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INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE TAMAZULA UNIDAD II :ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIORFECHA: 13 DE ABRIL DEL 2015 4 SEMESTREECUACIONES DIFERENCIALES PRINCIPIO DE SUPERPOSICIONEl principio de superposicin se ocupa principalmente de la ecuacin diferencial lineal homognea.13/04/2015

2ECUACIONES DEFERENCIALES UNIDAD II G(x)=oElprincipio de superposicinoteorema de superposicines una herramienta matemtica que permite descomponer un problema lineal en dos o ms sub-problemas ms sencillos, de tal manera que el problema original se obtiene como "superposicin" o "suma" de estos sub-problemas ms sencillos.13/04/2015

ECUACIONES DEFERENCIALES UNIDAD II 313/04/2015ECUACIONES DEIFERENCIALES UNIDAD II 5CONCEPTO:Sea y1,y2,y3 ,,yn. Un conjunto fundamental de soluciones de nuestra ED lineal homognea en intervalo I. entonces la combinacin lineal de dichas funciones es solucin de la EDL, es decir:

C1y1 + c2y2 + c3y3 +. + Cnyn =Y

donde c1, c2, c3, .. Cn son constates arbitrarias pertenecientes a los reales y tambin es una solucin en el intervalo

13/04/2015ECUACIONES DEIFERENCIALES UNIDAD II 6Es decir tenemos y1,y2,y3, . Yn

Que son soluciones de la EDL

Cada Multiplicado por c1,c2,c3,. Cn

La sumatoria de esas soluciones multiplicadas constantes nos dar una Y.Y ESA Y POR PRINCIPIO DE SUPERPOSICION TAMBIEN VA SER SOLUCION DE ED.En el teorema de superposicin tenemos tener en cuenta dos colorarios:13/04/2015ECUACIONES DEFERENCIALES UNIDAD II 7Sea y(x)=Cy1(x) tambin es solucin si y1(x) es una solucinUna ED lineal homognea siempre posee una solucin trivial que es y(x)=0Nos dan una ecuacin y(x), nos dice una de sus soluciones es una constate por y1(x)quiere decir que y1(x) tambin es solucin de esa ecuacin diferencial.13/04/2015ECUACIONES DEIFERENCIALES UNIDAD II 8EJEMPLO #1 DE TEOREMA DE SUPERPOSICION

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13/04/2015ECUACIONES DEIFERENCIALES UNIDAD II 10Veremos que tenemos una EDL homognea xy- 2xy+ 4y = 0 en el intervalo (0,)

Nos pide que vamos a derivar 3 veces las funciones y1=x y y2=xln x

la primera deriva es sencilla ya la tenemos y solo multiplicamos por C. a y1 y a y2 queda: Y= c1x + c2xln x

La segunda deriva y de la misma funciones quedara : Y= 2c1x + c2(x.1/x+2x.lnx)

Reduciendo trminos semejantes quedara:

Y= 2c1x + c2x+2c2x.ln x

Aplicamos la regla del producto13/04/2015ECUACIONES DEIFERENCIALES UNIDAD II 11Derivando ahora yY= 2c1 + c2 + 2c2x.ln xY= 2c1 + c2 + 2c2ln x + 2c2x.(1/x)

Reduciendo trminos semejantes : y= 2c1 + 3c2 + 2c2 ln x

Volvemos a derivar por ultimas vez y:

y= 2c2(1/x) REMPLAZAMOS EN LA ORIGINALxy- 2xy+ 4y = 0

2C2x(1/x)-4c1x-2c2x-4c2x.lnx+4c1x+4c2x.lnx = 0

Volvemos aplicar la regla del producto

0 = 0 cumpleQuiere decir que se cumple el teorema de superposicin es decir que en y tambin es solucin de esa ED.

13/04/2015ECUACIONES DEIFERENCIALES UNIDAD II 12EJEMPLO #2

Se sabe que y1 = sen 2x, y2= cos 2x son soluciones de la ED y + 4y = 0 Probar que: y= 2c1cos 2x - 2c2sen 2xY= -4c1sen 2x -4c2 cos 2x 13/04/2015ECUACIONES DEIFERENCIALES UNIDAD II 13Reemplazando en la original:Y+ 4y = 0y = sen 2x + cos 2xY= -4c1sen 2x -4c2 cos 2x -4c1sen 2x -4c2 cos 2x + 4c1 sen 2x + 4c2cos 2x = 00 = 0 cumple

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