u, v)) ·N du dv =

∫ 2

−1

∫ 2π

0

9 cos(2θ) dθ dz.

Sea ~F (x, y, z) = zi+ 5xyj− 16k (medido en metros por segundo) el campo de velocidades de un fluıdo. Queremoscalcular cuantos metros cubicos de fluıdo atraviesan por segundo la superficie dada por la porcion del plano Sde ecuacion 2x + 2y + z = 4 interior al paraboloide z = x2 + y2 en la direccion que apunta hacia el origen decoordenadas.

El plano es una superficie orientable. En el segundo ejemplo mencionado en la Seccion B, propusimos la para-metrizacion Φ(x, y) = (x, y, 4 − 2x − 2y), con dominio en D =

(x, y) : 0 ≤ (x+ 1)2 + (y + 1)2 ≤ 2

, y normal

(constante) asociado: N = (2, 2, 1).

Ubicados sobre cualquier punto del plano, es claro que el normal no apunta hacia (0, 0, 0). A los efectos de calcularel flujo, deberemos tomar N = −N = (−2,−2,−1).

4

~F (Φ(x, y)) · N = (4− 2x− 2y, 5xy,−16) · (−2,−2,−1) = −8 + 4x+ 4y − 10xy + 16 = 8 + 4x+ 4y − 10xy.

Luego ∫∫S

~F · d~S =

∫∫D

(8 + 4x+ 4y − 10xy) dx dy.

Dado que la region D es un disco desplazado, aprovechemos el cambio de variables que propusimos en la seccionanterior. La integral a calcular sera (escribiendo 8 + 4x+ 4y = 4(x+ 1) + 4(y + 1))∫∫

S

~F · d~S =

∫ 2π

0

∫ 2

0

(4r cos θ + 4r sen θ − 10(−1 + r cos θ)(−1 + r sen θ)

)r dr dθ.

2. Con frecuencia es preciso calcular integrales sobre superficies que tienen aristas y no son suaves ni orientables en elsentido que acabamos de definir pero que son suaves y orientables a trozos esto es, que se obtienen “pegando” variassuperficies suaves y orientables; por ejemplo, la superficie formada por las caras de un poliedro. En tal caso, la integralde un campo vectorial sobre una superficie suave y orientable a trozos se define como la suma de las integrales sobrecada una de las superficies suaves y orientables que la forman.

3. Para una superficie cerrada, esto es una superficie que es la frontera de un dominio acotado en R3, se llama orientacionpositiva a aquella en la que el vector normal apunta siempre hacia el exterior de la superficie.

Cuando la superficie no es cerrada, es necesario aclarar cual de las dos orientaciones del normal es la adecuada alproblema.

Aclaracion

Cuando nos referimos a la frontera (o el borde) de cierta superficie S no estamos hablando del aspecto topologico(puntos tales que todo entorno contiene puntos del conjunto y de su complemento), ya que en ese caso toda lasuperficie formarıa parte de la frontera.Por ejemplo, consideremos la superficie S dada por el paraboloide z = 9−x2−y2 limitado por z = 2. La frontera(o borde) de S es la circunferencia ∂S =

(x, y, z) : x2 + y2 = 7; z = 2

.

Para comprender por que los llamamos de la misma forma, consideremos una superficie S parametrizada mediante la apli-cacion Φ con dominio D ⊂ R2. Entonces, la frontera de la superficie es la imagen de la frontera (topologica) de D.

En el ejemplo anterior, Φ(x, y) = (x, y, 9− x2 − y2) con dominio D =

(x, y) : 0 ≤ x2 + y2 ≤ 7

.

La frontera (topologica) de D es el conjunto fr(D) =

(x, y) : x2 + y2 = 7

.Calculemos la imagen de fr(D): si (x, y) ∈ fr(D), entonces x2 + y2 = 7.Φ(x, y) = (x, y, 9 − x2 − y2) = (x, y, 9 − 7) = (x, y, 2). Pero entonces se cumple que x2 + y2 = 7 y que z = 2, es decir,Φ(x, y) ∈ ∂S.

