análisis de la distribución del potencial eléctrico para...

MEMORIAS DEL XXIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 20 al 22 DE SEPTIEMBRE DE 2017 CUERNAVACA, MORELOS, MÉXICO

Tema A4 Termofluidos: Electrocinética

Análisis de la distribución del potencial eléctrico para un flujo electroosmótico de dos fluidos inmiscibles en un microcanal rectangular

Escandón Colin Juan Pablo*, Juan Rolando Gómez López, Hernández Roblero Clara Guadalupe

Instituto Politécnico Nacional, SEPI-ESIME Azcapotzalco, Av de las Granjas No. 682, Col Santa Catarina, Del. Azcapotzalco, Ciudad de México, C.P.

02250, México

*Autor contacto.Dirección de correo electrónico: [email protected]

R E S U M E N

En esta investigación se presenta la solución analítica de la distribución del potencial eléctrico para aplicación en un flujo

electroosmótico conduciendo dos fluidos inmiscibles en un microcanal rectangular. El modelo matemático se basa en las

ecuaciones gobernantes de conservación de la cantidad de movimiento y de Poisson-Boltzmann. Los fluidos considerados

son electrolitos simétricos y en el análisis se consideran los efectos de deslizamiento eléctrico y densidad de carga

superficial neta en la interface entre los fluidos. En los resultados se muestran perfiles de distribución del potencial eléctrico

los cuales dependen de parámetros adimensionales como lo son una razón geométrica entre el alto y ancho del microcanal,

potencial zeta especificado en las paredes y un deslizamiento eléctrico interfacial; este último parámetro altera de forma

notable la continuidad de potencial eléctrico a través de la sección transversal del microcanal respecto al transporte de un

solo fluido.

Palabras Clave: Potencial eléctrico, deslizamiento eléctrico, fluidos inmiscibles, flujo electroosmótico, microcanal.

A B S T R A C T

In this research the analytical solution of the electrical potential distribution for application in an electroosmotic flow is

presented, conducting two immiscible fluids in a rectangular microchannel. The mathematical model is based on the

conservation equations of momentum and Poisson-Boltzmann. The considered fluids are symmetrical electrolytes and the

analysis considers the effects of electric slip and net surface charge density at the interface between the fluids. The results

show electrical distribution profiles which depend on dimensionless parameters such as a geometric ratio between the

height and width of the microchannel, zeta potential specified in the walls and an electrical interfacial slip; this latter

parameter significantly alters the continuity of electrical potential across the cross-section of the microchannel with respect

to the transport of a single fluid.

Keywords: Electrical potential, electric slip, immiscible fluids, electroosmotic flow, microchannel.

Nomenclatura

Dh diámetro hidráulico, m

E vector de campo eléctrico, V m-1

Ex campo eléctrico en la coordenada x, V m-1

e carga del electrón, C

h1,2 espesores de los fluidos, m *

1,2h espesores adimensionales de los fluidos

kB constante de Boltzman, J K-1

L longitud del microcanal, m

n0 número de concentración iónica, m-3

p presión, Pa

qs densidad de carga superficial, C m-2

t tiempo, s

T temperatura, K

ui velocidad del fluido, m s-1

iu velocidad adimensional del fluido

uc velocidad característica, m s-1

V vector de velocidad, m s-1

W ancho del microcanal, m

W* ancho adimensional del microcanal

x,y,z coordenadas cartesianas , ,x y z coordenadas cartesianas adimensionales

zi valencia del electrolito

Símbolos griegos

deslizamiento eléctrico, V

ISSN 2448-5551 TF 1 Derechos Reservados © 2017, SOMIM


i permitividad eléctrica, C V-1 m-1

�̅� parámetro electrocinético

-1 longitud de Debye, m

µi viscosidad del fluido, Pa s

�̅� razón de viscosidades

ρ densidad del fluido, kg m-3

e densidad de carga eléctrica, C m-3

i potencial eléctrico, V

i potencial eléctrico adimensional

i potencial zeta en las paredes, V

i potencial zeta adimensional en las paredes

Subíndices

i fluido, i=1,2

1. Introducción

Desde hace varios años, el bombeo electroosmótico ha sido

empleado como un método de transporte de fluidos en

dispositivos microfluídicos [1-4]. Este fenómeno consiste en

el movimiento de un líquido en relación a una superficie

estacionaria cargada por un campo eléctrico aplicado [5]. La

ventaja de este método es que para su funcionamiento no se

requiere de partes móviles, lo cual es útil en los dispositivos

microfluídicos, donde se requiere la integración de una

microbomba con un tamaño comparable al pequeño

volumen del fluido a bombear.

