tema 2 càlcul vectorial

Tema 2. Apunts matemàtics

Física 1r BatxilleratEscola Vedruna de Palamós

1. Vectors. Definició. Tipus

2. Operacions amb vectorsa. Sumab. Resta.c. Producte d’un escalar per un vector

3. Vectors unitaris

4. Components d’un vector

5. Relació entre les components i el mòdul d’un vector.

6. Operacions amb els components

7. Producte escalar

8. Producte vectorial

• Definició.• Segment orientat mitjançant una

punta de fletxa.• Ve delimitat per un origen (O) i un

extrem (P)• Distingim els següents elements:

• Mòdul. Llargària proporcional a lamagnitud.

• Direcció. Recta que conté la líniad’acció.

• Sentit. Indicat per la punta de la fletxa• Els vectors amb aquests tres elements

iguals s’anomenen vectorsequipol·lents.

Vectors fixos◦ Tenen un origen fix.◦ Seran iguals si tenen mòdul, sentit i

direcció iguals, així com el punt d’aplicació.

Vectors lliscants.◦ Tenen igual línia d’acció.◦ Seran iguals si tenen mòdul, línia d’acció

i sentit iguals.

Vectors lliures.◦ Tenen punts d’aplicació diferents, però

iguals en mòdul, sentit i direcció.◦ Són vectors equipol·lents.

RESTA

PRODUCTE D’UN ESCALAR PER UN VECTOR

SUMA

Vector unitari és qualsevol vector de mòdul 1

Per obtenir un vector unitari en la mateixa direcció que un vector només cal dividir-lo pel seu mòdul.

Els vectors unitaris dels eixos es denominen i (eix X) i j (eix Y)

Els vectors del pla es poden expressar a partir dels vectors unitaris i

v

i

j

▫ Són les projeccions d’un vector en els eixos de coordenades.

▫ Els signes de cada component seran iguals als sistema de referència cartesià.

▫ S’obtenen restant les coordenades del punt extrem amb les del punt origen

▫ Permeten expressar un vector com suma de vectors

Els components i el mòdul es relacionen mitjançant trigonometria bàsica.

D’aquestes igualtats deduïm que:

El mòdul d’un vector s’obté aplicant el Teorema de Pitàgores. Calcula:

Els components del vector de mòdul 3 de la figuraEl mòdul dels vectors de la pàgina anterior.

Suma: ◦ Se’n sumen els components.

Resta: ◦ Se’n resten els components.

Producte o divisió per un escalar:◦ Se’n multipliquen o divideixen les components.

Components trigonomètriques del vector unitari.

Determina el vector unitari de la mateixa direcció i sentit que el vector que té per origen A(3,1) i extrem B(7,-2). Calcula els angles que forma amb les eixos de coordenades.

Es un escalar igual al producte dels mòduls pel cosinus del angle que formen

Característiques:◦ Si cos >0 producte escalar positiu i l’angle

que formen agut.◦ Si cos <0 producte escalar negatiu i l’angle

que formen obtús◦ Si =90 producte escalar 0 i l’angle que

formen recte

Si analíticament fem el producte dels dos vectors obtenim:

Per definició de producte escalar sabem que:

I són nuls

Així doncs ens queda

▫ Producte vectorial Associa a dos vectors un altre vector

Propietats: Anti commutativa u x v = -(v x u) Oposat u x u = 0 Distributiva u x (v + w) = (u x v) + (u x w) Producte per una escalar

▫ k·(u x v) = (k·u x v) = (u x k·v) Característiques. Mòdul Direcció perpendicular a a i b Sentit: llevataps o regla de la ma dreta

Interpretació geomètrica Expressió analítica