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Resolver los ejercicios de la Practica 10 - B y C

Ejercitacion adicional

1. (a) Calcular el area del cilindro x2 + y2 = 2y que se encuentra limitado por z = 0 y el plano y + z = 2.

(b) Calcular el area del plano y + z = 2 interior al cilindro x2 + y2 = 2y.

2. Calcular el flujo del campo ~B(x, y, z) = − y

x2 + y2i+

x

x2 + y2j a traves de las siguientes superficies:

(a) el cuadrado S que une los puntos (1, 0, 0), (3, 0, 0), (1, 0, 2), y (3, 0, 2) (con su interior), cuyo normal apunta alprimer octante.

(b) la porcion del plano z = 0 encerrada por el paraboloide z + 4 = (x− 3)2 + 2y2.

(c) cualquier superficie contenida en el plano z = 0 que no contenga al origen de coordenadas.

3. Sea S la parte del cono z2 = x2 + y2 con z entre −2 y −1 orientada con la normal apuntando hacia afuera del cono.

Calcular

∫∫S

~F · d~S con ~F (x, y, z) = (x2, y2, z2)

5

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Practica 10 - Integrales sobre superficies. Flujos

A. Superficies en el espacio

1. Identificar las siguientes superficies y encontrar un vector unitario normal a la superficie en los puntos en que exista.

(a) x = cosu, y = senu, z = v con 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ 1

(b) x = v cosu, y = vsenu, z = v con 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ 1

(c) x = v cosu, y = vsenu, z = v2 con 0 ≤ u ≤ 2π, 0 < v ≤ 1

2. La siguiente es una parametrizacion del hiperboloide de una hoja, x = a cosu cosh v −π < u ≤ πy = bsenu cosh v v ∈ Rz = csenhv a, b, c ∈ R son constantes

(a) Encontrar una ecuacion cartesiana que describa esta superficie.

(b) Esbozar su grafico.

3. Parametrizar las porciones de superficies indicadas.

(a) La porcion del primer octante de la esfera centrada en el origen de radio 3.

(b) El triangulo de vertices (0, 0, 3/2), (0, 3/2, 0) y (1, 0, 0).

(c) La porcion del plano 3x+ 2y + 2z = 3 en el interior del cilindro x2 + y2 = 4.

(d) La porcion del paraboloide z = 4− x2 − y2 interior al cilindro x2 + y2 = 4.

(e) La porcion del cilindro x2 + y2 = 5 comprendido entre los planos z = x y z = x+ 4.

4. Dada una esfera de radio 2 con centro en el origen, hallar la ecuacion para el plano tangente a la esfera en el punto(1, 1,√

2)

considerando la parametrizacion dada por Φ (θ, φ) = (2 cos θ senφ, 2 sen θ senφ, 2 cosφ), con θ ∈ [0, 2π] yφ ∈ [0, π].

B. Integrales de superficie de funciones escalares

1. Calcular el area de la porcion de superficie de la esfera unitaria contenida dentro de,

(a) El cono x2 + y2 = z2 para z ≥ 0 (b) El cilindro x2 + y2 =1

2

2. Evaluar en cada caso∫∫Sf (x, y, z) dS.

(a) f (x, y, z) = z y S es la semiesfera superior x2 + y2 + z2 = 9.

(b) f (x, y, z) =√

1 + 4x2 + 4y2 y S es la porcion del paraboloide z = 4− x2 − y2 sobre el rectangulo [0, 2]× [−1, 3].

(c) f (x, y, z) = −xyz y S esta formada por las cuatro caras del tetraedro delimitado por z = 0, y = 0, x = 0 yx+ y + z = 1.

3. Una superficie S tiene la forma de una porcion de cilindro parabolico z = 4−x2 como se muestra en la figura. Calcular

su masa considerando que la densidad en cada punto esta dada por ρ (x, y, z) =z + x2√4x2 + 1

.

1

C. Integrales de superficie de campos vectoriales

1. Sea−→F (x, y, z) = x

−→i + xy

−→j + (z + 1)

−→k . Calcular

∫∫S

−→F · d

−→S en cada caso.

(a) S es la superficie del ejercicio A.3c orientada con el normal hacia abajo.

(b) S es la superficie del ejercicio B.2b orientada con el normal exterior.