La comunidad científica ha realizado diversas

investigaciones empleando el bombeo electroosmótico bajo

la consideración de un solo fluido transportándose por los

conductos. Sin embargo en décadas recientes el interés en

bombeo se ha extendido hacia el movimiento de fluidos

inmiscibles y multicapas de fluidos, esto debido a procesos

de coextrusión, procesos de recubrimientos de película y

procesos de transporte lubricados [6]. Debido a ello, existen

diversos trabajos enfocados al transporte de fluidos

inmiscibles, uno de ellos es el realizado por Afonso et al. [7],

quienes obtuvieron una solución analítica para el flujo

electroosmótico de dos fluidos inmiscibles en un microcanal

de placas planas siendo un solo fluido conductor, además,

obtienen la distribución del potencial eléctrico mediante la

solución de la ecuación de Poisson-Boltzman con la

aproximación de Debye-Hückel para potenciales bajos en

las paredes del microcanal. Así mismo, la investigación

realizada por Su et al. [8] consiste en una solución semi-

analítica del flujo electroosmótico de dos fluidos inmiscibles

en un microcanal de placas planas. A diferencia de la

investigación de Afonso et al. [7], en este trabajo se

consideran ambos fluidos conductores y por lo tanto se

introduce la ley de Gauss y un deslizamiento eléctrico como

condiciones de frontera en la interface de ambas capas de

fluido.

Por otra parte, en la investigación de Gao et al. [9] se

obtiene una solución para el flujo electroosmótico de fluidos

inmiscibles en un microcanal rectangular. Para la solución

del potencial eléctrico se emplea el método de separación de

variables, además de considerar únicamente un fluido

conductor y una condición de simetría a lo largo de la

coordenada axial. También se han realizado investigaciones

sobre el transporte de más de dos fluidos inmiscibles, como

el realizado por Haiwang et al. [10] quienes obtuvieron una

solución analítica para el flujo combinado electroosmótico-

presión de tres fluidos inmiscibles transportados en un

microcanal rectangular. En este análisis, los fluidos en la

parte superior e inferior del microcanal son considerados

conductores y el fluido central es movido por arrastre

electro-viscoso en la interface. La ecuación de Poisson-

Boltzman se resuelve de forma analítica para obtener la

distribución del potencial eléctrico y se considera una

condición de simetría.

Es importante resaltar que la mayoría de los trabajos

mencionados sobre flujo de fluidos inmiscibles, han sido

realizados en microcanales de placas planas transportando

un fluido conductor y otro no conductor. Por esta razón, el

presente trabajo realizará una solución analítica de la

distribución del potencial eléctrico de dos fluidos

inmiscibles en un microcanal rectangular, considerando que

ambos fluidos son conductores eléctricos. En el análisis se

asumirán condiciones eléctricas de interface, siendo estas de

deslizamiento eléctrico entre los fluidos y de balance de

carga neta superficial. Esta combinación de condiciones

impuestas para la distribución del potencial eléctrico

respecto a la geometría del conducto y condiciones

eléctricas de interface entre los fluidos, no ha sido tratada

aún por la comunidad científica. Por lo tanto, se debe hacer

énfasis en que el presente trabajo incluye únicamente el

análisis de la distribución del potencial eléctrico en el

microcanal, y sus resultados dejan un panorama

introductorio para la obtención del campo de flujo de fluidos

inmiscibles, en el contexto de la aplicación de flujos

electroosmóticos.

