mÓdulo 1 vectores. cantidades escalares y vectoriales definición de vector cantidades escalares...

MÓDULO 1VECTORES

CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES

Definición de vector Cantidades escalares Cantidades vectoriales

ÁLGEBRA VECTORIAL Sistemas de referencia Igualdad entre vectores Múltiplos de un vector Adición de vectores Productos vectoriales

VECTORES

Cantidades vectoriales

CANTIDADES VECTORIALES

ESCALARCantidades que pueden caracterizarse

exclusivamente con un número

CANTIDADES ESCALARES

VECTORSegmento de línea dirigido.

CANTIDADES VECTORIALES

SISTEMAS DE REFERENCIA

SISTEMAS DE REFERENCIA

0-1 654321-3 -2-4-5-6

-4/3 2

Sistema de referencia en una dimensión:

Recta R1

SISTEMAS DE REFERENCIA

Sistema de referencia n dimensiones:n Rectas Rn

SISTEMAS DE REFERENCIA

Sistema de coordenadas rectangulares:Los ángulos entre los ejes coordenados son de 90°

SISTEMAS DE REFERENCIA

2 Dimensiones: R

Coordenadas cartesianas

2

SISTEMAS DE REFERENCIA

22 Dimensiones: R

Coordenadas polares

SISTEMAS DE REFERENCIA

Coordenadas polares Coordenadas cartesianas

x = cos y = sen

= [x + y ] = tan (y/x)

1/22 2

SISTEMAS DE REFERENCIA

33 Dimensiones: R

Coordenadas cartesianas

SISTEMAS DE REFERENCIA

3

3 Dimensiones: R

Coordenadas cilíndricas

SISTEMAS DE REFERENCIA

3

3 Dimensiones: R

Coordenadas esféricas

SISTEMAS DE REFERENCIA

Coordenadas cartesianas Coordenadas cilíndricas

x = cos y = sen z = z

= [x + y ] = tan (y/x) z = z

1/22 2

Coordenadas cartesianas Coordenadas esféricas r = [x + y + z ] = tan (y/x) = z / [x + y + z ]

1/22 22

1/22 22

x = r cos sen y = r sen sen z = r cos

IGUALDAD ENTRE VECTORES

A = B

PRODUCTO POR ESCALAR

x A = B 2 A = B

PRODUCTO POR ESCALAR

(-1) A = - A

x ( yA ) = (xy) A = xy A (x + y) A = xA + yA0A = 0(-1)A = -AA / |A| = A

Propiedades

PRODUCTO POR ESCALAR

VECTORES UNITARIOS

VECTORES UNITARIOS

ADICIÓN DE VECTORES

= - 35 - 8

ADICIÓN DE VECTORES

A + B

A B

ADICIÓN DE VECTORES

C = A + B

C = A + B – 2 AB cos 2 2 2

ADICIÓN DE VECTORES

C = aA + bB A y B vectores base

ADICIÓN DE VECTORES

C = A – B = A + (– B)

ADICIÓN DE VECTORES

A + B = B + A(A + B) + C = A + (B + C) 0 + A = AA + -A = 0x (A + B) = xB + xA

Propiedades

ADICIÓN DE VECTORES

ADICIÓN DE VECTORES

ADICIÓN DE VECTORES

r = x i + y j + z k Vector de posición

i, j, k Base canónica

A = Ax i + Ay j + Az k

B = Bx i + By j + Bz k

A + B = (Ax+ Bx)i + (Ay+ By) j + (Az+ Bz) k

Suma por componentes

C = Cx i + Cy j + Cz k

ADICIÓN DE VECTORES

ADICIÓN DE VECTORES

PRODUCTOS VECTORIALES

A x B = A veces B = B veces A

PRODUCTOS VECTORIALES

3 x 2 = 3 veces 2

PRODUCTOS VECTORIALES

3 x 2 = 2 x 3 = 2 veces 3

PRODUCTOS VECTORIALES

Producto Escalar Producto Punto

Producto Interno

A B = AB cos AB cos B A . .

PRODUCTOS VECTORIALES

Producto entre vectores unitarios

i i = (1)(1) cos .

j j = (1)(1) cos .

k k = (1)(1) cos .

i j = (1)(1) cos .

j k = (1)(1) cos .

k i = (1)(1) cos .

PRODUCTOS VECTORIALES

A = Ax i + Ay j + Az k

B = Bx i + By j + Bz k

A B = (Ax i + Ay j + Az k) (Bx i + By j + Bz k)

(Ax i) (Bx i + By j + Bz k)+ (Ax j) (Bx i + By j + Bz k)+ (Ax k) (Bx i + By j + Bz k)

Producto escalar

. .

PRODUCTOS VECTORIALES

A B = (Ax i) (Bx i) + (Ax i) (By j) + (Ax i) (Bz k)+

(Ay j) (Bx i) + (Ay j) (By j) + (Ay j) (Bz k)+

(Az k) (Bx i) + (Az k) (By j) + (Az k) (Bz k)+ = (Ax Bx) + (Ay By) + (Az Bz)

. . .... .. ..

PRODUCTOS VECTORIALES

Propiedades

A B = B A A (B + C) = A B + A Cm (A B) = (m A) B = A (m B) = (A B) m A A = A = Ax + Ay + Az |A | = (A A)A B = 0 A B

.

.. . .. . . .

.

..

2 2 2 2

1/2

PRODUCTOS VECTORIALES

PRODUCTO VECTORIAL

PRODUCTO VECTORIAL