(c) S es la porcion del plano x+ y = 1 en el interior del cilindro y2 + z2 = 1 orientada con el normal apuntando haciael origen.

2. Sea S la superficie determinada por la semiesfera x2 + y2 + z2 = 1 con z ≥ 0 y su base x2 + y2 ≤ 1 con z = 0. Calcular

el flujo saliente del campo−→E (x, y, z) = (2x, 2y, 2) a traves de S.

3. Sea−→F (x, y, z) =

√y−→j (medido en metros por segundo) el campo de velocidades de un fluıdo. Calcular cuantos metros

cubicos de fluıdo atraviesan por segundo la superficie x2 + z2 = y con 0 ≤ y ≤ 1, en la direccion en que y crece.

4. Sin hacer cuentas indicar en cada caso si el flujo∫∫S

−→F · d

−→S es nulo o no.

5. Chequear las respuestas anteriores haciendo las cuentas segun el siguiente detalle,

(a)−→F (x, y, z) =

−→j + 2

−→k a traves de la esfera x2 + y2 + z2 = 1.

(b)−→G (x, y, z) = y

−→k a traves del rectangulo z = 0, 1 ≤ x ≤ 2,−1 ≤ y ≤ 1.

(c)−→H (x, y, z) = (−x,−y,−z) a traves del cilindro y2 + z2 = 1 con −2 ≤ x ≤ 2.

(d)−→L (x, y, z) = (y,−x, 0) a traves del cono x2 + y2 = z2 con −2 ≤ z ≤ 2.

2

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Practica 11 - Teoremas de Stokes y Gauss

Comentarios y ejemplos

A. Teorema de Stokes

El Teorema de Stokes relaciona la integral de lınea lo largo de una curva cerrada C en el espacio con la integral de unasuperficie S que tiene a C como frontera. Puede pensarse como una generalizacion del Teorema de Green.Como en el caso del teorema de Green, el Teorema de Stokes se enuncia (y demuestra) en primer lugar para un tipo particularde superficies, aquellas que son graficas de una funcion, tıpicamente z = f(x, y), con (x, y) ∈ D siendo D una region dondese puede aplicar el Teorema de Green (aunque por supuesto puede darse x = g(y, z) o y = h(x, z)). Luego se generaliza asuperficies orientables.Recordemos el resultado y hagamos algunas observaciones y generalizaciones.

Teorema de Stokes:Sea S una superficie suave, acotada y orientable y C = ∂S su frontera. Sea ~F un campo definido sobre un abiertoque contiene a S de clase C1. Entonces ∫∫

S

(∇×

−→F)· d~S =

∫∂S

−→F · d~r,

donde el sentido de recorrido de la curva C esta inducido por la orientacion elegida para la superficie.

Observaciones y ejemplos:

1. El Teorema de Stokes tambien es valido para una superficie orientable suave a trozos y para superficies cuya fronteraes suave a trozos. Por ejemplo,

el cilindro x2 + y2 = 2, para 0 ≤ z ≤ 1 con su base (pero sin la tapa) es una superficie orientable a trozos. Sucurva borde es x2 + y2 = 2; z = 1.

el plano x+ y+ z = 1 en el primer octante es una superficie orientable suave. Su frontera es suave a trozos, y estadada por la union de tres segmentos: x+ y = 1; z = 0, y + z = 1; x = 0 y x+ z = 1; y = 0.

2. Es importante elegir adecuadamente la orientacion del normal y el sentido de recorrido de la curva borde para que laigualdad del Teorema sea valida. De otra forma, las integrales tendran signo diferente.

Suele llamarse sentido positivo (o inducido por la superficie) al sentido de recorrido de la curva cerrada C al que dejala superficie a la izquierda cuando se la recorre de acuerdo al normal elegido para orientar la superficie. Por ejemplo,

para el cilindro del ejemplo anterior: supongamos que se orienta de modo tal que el normal apunte “hacia afuera”.Para la base, el normal tendra tercer componente negativa. La curva borde debera ser recorrida en sentido horario(mirando “desde arriba”).

para la porcion del plano de la observacion anterior: supongamos que el normal tiene su tercer componente positiva.Entonces la frontera debera ser recorrida en sentido antihorario (mirando “desde el primer octante”): comenzandoel recorrido de la curva en (1, 0, 0), por ejemplo, pasara por (0, 1, 0), (0, 0, 1) retornando a (1, 0, 0), en ese orden.

