análisis estático y dinámico de un robot bípedo durante la fase de...

MEMORIAS DEL XXIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 20 al 22 DE SEPTIEMBRE DE 2017 CUERNAVACA, MORELOS, MÉXICO

Tema A3b Mecanismos y robótica: Robótica humanoide

“Análisis estático y dinámico de un robot bípedo durante la fase de soporte simple de un ciclo de marcha”

Christian Alberto Matilde Domínguez*, Eduardo Morales Sánchez

Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada Unidad Querétaro, Instituto Politécnico Nacional, Cerro Blanco no. 141 col. Colinas

del Cimatario, Querétaro, C.P. 76090, México.

*[email protected]

R E S U M E N

Este trabajo presenta la determinación de las fuerzas y momentos, de origen estático y dinámico, que se ejercen sobre las

articulaciones de un robot bípedo de 12 grados de libertad, cuando éste ejecuta la fase de soporte simple de un ciclo de

marcha sobre una superficie horizontal. El robot es modelado como un robot serial, donde los pies derecho e izquierdo

son los eslabones base y último, respectivamente. El modelo dinámico inverso del robot se obtiene mediante la evaluación

del algoritmo recursivo de Newton-Euler, considerando que el eslabón base está en reposo e incluyendo los efectos

estáticos de manera explícita en el cálculo regresivo. De este modo, se emplea este modelo para determinar la

contribución de los efectos estáticos y dinámicos por separado. Adicionalmente, se presenta la ecuación para determinar

el cumplimiento de la condición necesaria para que el robot mantenga el balance durante la ejecución de la secuencia de

movimiento.

Palabras Clave: Robot bípedo, Algoritmo Recursivo de Newton-Euler, Ciclo de marcha.

A B S T R A C T

This work presents the determination of the forces and couples, of static and dynamic origin, exerted on the joints of a 12-

degreee-of-freedom biped robot, when it executes the simple support phase of a gait cycle over a horizontal surface. The

robot is modelled as a serial robot, where the right foot is the base link while the left foot is the end-effector. The inverse

dynamic model of the robot is obtained through the evaluation of the Recursive Newton-Euler Algorithm, considering that

the base link is at rest and including the static effects explicitly on the regressive computation. In this way, it is used to

determine the contribution of the static and dynamic effects separately. Additionally, the equation for the determination of

the fulfilling of the necessary condition for the robot to be in balance during the execution of the sequence of motion, is

presented.

Keywords: Biped robot, Recursive Newton-Euler Algorithm, Gait cycle.

1. Introducción

Un robot bípedo puede ser modelado como un robot serial

durante la ejecución de la fase de soporte simple del ciclo de

marcha de cualquiera de sus extremidades. En este intervalo

de tiempo, uno de los pies, el de apoyo, se encuentra fijo con

respecto al suelo, mientras que el otro se desplaza en el aire.

El pie de apoyo es el eslabón base y el otro, el eslabón

último. El robot es estudiado, entonces, mediante las

herramientas matemáticas desarrolladas para robots

manipuladores, como el algoritmo recursivo de Newton-

Euler (ARNE), por ejemplo. Este modelo se utiliza para

determinar las fuerzas y momentos que actúan sobre las

articulaciones de un robot serial, tomando en cuenta la

velocidad y la aceleración con la que se realizan los

movimientos.

Uno de los objetivos principales del sistema de control en

tiempo real de un robot bípedo es evitar que éste caiga. Esto

se consigue manteniendo el balance, dinámico o estático, en

cualquier instante. La determinación del primero involucra

más operaciones que la determinación del segundo,

empleando más tiempo para evaluarlo, por lo que se utiliza

únicamente cuando los efectos dinámicos no pueden ser

despreciados. Por lo tanto, es indispensable disponer de una

herramienta que permita determinar los efectos dinámicos y

estáticos, para compararlos e identificar su contribución, y

decidir si es necesario realizar el análisis dinámico (inverso)

del robot, o basta con realizar el análisis estático.

Los eslabones y actuadores de un robot humanoide se

dibujan en programas de diseño mecánico como Catia [3],

Pro/Engineer [2], Solid Edge [5] y SolidWorks [4]. De esta

manera se dispone de un modelo virtual (modelo CAD) del

sistema para realizar simulaciones en el mismo programa, o

en otro, de análisis, como Adams [3] o SimMechanics [4].