2. Formulación del problema

2.1. Descripción del modelo físico

Esta investigación considera el planteamiento de flujo de

dos fluidos inmiscibles en un microcanal rectangular con

altura h1+h2, ancho W y largo L. Los fluidos son

eléctricamente conductores y se basan en electrolitos

simétricos. El sistema de coordenadas Cartesiano se localiza

en la interface entre los fluidos 1 y 2 como es mostrado en

la Fig. 1. El movimiento de los fluidos se debe a la presencia

de un campo eléctrico Ex en la dirección de la coordenada x

y que contribuye a los efectos electroosmóticos. El potencial

zeta especificado en las paredes del fluido 1 es 1 y en el

fluido 2 es 2, los cuales se mantienen uniformes a lo largo

del microcanal en la coordenada x. Por lo anterior, la

distribución del potencial eléctrico 1,2(y, z) y necesario para

la presencia del flujo electroosmótico se desarrollara en el

plano y-z. En el esquema se muestra la condición de

deslizamiento eléctrico en la interface entre los fluidos.

2.2. Ecuaciones gobernantes

El campo de flujo está gobernado por la ecuación de Navier-

Stokes siguiente



2

, ,i

i i i e i

Dp

Dt

VV E (1)

donde V, ρ, t, p, ρe , y E son el vector de velocidad, la

densidad del fluido, el tiempo, la presión, la densidad de

carga eléctrica, la viscosidad dinámica y el vector de campo

eléctrico, respectivamente. i=1,2 es el número de fluido.

Para la determinación de la densidad de carga eléctrica,

se emplea la ecuación de Poisson-Boltzmann que define la

distribución del potencial eléctrico de la manera siguiente

[5]

,2 02sinh ,

e i i i i

i

i i B i

n z e z e

k T

(2)

donde , , n0, z, e, kB y T son el potencial eléctrico,

permitividad eléctrica, número de concentración iónica,

valencia del electrolito, constante de Boltzmann y

temperatura del fluido, respectivamente.

2.3. Simplificación de las ecuaciones gobernantes

La formulación matemática asume las siguientes

consideraciones:

flujo es incompresible y laminar,

flujo en estado permanente y desarrollado,

el alto del microcanal es del orden del ancho, H ~ W,

se desprecian efectos de entrada o salida, i.e.,

L>>(h1+h2),

propiedades físicas constantes de los fluidos,

flujo unidimensional,

aproximación de Debye-Hückel, con sinh(ze/kBT)

ze/kBT, para potenciales bajos con valores de <25

mV, donde ~ [11],

no existe gradiente de presión externo o inducido en el

sistema.

Atendiendo lo anterior, las ecuaciones gobernantes, ecs. (1)

y (2), quedan simplificadas en coordenadas Cartesianas de

la siguiente manera:

2 2

2

2 20 ,i i

i i x

u uE

y z

(3)

2 2

2

2 2,i i

i iy z

(4)

donde ui es la velocidad de cada fluido en la coordenada x

del microcanal. 2 2 2

02 /i i Bn z e k T es el parámetro Debye-

Hückel.

Las condiciones de frontera aplicables al campo de flujo

de la ec. (3) son las siguientes:

Condiciones de no deslizamiento en las paredes del

microcanal:

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 2 2

(0 , 0) (0 , ) 0,

( 0, 0) ( 0, ) 0,

( ,0 ) ( ,0 ) 0,

u y h z u y h z W

u h y z u h y z W

u y h z W u y h z W

(5)

en conjunto con las condiciones de interface entre los

fluidos, siendo estas de continuidad de velocidad:

1 2( 0,0 ) ( 0,0 ),u y z W u y z W

(6)

y de balance de esfuerzos [12]:

1 2

1 2 ,

0 0y y

u u

y y

(7)

En el caso de las condiciones de frontera necesarias para

resolver la ec. (4), se tienen las condiciones de potencial

especificado en la pared como:

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

(0 , 0) (0 , ) ,

( 0, 0) ( 0, ) ,

( ,0 ) , ( ,0 ) ,

y h z y h z W

h y z h y z W

y h z W y h z W

(8)

en conjunto con las condiciones de frontera de interface,

siendo de deslizamiento eléctrico:

2 1 0,0,

y z W

(9)

y de balance de carga neta superficial: Figura 1 – Esquema del flujo electroosmótico de dos fluidos

inmiscibles en un microcanal rectangular.



1 2

1 2

0,0

,s

y z W

qy y

(10)

donde qs es la densidad de carga superficial en la interface

entre los fluidos.