Consideremos la porcion de paraboloide z = x2 + 2y2 (limitado por el plano z = 4) cuyo normal tiene tercercomponente negativa. La curva borde es la elipse x2 + 2y2 = 4, z = 4. El sentido de recorrido de C inducido porla orientacion de S es el horario, mirando la circunferencia “desde arriba”.

3. El Teorema de Stokes puede utilizarse para calcular una integral de lınea en vez de una de superficie (o al reves), opara cambiar la superficie de integracion por otra que comparta la misma curva borde, recorrida en el mismo sentido.

Por ejemplo, la elipse de la observacion anterior: x2 + 2y2 = 4, z = 4, puede pensarse como la frontera del plano z = 4limitada por el cilindro x2 + 2y2 = 4. Para mantener el sentido de recorrido de la curva elegido previamente, el normalal plano debera tener su tercer componente negativa (apuntar “ hacia abajo”). Llamando S1 al paraboloide y S2 alplano, se verifica que ∫∫

S1

rot−→F · n dS =

∫C

−→F · d~r =

∫∫S2

rot−→F · n dS

4. Podemos comprobar que el Teorema de Green es un caso particular del Teorema de Stokes cuando la superficie Ses una porcion D del plano z = 0. Considerando el campo P (x, y)i + Q(x, y)j como un campo en tres dimensiones

1

~F = P i+Qj + 0k, se obtiene que rot~F = (Qx − Py)k. Usamos la parametrizacion Φ(x, y) = (x, y, 0), con (x, y) ∈ D y

normal n = (0, 0, 1). Entonces rot−→F · n = Qx − Py y el Teorema de Stokes queda escrito como∫∫S

rot−→F · n dS =

∫∫D

(Qx − Py) dx dy =

∫C

−→F · d~r,

que es el enunciado del Teorema de Green (C es la curva borde de D recorrida de modo de dejar la region a la izquierda).

5. Interpretacion

Supongamos ~v un campo de velocidad en un flujo de fluıdos y consideremos la integral de lınea sobre una curva

cerrada C:

∫C

~v · d~r =

∫C

~v ·T ds.

Del calculo del producto escalar, podemos decir que cuanto mas cercana este la direccion de ~v a la direccion den, mas grande es el valor de ~v ·n. Por eso, la integral de lınea mide la tendencia del fluıdo a moverse alrededor deC y se la llama circulacion de v alrededor de C.

Por otro lado,

∫∫S

rot~v · n dS =

∫∫S

rot~v · d~S =

∫C

~v ·T ds.

El teorema de Stokes dice, entonces, que el flujo del rotacional de un campo a traves de una superficie suave yorientable a trozos es igual a la circulacion del campo en el borde de la misma.

Tomemos un punto P y llamemos Sr a un entorno de P de radio r.

Utilizando el Teorema de Stokes y el Teorema del valor medio para integrales se puede mostrar que

rot (~v)(P ) · n = lımr→0

1

area(Sr)

∫∂(Sr)

~v ·T dr.

Como la circulacion es la velocidad neta del fluıdo alrededor del borde ∂(Sr), rot(~v) · n representa el efecto degiro (o rotacion) del fluido alrededor del eje normal n.

Para un punto P , rot(~v)(P ) · n(P ) es la circulacion de ~v por unidad de area en una superficieperpendicular a n(P ).

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B. Teorema de Gauss

El Teorema de Gauss relaciona la integral triple sobre un solido Ω con una integral sobre la superficie cerrada S = ∂Ω quela tiene como frontera.Recordemos el resultado en su forma mas general y hagamos algunas observaciones y ejemplos.

Teorema de Gauss:Sea Ω una region acotada de R3 y sea ∂Ω su frontera, suave a trozos y orientada con su normal exterior. Sea ~Fun campo definido sobre un abierto que contiene a Ω de clase C1. Entonces∫∫∫

Ω

div−→F dV =

∫∫∂Ω

−→F · d~S.