Los programas de diseño mecánico mencionados con

anterioridad, disponen de comandos para determinar la

distribución de masa de los eslabones, necesaria para

ISSN 2448-5551 MT 8 Derechos Reservados © 2017, SOMIM


resolver el modelo dinámico (inverso o directo), e incluyen

módulos para realizar simulaciones de movimiento (análisis

dinámico). Sin embargo, no es posible diferenciar los

efectos dinámicos de los estáticos, pues se presenta la

solución numérica del modelo dinámico inverso, que

representa la suma de los efectos dinámicos y estáticos. De

este modo, se requiere un conjunto de ecuaciones que

permita determinar la magnitud de los efectos dinámicos en

comparación con la magnitud de los efectos estáticos, para

determinar si es indispensable incluirlos en la determinación

del balance durante la marcha.

Este trabajo presenta un conjunto de ecuaciones que

permite determinar y comparar los efectos dinámicos con los

estáticos, para decidir si es necesario emplearlos en la

determinación del balance durante la ejecución de la fase de

soporte simple del ciclo de marcha de un robot bípedo.

2. Metodología

Se obtiene el modelo geométrico directo del robot para

conocer la posición y la orientación de cada uno de sus

eslabones con respecto al eslabón base, cuando se conocen

las posiciones angulares de los actuadores. Las matrices de

transformación homogénea que componen este modelo se

utilizan para determinar la posición de cualquier punto,

definido con respecto a cualquiera de los sistemas de

coordenadas adjuntos al robot, relativa al sistema de

referencia (sistema de coordenadas 0 asignado al eslabón

base). Después, se utiliza la misma asignación de sistemas

de coordenadas para determinar el modelo dinámico inverso

del robot, mediante la formulación de Newton-Euler

expresada en forma recursiva, a partir de la cual se realiza la

comparación entre los efectos estáticos y dinámicos. Por

último, se evalúa el cumplimiento de la condición necesaria

para el balance estático o dinámico, según se requiera.

3. Descripción del robot bajo estudio

Se elabora el modelo CAD del robot en un programa de

diseño mecánico (Fig. 1). Cada extremidad posee 3

articulaciones: el tobillo, la rodilla y la cadera, de 2, 1 y 3

grados de libertad, respectivamente.

(a) (b)

Figura 1 – Modelo CAD del robot realizado en SolidWorks. Vistas:

(a) frontal; (b) izquierda.

4. Modelo geométrico directo

Se asignan (Fig. 2) sistemas de coordenadas a los eslabones

del robot siguiendo la convención de Denavit-Hartenberg

descrita en [1] y se determinan los parámetros que los

relacionan (tabla 1).

Figura 2 – Asignación de sistemas de coordenadas.

Tabla 1 – Parámetros de Denavit-Hartenberg del robot.

i αi-1 (°) ai-1 (mm) di (mm) θi (°)

1 0 0 0 q1

2 90 0 0 q2

3 0 a2 0 q3

4 0 a3 0 q4

5 -90 0 d5 q5 + 90

6 -90 0 -d6 q6

7 0 a6 d7 q7

8 90 0 -d8 q8 + 90

9 90 0 0 q9

10 0 a9 0 q10

11 0 a10 0 q11

12 -90 0 0 q12



Se evalúan los parámetros de Denavit-Hartenberg del robot

(un renglón a la vez) en la ecuación siguiente [1]:

,

1000

0

1111

1111

1

1

iiiiiii

iiiiiii

iii

ii

dccscss

dsscccs

asc

T

(1)

para determinar las matrices de transformación individual de

éste. A continuación, se evalúa la ecuación siguiente

( 12,...,3,2i ):

,101

0 TTT iiii

(2)

para determinar el resto de las matrices de transformación

homogénea que componen el modelo geométrico directo del

robot, que en forma compacta se define como:

.12,...,2,1

0

iiTMGD (3)

5. Modelo dinámico inverso

Las ecuaciones siguientes forman el cálculo progresivo del

algoritmo recursivo de Newton-Euler [1]:

,11

11

11

i

iii

iiii

i ZR (4)

,11

111

111

11

i

iii

iii

iiii

iiii

i ZZRR (5)

],)([ 111

11

ii

ii

ii

ii

ii

iii

iii OOR

(6)

,)( 11

11

11

11

11

11

1

1

ii

ii

ii

ii

ii

ii

iCi CC (7)

,11

111

i

iii

i mF (8)

.11

111

11

111

i

iii

ii

iii

i IIN (9)

Al considerar que el eslabón 0 está en reposo, como sucede

durante la fase de soporte simple de la extremidad derecha,

se debe incluir el efecto del peso de cada eslabón en el

cálculo regresivo del algoritmo recursivo de Newton-Euler.

