iar234 robótica unidad 02: fundamentos matemÁticos y fÍsicos. (1 ra parte)

IAR234Robótica

UNIDAD 02: FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS Y FÍSICOS.

(1ra parte)

Contenidos1. Descripción de la posición: coordenadas cartesianas,

cilíndricas y esféricas2. Descripción de la orientación y matrices asociadas. 3. Traslación y rotación.4. Velocidad, aceleración momento de inercia, centro de masa

y tensor de inercia. 5. Cinemática del robot: cinemática directa e inversa.6. Cinemática del movimiento.7. Fuerzas que actúan sobre el robot y equilibrio.8. Dinámica del robot: métodos de Lagrange y de Newton-Euler9. Ejercicios sobre dinámica de robots.

Primavera-2008 Dr. Juan José Aranda Aboy 2

Objetivos específicos

• Explicar el funcionamiento de la arquitectura de un robot y de las partes que integran esa arquitectura.

Localización espacial del robot

• La necesidad de manipular piezas demanda el movimiento espacial del extremo del robot, lo que muestra la necesidad de disponer de herramientas matemáticas para especificar la posición y orientación de dicho extremo.

• Por nuestros estudios previos, conocemos que podemos representar una posición en el espacio empleando un sistema de coordenadas, siendo comunes el cartesiano y el polar.

Representación espacial: Posición

• Se establece un sistema de coordenadas con el cual podemos localizar cualquier punto en el espacio mediante un vector de posición (3x1).

• Se indica con un superíndice el sistema de coordenadas al cual dicho vector es referido.

Representación de la posición en coordenadas cartesianas

Representación de la posición en coordenadas polares/cilíndricas

Representación de la posición en coordenadas esféricas

• Otra alternativa 3D son las coordenadas esféricas:

Orientación• Para describir la orientación de un cuerpo respecto de un

sistema de coordenadas dado, se le asigna solidariamente a este, otro sistema de coordenadas:

Descripción de la orientación relativa• Luego se da la “descripción” de este sistema de

coordenadas “relativa” al sistema de coordenadas de referencia.

• Existen varios métodos para representar orientaciones:– Matriz de Rotación.– Ángulos de Euler (ZXZ y ZYZ)– Roll, pitch and yaw.– Par de rotación (o Vector - ángulo).– Cuaternios: Para describir la orientación de un cuerpo

respecto de un sistema de coordenadas dado.

Representación de la orientación.Matrices de Rotación 2D• La orientación de un objeto respecto a una referencia se

realiza empleando una matriz.• Una matriz de rotación es ortonormal: R-1=RT

Primavera-2008 Dr. Juan José Aranda Aboy 11R es conocida como matriz de cosenos directores

Matrices de Rotación 3D (1)

Matrices de Rotación 3D (2)

Composición de rotaciones

Orden de la composición:1.Rotación sobre OX2.Rotación sobre YO3.Rotación sobre OZ

Ángulos de Euler

1. Girar el sistema OUVW un ángulo con respecto al eje OZ, convirtiéndose así en el OU'V'W'.

2. Girar el sistema OU'V'W' un ángulo con respecto al eje OU', convirtiéndose así en el OU''V''W''.

3. Girar el sistema OU''V''W'' un ángulo respecto al eje OW'‘ convirtiéndose finalmente en el OU'''V'''W'''

Roll, Pitch y Yaw1. Girar el sistema OUVW

un ángulo con respecto al eje OX. (Yaw)

2. Girar el sistema OUVW un ángulo con respecto al eje OY. (Pitch)

3. Girar el sistema OUVW un ángulo con respecto al eje OZ. (Roll)

Par de rotación

• Mediante la definición de un vector k (kx,ky.kz) y un ángulo de giro , tal que el sistema OUVW corresponde al sistema OXYZ girado un ángulo sobre el eje k

Cuaternios• Alta eficiencia computacional• Utilizados por algunos fabricantes de robots (ABB)

Q=[q0,q1,q2,q3]=[s,v]

• Giro de un ángulo 2 sobre el vector k:

Coordenadas homogéneas

• Coordenadas de un espacio (n+1)-dimensional para representar sólidos en el espacio n-dimensional.p(x,y,z) p(wx,wy,wz,w) con w=factor de escala

• Vector en coordenadas homogéneas:

• Ejemplo: 2i+3j+4k [4,6,8,2]T ó [-6,-9,-12,-3]T

• Vector nulo:[0,0,0,n]T

Matrices de transformación homogénea• Matriz 4x4 que representa la transformación de un vector en

coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a otro.

R3x3: matriz de rotación

p3x1: vector de traslación

f1x3: transformación de perspectiva

w1x1: escalado global (1)

Aplicación de las matrices de transformación homogénea

• Representar la posición y orientación de un sistema girado y trasladado O'UVW con respecto a un sistema fijo de referencia OXYZ., que es lo mismo que representar una rotación y traslación realizada sobre un sistema de referencia.

• Transformar un vector expresado en coordenadas con respecto a un sistema O'UVW, a su expresión en coordenadas del sistema de referencia OXYZ.

• Rotar y trasladar un vector con respecto a un sistema de referencia fijo OXYZ.