Observaciones y ejemplos:

1. El Teorema ya esta establecido en su forma general, es decir cuando la supericie cerrada es union finita de superficiessuaves. Si bien cada superficie se puede parametrizar en forma independiente de las demas, no hay que olvidar elegirlas orientaciones de sus normales para que sean exteriores al solido. Por ejemplo,

Sea el volumen determinado por el cilindro z2 + 4y2 = 4, con −1 ≤ x ≤ 2. Su frontera es union de:

i) S1 (la porcion del cilindro), dada por Φ1(θ, x) = (x, cos θ, 2 sen θ), con (x, θ) ∈ [−1, 2] × [0, 2π] y normaln = (0,−2 cos θ,− sen θ). Para decidir si la orientacion es correcta, podemos elegir un punto: por ejemplo,para (0, 1, 0) = Φ(0, 0) el normal es n = (0,−2 cos 0,− sen 0) = (0,−2, 0), que apunta hacia el interior delcilindro. Luego, hay que tomar el normal opuesto.

ii) S2 (la tapa posterior x = −1), dada por Φ2(y, z) = (−1, y, z), con dominio D sobre la proyeccion en el planoyz, D = z2 + 4y2 ≤ 4. El normal n = (1, 0, 0) es interior al volumen, por lo tanto tomaremos n = (−1, 0, 0).

2

iii) S3 (la otra tapa x = 2), dada por Φ3(y, z) = (2, y, z) sobre la misma proyeccion en yz, D = z2 + 4y2 ≤ 4. Elnormal n = (1, 0, 0) ahora es exterior al volumen.

Consideremos la region V determinada por 0 ≤ z ≤ 4− 2x2 − 2y2. Su frontera es union de:

i) S1 (plano z = 0), dada por Φ1(x, y) = (x, y, 0), cuyo dominio D es la proyeccion en el plano xy, D = x2+y2 ≤ 2(el lımite esta dado por la interseccion entre ambas superficies). El normal n = (0, 0, 1) es interior al volumen,por lo tanto tomaremos n = (0, 0,−1)

ii) S2 (paraboloide z = 4 − 2x2 − 2y2), dado por Φ2(x, y) = (x, y, 4 − 2x2 − 2y2), con dominio en la mismaproyeccion D. Su normal n = (4x, 4y, 1) es exterior al paraboloide, ya que tiene la tercer componente positiva.

2. El Teorema de Gauss puede utilizarse para calcular una integral triple en lugar de una de superficie (o al reves).

En particular, eligiendo un campo con divergencia igual a 1, puede calcularse el volumen del solido V mediante laintegral de superficie

volumen de V =

∫∫∂Ω

−→F · d~S.

3. Interpretacion

Tomemos un punto P y llamemos Ωr a una bola centrada en P de radio r.

Utilizando el Teorema de Gauss y el Teorema del valor medio para integrales se puede mostrar que

div ~(F)(P ) = lımr→0

1

vol(Ωr)

∫∫∂(Ωr)

−→F · n dS

Para un punto P , la divergencia div (~F)(P ) es la tasa de flujo neto hacia el exterior del solido porunidad de volumen.

En particular, si div (~F)(P ) > 0, en las cercanıas del punto P hay un flujo neto hacia el exterior. Se dice que P es unafuente.

Si div (~F)(P ) < 0, en las cercanıas del punto P hay un flujo neto hacia el interior. Se dice que P es un sumidero.

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Como para preparar el final...

1. Para hacer este ejercicio van a tener que usar algunas identidades que calcularon en la Practica 9, parte B, ademas dela siguiente (recordemos que ∆f = fxx + fyy + fzz es el laplaciano de f):

∆f = div (∇f)

Sea Ω ⊂ R3 un dominio acotado y sean f y g dos funciones de clase C2(Ω). Llamemos n al normal exterior.

Usando el Teorema de Gauss, probar las identidades de Green:∫∫∂Ω

f (∇g · n) dS =

∫∫∫Ω

(f∆g +∇f · ∇g) dx dy dz∫∫∂Ω

(f∇g − g∇f) · n dS =

∫∫∫Ω

(f∆g − g∆f) dx dy dz

El producto ∇g ·n es la derivada direccional de g en la direccion del normal. Se la llama directamente derivada normalde g y suele anotarse como ∂ηg o como ∂g

∂n .