Esto se realiza de la manera siguiente:

,001

11 i

ii

ii

iiii

i WRFfRf

(10)

.001

1111

11 i

ii

ii

iiii

ii

ii

ii

iiii

ii

i WRCfROFCnRNn

(11)

Las ecs. (10) y (11) forman el modelo dinámico inverso del

robot; éstas se evalúan para cada instante considerado en la

secuencia de movimiento bajo estudio. Al omitir los efectos

dinámicos ( iiF y i

i N ) en las ecs. (10) y (11), se determinan

los efectos estáticos únicamente:

,001

11 i

ii

iiii

i WRfRfe

(12)

.001

1111

11 i

ii

ii

iiii

ii

iiii

i WRCfROnRne

(13)

6. Evaluación numérica del ARNE

Se emplea el modelo CAD del robot para determinar la

distribución de masa de cada uno de sus eslabones; ésta se

caracteriza por la masa, la posición del centro de masa y el

tensor de inercia.

Se asigna un sistema de coordenadas A, al entorno. La

superficie sobre la que se realiza la secuencia de movimiento

está definida por el plano XAYA. Al inicio del movimiento,

la posición y la orientación del sistema de coordenadas 0,

con respecto al sistema de coordenadas A, es conocida.

La fase de soporte simple que se considera está definida

por las funciones de movimiento i , i y i , para 12,...,2,1i . La Fig. 3 muestra las funciones de posición

angular de los actuadores (funciones iq únicamente), que

definen un ciclo de marcha de la extremidad izquierda que

inicia a partir de la postura de referencia. La fase de soporte

simple de la extremidad derecha (que equivale a la fase de

balanceo de la extremidad izquierda) comprende la región

delimitada por líneas punteadas, que transcurre en el

intervalo de tiempo de 37 a 46 segundos. El ciclo de marcha

del robot es distinto del ciclo de marcha del cuerpo humano.

(a) (b)

Figura 3 – Funciones de posición angular de los actuadores de las

extremidades: (a) derecha; (b) izquierda.

Se evalúan los parámetros mencionados con anterioridad

en el modelo dinámico inverso del robot, de manera

simultánea se determinan los efectos estáticos. Se obtienen

resultados como los que se presentan en la Fig. 4, donde se

muestra la acción que el eslabón 0 ejerce sobre el sistema de



coordenadas adjunto al eslabón 1 (el momento n1z es

producido por el actuador 1). La línea negra muestra la suma

de los efectos dinámicos y estáticos (solución del modelo

dinámico inverso); la línea roja, únicamente los efectos

estáticos. Debido a que los efectos dinámicos son menores

al 10% de los efectos estáticos (en diferencia positiva o

negativa), se concluye que no son significativos. Por lo

tanto, el análisis estático es suficiente para determinar las

fuerzas y los momentos que actúan sobre los eslabones

cuando el robot ejecuta la secuencia de movimiento deseada.

(a)

(b)

Figura 4 – Resultados del modelo dinámico inverso: (a) Fuerza sobre

el eje X1; (b) Momento alrededor del eje Z1.

7. Simulación de la secuencia de movimiento

Se realiza una simulación de movimiento en SolidWorks

para verificar que las gráficas de f1x y n1z, y en general los

resultados numéricos de las ecs. (10) y (11), son correctos.

Esto es cierto cuando los resultados de la simulación (Fig.

5) son iguales a los obtenidos de forma analítica. La Fig. 5(b)

es opuesta a la Fig. 4(b) debido a la forma en que se dibujó

el eslabón 1, esta situación no representa un resultado

incorrecto.

(a)

(b)

Figura 5 – Resultados de la simulación realizada en SolidWorks:

(a) Fuerza sobre el eje X1; (b) Momento alrededor del eje Z1.

8. Balance durante la marcha

Debido a que los efectos dinámicos no son significativos, se

considera que no es necesario determinar el balance

dinámico del robot. Por lo tanto, solo se evalúa si la

condición de balance estático se satisface durante la

ejecución de la secuencia de movimiento. El centro de masa

del robot, definido con respecto al sistema de coordenadas

0, está dado por la ecuación siguiente:

,12

1

0

0

12

1

00

0

0

i

i

i

i

i

mm

CmCm

C (14)

donde ii

ii CTC 00 , mientras que la posición del centro de masa

del robot con respecto al entorno está dada por:

.]1,,,[00

TAAAAA zyxCTC (15)



La proyección vertical del centro de masa del robot está

definida por los componentes 1 y 2 del vector de posición

CA . Al evaluar las ecs. (14) y (15) se encuentra que la

proyección vertical del centro de masa del robot se encuentra

contenida en la base de soporte, definida por la planta del

pie derecho, durante la ejecución de la fase de soporte simple

de la extremidad derecha (Fig. 6). De modo que, la

condición de balance estático se cumple [7]. Por lo tanto, el

robot es capaz de ejecutar la secuencia de movimiento bajo

estudio, si los actuadores pueden producir los pares

requeridos y si los eslabones soportan las fuerzas y

momentos a los que se someten.