2.4. Modelo matemático adimensional

Para normalizar el modelo matemático conformado por las

ecs. (3)-(10), se introducen las siguientes variables

adimensionales

, , , ,i i i

i i

h h B ic

u z ey zy z u

D D u k T

(11)

donde la velocidad característica del flujo es definida como

1 1 1 1/B xcu k T E z e . Dh=2W(h1+h2)/[W+(h1+h2)] es el

diámetro hidráulico del microcanal. Introduciendo la ec.

(11) en ecs. (3) y (4), se tienen las siguientes ecuaciones de

cantidad de movimiento y potencial eléctrico adimensional

respectivamente

2 2

2

2 2,i i

i i

u u

y z

(12)

2 2

2

2 2,i i

i iy z

(13)

y sus correspondientes condiciones de frontera para la

determinación de la velocidad, de no deslizamiento

* * *

1 1 1 1

* * *

2 2 2 2

* * *

1 1 2 2

(0 , 0) (0 , ) 0,

( 0, 0) ( 0, ) 0,

( ,0 ) ( ,0 *) 0,

u y h z u y h z W

u h y z u h y z W

u y h z W u y h z W

(14)

continuidad de velocidad

* *

1 2( 0,0 ) ( 0,0 ),u y z W u y z W

(15)

y de balance de esfuerzos

1 2.

0 0y y

u u

y y

(16)

En el caso de las condiciones de frontera para potencial

especificado en la pared

*

1 1 1(0 , 0) ,y h z (17)

* *

1 1 1(0 , ) ,y h z W (18)

* *

1 1 1( ,0 ) ,y h z W (19)

*

2 2 2( 0, 0) ,h y z (20)

* *

2 2 2( 0, ) ,h y z W (21)

* *

2 2 2( ,0 ) ,y h z W (22)

de deslizamiento eléctrico en la interface

*2 1 0,0,

y z W

(23)

y de balance de carga neta superficial

*

1 2

0,0

.s

y z W

Qy y

(24)

De este modelo matemático adimensional, surgen los

siguientes parámetros adimensionales

* * *1 2

1 2 1

12 2 1

1 1 1 1

, , , ,

, , , ,

h

i

h h h i

s h

s

B B

Dh h Wh h W

D D D

z eq Dz eQ

k T k T

(25)

donde *

1h , *

2h y *W son las razones geométricas de los

espesores de las capas de fluidos al diámetro hidráulico del

microcanal. i es la razón entre el espesor de cada fluido y

el la longitud de Debye, siendo esta última definida como

1/2

1 2 2

0/ 2 ii i Bk T z e n . y son la razón de

viscosidades y permitividades entre los fluidos. y Q

es el deslizamiento y densidad de carga superficial

adimensionales en la interface entre los fluidos.

3. Metodología de solución

El alcance del este trabajo comprende la solución de las

ecuaciones que determinan la distribución potencial

eléctrico adimensional, siendo estas, las ecs. (13), (17)-(25).

3.1 Fluido 1

De la ec. (13) se tiene la ecuación de Poisson-Boltzmann

para el fluido 1 de la forma siguiente

2 2

21 1

1 12 2.

y z

(26)



Con las condiciones de frontera de las ecs. (17)-(19) y

(23) y (24) se tiene un problema con condiciones de frontera

no homogéneas, el cual puede ser dividido en cuatro

problemas más simples, en el cual, cada uno considera una

condición de frontera no homogénea [13]. Para cada uno de

estos problemas se utiliza el método de separación de

variables, asumiendo una separación de la siguiente forma:

1 , .y z Y y Z z (27)

Introduciendo la ec. (27) en (26), se tienen los siguientes

problemas separados para el potencial eléctrico en las

coordenadas y y z , respectivamente:

22

20,

d YY

dy (28)

22

20.

d ZY

d z (29)

Donde 2 y 2 2 2

1 son las constantes de separación.

Al resolver las ecs. (28) y (29) se construye la siguiente

solución general del potencial eléctrico a partir de la ec. (27)

1 1 2

3 4

cos( ) sin( )

cos( ) sin( ) .