2. En las condiciones del ejercicio anterior, se dice que λ ∈ R es un autovalor del operador laplaciano si existe una funcionf ∈ C2(Ω) con f 6≡ 0 tal que

(D) Condiciones Dirichlet

∆f = λf en Ωf = 0 en ∂Ω

(N) Condiciones Neumann

∆f = λf en Ω∂f

∂n= 0 en ∂Ω

A dicha funcion se la llama autofuncion asociada al autovalor correspondiente. Observen que kf para cualquier constantek, tambien es autofuncion asociada al mismo autovalor.

Utilizando la segunda identidad de Green, mostrar que si λ 6= µ son dos autovalores del laplaciano en Ω y f y g sonautofunciones asociadas a λ y µ, respectivamente, entonces∫∫∫

Ω

f g dV = 0

(a) para el problema del laplaciano con condiciones Dirichlet

(b) para el problema del laplaciano con condiciones Neumann

(Se dice que f y g son ortogonales).

3

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Resolver los ejercicios de la Practica 11

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Un poco mas de ejercitacion

1. (a) Considerar dos superficies S1 y S2 con la misma frontera C. Describir, mediante dibujos, como deben orientarse

las superficies para asegurar que

∫∫S1

(∇×−→F ) · −→n dS1 =

∫∫S2

(∇×−→F ) · −→n dS2

(b) Deducir que si S es una superficie cerrada, entonces

∫∫S

(∇×−→F ) · −→n dS = 0 (una superficie cerrada es aquella que

constituye la frontera de una region en el espacio)

(c) Comprobar el mismo resultado aplicando el teorema de Gauss.

2. Estudiar la aplicabilidad del Teorema de Stokes para el campo−→F (x, y, z) =

(− yx2+y2 ,

xx2+y2 , 0

)y la superficie S, en

cada uno de los siguientes casos:

(a) S es el cırculo de radio a centrado en el origen sobre el plano z = 0.

(b) S es la region del plano z = 0 limitado por el cilindro x2 + y2 = 1 y el plano x+ y = 1.

3. Calcular

∮C

(y + senxdx+

(3

2z2 + cos y

)dy + 2x3dz, donde C es la curva parametrizada por r(t) = ( sen t, cos t, sen 2t),

con 0 ≤ t ≤ 2π.

Sugerencia: observar que la curva esta incluida en la superficie z = 2xy, para evitar calcular la integral de lınea.

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4

ANALISIS MATEMATICO II - Grupo Ciencias

2018

Practica 11 - Teorema de Stokes - Teorema de Gauss

Si un ejercicio se pide comprobar el Teorema de Gauss o de Stokes, deberan comprobar las hipotesis y calcular las dos integrales.Si un ejercicio pide calcular una integral usando el Teorema de Gauss o de Stokes, se espera el calculo de la otra integralinvolucrada en el Teorema, ademas de la comprobacion de las hipotesis correspondientes.Si no se especifica la manera, depende del integrando y de la region cual integral es la que conviene calcular.

A. Teorema de Stokes

1. Comprobar que se cumple la igualdad correspondiente al Teorema de Stokes en los siguientes casos,

a) Para−→F (x, y, z) = 3y

−→i − xz

−→j + yz2

−→k y la superficie S de la primera figura.

b) Para−→F (x, y, z) = (x + y, 2x− z, y + z) y S la porcion del plano 3x + 2y + 2z = 6 en el primer octante orientada con

el vector normal hacia el origen.

2. Calcular

∫∫S

(∇×−→F ) · −→n dS siendo S la porcion del paraoloide 2z = x2 + y2 para 0 ≤ z ≤ 2 orientada con el normal

exterior y−→F (x, y, z) = 4y

−→i − xz

−→j + yz2

−→k .

3. Calcular∮Cxydx + zdy + ydz siendo C la curva de la segunda figura.

4. Calcular∮C

(x + y) dx + ydy + zdz siendo C el rectangulo de vertices (1, 2,−1), (1, 2, 3), (0, 2, 3) y (0, 2,−1).

