variable aleatoria

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VARIABLE ALEATORIA

Ing. Maricela Jiménez García

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Definición:

Una variable aleatoria es una descripción numérica del resultado de un experimento

Tipos: Variable aleatoria Discreta Variable aleatoria Continua

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Ejemplos variable aleatoria discreta

Experimento Variable aleatoria Valores posibles V.A

Llamar a cinco clientes Cantidad de clientes 0, 1,2,3,4,5

Inspeccionar un embarque de 40 chips

Cantidad de chips defectuosos

0,1,2,….,40

Funcionamiento de un restaurante durante un día

Cantidad de clientes 0,1,2,3…….

Vender un automóvil Sexo Cliente 0 si es hombre y 1 si es mujer

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Ejemplos variable aleatoria continua

Experimento Variable aleatoria Valores posibles V.A

Funcionamiento de un banco

Tiempo en minuto, entre llegadas de clientes

X>=0

Llenar una lata de bebida (máx =12.1 onzas)

Cantidad de onzas 0<=x<=12.1

Proyecto para construir un biblioteca

Porcentaje de terminado del proyecto

0<=x<=100

Ensayar un nuevo proceso químico

Temperatura cuando se lleva a cabo la reacción

deseada (min 150º F; máx 212ºF)

150<=x<=212

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Variable aleatoriaUna variable aleatoria X es una función que asocia a cada suceso del espacio muestral E de un experimento aleatorio un valor numérico real:

)(:

wXwEX

Llamar variable a una función resulta algo confuso, por ello hay que insistir en que es una función.

La variable aleatoria puede ser discreta o continua.Veremos en este capítulo el caso discreto.

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Función de probabilidadUna vez definida una variable aleatoria X, podemosdefinir una función de probabilidad asociada a X, de la siguiente forma:

)()(]1,0[:

xXPxpxp

La función de probabilidad debe cumplir:

x

xpiixxpi

1)()(0)()( (Suma sobre todos los posibles valores

que puede tomar la variable aleatoria).

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Función de probabilidad discreta

Valores Probabilidad

0 1/4 = 0.25

1 2/4 = 0.50

2 1/4 = 0.25

Z

Z

Z Z

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Sea el experimento “lanzar dos dados”. Definamos el espacio muestral E como:E = {(1,1),(1,2),...(1,6),...,(5,6),(6,6)}

Definamos la variable aleatoria discreta X como:

con S = {2,3,...,12} la suma de puntos.Una posible función de probabilidad es:

...363)2,2()13()31(4)4(

362)12()21(3)3(361)11(2)2(

]1,0[:

/),,P()P(Xf/),,P()P(Xf

/),P()P(Xff

9

P

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X

1/36

2/36

6/36

4/36

5/36

3/36

2/36

1/36

5/36

4/36

3/36

Función de probabilidad de la variable aleatoria X

Observa que cumple las dos condiciones: es siempre positiva y está normalizada.

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Función de distribuciónDada una variable aleatoria discreta X se llama función de distribución a la función F definida como:

)()(]1,0[:

xXPxFxF

En nuestro ejemplo de los dos dados:

F(5) = P(X 5) = P(x = 2 o x = 3 o x = 4 o x = 5)

F(5) = 1/36 + 2/36 +3/36 + 4/36 = 10/36

11

x

1,0

0,5

0,028

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

F

Función de distribución de la variable aleatoria X

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Ejemplo: Dibuja la función de probabilidad f(x) y la función de distribución F(x) de una variable discreta definida como:

X = Número en la cara de un dado.

X tiene como posibles valores x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 cada uno con probabilidad 1/6

0

61

1 x

f(x)

1

0.5

10

F(x)

x6 6

Función de probabilidad f(x) Función de distribución F(x)

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Algunos problemas de probabilidad están relacionados con la probabilidad P(a <X b) de que X asuma algún valor en un intervalo. Observa que:

P(a < X b) = F(b) - F(a)Los sucesos X a y a< X b son mutuamente excluyentes. Entonces:

F(b) = P(X b) = P(X a) + P(a < X b) = F(a) + P(a < X b)

En el ejemplo de los dos dados, calcula la probabilidad de que los dos dados sumen al menos 4 pero no más de 8.

P(3 < X 8) = F(8) - F(3) = 26/36 - 3/36 = 23/36

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Algunas propiedades de la función de distribución

0)()(lim)(lim)(

PxXPxFFxx

1)()(lim)(lim)(

EPxXPxFFxx

)()()( 1221 xFxFxXxP F es monótona creciente.

F es continua por la derecha: la probabilidad de que la variable aleatoria discreta X tome un valor concreto es igual al salto de la función de distribución en ese punto.