Traslación con matrices homogéneas

• Matriz básica de traslación:

• Cambio de sistema de coordenadas:

Ejemplo de traslación (1)• Según la figura el sistema O'UVW está trasladado un

vector p(6,-3,8) con respecto del sistema OXYZ. • Calcular las coordenadas (rx , ry ,rz) del vector r cuyas

coordenadas con respecto al sistema O'UVW son ruvw(-2,7,3)

Ejemplo de traslación (2)

• Calcular el vector r’xyz resultante de trasladar al vector rxyz(4,4,11) según la transformación T(p) con p(6,-3,8)

Rotación con matrices homogéneas

• Matrices de rotación básicas:

• Cambio de sistema de coordenadas:

Ejemplo de rotación

• Según la figura el sistema OUVW se encuentra girado -90º alrededor del eje OZ con respecto al sistema OXYZ.

• Calcular las coordenadas del vector rxyz si ruvw = [4,8,12]T

Combinación de rotaciones y traslaciones (1)• Es posible combinar rotaciones y traslaciones básicas

multiplicando las matrices correspondientes• El producto NO es conmutativo:

rotar y trasladar ≠ trasladar y rotar

• Rotación seguida de traslación:

• Traslación seguida de rotación:

Combinación de rotaciones y traslaciones (2)

Ejemplo de combinación traslación-rotación (1)• Un sistema OUVW ha sido girado 90º alrededor del

eje OX y posteriormente trasladado un vector p(8,-4,12) con respecto al sistema OXYZ.

• Calcular las coordenadas (rx ,ry ,rz) del vector r con coordenadas ruvw (-3,4,-11)

Ejemplo de combinación traslación-rotación (2)• Un sistema OUVW ha sido trasladado un vector p(8,-

4,12) con respecto al sistema OXYZ y girado 90º alrededor del eje OX.

• Calcular las coordenadas (rx , ry , rz) del vector r de coordenadas ruvw (-3,4,-11)

Significado geométrico de las matrices homogéneas

n,o,a: terna ortonormal que representa la orientaciónp: vector que representa la posición||n||=||o||=||a||=1n x o = a[n o a]-1=[n o a]T

Inversa de una matriz de transformación homogénea

Composición de matrices homogéneas (1)• Una transformación compleja puede descomponerse

en la aplicación consecutiva de transformaciones simples: giros básicos y traslaciones.

• Una matriz que representa un giro de un ángulo a sobre el eje OX, seguido de un giro de ángulo sobre el eje OY y de un giro de un

• ángulo sobre el eje OZ, puede obtenerse por la composición de las matrices básicas de rotación:

Composición de matrices homogéneas (2)

Criterios de composición de matrices homogéneas• Si el sistema fijo OXYZ y el sistema transformado O'UVW son

coincidentes, la matriz homogénea de transformación será la matriz 4 x 4 unidad, I4

• Si el sistema O'UVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones definidas con respecto al sistema fijo OXYZ, la matriz homogénea que representa cada transformación se deberá premultiplicar sobre las matrices de las transformaciones previas.

• Si el sistema O'UVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones definidas con respecto al sistema móvil, la matriz homogénea que representa cada transformación se deberá postmultiplicar sobre las matrices de las transformaciones previas.

Ejemplo de composición de matrices homogéneas (1)

PREMULTIPLICACIÓN• Obtener la matriz de transformación que representa

al sistema O'UVW obtenido a partir del sistema OXYZ mediante un giro de ángulo -90º alrededor del eje OX, de una traslación de vector pxyz(5,5,10) y un giro de 90º sobre el eje OZ:

Ejemplo de composición de matriceshomogéneas (2)

POSMULTIPLICACIÖN• Obtener la matriz de transformación que representa las

siguientes transformaciones sobre un sistema OXYZ fijo de referencia: – traslación de un vector pxyz(-3,10,10);

– giro de -90º sobre el eje O'U del sistema trasladado y – giro de 90º sobre el eje O'V del sistema girado

Gráficos de transformación

Comparación entre métodos de localización espacial

Descripción de “frame”

• La información necesaria para especificar completamente la ubicación del efector final (o cualquier elemento) de un manipulador puede definirse por medio de un “Frame”: Conjunto de 4 vectores que dan información de posición y orientación.

Mapeos: cambiando la descripción de un frame a otro

• Mapeos sobre frames trasladados de igual orientación:

Mapeos: cambiando la descripción de un frame a otro

• Mapeos sobre frames rotados sin traslación:

Mapeo general: Traslación + Rotación

Referencias de archivos en .PDF

• Fundamentos de Robótica (Cap3, p49 (57 de 314))• curso_biom_ar/Cap_2_2007• curso_umh_es/Tema3• upm_disam_es/Herramientas matemáticas• robotica/Apuntes de Robotica (Tema 2, 18 de 177)• robots_springer_2008/07_PositionOrientation y

08_EulerRPYHomogeneous

Sitios en Internet

• http://www.worldrobotics.org/• ISO 25.040.30: Industrial robots. Manipulators• INDUSTRIAL ROBOTS AND ROBOT SYSTEM SAFETY • Academic Websites • The Robotics WEBook• ROBOTICA I - Curso 2004-05

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