5. Calcular

∮C

((arctan (y) + sen (z)) dx +

x

1 + y2dy + (x cos (z) + y) dz

), siendo C la curva interseccion entre el paraboloide

x2 + 5y2 = z y el plano z = 27 orientada en sentido antihorario al verse desde el eje z positivo.

6. Considerar−→F (x, y, z) = 4x3y

−→i + 3y2z2

−→j + xz3

−→k ,−→G (x, y, z) = −x4−→j +

(xz3 − 2y3z

)−→k y C la elipse determinada por

la interseccion del cilindro x2 + y2 = 1 y el plano 2x + 3y − z = 9. Mostrar que∮C

−→F · d−→r =

∮C

−→G · d−→r .

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B. Teorema de Gauss

1. Comprobar que se cumple la correspondiente igualdad del Teorema de Gauss en cada caso,

a) Para−→F (x, y, z) = x

−→i +y−→j +z−→k y S la superficie frontera del solido comprendido entre los paraboloides z = 10−x2−y2

y z = 2 + x2 + y2.

b) Para−→F (x, y, z) = x3−→i + y3

−→j + z3

−→k y S la esfera unitaria centrada en el origen.

1

2. Calcular el flujo saliente del campo−→F (x, y, z) = x

−→i −−→j + 3z2

−→k a traves de la superficie frontera del solido encerrado en

el primer octante por el plano 2x + y + 4z = 2.

3. Calcular

∫∫S

(∇×

−→F)· d−→S siendo

−→F (x, y, z) =

(sen 2

(y2 + z2

)+ zy, 2ex

2z, x2 + y2)

y S la frontera del solido compren-

dido entre la semiesfera superior x2 + y2 + z2 = 1 y el plano z = 0.

4. Calcular el flujo saliente del campo−→F (x, y, z) =

(xz,−y2, xz

)a traves de la superficie frontera del solido interior al cilindro

x2 + y2 = 1 para 0 ≤ z ≤ 4.

5. Mostrar que el volumen de un solido V puede calcularse con

1

3

∫∫∂V

−→F · −→n dS siendo

−→F (x, y, z) = x

−→i + y

−→j + z

−→k .

6. Dado−→F (x, y, z) = (x + yz, xye−xz, e−xz), calcular

∫∫S

−→F · d

−→S siendo S la porcion del paraboloide z = 1−x2−y2 que esta

sobre el plano xy orientado con el normal hacia arriba (notar que la superficie no es cerrada).

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Mas ejercitacion

1. Sea F(x, y, z) = (x+yez, Q(x, z), 5z), siendo Q una funcion diferenciable. Considerar el solido S determinado por el interiorde la esfera dada por x2 + y2 + z2 = 25, con z = 4. Se sabe que el flujo de F a traves de la porcion del plano z = 4, conx2 + y2 = 9 es igual a 4. Calcular el flujo de F a traves de la porcion de esfera que es es borde de S.

2. Calcular∫C

−→G · d−→r , donde

−→G(x, y, z = (yz + arctan z, ezy + sen z, z3) y C es la curva interseccion del cono z =

√x2 + y2

con el cilindro x2 + y2 = 1 recorrida en sentido antihorario cuando se observa desde el eje z.

3. Una partıcula se mueve por la accion del campo de fuerza F(x, y, z) = (z2, 2xy, 4y2) a lo largo de segmentos de recta desdeel origen, pasando por (1, 0, 0), (1, 2, 1) (0, 2, 1) y regresando al origen .Usando el Teorema de Stokes, encontrar el trabajorealizado.

4. Verificar el Teorema de Gauss para el campo F(x, y, z) = (x4,−x3z2, 4x2z) y el soildo determinado por x2 + y2 = 1 y losplanos z = 0 y y z = x + 2.

5. A partir del Teorema de Gauss, calcular el flujo de F(x, y, z) = (z2x, y3

3 + tan z, x2z + y2), sobre la semiesfera superior Sdada por x2 + y2 + z2 = 1. Sugerencia: considerar S ∪ S1, donde S1 es el disco x2 + y2 ≤ 1 con z = 0.

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