C y C y

C z C z

(30)

De acuerdo al método de solución empleado, la ecuación

anterior está sujeta a las siguientes condiciones de frontera

para el caso de la pared ubicada en la posición *10 , 0y h z , con potencial especificado en esa pared

y las demás homogéneas:

*

1 1 1,(0 , 0)a y h z

* *

1 1(0 , ) 0,a y h z W (31)

*

1 1( , ) 0,a y h z

1 ( 0, ) 0.a y z

Aplicando las condiciones de frontera de la ec. (31) en la ec.

(30), se determinan las constantes C1-C4. Por lo tanto, la

solución será

*

11 *

1 cos( )2( , )

sinh

sin( ) sinh .

a

n

n n

ny z

n W

y W z

(32)

Este proceso, se repite para obtener la distribución del

potencial en las paredes del microcanal localizadas en las

otras paredes con potencial especificado en las siguientes

posiciones:

*

11 1( , ) ,b y h z (33)

**

111(0 , ) .

cy h z W (34)

3.2 Fluido 2

Para el fluido 2, la ecuación de Possion-Boltzmann a

resolver será

2 2

22 2

2 22 2.

y z

(35)

Para esta solución se emplea el mismo método de solución

empleado para el fluido 1, recordando que al obtener la

distribución del potencial en una de las paredes, las restantes

se considerarán con condiciones de frontera homogéneas.

3.3 Interface

Debido a que en la interface de los fluidos no existe un valor

de potencial especificado, para obtener la distribución del

potencial en esta posición, se realiza un proceso de

acoplamiento mediante las condiciones de frontera dadas en

las ecs. (23) y (24) y considerando todas las paredes con

potencial cero.

3.4 Solución general

De esta forma, la solución general para la distribución del

potencial eléctrico de ambos fluidos serán las siguientes.

Para el fluido 1:

*

1 *1 4

1

*1 1

*1 4

1

1

1

1

2 1 cos( )( , ) sinh( )sinh ( )

sinh( )

1 cos( )2sinh( )sinh( )

sinh( )

2 1 cos( )sinh( )sinh( )

sinh( )

21 cos( )

sin( )sinh (

n n

n

n n

n n

n n

n

n n

n

ny z y W z

n W

nz y

n h

ny z

n W

nn z h

AC

B

* ) ,y

(36)

donde se tienen los siguientes eigenvalores



2 2 2 2

1 1* *

1

, , , .n n n n n n

n n

h W

(37)

Para el fluido 2 se tiene que:

*

2 *1

*1

*1 2

1

2

2

2

2 1 cos( )( , ) sinh( )sinh ( )

sinh( )


sinh( )


sinh( )

21 cos( )

sin( )sinh (

n n

n n

n n

n n

n n

n n

s

n nn

ny z y W z

n W

ny z

n W

nz y

n h

Qn

n zE

DF B

*

2 ) ,h y

(38)

donde se tienen los correspondientes eigenvalores

2 2 2 2

2 2* *

2

, , , .n n n n n n

n n

h W

(39)

Adicionalmente se tienen las siguientes definiciones

* * *

1 1 2sinh( ) cosh( )sinh( ),n

n n n

s

A h h hQ

(40)

* *

2 1sinh( ) cosh( ),n

n n

s

B h hQ

(41)

*

1sinh( ),nC h (42)

*

2cosh( ),n nD h (43)

*

1cosh( ),n nE h (44)

* *

1 1sinh( ) cosh( ).n

n n

s

F h hQ

(45)

4. Resultados

Los parámetros físicos y geométricos para la estimación de

los parámetros adimensionales utilizados en este trabajo son

los siguientes: 1,210 50h m , 10 50W m ,

0.1 25L mm , 11 250i nm , i ~ 1010 1 1CV m ,

25i mV y iz ~ 010 .

En las Figs. 2 (a)-(d) se muestran diferentes casos de la

distribución del potencial eléctrico 1,2( , )y z como

función de las coordenadas y y z . Los parámetros

adimensionales generales que se consideraron fueron los

siguientes: 1

1 , 2

1 , *1

1h , 2

* 1h , * 1W ,

100i , 0.2 , 1sQ y 1 , con excepción de

cada valor específico analizado en las subfiguras. La Fig.