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Esperanza matemática o media de un distribución discreta

)()( ii

iii

i xpxxXPxXE

X-10123

P(X).1.2.4.2.1

-.1.0.4.4.3

1.0

X P(X)

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Calcular la esperanza de la variable aleatoria X en el ejemplo de los dos dados:

712361...7

366...3

3622

361

)()(12

2

i

iiPXE

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Varianza y desviación estándar o típica de una distribución discreta

iii xXPx

XEMXVar

)()(

))(()(2

22

2

)(XVar

Varianza

Desviación estándar o típica

Ambas miden la “dispersión de los datos”. Observa que la desviación típica lo hace con las mismas unidades que los propios datos.

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Ejemplo

X

-10123

P(X)

.1

.2

.4

.2

.1

-2-1012

41014

.4

.2

.0

.2

.41.2

)( 2X )()( 2 XPX

i

ii xPx 2,1)()( 22

10.1)( XVar

X

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Calcula la varianza y desviación típica de la variable aleatoria X en el ejemplo de los dos dados:

83,5)712(361...)73(

362)72(

361

)7()()(Var

222

12

2

2

i

iiPX

41,283,5)( XVar

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Algunas propiedades de la varianza

22222

22

22

22

))(()(2)(

)(2)(

)()2(

)()()(

XEXEXE

xpxxpx

xpxx

xpxXVar

i iiiii

iiii

iii

222 ))(()( XEXE

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Distribución de BernoulliExperimento de Bernoulli: solo son posibles dos resultados: éxito o fracaso. Podemos definir una variable aleatoria discreta X tal que: éxito 1fracaso 0

Si la probabilidad de éxito es p y la de fracaso q = 1 - p, podemos construir una función de probabilidad:

1,0)( 1 xqpxXP xx

Evidentemente:

1

0

1)1()0()(x

qpXPXPxXP

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Ejercicio: Calcular la esperanza y la varianza de la distribución de Bernoulli.

pXPXP

xXPxXEx

)1(1)0(0

)(][1

0

pqpppp

pXPXP

pxXPxXEXEXVarx

)1(

)1(1)0(0

)(])[(][)(

2

222

1

0

2222

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Distribución Binomial de Probabilidad

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Definición

La distribución binomial de probabilidad es una distribución discreta de probabilidad que tiene muchas aplicaciones. Se relaciona con una experimento de etapas múltiples que llamamos binomial.

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Experimento Binomial (Propiedades) El experimento consiste en una sucesión de n

intentos o ensayos idénticos. En cada intento o ensayo son posibles dos

resultados. A uno lo llamaremos éxito y al otro fracaso.

La probabilidad de un éxito, se representa por p y no cambia de un intento o ensayo. Por lo tanto la probabilidad de un fracaso se representa por (1-p), que tampoco cambia de un intento a otro.

Los intentos o ensayos son independientes.

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DIAGRAMA DE UN EXPERIMENTO BINOMIAL CON OCHO INTENTOS

Propiedad 1: El experimento consiste en n=8 intentos idénticos de lanzar una moneda.Propiedad 2: Cada intento da como resultado un éxito (S) o un fracaso (F).

Intentos 1 2 3 4 5 6 7 8

Resultados S F F S S F S S

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Distribución binomialLa distribución binomial aparece cuando estamos interesados en el número de veces que un suceso A ocurre (éxitos) en n intentos independientes de un experimento.

P. ej.: número de caras en n lanzamientos de una moneda.

Si A tiene probabilidad p (probabilidad de éxito) en un intento, entonces q = 1-p es la probabilidad de que A no ocurra (probabilidad de fracaso).

En nuestro ejemplo de la moneda, p = 0.5 es la probabilidad de que salga cara y q = 1-p =1 - 0.5 = 0.5 es la probabilidad de que no salga cara.

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Supongamos que el experimento consta de n intentos y definamos la variable aleatoria:

X = Número de veces que ocurre A.

En nuestro ejemplo: X = Número de veces que sale cara.

Entonces X puede tomar los valores 0, 1, 2, ... n.

Si consideramos uno de estos valores, digamos el valor x , i.e. en x de los n intentos ocurre A y en n-x no. Entonces la probabilidad de cada posible ordenación es pxqn-x y existen idénticas ordenaciones.

kx

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La distribución de probabilidad P(X = k) será:

xnxxnx ppxnx

nppxn

xppnB

)1(

)!(!!)1()(),(

Distribución binomial para n = 5 y distintos valores de p, B(5, p)

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Ejercicio:

Supongamos que la probabilidad de encontrar una estrella de masa m* >10 M en un cúmulo estelar joven es del 4%.

¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra escogida al azar, entre 10 miembros del cúmulo encontremos 3 estrellas con m* >10 M?

. . .).-(). ()p(

x; n; .p

p)(pxn

p(x)

-

xnx

00609670043004010403

103

310040

1

3103

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Calcula la probabilidad de obtener al menos dos seises al lanzar un dado cuatro veces.

p = 1/6, q = 5/6, n = 4

4322

61

44

65

61

34

65

61

24

132.01296171)154256(

61

4

Al menos dos seises, implica que nos valen k = 2, 3, 4. P(2) + P(3) + P (4)

),....1,0( )( nkqpkn

kP knk

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Características de la distribución binomial

n = 5 p = 0.1

n = 5 p = 0.5

Media = E(X) = n p

= 5 · 0.1 = 0.5

= 5 · 0.5 = 0.25Desviación estándar

0.2.4.6

0 1 2 3 4 5X

P(X)

.2

.4

.6

0 1 2 3 4 5X

P(X)

0

1.1)5.01(5.05

67.0)1.01(1.05

)1(

pnp

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Distribución de PoissonCuando en una distribución binomial el número de intentos (n) es grande y la probabilidad de éxito (p) es pequeña y np (la media de la distribución binomial) es finito y tiende a entonces la distribución binomial converge a la distribución de Poisson:

0 210 ,!

)(

...,,,xx

expk

Observa que si p es pequeña, el éxito es un “suceso raro”.

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Características de la distribución de Poisson

= 0.5

= 6

1 2 3 4 5X

2 4 6 8 10X

Media

Desviación estándar

E X

( )

0.2.4.6

0

P(X)

0.2.4.6

0

P(X)

Nota: el máximo de la distribuciónse encuentra en x

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Distribución de Poisson para varios valores de .

La distribución de Poisson se obtiene como aproximación de una distribución binomial con la misma media, para ‘n grande’ (n > 30) y ‘p pequeño’ (p < 0,1). Queda caracterizada por un único parámetro μ (que es a su vez su media y varianza).

n p =

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Si la probabilidad de fabricar un televisor defectuoso es p = 0.01, ¿cuál es la probabilidad de que en un lote de 100 televisores contenga más de 2 televisores defectuosos?

El suceso complementario Ac: No más de 2 televisores defectuosos puede aproximarse con una distribución de Poisson con = np = 1, sumando p(0) + p(1) + p(2).

9197.0)11()( 211 eAP c ,....)1,0(

!μ)( μ

x

xex

xp

La distribución binomial nos daría el resultado exacto:

9206.0

1001

10099

2100

1001

10099

1100

10099

0100

)(29899100

cAP

),....1,0( )( nxqpxn

xp xnx

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Un proceso poissoniano es aquél compuesto de eventos discretos que son independientes en el espacio y/o en el tiempo. Por ejemplo la llegada de fotones a un detector.

Si el número de eventos esperados, el número medio de eventos en un intervalo de extensión h es m. Por ejemplo el detector nos informa de la llegada en promedio de 20 fotones fotones cada 5 segundos.

Entonces λ = h/ m, será la tasa de eventos por unidad de h. En nuestro caso 4 fotones por segundo.

La probabilidad de que ocurran x eventos en el intervalo h vendrá dada por la distribución de Poisson. En nuestro ejemplo la probabilidad de que lleguen x fotones en 5 segundos.

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La señal promedio recibida en un telescopio de una fuente celeste es de 10 fotones por segundo. Calcular la probabilidad de recibir 7 fotones en un segundo dado.

P(7) = 107 e−10 / 7! = 0.09, es decir 9%

Parece muy baja. Comparemos con el valor de máxima probabilidad que ocurrirá para x = 10:

μ = 10 P(10)=1010 x e−10 / 10! = 0.125, es decir 12.5%

Las probabilidades poissonianas para un número de eventos dado, son siempre pequeñas, incluso en el máximo de la distribución de probabilidad.

,....)1,0( !

μ)( μx

xex

xpUna distribución de Poisson con μ = 10.

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Si en promedio, entran 2 coches por minuto en un garaje, ¿cuál es la probabilidad de que durante un minuto entren 4 o más coches?

Si asumimos que un minuto puede dividirse en muchos intervalos cortos de tiempo independientes y que la probabilidad de que un coche entre en uno de esos intervalos es p – que para un intervalo pequeño será también pequeño – podemos aproximar la distribución a una Poisson con = np = 2.

y la respuesta es 1 – 0.857 = 0.143

El suceso complementario “entran 3 coches o menos” tiene probabilidad:

857.0)()3()2()1()0()( !32

!22

!12

!022 3210 eppppAP c

,....)1,0( !

μ)( μx

xex

xp