(a)

(b)

Figura 6 – Postura del robot durante la fase de soporte simple de la

extremidad derecha (a) Inicio; (b) Final.

La posición del ZMP está definida por las ecuaciones

siguientes (adaptadas de [6]):

,

12

1

0

12

1

00

i

ziAA

iA

i

ziA

xiA

xiA

ziA

yiAA

xiA

iA

x

A

ZMPA

Fgmgm

FCFCNgCmgCm

x (16)

;

12

1

0

12

1

00

i

ziAA

iA

i

yiA

ziA

ziA

yiA

xiAA

yiA

iA

y

A

ZMPA

Fgmgm

FCFCNgCmgCm

y (17)

donde el superíndice A indica que todas las cantidades

vectoriales se expresan con respecto al sistema de

coordenadas A, adjunto al entorno. Debido a que los efectos

dinámicos no son significativos, la diferencia (Fig. 7) entre

la proyección vertical del centro de masa y la posición del

ZMP es pequeña (como se esperaba). Al comparar las ecs.

(16) y (17) con la ec. (14) se aprecia que cuando los efectos

dinámicos no son significativos ( 0 ii

ii NF ), la proyección

vertical del centro de masa del robot y el ZMP son

coincidentes.

(a)

(b)

Figura 7 – Trayectoria de la proyección vertical del punto C y del ZMP

durante la fase de soporte simple de la extremidad derecha: (a) Inicio;

(b) Final.



9. Conclusión

Se presentaron los modelos geométrico directo y dinámico

inverso de un robot bípedo, los cuales se utilizaron para

determinar los efectos estáticos y dinámicos que se ejercen

sobre los eslabones de éste cuando se ejecuta una secuencia

de movimiento. Estos efectos se utilizaron para determinar

el balance durante el desarrollo de la fase de soporte simple

de una extremidad. Se mostró que cuando los efectos

dinámicos no son significativos, la desviación entre la

proyección vertical del centro de masa del robot y la

posición del ZMP es pequeña, por lo tanto, basta satisfacer

la condición de balance estático para garantizar la

realización del movimiento.

Agradecimientos

Este trabajo se realizó gracias a una beca (no. 426742)

otorgada por el Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología

(CONACYT), para realizar estudios de maestría; la difusión

de éste se realizó gracias a un apoyo otorgado por el Consejo

de Ciencia y Tecnología del Estado de Querétaro

(CONCYTEQ), a través de la convocatoria para realizar

actividades de difusión de la ciencia, la tecnología y la

innovación, edición 2017 (no. de registro 197).

REFERENCIAS

[1] Craig, J. Robótica. Capítulos 3 y 6. Tercera edición. Pearson Prentice Hall.

[2] Deng, X; Wang, J; Xiang, Z. The simulation Analysis of Humanoid Robot Based on Dynamics and Kinematics. ICIRA, Part I, pp. 93 – 100, 2008.

[3] Do-un, K; Sang-wook, H; Hyo-jun, K. Kinematic analysis of a humanoid robot CHP-1 and selection of motors in consideration of cooperative motion. Journal of Central South University, Springer 2012.

[4] Hernández-Santos, C; Soto, R; Rodríguez, E. Design and Dynamic Modeling of Humanoid Biped Robot e-Robot. 2011 IEEE Electronics, Robotics and Automotive Mechanics Conference, pp. 191-196.

[5] Narváez-Aroche, O; Rocha-Cózatl, E; Cuenca-Jiménez, F. Modelos dinámico de un robot bípedo de 12 GDL internos. Memorias del XVII Congreso Internacional Anual de la SOMIM, pp. 992-1001, 2011.

[6] Sardain, P; Bessonnet; G. Forces Acting on a Biped Robot. Center of Pressure—Zero Moment Point. IEEE Transactions on systems, man, and cybernetics—Part A: Systems and Humans, vol. 34, no. 5, pp. 630-637, 2004.

[7] Siciliano, B; Khatib, O. Springer Handbook of Robotics. Chapter 16. Springer-Verlag Berlin Heidelberg.


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