2(a) muestra un microcanal con geometría cuadrada siendo *

:*1,2

1:1h W . Como puede observarse, en la coordenada

0y y para toda z , se tiene un salto del potencial eléctrico

debido a las características eléctricas de los fluidos

inmiscibles en esa posición con 0.2 , formando zonas

de alta concentración iónica en la interface líquido-líquido,

con un correspondiente balance de cargas eléctricas y

formación de una doble capa eléctrica del lado de cada

fluido con polaridad opuesta. Los valores mayores del

potencial eléctrico se tienen en las cercanías de las paredes

del microcanal, resultado del balance de cargas eléctricas en

la interface sólido-líquido y una doble capa eléctrica. Fuera

de las dobles capas eléctricas se tienen condiciones de

electro-neutralidad con potencial nulo, esto es de un valor

0 en las zonas centrales de la sección transversal de

cada fluido.

La Fig. 2(b) se presenta el caso de distribuciones de

potencial eléctrico de los fluidos inmiscibles con

polaridades opuestas en las paredes del microcanal con

11 y

21 . En el caso del fluido 2, 2

( , )y z

siempre tendrá valores negativos. Indistintamente, se

observa que la alta concentración de cargas eléctricas se

presenta en las interfaces líquido-líquido y sólido-líquido de

los fluidos inmiscibles en el microcanal.

Por otra parte, en la Fig. 2(c), se observa la distribución

del potencial eléctrico para un microcanal rectangular con

una relación de esbeltez *:

*1,2

1: 2h W , siendo el

microcanal mas alargado en la coordenada z y más esbelto

en la coordenada y . Al seleccionar en este caso un valor del

deslizamiento eléctrico adimensional en la interface entre

los fluidos de 0.5 , el desfasamiento del potencial

eléctrico es más pronunciado que en caso de las figuras

anteriores.

Finalmente, en la Fig. 2(d), el parámetro electrocinético

seleccionado con un valor de 20i indica la magnitud del

espesor de la doble capa eléctrica formada por un balance de

cargas entre el fluido electrolítico con una interface sólido-

líquido o bien en una interface líquido-líquido. Cuando la

concentración iónica del fluido electrolítico baja, el espesor

de la doble capa eléctrica aumenta. Así, se observa una

forma más parabólica de la distribución del potencial

eléctrico en los fluidos inmiscibles, si se compara con las

figuras anteriores con un perfil más plano hacia las zonas

centrales de los fluidos.



(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 2 – Distribución del potencial eléctrico en los fluidos inmiscibles y en un microcanal rectangular.

(a) , (b) y , (c) y y y (d) .



4. Conclusión

En esta investigación se resolvió la distribución del

potencial eléctrico para un flujo electroosmótico de fluidos

inmiscibles en un microcanal rectangular. El considerar la

naturaleza de los fluidos involucrados como conductores

eléctricos y condiciones eléctricas de interface deja los

siguientes aspectos importantes:

La existencia de un balance de carga neto en la interface

entre los fluidos conductores, deja un deslizamiento

eléctrico entre estos fluidos inmiscibles y una densidad

de carga superficial neta que rompe con la condición de

electro-neutralidad fuera de las doble capa eléctrica en las

paredes del microcanal, generando un salto en la

distribución del potencial eléctrico la zona central de la

sección transversal del microcanal.

El parámetro electrocinético, i , determina la forma

parabólica o plana del perfil de distribución del potencial

eléctrico a lo largo de la sección transversal del

microcanal.

La relación de esbeltez entre el alto y ancho del

microcanal, * *

1 :h W y * *

2 :h W , influye en el espesor de la

doble capa eléctrica y correspondientemente en el

espesor de la zona de alta concentración de eléctricas en

el microcanal.

De esta forma el presente trabajo es una contribución para la

teoría de flujos electrocinéticos y como trabajo futuro

derivado de esta investigación se recomienda abordar lo

siguiente:

Resolver el campo de flujo electroosmótico planteado por

las ecs. (12), (14)-(16).

Consideración de interfaces no uniformes.

Propiedades físicas de los fluidos dependientes de la

temperatura.

Agradecimientos

Este trabajo de investigación contó con el respaldo del

proyecto de investigación SIP-20171035 del Instituto

Politécnico Nacional en México.

REFERENCIAS

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